RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 14 न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात Important Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

Question 1. यदि \( \tan\theta = 1 \) हो, तो \( \cos\theta \) का मान होगा:
(a) 1
(b) \( \frac {1}{2} \)
(c) \( \frac {\sqrt{3} }{2} \)
(d) \( \frac {1}{\sqrt{2}} \)
Answer: (d) \( \frac {1}{\sqrt{2}} \)
In simple words: जब \( \tan\theta \) का मान 1 होता है, तो \( \theta \) 45 डिग्री होता है। \( \cos\theta \) का मान \( \cos 45^\circ \) के बराबर होता है, जो \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) है।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक कोणों के मानों को याद रखना ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 2. निम्न में से कौन-सा विकल्प सही है।
(a) \( 1 + \sec^2\theta = \tan^2\theta \)
(b) \( 1 - \tan^2\theta = \sec^2\theta \)
(c) \( 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \)
(d) \( 1 - \sec^2\theta = \tan^2\theta \)
Answer: (c) \( 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \)
In simple words: त्रिकोणमिति में, एक बहुत महत्वपूर्ण सूत्र है जो कहता है कि 1 और \( \tan^2\theta \) का जोड़ हमेशा \( \sec^2\theta \) के बराबर होता है। यह एक मूल सर्वसमिका है।

🎯 Exam Tip: मुख्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को कंठस्थ कर लें, क्योंकि वे कई समस्याओं में सीधे लागू होती हैं।

Question 3. \( \sin\theta \operatorname{cosec}\theta + \cos\theta \sec\theta \) बराबर है :
(a) 2
(b) 1
(c) \( \frac {1}{2} \)
(d) -1
Answer: (a) 2
In simple words: हमें पता है कि \( \sin\theta \) और \( \operatorname{cosec}\theta \) एक-दूसरे के उल्टे होते हैं, इसलिए उनका गुणा 1 होता है। ऐसे ही \( \cos\theta \) और \( \sec\theta \) का गुणा भी 1 होता है। तो, \( 1 + 1 = 2 \).

🎯 Exam Tip: ध्यान रखें कि व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय अनुपातों का गुणनफल हमेशा 1 होता है (\(\sin\theta \operatorname{cosec}\theta = 1\), \(\cos\theta \sec\theta = 1\), \(\tan\theta \cot\theta = 1\)).

Question 5. \( \frac{\sqrt{1 + \cot^2\theta}}{\cot\theta} \) बराबर होगा:
(a) \( \sec\theta \)
(b) \( \cos\theta \)
(c) \( \tan\theta \)
(d) \( \sin\theta \)
Answer: (a) \( \sec\theta \)
In simple words: \( 1 + \cot^2\theta \) का मान \( \operatorname{cosec}^2\theta \) के बराबर होता है। तो, \( \sqrt{\operatorname{cosec}^2\theta} = \operatorname{cosec}\theta \). फिर \( \frac{\operatorname{cosec}\theta}{\cot\theta} = \frac{1/\sin\theta}{\cos\theta/\sin\theta} = \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta \).

🎯 Exam Tip: ऐसी सर्वसमिकाओं को हल करते समय, सभी अनुपातों को \( \sin \) और \( \cos \) में बदलने का प्रयास करें।

Question 6. \( \frac{\sqrt{\operatorname{cosec}^2\theta - 1}}{\operatorname{cosec}\theta} \) बराबर है :
(a) \( \cos\theta \)
(b) \( \sec\theta \)
(c) \( \sin\theta \)
(d) \( \operatorname{cosec}\theta \)
Answer: (a) \( \cos\theta \)
In simple words: हमें पता है कि \( \operatorname{cosec}^2\theta - 1 \) का मान \( \cot^2\theta \) के बराबर होता है। तो, \( \sqrt{\cot^2\theta} = \cot\theta \). फिर \( \frac{\cot\theta}{\operatorname{cosec}\theta} = \frac{\cos\theta/\sin\theta}{1/\sin\theta} = \cos\theta \).

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके वर्गमूलों को सरल करना सीखें, यह अक्सर समाधान को आसान बनाता है।

Question 7. यदि \( \cot\phi = \frac{20}{21} \) हो, तो \( \operatorname{cosec}\phi \) का मान है:
(a) \( \frac{21}{20} \)
(b) \( \frac{20}{29} \)
(c) \( \frac{29}{21} \)
(d) \( \frac{21}{29} \)
Answer: (c) \( \frac{29}{21} \)
In simple words: हम सर्वसमिका \( 1 + \cot^2\phi = \operatorname{cosec}^2\phi \) का उपयोग करते हैं। \( \cot\phi \) का मान रखने पर, \( \operatorname{cosec}^2\phi = 1 + (\frac{20}{21})^2 = 1 + \frac{400}{441} = \frac{441 + 400}{441} = \frac{841}{441} \). अब, वर्गमूल लेने पर \( \operatorname{cosec}\phi = \sqrt{\frac{841}{441}} = \frac{29}{21} \).

