RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 14 न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात Exercise 14.3

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 14 न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात Ex 14.3

निम्न सर्वसमिकाओं को सिद्ध कीजिए

Question 1. \( \cos\theta \cdot \tan\theta = \sin\theta \)
Answer:
\( \text{LHS} = \cos\theta \cdot \tan\theta \)
हम जानते हैं कि \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \) होता है।
\( \implies \cos\theta \cdot \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \)
यहाँ, \( \cos\theta \) अंश और हर दोनों में है, इसलिए इसे रद्द किया जा सकता है।
\( \implies \sin\theta \)
यह \( \text{RHS} \) के बराबर है।
इसलिए, यह सिद्ध हो गया है।
In simple words: हमें यह दिखाना है कि \( \cos\theta \) को \( \tan\theta \) से गुणा करने पर \( \sin\theta \) आता है। \( \tan\theta \) को \( \sin\theta \) बटा \( \cos\theta \) लिखने पर, \( \cos\theta \) कट जाता है और \( \sin\theta \) ही बचता है।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को सिद्ध करते समय, आमतौर पर \( \text{LHS} \) से शुरू करके उसे \( \text{RHS} \) के बराबर सिद्ध करना सबसे आसान तरीका होता है। हमेशा \( \tan\theta, \cot\theta, \sec\theta, \operatorname{cosec}\theta \) को \( \sin\theta \) और \( \cos\theta \) के पदों में व्यक्त करने का प्रयास करें।

Question 2. \( (1 - \sin^2\theta) \tan^2\theta = \sin^2\theta \)
Answer:
\( \text{LHS} = (1 - \sin^2\theta) \tan^2\theta \)
हम जानते हैं कि \( 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta \) होता है। यह एक मूल त्रिकोणमितीय पहचान है।
\( \implies \cos^2\theta \cdot \tan^2\theta \)
अब, हम \( \tan^2\theta \) को \( \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \) के रूप में लिख सकते हैं।
\( \implies \cos^2\theta \cdot \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \)
यहाँ, \( \cos^2\theta \) अंश और हर दोनों में है, इसलिए इसे रद्द किया जा सकता है।
\( \implies \sin^2\theta \)
यह \( \text{RHS} \) के बराबर है।
इसलिए, यह सिद्ध हो गया है।
In simple words: हमें दिखाना है कि \( (1 - \sin^2\theta) \) को \( \tan^2\theta \) से गुणा करने पर \( \sin^2\theta \) आता है। \( (1 - \sin^2\theta) \) को \( \cos^2\theta \) में बदलें, फिर \( \tan^2\theta \) को \( \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \) में बदलें। \( \cos^2\theta \) कट जाएगा और \( \sin^2\theta \) बचेगा।

🎯 Exam Tip: पाइथागोरस त्रिकोणमितीय पहचानों (जैसे \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)) को याद रखना महत्वपूर्ण है, क्योंकि वे कई सर्वसमिकाओं को सरल बनाने में मदद करती हैं।

Question 3. \( \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta} + \sin\theta = \operatorname{cosec}\theta \)
Answer:
\( \text{LHS} = \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta} + \sin\theta \)
दूसरे पद \( \sin\theta \) को \( \frac{\sin\theta}{1} \) के रूप में लिखकर, हम दोनों पदों का सामान्य हर \( \sin\theta \) प्राप्त कर सकते हैं।
\( \implies \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta} + \frac{\sin\theta \cdot \sin\theta}{1 \cdot \sin\theta} \)
\( \implies \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\sin\theta} \)
हम जानते हैं कि त्रिकोणमिति में \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) होता है। यह एक मूल पहचान है।
\( \implies \frac{1}{\sin\theta} \)
हम यह भी जानते हैं कि \( \frac{1}{\sin\theta} = \operatorname{cosec}\theta \) होता है।
\( \implies \operatorname{cosec}\theta \)
यह \( \text{RHS} \) के बराबर है।
इसलिए, यह सिद्ध हो गया है।
In simple words: हमें \( \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta} \) में \( \sin\theta \) को जोड़ना है और दिखाना है कि यह \( \operatorname{cosec}\theta \) के बराबर है। \( \sin\theta \) का हर \( \sin\theta \) बनाने के लिए उसे \( \frac{\sin^2\theta}{\sin\theta} \) लिखें। फिर, \( \cos^2\theta + \sin^2\theta \) को 1 से बदल दें। अंत में, \( \frac{1}{\sin\theta} \) को \( \operatorname{cosec}\theta \) में बदल दें।

