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Detailed Chapter 15 सांख्यिकी RBSE Solutions for Class 9 Mathematics
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Class 9 Mathematics Chapter 15 सांख्यिकी RBSE Solutions PDF
प्रश्न 1. बंटन 5, 5, 6, 4, 9, 5, 8, 2, 7, 6, 3, 8, 4 में वर्ग अंतराल 3-5 की बारम्बारता है:
(A) 3
(B) 4
(C) 6
(D) 7
Answer: (B) 4
In simple words: बंटन में, 3 से 5 के वर्ग अंतराल में आने वाली संख्याएँ हैं 3, 4, 4 और 5। इस अंतराल में संख्या 3 एक बार आती है, संख्या 4 दो बार आती है, और संख्या 5 तीन बार आती है। इसलिए, वर्ग अंतराल 3-5 की कुल बारंबारता 4 है, जैसा कि स्रोत द्वारा दर्शाया गया है।
🎯 Exam Tip: बारम्बारता का अर्थ है कि कोई संख्या या मान किसी दिए गए डेटासेट में कितनी बार आता है। दिए गए वर्ग अंतराल में आने वाले सभी मानों को ध्यान से गिनना महत्वपूर्ण है।
प्रश्न 2. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का परिसर होगा:
3.2, 2.8, 3.1, 2.1, 3.2, 2.4, 2.1, 2.8, 2.7, 2.7
(A) 2.7
(B) 3.1
(C) 2.4
(D) 1.1
Answer: (D) 1.1
In simple words: परिसर ज्ञात करने के लिए, दिए गए डेटासेट में सबसे बड़ी संख्या और सबसे छोटी संख्या को ढूँढो। फिर सबसे बड़ी संख्या में से सबसे छोटी संख्या घटा दो। जो उत्तर आता है, वही डेटा का परिसर होता है।
🎯 Exam Tip: परिसर, एक डेटासेट में उच्चतम और निम्नतम मान के बीच के फैलाव को दर्शाता है। इसे हमेशा डेटा में मौजूद अधिकतम मान से न्यूनतम मान घटाकर प्राप्त किया जाता है।
प्रश्न 3. निम्न बारम्बारता बंटन में 25 वर्ष से कम आयु के विद्यार्थियों की संख्या है:
(A) 8
(B) 16
(C) 9
(D) 25
Answer: (D) 25
In simple words: 25 वर्ष से कम आयु के विद्यार्थियों की कुल संख्या जानने के लिए, हमें विभिन्न आयु वर्गों में 25 से कम आयु वाले विद्यार्थियों की संख्या को जोड़ना होगा। यहाँ, यह योग 3 + 6 + 8 + 8 के बराबर है, जो कुल 25 विद्यार्थी बनाता है।
🎯 Exam Tip: जब 'से कम' या 'से अधिक' प्रकार के प्रश्नों को हल कर रहे हों, तो सुनिश्चित करें कि आप सही वर्ग अंतरालों की आवृत्तियों (फ्रीक्वेंसी) को जोड़ रहे हैं या घटा रहे हैं।
प्रश्न 4. दण्ड आलेख में आयत की ऊँचाई होती है:
(A) वर्ग की आवृत्ति के व्युत्क्रमानुपात में
(B) वर्ग की आवृत्ति के समानुपात में।
(C) वर्ग अंतराल के समानुपात में।
(D) वर्ग अंतराल के व्युत्क्रमानुपात में
Answer: (B) वर्ग की आवृत्ति के समानुपात में।
In simple words: एक दण्ड आलेख (बार ग्राफ) में, हर आयत की ऊँचाई यह दिखाती है कि उस वर्ग में कितनी चीज़ें या डेटा आइटम हैं। जितनी ज़्यादा चीज़ें होंगी, आयत उतना ही ऊँचा होगा।
🎯 Exam Tip: दण्ड आलेख और आयत चित्र में मुख्य अंतर यह है कि दण्ड आलेख में आयतों के बीच गैप होता है, जबकि आयत चित्र (हिस्टोग्राम) में आसन्न आयतों के बीच कोई गैप नहीं होता है क्योंकि यह सतत डेटा दिखाता है।
प्रश्न 5. विद्यालय की किसी कक्षा के परीक्षा परिणाम का तुलनात्मक अध्ययन किया जा सकता है:
(A) वृत्ताकार लेखाचित्र से
(B) दण्ड लेखाचित्र से
(C) रैखिक लेखाचित्र से
(D) उपर्युक्त सभी से
Answer: (B) दण्ड लेखाचित्र से