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानों को ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय या सर्वसमिकाओं का सही ढंग से उपयोग करें।

Question 8. यदि \( \sin A + \sin^2 A = 1 \) तब व्यंजक \( (\cos^2 A + \cos^4 A) \) का मान है:
(a) 1
(b) \( \frac{1}{2} \)
(c) 2
(d) 3
Answer: (a) 1
In simple words: दी गई शर्त \( \sin A + \sin^2 A = 1 \) से हम \( \sin A = 1 - \sin^2 A \) लिख सकते हैं, जिसका मतलब है \( \sin A = \cos^2 A \). अब, व्यंजक \( \cos^2 A + \cos^4 A \) में, \( \cos^2 A \) की जगह \( \sin A \) और \( \cos^4 A \) की जगह \( (\sin A)^2 \) या \( \sin^2 A \) रखने पर हमें \( \sin A + \sin^2 A \) मिलता है, जो कि प्रश्न में 1 के बराबर दिया गया है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, दिए गए संबंध का उपयोग करके एक अनुपात को दूसरे में बदलने का प्रयास करें, यह अक्सर समस्या को सरल बनाता है।

Question 9. यदि \( \tan\theta = \sqrt{3} \) है, तो \( \sin\theta \) का मान है:
(a)
(b) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
(c)
(d)
Answer: (b) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
In simple words: यदि \( \tan\theta = \sqrt{3} \) है, तो \( \theta \) का मान \( 60^\circ \) होता है। इसलिए, \( \sin\theta \) का मान \( \sin 60^\circ \) होगा, जो कि \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) होता है।

🎯 Exam Tip: विशेष कोणों (जैसे 0°, 30°, 45°, 60°, 90°) के त्रिकोणमितीय मानों को याद रखना बहुत उपयोगी है।

Question 10. एक समकोण त्रिभुज में, \( \angle C = 90^\circ \) तथा भुजा \( AB = c, BC = a \) तथा \( AC = b \) हो तो दिए गए विकल्पों में कौन-सा विकल्प सही है?
(a) \( \operatorname{cosec} A = \frac {a}{b} \)
(b) \( \operatorname{cosec} A = \frac {c}{a} \)
(c) \( \operatorname{cosec} A = \frac {c}{b} \)
(d) \( \operatorname{cosec} A = \frac {b}{a} \)
Answer: (b) \( \operatorname{cosec} A = \frac {c}{a} \)
In simple words: एक समकोण त्रिभुज में, \( \operatorname{cosec} A \) कर्ण और कोण A के सम्मुख भुजा का अनुपात होता है। यहाँ, कर्ण \( AB = c \) है और कोण A के सम्मुख भुजा \( BC = a \) है। इसलिए, \( \operatorname{cosec} A = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a} \).

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपातों की परिभाषाओं को याद रखें (जैसे \( \sin = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} \), \( \cos = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} \), \( \tan = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} \) और उनके व्युत्क्रम)।

अतिलघूत्तरीय/लघूत्तरीय प्रश्न

Question 1. किसी त्रिभुज ABC में \( \angle B \) समकोण है। यदि भुजा \( AB = 4 \) सेमी तथा भुजा \( AC = 5 \) सेमी हो, तो भुजा \( BC \) ज्ञात कीजिए।
Answer: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
यहाँ, \( \angle B \) समकोण है, इसलिए \( AC \) कर्ण है।
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
\( 5^2 = 4^2 + BC^2 \)
\( 25 = 16 + BC^2 \)
\( BC^2 = 25 - 16 \)
\( BC^2 = 9 \)
\( BC = \sqrt{9} \)
\( BC = 3 \) सेमी
त्रिभुज की भुजाएँ हमेशा धनात्मक होती हैं।
In simple words: हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। कर्ण \( AC \) का वर्ग \( (5^2) \) अन्य दो भुजाओं \( AB (4^2) \) और \( BC \) के वर्गों के योग के बराबर होता है। इसे हल करने पर, \( BC = 3 \) सेमी मिलता है।

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज में अज्ञात भुजा ज्ञात करते समय, हमेशा पहले कर्ण की पहचान करें और फिर पाइथागोरस प्रमेय लागू करें।