🎯 Exam Tip: भिन्न वाली समस्याओं में, सामान्य हर ज्ञात करना और मूल त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करना अक्सर समाधान की ओर ले जाता है।

Question 4. \( (\sin\theta + \cos\theta)^2 + (\sin\theta - \cos\theta)^2 = 2 \)
Answer:
\( \text{LHS} = (\sin\theta + \cos\theta)^2 + (\sin\theta - \cos\theta)^2 \)
हम \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) और \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) के सूत्रों का उपयोग करेंगे।
पहले भाग के लिए \( a = \sin\theta \) और \( b = \cos\theta \) लेते हैं:
\( (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta \)
दूसरे भाग के लिए \( a = \sin\theta \) और \( b = \cos\theta \) लेते हैं:
\( (\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta \)
अब इन दोनों को जोड़ते हैं:
\( \text{LHS} = (\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) + (\sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) \)
\( \implies \sin^2\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta + \cos^2\theta \)
यहाँ, \( 2\sin\theta\cos\theta \) और \( -2\sin\theta\cos\theta \) एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।
हम जानते हैं कि \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) होता है।
\( \implies 1 + 1 \)
\( \implies 2 \)
यह \( \text{RHS} \) के बराबर है।
इसलिए, यह सिद्ध हो गया है।
In simple words: हमें दो वर्गों के जोड़ को 2 के बराबर दिखाना है। पहले \( (\sin\theta + \cos\theta)^2 \) और \( (\sin\theta - \cos\theta)^2 \) को \( (a+b)^2 \) और \( (a-b)^2 \) सूत्रों से खोलें। \( 2\sin\theta\cos\theta \) वाले पद कट जाएंगे, और दो बार \( (\sin^2\theta + \cos^2\theta) \) बचेगा। \( (\sin^2\theta + \cos^2\theta) \) का मान 1 होता है, तो \( 1+1=2 \) हो जाएगा।

🎯 Exam Tip: \( (a+b)^2 \) और \( (a-b)^2 \) जैसी बीजगणितीय पहचानों का उपयोग त्रिकोणमिति में बहुत आम है। इन सूत्रों को अच्छे से याद रखें।

Question 5. \( \operatorname{cosec}^6\theta - \cot^6\theta = 1 + 3\operatorname{cosec}^2\theta \cot^2\theta \)
Answer:
\( \text{LHS} = \operatorname{cosec}^6\theta - \cot^6\theta \)
हम इसे \( (\operatorname{cosec}^2\theta)^3 - (\cot^2\theta)^3 \) के रूप में लिख सकते हैं।
हम जानते हैं कि \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \) होता है।
यहाँ \( a = \operatorname{cosec}^2\theta \) और \( b = \cot^2\theta \) है।
\( \implies (\operatorname{cosec}^2\theta - \cot^2\theta) ((\operatorname{cosec}^2\theta)^2 + \operatorname{cosec}^2\theta \cot^2\theta + (\cot^2\theta)^2) \)
हमें पता है कि \( \operatorname{cosec}^2\theta - \cot^2\theta = 1 \) होता है। इस पहचान का प्रयोग करें।
\( \implies 1 \cdot ((\operatorname{cosec}^2\theta)^2 + \operatorname{cosec}^2\theta \cot^2\theta + (\cot^2\theta)^2) \)
\( \implies \operatorname{cosec}^4\theta + \operatorname{cosec}^2\theta \cot^2\theta + \cot^4\theta \)
हम जानते हैं कि \( a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab \) होता है।
\( \implies (\operatorname{cosec}^2\theta + \cot^2\theta)^2 - 2\operatorname{cosec}^2\theta \cot^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta \cot^2\theta \)
\( \implies (\operatorname{cosec}^2\theta + \cot^2\theta)^2 - \operatorname{cosec}^2\theta \cot^2\theta \)
अब, \( \operatorname{cosec}^2\theta = 1 + \cot^2\theta \) का उपयोग करें।
\( \implies (1 + \cot^2\theta + \cot^2\theta)^2 - \operatorname{cosec}^2\theta \cot^2\theta \)
\( \implies (1 + 2\cot^2\theta)^2 - \operatorname{cosec}^2\theta \cot^2\theta \)
\( \implies 1 + 4\cot^2\theta + 4\cot^4\theta - \operatorname{cosec}^2\theta \cot^2\theta \) (यह तरीका मुश्किल है, दूसरे तरीके से करते हैं)
एक और तरीका है: \( a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) \)
यहाँ \( a = \operatorname{cosec}^2\theta \) और \( b = \cot^2\theta \) है।
\( \text{LHS} = (\operatorname{cosec}^2\theta - \cot^2\theta)^3 + 3\operatorname{cosec}^2\theta \cot^2\theta (\operatorname{cosec}^2\theta - \cot^2\theta) \)
हम जानते हैं कि \( \operatorname{cosec}^2\theta - \cot^2\theta = 1 \) होता है।
\( \implies (1)^3 + 3\operatorname{cosec}^2\theta \cot^2\theta (1) \)
\( \implies 1 + 3\operatorname{cosec}^2\theta \cot^2\theta \)
यह \( \text{RHS} \) के बराबर है।
इसलिए, यह सिद्ध हो गया है।
In simple words: हमें \( \operatorname{cosec}^6\theta - \cot^6\theta \) को \( 1 + 3\operatorname{cosec}^2\theta \cot^2\theta \) के बराबर दिखाना है। इसे \( (\operatorname{cosec}^2\theta)^3 - (\cot^2\theta)^3 \) के रूप में लिखें। फिर \( a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) \) सूत्र का उपयोग करें। क्योंकि \( \operatorname{cosec}^2\theta - \cot^2\theta \) का मान 1 होता है, यह सूत्र सीधा समाधान देता है।

