RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 15 सांख्यिकी Exercise 15.4

सांख्यिकी Ex 15.4

 

Question 1. एक टीम ने फुटबॉल के 10 मैचों में निम्नलिखित गोल किए: 2345013343 इन गोलों का माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात करो।
Answer: सबसे पहले, दिए गए गोलों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 0, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5. यह व्यवस्था डेटा को समझने में मदद करती है.
**माध्य (Mean):** सभी गोलों को जोड़ें और कुल मैचों की संख्या से भाग दें.
\( \text{माध्य} (\overline{x}) = \frac{\text{सभी प्रेक्षणों का योग}}{\text{प्रेक्षणों की कुल संख्या}} \)
\( = \frac{0+1+2+3+3+3+3+4+4+5}{10} = \frac{28}{10} = 2.8 \)
**माध्यक (Median):** क्योंकि प्रेक्षणों की संख्या (10) सम है, माध्यक 5वें और 6वें पद का औसत होगा.
5वां पद \( = 3 \)
6वां पद \( = 3 \)
माध्यक \( = \frac{3+3}{2} = 3 \)
**बहुलक (Mode):** बहुलक वह प्रेक्षण होता है जो सबसे अधिक बार आता है. यहाँ, '3' चार बार आया है, जो सबसे अधिक है.
बहुलक \( = 3 \)
इसलिए, माध्य \( = 2.8 \), माध्यक \( = 3 \), और बहुलक \( = 3 \).
In simple words: गोलों को सबसे छोटे से सबसे बड़े क्रम में लिखो। माध्य निकालने के लिए सारे गोलों को जोड़कर कुल मैचों से भाग दो। माध्यक बीच वाला नंबर होता है। बहुलक वो नंबर है जो सबसे ज़्यादा बार आया है।

🎯 Exam Tip: माध्य, माध्यक और बहुलक तीनों को हमेशा स्पष्ट रूप से लिखें, खासकर जब संख्याएँ समान हों.

 

Question 2. गणित की परीक्षा में 15 छात्रों ने (100 में से) निम्नलिखित अंक प्राप्त किए- 41 39 48 52 46 62 54 40 96 52 98 40 42 52 60. इन आँकड़ों के माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।
Answer: सबसे पहले, दिए गए अंकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 39, 40, 40, 41, 42, 46, 48, 52, 52, 52, 54, 60, 62, 96, 98. यह क्रम माध्यक और बहुलक निकालने में मदद करता है.
प्रेक्षणों की कुल संख्या \( N = 15 \) है.
**माध्य (Mean):**
\( \text{माध्य} (\overline{x}) = \frac{\text{सभी अंकों का योग}}{\text{छात्रों की कुल संख्या}} \)
\( = \frac{39+40+40+41+42+46+48+52+52+52+54+60+62+96+98}{15} \)
\( = \frac{822}{15} = 54.8 \)
**माध्यक (Median):** क्योंकि प्रेक्षणों की संख्या (15) विषम है, माध्यक \( \left(\frac{N+1}{2}\right) \)वें पद का मान होगा.
\( \text{माध्यक} = \left(\frac{15+1}{2}\right) \)वां पद \( = \frac{16}{2} \)वां पद \( = \) 8वां पद.
आरोही क्रम में 8वां पद 52 है.
तो, माध्यक \( = 52 \).
**बहुलक (Mode):** बहुलक वह अंक है जो सबसे अधिक बार आया है. आरोही क्रम में देखने पर, अंक '52' तीन बार आया है, जो सबसे अधिक है.
बहुलक \( = 52 \).
इसलिए, माध्य \( = 54.8 \), माध्यक \( = 52 \), और बहुलक \( = 52 \).
In simple words: पहले सारे अंकों को छोटे से बड़े क्रम में लिखो। माध्य के लिए सभी अंकों को जोड़कर 15 से भाग दो। माध्यक बीच वाला अंक होता है क्योंकि यहाँ 15 अंक हैं, तो 8वां अंक माध्यक होगा। बहुलक वो अंक है जो लिस्ट में सबसे ज़्यादा बार आया है।

🎯 Exam Tip: जब डेटा सेट में विषम संख्या में प्रेक्षण हों, तो माध्यक ठीक बीच वाला मान होता है जिसे आसानी से आरोही क्रम में देखकर पता लगाया जा सकता है.