Question 2. त्रिभुज ABC में कोण C समकोण है तथा \( AB = 25 \) सेमी तथा \( BC = 24 \) सेमी है, तो कोण A के सभी त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: \( \triangle ABC \) एक समकोण त्रिभुज है जिसमें \( \angle C = 90^\circ \).
हमें \( AB = 25 \) सेमी (कर्ण) और \( BC = 24 \) सेमी (कोण A के सम्मुख भुजा) दिया गया है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम \( AC \) (कोण A के संलग्न भुजा) ज्ञात करेंगे:
\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)
\( 25^2 = AC^2 + 24^2 \)
\( 625 = AC^2 + 576 \)
\( AC^2 = 625 - 576 \)
\( AC^2 = 49 \)
\( AC = \sqrt{49} \)
\( AC = 7 \) सेमी

अब, कोण A के लिए सभी त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करते हैं:
\( \sin A = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AB} = \frac{24}{25} \)
\( \cos A = \frac{\text{संलग्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AC}{AB} = \frac{7}{25} \)
\( \tan A = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{संलग्न भुजा}} = \frac{BC}{AC} = \frac{24}{7} \)
\( \operatorname{cosec} A = \frac{1}{\sin A} = \frac{AB}{BC} = \frac{25}{24} \)
\( \sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{AB}{AC} = \frac{25}{7} \)
\( \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{AC}{BC} = \frac{7}{24} \)
In simple words: पहले, हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके तीसरी भुजा \( AC \) को \( 7 \) सेमी पाया। फिर, हमने कोण A के लिए \( \sin, \cos, \tan \) और उनके उल्टे अनुपात (जैसे \( \operatorname{cosec}, \sec, \cot \)) ज्ञात किए। \( \sin A \) सम्मुख भुजा (BC) को कर्ण (AB) से भाग देने पर मिलता है, और इसी तरह बाकी अनुपात भी ज्ञात किए जाते हैं।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना करते समय, यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपने सही भुजाओं का उपयोग किया है, कोण के संबंध में सम्मुख, संलग्न और कर्ण भुजाओं को स्पष्ट रूप से लेबल करें।

Question 3. निम्न सर्वसमिका को सिद्ध कीजिए \( (\sec\theta + \cos\theta) (\sec\theta - \cos\theta) = \tan^2\theta + \sin^2\theta \)
Answer: हम बाएँ पक्ष (LHS) से शुरू करेंगे और इसे दाएँ पक्ष (RHS) के बराबर सिद्ध करेंगे।
LHS \( = (\sec\theta + \cos\theta) (\sec\theta - \cos\theta) \)
यह \( (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 \) के रूप का है।
\( \implies \sec^2\theta - \cos^2\theta \)
हम जानते हैं कि \( \sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta \). इस मान को समीकरण में रखेंगे।
\( \implies (1 + \tan^2\theta) - \cos^2\theta \)
\( \implies 1 + \tan^2\theta - \cos^2\theta \)
हमें RHS \( \tan^2\theta + \sin^2\theta \) प्राप्त करना है। हम 1 को \( \sin^2\theta + \cos^2\theta \) के रूप में लिख सकते हैं।
\( \implies (\sin^2\theta + \cos^2\theta) + \tan^2\theta - \cos^2\theta \)
\( \implies \sin^2\theta + \tan^2\theta \)
यह RHS के बराबर है।
इसलिए, LHS = RHS इति सिद्धम्।
In simple words: हमने बाईं ओर के हिस्से को \( (A+B)(A-B) \) सूत्र का उपयोग करके \( \sec^2\theta - \cos^2\theta \) में बदला। फिर, \( \sec^2\theta \) को \( 1 + \tan^2\theta \) से बदल दिया और अंत में \( 1 \) को \( \sin^2\theta + \cos^2\theta \) से बदल दिया। इससे हमें \( \sin^2\theta + \tan^2\theta \) मिला, जो दाहिनी ओर के हिस्से के बराबर है।

🎯 Exam Tip: सर्वसमिका सिद्ध करते समय, अक्सर \( \sec^2\theta \) या \( \operatorname{cosec}^2\theta \) को \( \tan^2\theta \) या \( \cot^2\theta \) में बदलने का प्रयास करें, और \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) का उपयोग करें।