🎯 Exam Tip: घन के अंतर \( a^3 - b^3 \) के लिए दो अलग-अलग सूत्र हैं: \( (a-b)(a^2+ab+b^2) \) और \( (a-b)^3+3ab(a-b) \)। समस्या की प्रकृति के आधार पर सही सूत्र का चयन करें। जब \( (a-b) \) का मान सरल हो, तो दूसरा सूत्र अधिक प्रभावी होता है।

Question 6. \( \sin^2\theta \cos\theta + \tan\theta \sin\theta + \cos^3\theta = \sec\theta \)
Answer:
\( \text{LHS} = \sin^2\theta \cos\theta + \tan\theta \sin\theta + \cos^3\theta \)
पहले और तीसरे पद को एक साथ समूहबद्ध करें और \( \cos\theta \) को उभयनिष्ठ लें।
\( \implies \cos\theta(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + \tan\theta \sin\theta \)
हम जानते हैं कि \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) होता है।
\( \implies \cos\theta(1) + \tan\theta \sin\theta \)
\( \implies \cos\theta + \tan\theta \sin\theta \)
अब \( \tan\theta \) को \( \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \) में बदलें। यह त्रिकोणमितीय अनुपातों को सरल बनाने में मदद करेगा।
\( \implies \cos\theta + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \cdot \sin\theta \)
\( \implies \cos\theta + \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \)
इन पदों को जोड़ने के लिए सामान्य हर \( \cos\theta \) लें।
\( \implies \frac{\cos^2\theta}{\cos\theta} + \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \)
\( \implies \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos\theta} \)
फिर से, \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) का उपयोग करें।
\( \implies \frac{1}{\cos\theta} \)
हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta \) होता है।
\( \implies \sec\theta \)
यह \( \text{RHS} \) के बराबर है।
इसलिए, यह सिद्ध हो गया है।
In simple words: हमें \( \sin^2\theta \cos\theta + \tan\theta \sin\theta + \cos^3\theta \) को \( \sec\theta \) के बराबर दिखाना है। \( \sin^2\theta \cos\theta \) और \( \cos^3\theta \) से \( \cos\theta \) कॉमन लें, तो \( (\sin^2\theta + \cos^2\theta) \) बचेगा जो कि 1 होता है। फिर \( \tan\theta \) को \( \sin\theta/\cos\theta \) में बदलकर भिन्न को सरल करें। आखिर में \( \frac{1}{\cos\theta} \) बचेगा, जो \( \sec\theta \) होता है।

🎯 Exam Tip: जब एक त्रिकोणमितीय व्यंजक में कई पद हों, तो पदों को समूहबद्ध करके या सामान्य कारकों को बाहर निकालकर सरल करना एक अच्छी रणनीति है। \( \tan\theta \) को हमेशा \( \sin\theta/\cos\theta \) में बदलना एक सामान्य प्रारंभिक कदम है।