In simple words: जब हमें अलग-अलग चीजों की तुलना करनी होती है, जैसे अलग-अलग बच्चों के परीक्षा नंबर, तो दण्ड लेखाचित्र सबसे अच्छा होता है। यह हर बच्चे के नंबर को एक दण्ड (बार) से दिखाता है, जिससे तुलना करना आसान हो जाता है।
🎯 Exam Tip: दण्ड आलेख विभिन्न श्रेणियों के बीच तुलना के लिए सबसे प्रभावी होते हैं। वृत्ताकार लेखाचित्र (पाई चार्ट) संपूर्ण के हिस्सों को दिखाने के लिए और रैखिक लेखाचित्र (लाइन ग्राफ) समय के साथ रुझान दिखाने के लिए उपयुक्त होते हैं।
प्रश्न 6. बंटन 6, 1, 2, 3, 9, 8, 3, 4, 8, 2, 3 का परिसर (परास) होगा:
(A) 4
(B) 8
(C) 7
(D) 6
Answer: (B) 8
In simple words: दिए गए नंबरों में सबसे बड़ा नंबर 9 है और सबसे छोटा नंबर 1 है। जब हम इन दोनों नंबरों का अंतर निकालते हैं (9 - 1), तो हमें 8 मिलता है, जो इस बंटन का परिसर है।
🎯 Exam Tip: परिसर की गणना करते समय, हमेशा सुनिश्चित करें कि आपने डेटा सेट में सभी मानों को देखा है ताकि अधिकतम और न्यूनतम मानों की सही पहचान हो सके।
प्रश्न 7. यदि विचर का बंटन 5, 1, 5, 2, 3, 6, 5, 4 हो तो विचर 5 की बारम्बारता होगी :
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
Answer: (C) 3
In simple words: दिए गए नंबरों की सूची में, संख्या 5 तीन बार आती है। इसलिए, संख्या 5 की बारंबारता (कितनी बार वह दिखाई देती है) 3 है।
🎯 Exam Tip: बारम्बारता किसी विशेष डेटा मान या वर्ग अंतराल की घटना की संख्या है। इसे गिनने के लिए, बस उस मान को डेटासेट में कितनी बार देखा गया है, उसे गिन लें।
प्रश्न 8. 11, 2, 7, 8, 9, 3, 5 की माध्यिका होगी:
(A) 7
(B) 9
(C) 5
(D) 11
Answer: (A) 7
पदों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
2, 3, 5, 7, 8, 9, 11
यहाँ पदों की संख्या \( (N) = 7 \) है, जो कि विषम है।
माध्यिका \( = (\frac { N+1}{2}) \) वें पद का मान
\( = (\frac {7+1}{2}) \)
\( = \frac {8}{2} \)
\( = 4 \) वें पद का मान
\( 4 \) वें पद का मान \( = 7 \) है।
अतः माध्यिका \( = 7 \) है।
In simple words: माध्यिका ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले सभी संख्याओं को छोटे से बड़े क्रम में लगाओ। अगर संख्याओं की गिनती विषम है, तो बीच वाली संख्या ही माध्यिका होती है। यहाँ 7 संख्याएँ हैं, तो चौथी संख्या 7 ही बीच वाली संख्या है।
🎯 Exam Tip: माध्यिका की गणना करते समय, डेटा को हमेशा आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करना पहला और सबसे महत्वपूर्ण कदम होता है।
प्रश्न 9. 15, 0, 10, 5 का माध्य होगा:
Answer: दिए गए अंकों का योग \( = 15 + 0 + 10 + 5 = 30 \)
कुल अंक \( = 4 \)
माध्य \( = \frac {30}{4} \)
माध्य \( = 7.5 \)
In simple words: माध्य निकालने के लिए, सभी दी गई संख्याओं को आपस में जोड़ लो। फिर उस जोड़ को कुल संख्याओं की गिनती से भाग दे दो। जो उत्तर आएगा, वही माध्य होगा।
🎯 Exam Tip: माध्य (औसत) सभी डेटा बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाला एक एकल मान है और यह डेटा के केंद्र का माप है।
प्रश्न 10. 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4, 1 में बहुलक होगा:
(A) 1
(B) 2
(C) 5
(D) 4
Answer: (D) 4
In simple words: बहुलक वह संख्या होती है जो दिए गए डेटासेट में सबसे अधिक बार आती है। इस सूची में, संख्या 4 सबसे ज़्यादा बार (कुल 4 बार) आई है, इसलिए बहुलक 4 है।