 

Question 3. निम्नलिखित प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया गया है। यदि आँकड़ों का माध्यक 63 हो तो x का मान ज्ञात करो। 29 32 48 50 x x + 2 72 78 84 95
Answer: दिए गए प्रेक्षणों को पहले से ही आरोही क्रम में व्यवस्थित किया गया है.
प्रेक्षणों की कुल संख्या \( n = 10 \) है, जो एक सम संख्या है.
जब प्रेक्षणों की संख्या सम होती है, तो माध्यक बीच के दो पदों का औसत होता है: \( \left(\frac{n}{2}\right) \)वां पद और \( \left(\frac{n}{2}+1\right) \)वां पद.
यहाँ, 5वां पद \( = x \) और 6वां पद \( = x+2 \) हैं.
माध्यक \( = \frac{\text{5वाँ पद} + \text{6वाँ पद}}{2} \)
\( = \frac{x + (x+2)}{2} \)
हमें माध्यक 63 दिया गया है, तो:
\( 63 = \frac{x + x + 2}{2} \)
\( \implies 63 = \frac{2x + 2}{2} \)
\( \implies 63 = x + 1 \)
\( \implies x = 63 - 1 \)
\( \implies x = 62 \)
अतः, \( x \) का मान 62 है. यह मान दिए गए क्रम को सही रखता है.
In simple words: जब संख्याओं की लिस्ट को छोटे से बड़े क्रम में लिखा हो और उनकी गिनती सम हो, तो बीच के दो नंबरों को जोड़कर दो से भाग देने पर माध्यक मिलता है। हमें माध्यक 63 दिया है, तो इससे हम 'x' का मान 62 निकाल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: माध्यक के लिए हमेशा यह जांचें कि प्रेक्षणों की संख्या सम है या विषम, क्योंकि इसके आधार पर माध्यक निकालने का सूत्र बदल जाता है.

 

Question 4. आँकड़ों 14, 25, 14, 28, 18, 17, 18, 14, 23, 22, 14, 18 का बहुलक ज्ञात कीजिए।
Answer: बहुलक वह मान होता है जो दिए गए आँकड़ों में सबसे अधिक बार आता है.
सबसे पहले, दिए गए आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
14, 14, 14, 14, 17, 18, 18, 18, 22, 23, 25, 28.
अब, प्रत्येक मान कितनी बार आया है, यह गिनते हैं:
* 14: 4 बार
* 17: 1 बार
* 18: 3 बार
* 22: 1 बार
* 23: 1 बार
* 25: 1 बार
* 28: 1 बार
सबसे अधिक बार आने वाला मान 14 है, जो 4 बार आया है. यह डेटा सेट में सबसे प्रमुख संख्या है.
अतः, दिए गए आँकड़ों का बहुलक \( = 14 \).
In simple words: बहुलक का मतलब है वो संख्या जो लिस्ट में सबसे ज़्यादा बार आती है। पहले सभी संख्याओं को सही क्रम में लगाओ, फिर देखो कि कौन सी संख्या सबसे ज़्यादा बार आई है। वही बहुलक है।

🎯 Exam Tip: बहुलक निकालने के लिए, डेटा को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करना सहायक होता है, जिससे आप आसानी से सबसे अधिक बारंबारता वाले मान को पहचान सकते हैं.

 

Question 5. निम्न सारणी से एक फैक्ट्री में काम कर रहे 60 कर्मचारियों का माध्य वेतन ज्ञात कीजिए।
Answer: कर्मचारियों का माध्य वेतन ज्ञात करने के लिए, हमें प्रत्येक वेतन वर्ग (\( x_i \)) को संबंधित कर्मचारियों की संख्या (बारंबारता \( f_i \)) से गुणा करना होगा, और फिर इन सभी उत्पादों को जोड़ना होगा \( (\sum f_i x_i) \). फिर इस योग को कुल कर्मचारियों की संख्या \( (\sum f_i) \) से भाग देना होगा. यह विधि एक समूह के औसत को दर्शाती है.
यहां दी गई सारणी है:

माध्य वेतन \( \overline{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \)
\( \overline{x} = \frac{305000}{60} = \frac{15250}{3} \)
\( \overline{x} \approx 5083.33 \)
इसलिए, फैक्ट्री के कर्मचारियों का माध्य वेतन लगभग Rs. 5083.33 है.
In simple words: माध्य वेतन निकालने के लिए, पहले हर वेतन को उससे कमाने वाले कर्मचारियों की संख्या से गुणा करो। फिर इन सभी गुणाफलों को एक साथ जोड़ो। इस कुल जोड़ को सभी कर्मचारियों की कुल संख्या से भाग दे दो। इससे हमें कर्मचारियों का औसत वेतन पता चल जाएगा।

🎯 Exam Tip: माध्य वेतन (या माध्य) की गणना करते समय, हमेशा सुनिश्चित करें कि आप \( f_i x_i \) के योग को \( f_i \) के योग से भाग दे रहे हैं, न कि कुल पदों की संख्या से, जैसा कि साधारण माध्य में होता है.