Question 7. \( \frac{\cos\theta}{1-\tan\theta} + \frac{\sin\theta}{1-\cot\theta} = \sin\theta + \cos\theta \)
Answer:
\( \text{LHS} = \frac{\cos\theta}{1-\tan\theta} + \frac{\sin\theta}{1-\cot\theta} \)
\( \tan\theta \) और \( \cot\theta \) को \( \sin\theta \) और \( \cos\theta \) के पदों में व्यक्त करें।
\( \implies \frac{\cos\theta}{1-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}} + \frac{\sin\theta}{1-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}} \)
हर में भिन्न को सरल करें।
\( \implies \frac{\cos\theta}{\frac{\cos\theta - \sin\theta}{\cos\theta}} + \frac{\sin\theta}{\frac{\sin\theta - \cos\theta}{\sin\theta}} \)
अब भिन्न को पलट कर गुणा करें।
\( \implies \frac{\cos^2\theta}{\cos\theta - \sin\theta} + \frac{\sin^2\theta}{\sin\theta - \cos\theta} \)
दूसरे पद के हर से \( -1 \) को उभयनिष्ठ लें ताकि हर पहले पद के समान हो जाए।
\( \implies \frac{\cos^2\theta}{\cos\theta - \sin\theta} + \frac{\sin^2\theta}{-(\cos\theta - \sin\theta)} \)
\( \implies \frac{\cos^2\theta}{\cos\theta - \sin\theta} - \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta - \sin\theta} \)
अब हर समान हैं, इसलिए अंशों को घटाएं।
\( \implies \frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\cos\theta - \sin\theta} \)
अंश में \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) सूत्र का उपयोग करें।
\( \implies \frac{(\cos\theta - \sin\theta)(\cos\theta + \sin\theta)}{\cos\theta - \sin\theta} \)
\( (\cos\theta - \sin\theta) \) पद को रद्द करें।
\( \implies \cos\theta + \sin\theta \)
यह \( \text{RHS} \) के बराबर है।
इसलिए, यह सिद्ध हो गया है।
In simple words: हमें \( \frac{\cos\theta}{1-\tan\theta} + \frac{\sin\theta}{1-\cot\theta} \) को \( \sin\theta + \cos\theta \) के बराबर दिखाना है। पहले \( \tan\theta \) और \( \cot\theta \) को \( \sin\theta \) और \( \cos\theta \) में बदलें। फिर हरों को सरल करके एक जैसा बनाएं। जब हर एक जैसे हो जाएं, तो अंशों को हल करें। \( (\cos^2\theta - \sin^2\theta) \) को \( (\cos\theta - \sin\theta)(\cos\theta + \sin\theta) \) में बदलें, जिससे पद कट जाएंगे और \( \sin\theta + \cos\theta \) बचेगा।

🎯 Exam Tip: जब हरों में \( (a-b) \) और \( (b-a) \) जैसे पद हों, तो एक पद से \( -1 \) को उभयनिष्ठ लेना अक्सर हरों को समान बनाने और समस्या को सरल करने का एक प्रभावी तरीका होता है।

Question 8. \( \frac{\operatorname{cosec}\theta}{\operatorname{cosec}\theta-1} + \frac{\operatorname{cosec}\theta}{\operatorname{cosec}\theta+1} = 2\sec^2\theta \)
Answer:
\( \text{LHS} = \frac{\operatorname{cosec}\theta}{\operatorname{cosec}\theta-1} + \frac{\operatorname{cosec}\theta}{\operatorname{cosec}\theta+1} \)
\( \operatorname{cosec}\theta \) को दोनों पदों से उभयनिष्ठ लें।
\( \implies \operatorname{cosec}\theta \left( \frac{1}{\operatorname{cosec}\theta-1} + \frac{1}{\operatorname{cosec}\theta+1} \right) \)
कोष्ठक के अंदर के भिन्नों को जोड़ें, सामान्य हर \( (\operatorname{cosec}\theta-1)(\operatorname{cosec}\theta+1) \) लेते हुए।
\( \implies \operatorname{cosec}\theta \left( \frac{(\operatorname{cosec}\theta+1) + (\operatorname{cosec}\theta-1)}{(\operatorname{cosec}\theta-1)(\operatorname{cosec}\theta+1)} \right) \)
अंश को सरल करें: \( \operatorname{cosec}\theta+1+\operatorname{cosec}\theta-1 = 2\operatorname{cosec}\theta \)
हर को सरल करें: \( (\operatorname{cosec}\theta-1)(\operatorname{cosec}\theta+1) = \operatorname{cosec}^2\theta - 1^2 = \operatorname{cosec}^2\theta - 1 \)
\( \implies \operatorname{cosec}\theta \left( \frac{2\operatorname{cosec}\theta}{\operatorname{cosec}^2\theta - 1} \right) \)
हम जानते हैं कि \( \operatorname{cosec}^2\theta - 1 = \cot^2\theta \) होता है।
\( \implies \operatorname{cosec}\theta \left( \frac{2\operatorname{cosec}\theta}{\cot^2\theta} \right) \)
\( \implies \frac{2\operatorname{cosec}^2\theta}{\cot^2\theta} \)
अब \( \operatorname{cosec}\theta = \frac{1}{\sin\theta} \) और \( \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \) का उपयोग करें।
\( \implies \frac{2 \left(\frac{1}{\sin\theta}\right)^2}{\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)^2} \)
\( \implies \frac{2 \frac{1}{\sin^2\theta}}{\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}} \)
\( \implies 2 \cdot \frac{1}{\sin^2\theta} \cdot \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \)
\( \sin^2\theta \) पद रद्द करें।
\( \implies \frac{2}{\cos^2\theta} \)
हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta \) होता है।
\( \implies 2\sec^2\theta \)
यह \( \text{RHS} \) के बराबर है।
इसलिए, यह सिद्ध हो गया है।
In simple words: हमें \( \frac{\operatorname{cosec}\theta}{\operatorname{cosec}\theta-1} + \frac{\operatorname{cosec}\theta}{\operatorname{cosec}\theta+1} \) को \( 2\sec^2\theta \) के बराबर दिखाना है। पहले \( \operatorname{cosec}\theta \) को उभयनिष्ठ लें। फिर कोष्ठक के अंदर के भिन्नों को जोड़ें। हर को \( \operatorname{cosec}^2\theta-1 \) के रूप में सरल करें, जो \( \cot^2\theta \) होता है। अंत में, सभी को \( \sin\theta \) और \( \cos\theta \) में बदलकर \( \frac{2}{\cos^2\theta} \) प्राप्त करें, जो \( 2\sec^2\theta \) के बराबर है।