🎯 Exam Tip: एक डेटासेट में एक से अधिक बहुलक हो सकते हैं (यदि दो या दो से अधिक मान समान अधिकतम बारंबारता के साथ आते हैं), या कोई बहुलक नहीं भी हो सकता है।
प्रश्न 11. बंटन 3, 2, 0, 10, 8, 5, 13, 5, 6, 6, 0, 14 से वर्ग अंतराल 0-5 की बारम्बारता लिखिए।
Answer:
| वर्ग अन्तराल | गणना चिह्न | बारम्बारता |
|---|---|---|
| 0-5 | |||| | 4 |
In simple words: वर्ग अंतराल 0-5 का मतलब है कि हमें उन सभी संख्याओं को गिनना है जो 0 से बड़ी या उसके बराबर हैं, लेकिन 5 से छोटी हैं (0, 1, 2, 3, 4)। दी गई सूची में, ये संख्याएँ 0, 0, 2, और 3 हैं। कुल 4 संख्याएँ हैं।
🎯 Exam Tip: वर्ग अंतराल की गणना करते समय, हमेशा ध्यान दें कि क्या अंतराल में निचली सीमा और ऊपरी सीमा शामिल हैं या नहीं। आमतौर पर, निचली सीमा शामिल होती है और ऊपरी सीमा शामिल नहीं होती है।
प्रश्न 12. यदि 5, 8, 4, 5, x, 6, 9 अंकों का माध्य 7 हो, तो x का मान ज्ञात करो।
Answer: माध्य का सूत्र है: \( \text{माध्य} = \frac { \text{सभी अंकों का योग} }{ \text{कुल अंकों की संख्या} } \)
यहां दिए गए अंक हैं: 5, 8, 4, x, 6, 9। (स्रोत के हल के अनुसार, अंकों की संख्या 6 मानी गई है)।
\( 7 = \frac { 5+8+4+x+6+9 }{ 6 } \)
\( 7 = \frac { 32+x }{ 6 } \)
अब दोनों तरफ 6 से गुणा करें:
\( 7 \times 6 = 32+x \)
\( 42 = 32+x \)
\( x = 42-32 \)
\( x = 10 \)
इस प्रकार, \( x \) का मान 10 है।
In simple words: अगर आपको कुछ संख्याओं का औसत पता है, और एक संख्या गायब है, तो पहले सभी दी गई संख्याओं को जोड़ो। फिर औसत को कुल संख्याओं की गिनती से गुणा करो। इस गुणा के परिणाम से पहले वाला जोड़ घटा दो, आपको गायब संख्या मिल जाएगी।
🎯 Exam Tip: अज्ञात मान वाले माध्य के प्रश्नों में, हमेशा पहले सभी ज्ञात मानों का योग करें, फिर सूत्र का उपयोग करके अज्ञात मान के लिए समीकरण को हल करें।
प्रश्न 14. आयत चित्र किसे कहते हैं?
Answer: आयत चित्र, वर्गीकृत और सतत बारम्बारता बंटन का एक आयतीय (आयताकार) निरूपण होता है। इसमें वर्गों के बीच कोई जगह नहीं होती क्योंकि यह सतत डेटा दर्शाता है। यह दिखाता है कि एक निश्चित सीमा में संख्याएँ कितनी बार आती हैं।
In simple words: आयत चित्र एक ख़ास तरह का ग्राफ होता है जो हमें दिखाता है कि कोई चीज़ लगातार कितनी बार हुई है। इसमें जुड़े हुए बक्से होते हैं, हर बक्सा एक वर्ग और उसकी गिनती (बारम्बारता) को दिखाता है।
🎯 Exam Tip: आयत चित्र का उपयोग हमेशा सतत डेटा (continuous data) को दर्शाने के लिए किया जाता है, जहाँ एक वर्ग अंतराल समाप्त होता है, वहीं से अगला शुरू होता है।
प्रश्न 15. 9, 7, 9, 8, 3, 9, 8, 3, 5, 7, 5, 3 की बारम्बारता सारणी बनाइए।
Answer: दिए गए आंकड़ों की बारम्बारता सारणी नीचे दी गई है। यह दिखाती है कि प्रत्येक संख्या कितनी बार आती है।
| x | 3 | 5 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|
| f | 3 | 2 | 2 | 2 | 3 |
🎯 Exam Tip: बारम्बारता सारणी बनाते समय, सुनिश्चित करें कि आपने डेटासेट में सभी मानों को शामिल किया है और उनकी सही बारम्बारता की गणना की है।
प्रश्न 16. किसी बारम्बारता बंटन का समान्तर माध्य 15 है तथा \( \sum f = 20 \) हो तो \( \sum fx \) का मान लिखो।
Answer: हम जानते हैं कि समान्तर माध्य का सूत्र है:
\( \text{समान्तर माध्य} = \frac { \sum fx }{ \sum f } \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( 15 = \frac { \sum fx }{ 20 } \)
\( \implies \sum fx = 15 \times 20 \)
\( \implies \sum fx = 300 \)
इसलिए, \( \sum fx \) का मान 300 है।
In simple words: अगर आपको औसत (माध्य) और कुल गिनती पता है, तो कुल जोड़ (सिग्मा fx) निकालने के लिए बस औसत को कुल गिनती से गुणा कर दो। यह एक सीधा गणित का नियम है।
🎯 Exam Tip: समान्तर माध्य, \( \sum fx \) और \( \sum f \) के बीच संबंध एक मूलभूत सूत्र है; इन तीनों में से कोई भी दो दिए होने पर तीसरा हमेशा ज्ञात किया जा सकता है।
प्रश्न 17. बंटन 5, 2, 3, 7, 5, 4, 3, 2, 1 की माध्यिका लिखिए।
Answer: पदों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 7
पदों की संख्या \( (N) = 9 \) जो कि विषम है।
माध्यिका \( = \frac { N+1}{2} \) वें पद का मान
\( = \frac {9+1}{2} \) वें पद का मान
\( = \frac {10}{2} \) वें पद का मान
\( = 5 \) वें पद का मान
5 वें पद का मान 3 है। इसलिए, माध्यिका 3 है।
In simple words: सभी संख्याओं को छोटे से बड़े क्रम में लिखो। चूँकि कुल संख्याएँ विषम हैं (9 संख्याएँ), ठीक बीच वाली संख्या (5वीं संख्या) ही माध्यिका होगी। यहाँ 5वीं संख्या 3 है।
🎯 Exam Tip: विषम संख्या वाले डेटासेट में माध्यिका हमेशा बीच का मान होता है। सुनिश्चित करें कि आप गिनते समय किसी भी मान को छोड़ न दें।
प्रश्न 18. बंटन 12, 1, 6, 4, 10, 8, 1, 4 की माध्यिका ज्ञात करो।
Answer: पदों को आरोही क्रम में रखने पर:
1, 1, 4, 4, 6, 8, 10, 12
पदों की संख्या \( (N) = 8 \), जो कि सम है।
माध्यिका \( = \frac { \frac{N}{2} \text{ वें पद का मान} + (\frac{N}{2} + 1) \text{ वें पद का मान} }{ 2 } \)
\( = \frac { \frac{8}{2} \text{ वें पद का मान} + (\frac{8}{2} + 1) \text{ वें पद का मान} }{ 2 } \)
\( = \frac { 4 \text{ वें पद का मान} + 5 \text{ वें पद का मान} }{ 2 } \)
\( = \frac { 4+6 }{ 2 } \)
\( = \frac {10}{2} \)
\( = 5 \)
अतः माध्यिका 5 है।
In simple words: पहले संख्याओं को छोटे से बड़े क्रम में लगाओ। अगर संख्याएँ सम गिनती में हैं, तो बीच की दो संख्याओं को जोड़कर उन्हें 2 से भाग दे दो। यहाँ 8 संख्याएँ हैं, तो चौथी और पाँचवीं संख्याओं (4 और 6) को जोड़कर 2 से भाग देने पर 5 मिलता है।
🎯 Exam Tip: सम संख्या वाले डेटासेट में माध्यिका हमेशा बीच के दो मानों का औसत होती है। संख्याओं को क्रम में लगाना इस गणना के लिए अनिवार्य है।
प्रश्न 19. बंटन 4, 3, 4, 1, 2, 4, 7, 5, 3 को बहुलक लिखिए।
Answer: दिए गए बंटन में संख्याओं की बारम्बारता (कितनी बार वे आती हैं) गिनने पर:
संख्या 1: 1 बार
संख्या 2: 1 बार
संख्या 3: 2 बार
संख्या 4: 3 बार
संख्या 5: 1 बार
संख्या 7: 1 बार
यहाँ, संख्या 4 सबसे अधिक बार, अर्थात् 3 बार आई है। इसलिए, बहुलक 4 होगा।
In simple words: बहुलक वह संख्या होती है जो किसी समूह में सबसे ज़्यादा बार दिखाई देती है। इस सूची में, संख्या 4 सबसे ज़्यादा बार आई है।
🎯 Exam Tip: बहुलक किसी डेटासेट में सबसे अधिक बारंबारता वाले मान को इंगित करता है। यदि सभी मानों की बारंबारता समान हो, तो कोई बहुलक नहीं होता है।
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