🎯 Exam Tip: \( (a-b)(a+b) = a^2-b^2 \) सूत्र का उपयोग करके हर को सरल करना और फिर \( \operatorname{cosec}^2\theta - \cot^2\theta = 1 \) या \( 1+\cot^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta \) जैसी पहचानों को लागू करना अक्सर ऐसे प्रश्नों को हल करने की कुंजी होता है।

Question 9. \( \sqrt{\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}} = \frac{1-\sin\theta}{\cos\theta} \)
Answer:
\( \text{LHS} = \sqrt{\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}} \)
वर्गमूल के अंदर, अंश और हर को \( (1-\sin\theta) \) से गुणा करें ताकि हर से वर्गमूल हट जाए (परिमेयकरण)।
\( \implies \sqrt{\frac{(1-\sin\theta)(1-\sin\theta)}{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)}} \)
अंश में \( (1-\sin\theta)^2 \) और हर में \( (1^2 - \sin^2\theta) \) प्राप्त होता है, क्योंकि \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) होता है।
\( \implies \sqrt{\frac{(1-\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta}} \)
हम जानते हैं कि \( 1-\sin^2\theta = \cos^2\theta \) होता है।
\( \implies \sqrt{\frac{(1-\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}} \)
अब वर्गमूल लें। चूंकि अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग हैं, हम उन्हें वर्गमूल से बाहर निकाल सकते हैं।
\( \implies \frac{\sqrt{(1-\sin\theta)^2}}{\sqrt{\cos^2\theta}} \)
\( \implies \frac{1-\sin\theta}{\cos\theta} \)
यह \( \text{RHS} \) के बराबर है।
इसलिए, यह सिद्ध हो गया है।
In simple words: हमें वर्गमूल \( \sqrt{\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}} \) को \( \frac{1-\sin\theta}{\cos\theta} \) के बराबर दिखाना है। वर्गमूल के अंदर के भिन्न को \( (1-\sin\theta) \) से ऊपर और नीचे गुणा करें। इससे अंश में \( (1-\sin\theta)^2 \) और हर में \( (1-\sin^2\theta) \) मिलेगा। \( (1-\sin^2\theta) \) को \( \cos^2\theta \) से बदलें। फिर वर्गमूल हटा दें, जिससे हमें \( \frac{1-\sin\theta}{\cos\theta} \) मिलेगा।

🎯 Exam Tip: जब वर्गमूल के अंदर भिन्न हो, तो हर का परिमेयकरण करना एक महत्वपूर्ण कदम है। इसमें अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करना शामिल है।

Question 11. \( \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} + \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta} = 2\operatorname{cosec}\theta \)
Answer:
\( \text{LHS} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} + \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta} \)
भिन्नों को जोड़ने के लिए, सामान्य हर \( \sin\theta(1+\cos\theta) \) लें।
\( \implies \frac{\sin\theta \cdot \sin\theta + (1+\cos\theta)(1+\cos\theta)}{\sin\theta(1+\cos\theta)} \)
\( \implies \frac{\sin^2\theta + (1+\cos\theta)^2}{\sin\theta(1+\cos\theta)} \)
अंश में \( (1+\cos\theta)^2 \) का विस्तार करें, जो \( 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta \) होता है।
\( \implies \frac{\sin^2\theta + 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)} \)
अंश में \( \sin^2\theta + \cos^2\theta \) को एक साथ समूहित करें, जो 1 के बराबर होता है।
\( \implies \frac{(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + 1 + 2\cos\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)} \)
\( \implies \frac{1 + 1 + 2\cos\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)} \)
\( \implies \frac{2 + 2\cos\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)} \)
अंश से 2 को उभयनिष्ठ लें।
\( \implies \frac{2(1+\cos\theta)}{\sin\theta(1+\cos\theta)} \)
\( (1+\cos\theta) \) पद को रद्द करें।
\( \implies \frac{2}{\sin\theta} \)
हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\sin\theta} = \operatorname{cosec}\theta \) होता है।
\( \implies 2\operatorname{cosec}\theta \)
यह \( \text{RHS} \) के बराबर है।
इसलिए, यह सिद्ध हो गया है।
In simple words: हमें \( \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} + \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta} \) को \( 2\operatorname{cosec}\theta \) के बराबर दिखाना है। पहले भिन्नों को एक साथ जोड़ने के लिए एक सामान्य हर ज्ञात करें। फिर अंश को सरल करें, \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) का उपयोग करें, और उभयनिष्ठ पद \( (1+\cos\theta) \) को रद्द करें। अंत में \( \frac{2}{\sin\theta} \) बचेगा, जो \( 2\operatorname{cosec}\theta \) होता है।

🎯 Exam Tip: भिन्न वाली समस्याओं में, सामान्य हर लेकर जोड़ना या घटाना अक्सर पहला कदम होता है। \( (a+b)^2 \) जैसे बीजगणितीय विस्तारों और \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) जैसी त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करना न भूलें।

Question 12. \( \sqrt{\frac{\sec\theta+1}{\sec\theta-1}} = \cot\theta + \operatorname{cosec}\theta \)
Answer:
\( \text{LHS} = \sqrt{\frac{\sec\theta+1}{\sec\theta-1}} \)
वर्गमूल के अंदर, अंश और हर को \( (\sec\theta+1) \) से गुणा करें ताकि हर से वर्गमूल हट जाए।
\( \implies \sqrt{\frac{(\sec\theta+1)(\sec\theta+1)}{(\sec\theta-1)(\sec\theta+1)}} \)
अंश में \( (\sec\theta+1)^2 \) और हर में \( (\sec^2\theta - 1^2) \) प्राप्त होता है।
\( \implies \sqrt{\frac{(\sec\theta+1)^2}{\sec^2\theta-1}} \)
हम जानते हैं कि \( \sec^2\theta-1 = \tan^2\theta \) होता है।
\( \implies \sqrt{\frac{(\sec\theta+1)^2}{\tan^2\theta}} \)
अब वर्गमूल लें।
\( \implies \frac{\sec\theta+1}{\tan\theta} \)
इस पद को अलग-अलग लिखें: \( \frac{\sec\theta}{\tan\theta} + \frac{1}{\tan\theta} \)
अब \( \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \) और \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \) का उपयोग करें।
\( \implies \frac{\frac{1}{\cos\theta}}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}} + \frac{1}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}} \)
पहले पद को सरल करें: \( \frac{1}{\cos\theta} \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\sin\theta} \)
दूसरे पद को सरल करें: \( \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \)
\( \implies \frac{1}{\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \)
हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\sin\theta} = \operatorname{cosec}\theta \) और \( \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cot\theta \) होता है।
\( \implies \operatorname{cosec}\theta + \cot\theta \)
इसे \( \cot\theta + \operatorname{cosec}\theta \) के रूप में भी लिखा जा सकता है।
यह \( \text{RHS} \) के बराबर है।
इसलिए, यह सिद्ध हो गया है।
In simple words: हमें वर्गमूल \( \sqrt{\frac{\sec\theta+1}{\sec\theta-1}} \) को \( \cot\theta + \operatorname{cosec}\theta \) के बराबर दिखाना है। पहले वर्गमूल के अंदर के भिन्न को \( (\sec\theta+1) \) से गुणा करके परिमेयकरण करें। इससे अंश में \( (\sec\theta+1)^2 \) और हर में \( \sec^2\theta-1 \) मिलेगा। \( \sec^2\theta-1 \) को \( \tan^2\theta \) से बदलें, फिर वर्गमूल हटा दें। हमें \( \frac{\sec\theta+1}{\tan\theta} \) मिलेगा, जिसे \( \frac{\sec\theta}{\tan\theta} + \frac{1}{\tan\theta} \) में तोड़ें। सभी को \( \sin\theta \) और \( \cos\theta \) में बदलकर सरल करें, जिससे \( \operatorname{cosec}\theta + \cot\theta \) मिलेगा।

🎯 Exam Tip: जब \( \sec\theta \) और \( \tan\theta \) या \( \operatorname{cosec}\theta \) और \( \cot\theta \) शामिल हों, तो उन्हें \( \sin\theta \) और \( \cos\theta \) के पदों में बदलना अक्सर समस्या को हल करने का एक अच्छा तरीका होता है, खासकर जब परिमेयकरण के बाद सरलीकरण की आवश्यकता हो।

Question 13. \( \frac{\sqrt{\operatorname{cosec}^2\theta-1}}{\operatorname{cosec}\theta} = \cot\theta \)
Answer:
\( \text{LHS} = \frac{\sqrt{\operatorname{cosec}^2\theta-1}}{\operatorname{cosec}\theta} \)
हम जानते हैं कि \( \operatorname{cosec}^2\theta - 1 = \cot^2\theta \) होता है। यह एक मूल त्रिकोणमितीय पहचान है।
\( \implies \frac{\sqrt{\cot^2\theta}}{\operatorname{cosec}\theta} \)
वर्गमूल को सरल करें: \( \sqrt{\cot^2\theta} = \cot\theta \)
\( \implies \frac{\cot\theta}{\operatorname{cosec}\theta} \)
अब \( \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \) और \( \operatorname{cosec}\theta = \frac{1}{\sin\theta} \) का उपयोग करें।
\( \implies \frac{\frac{\cos\theta}{\sin\theta}}{\frac{1}{\sin\theta}} \)
भिन्न को सरल करें: अंश को हर के व्युत्क्रम से गुणा करें।
\( \implies \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \cdot \sin\theta \)
\( \sin\theta \) पद रद्द करें।
\( \implies \cos\theta \)
यह \( \text{RHS} \) के बराबर नहीं है। प्रश्न में कुछ त्रुटि प्रतीत होती है या इसका \( \cot\theta \) नहीं \( \cos\theta \) होना चाहिए था। यदि प्रश्न \( \frac{\sqrt{\operatorname{cosec}^2\theta-1}}{\operatorname{cosec}\theta} = \cos\theta \) होता, तो यह सिद्ध हो जाता। दिए गए \( \text{RHS} = \cot\theta \) के अनुसार हल करने पर।
यदि \( \text{RHS} \) \( \cot\theta \) है, तो \( \frac{\sqrt{\operatorname{cosec}^2\theta-1}}{\operatorname{cosec}\theta} = \frac{\cot\theta}{\operatorname{cosec}\theta} = \frac{\cos\theta/\sin\theta}{1/\sin\theta} = \cos\theta \) होता है।
यह एक स्पष्ट विसंगति है, क्योंकि \( \cos\theta \neq \cot\theta \) होता है। दिए गए प्रश्न और हल के अनुसार \( \text{RHS} \) \( \cot\theta \) होना चाहिए था, जबकि सरलीकरण से \( \cos\theta \) प्राप्त होता है।
हम दिए गए प्रश्न को मानते हुए, इसका समाधान \( \cos\theta \) आता है। यह दर्शाता है कि प्रश्न में या अपेक्षित उत्तर में एक त्रुटि है।
हम केवल दिए गए गणितीय चरणों का पालन करेंगे।
\( \text{LHS} = \frac{\sqrt{\operatorname{cosec}^2\theta-1}}{\operatorname{cosec}\theta} \)
\( \implies \frac{\cot\theta}{\operatorname{cosec}\theta} \)
\( \implies \frac{\cos\theta/\sin\theta}{1/\sin\theta} \)
\( \implies \cos\theta \)
यदि प्रश्न को वास्तव में \( \cot\theta \) के बराबर सिद्ध करने के लिए कहा गया है, तो यह संभव नहीं है। यदि प्रश्न का आशय \( \frac{\cot\theta}{\operatorname{cosec}\theta} \) को \( \cot\theta \) के बराबर दिखाना था, तो वह गलत है।
हम इस समाधान को \( \cos\theta \) के साथ समाप्त करते हैं, जो व्यंजक को सरल बनाने पर प्राप्त होता है।
In simple words: हमें \( \frac{\sqrt{\operatorname{cosec}^2\theta-1}}{\operatorname{cosec}\theta} \) को सरल करना है। \( \operatorname{cosec}^2\theta-1 \) को \( \cot^2\theta \) से बदलें। वर्गमूल लेने पर यह \( \cot\theta \) बन जाएगा। फिर \( \cot\theta \) को \( \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \) में और \( \operatorname{cosec}\theta \) को \( \frac{1}{\sin\theta} \) में बदलें। जब आप इसे सरल करेंगे तो आपको \( \cos\theta \) मिलेगा। यदि प्रश्न का उत्तर \( \cot\theta \) अपेक्षित है तो प्रश्न में त्रुटि है।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करते समय चरणों को ध्यान से देखें। कभी-कभी प्रश्न में एक छोटी सी त्रुटि हो सकती है, लेकिन आपको हमेशा दिए गए व्यंजक को सबसे सरल रूप में बदलने पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए।

Question 14. \( (1 + \cot\theta - \operatorname{cosec}\theta)(1 + \tan\theta + \sec\theta) = 2 \)
Answer:
\( \text{LHS} = (1 + \cot\theta - \operatorname{cosec}\theta)(1 + \tan\theta + \sec\theta) \)
सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को \( \sin\theta \) और \( \cos\theta \) के पदों में बदलें।
पहला कोष्ठक:
\( 1 + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} - \frac{1}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{\sin\theta} \)
दूसरा कोष्ठक:
\( 1 + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{1}{\cos\theta} = \frac{\cos\theta + \sin\theta + 1}{\cos\theta} \)
अब इन दोनों कोष्ठकों के परिणामों को गुणा करें:
\( \text{LHS} = \left( \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{\sin\theta} \right) \left( \frac{\sin\theta + \cos\theta + 1}{\cos\theta} \right) \)
\( \implies \frac{(\sin\theta + \cos\theta - 1)(\sin\theta + \cos\theta + 1)}{\sin\theta \cos\theta} \)
अंश में, हम इसे \( (A-B)(A+B) \) के रूप में देख सकते हैं, जहाँ \( A = (\sin\theta + \cos\theta) \) और \( B = 1 \) है।
हम जानते हैं कि \( (A-B)(A+B) = A^2 - B^2 \) होता है।
\( \implies \frac{(\sin\theta + \cos\theta)^2 - 1^2}{\sin\theta \cos\theta} \)
अंश में \( (\sin\theta + \cos\theta)^2 \) का विस्तार करें: \( \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta \)
\( \implies \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta - 1}{\sin\theta \cos\theta} \)
हम जानते हैं कि \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) होता है।
\( \implies \frac{1 + 2\sin\theta\cos\theta - 1}{\sin\theta \cos\theta} \)
अंश में \( 1 \) और \( -1 \) रद्द हो जाते हैं।
\( \implies \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta \cos\theta} \)
\( \sin\theta\cos\theta \) पद को रद्द करें।
\( \implies 2 \)
यह \( \text{RHS} \) के बराबर है।
इसलिए, यह सिद्ध हो गया है।
In simple words: हमें \( (1 + \cot\theta - \operatorname{cosec}\theta)(1 + \tan\theta + \sec\theta) \) को 2 के बराबर दिखाना है। पहले सभी को \( \sin\theta \) और \( \cos\theta \) में बदलें और प्रत्येक कोष्ठक में भिन्नों को सरल करें। फिर दोनों भिन्नों को गुणा करें। अंश में \( (\sin\theta + \cos\theta)^2 - 1 \) मिलेगा, जिसका विस्तार करने पर \( \sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta - 1 \) आएगा। \( \sin^2\theta + \cos^2\theta \) को 1 से बदलें, तो \( 1 + 2\sin\theta\cos\theta - 1 \) बचेगा, जो \( 2\sin\theta\cos\theta \) होता है। अंत में, \( \sin\theta\cos\theta \) पद कट जाएगा और 2 बचेगा।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में जहाँ कई त्रिकोणमितीय अनुपात शामिल हों, उन्हें \( \sin\theta \) और \( \cos\theta \) के पदों में बदलना और फिर बीजगणितीय पहचानों का उपयोग करना अक्सर एक सीधा रास्ता होता है। \( (A+B)(A-B) = A^2-B^2 \) का उपयोग विशेष रूप से तब करें जब आप \( (X \pm 1) \) जैसे पैटर्न देखें।