Question 5. निम्न सर्वसमिका को सिद्ध कीजिए: \( \sec^6\theta - \tan^6\theta = 1 + 3\tan^2\theta + 3 \tan^4\theta \)
Answer: हम बाएँ पक्ष (LHS) से शुरू करेंगे:
LHS \( = \sec^6\theta - \tan^6\theta \)
इसे \( (\sec^2\theta)^3 - (\tan^2\theta)^3 \) के रूप में लिखा जा सकता है।
हम \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \) सूत्र का उपयोग करेंगे।
यहाँ, \( a = \sec^2\theta \) और \( b = \tan^2\theta \).
\( \implies (\sec^2\theta - \tan^2\theta) ((\sec^2\theta)^2 + \sec^2\theta \tan^2\theta + (\tan^2\theta)^2) \)
हम जानते हैं कि \( \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1 \).
\( \implies 1 \cdot (\sec^4\theta + \sec^2\theta \tan^2\theta + \tan^4\theta) \)
\( \implies \sec^4\theta + \sec^2\theta \tan^2\theta + \tan^4\theta \)
अब, \( \sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta \) का उपयोग करें:
\( \implies (1 + \tan^2\theta)^2 + (1 + \tan^2\theta)\tan^2\theta + \tan^4\theta \)
\( \implies (1 + 2\tan^2\theta + \tan^4\theta) + (\tan^2\theta + \tan^4\theta) + \tan^4\theta \)
\( \implies 1 + 2\tan^2\theta + \tan^4\theta + \tan^2\theta + \tan^4\theta + \tan^4\theta \)
पद को जोड़ें:
\( \implies 1 + (2\tan^2\theta + \tan^2\theta) + (\tan^4\theta + \tan^4\theta + \tan^4\theta) \)
\( \implies 1 + 3\tan^2\theta + 3\tan^4\theta \)
यह दाएँ पक्ष (RHS) के बराबर है।
इसलिए, LHS = RHS इति सिद्धम्।
In simple words: हमने \( a^3 - b^3 \) सूत्र का उपयोग करके बाएं पक्ष को सरल किया, जहाँ \( a = \sec^2\theta \) और \( b = \tan^2\theta \). क्योंकि \( \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1 \), इसलिए यह सरल हो गया। फिर, हमने \( \sec^2\theta \) की जगह \( 1 + \tan^2\theta \) रखकर सभी पदों को \( \tan\theta \) के रूप में बदल दिया और सभी समान पदों को जोड़ा, जिससे हमें दाहिना पक्ष मिल गया।

🎯 Exam Tip: उच्च घातों वाली सर्वसमिकाओं को हल करते समय, \( a^3-b^3 \) या \( a^3+b^3 \) जैसे बीजगणितीय सूत्रों का उपयोग करें और फिर \( \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1 \) जैसी मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करें।

Question 6. निम्न सर्वसमिका को सिद्ध कीजिए \( \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{1 - \cos\theta}} = \operatorname{cosec}\theta + \cot\theta \)
Answer: हम बाएँ पक्ष (LHS) से शुरू करेंगे:
LHS \( = \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{1 - \cos\theta}} \)
वर्गमूल के अंदर के पद को सरल बनाने के लिए, हम हर का परिमेयकरण करेंगे। हम अंश और हर को \( \sqrt{1 + \cos\theta} \) से गुणा करेंगे।
\( \implies \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{1 - \cos\theta} \times \frac{1 + \cos\theta}{1 + \cos\theta}} \)
\( \implies \sqrt{\frac{(1 + \cos\theta)^2}{1^2 - \cos^2\theta}} \)
हम जानते हैं कि \( 1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta \).
\( \implies \sqrt{\frac{(1 + \cos\theta)^2}{\sin^2\theta}} \)
अब वर्गमूल हटाएँगे:
\( \implies \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta} \)
इसे दो अलग-अलग भिन्नों में तोड़ें:
\( \implies \frac{1}{\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \)
हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\sin\theta} = \operatorname{cosec}\theta \) और \( \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cot\theta \).
\( \implies \operatorname{cosec}\theta + \cot\theta \)
यह दाएँ पक्ष (RHS) के बराबर है।
इसलिए, LHS = RHS इति सिद्धम्।
In simple words: हमने वर्गमूल वाले बाएं पक्ष से शुरुआत की। वर्गमूल को हटाने के लिए, हमने अंश और हर को \( 1 + \cos\theta \) से गुणा किया। इससे हर \( 1 - \cos^2\theta \) बन गया, जो \( \sin^2\theta \) के बराबर है। फिर, हमने वर्गमूल हटाया और परिणामी भिन्न को दो भागों में अलग किया, जो \( \operatorname{cosec}\theta \) और \( \cot\theta \) के बराबर हैं।

🎯 Exam Tip: जब भी वर्गमूल के अंदर \( 1 \pm \sin\theta \) या \( 1 \pm \cos\theta \) जैसे पद दिखें, तो परिमेयकरण विधि का उपयोग करके \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) का रूप प्राप्त करने का प्रयास करें।

Question 7. निम्न सर्वसमिका को सिद्ध कीजिए \( \frac{1}{\sec\theta - \tan\theta} + \frac{1}{\sec\theta + \tan\theta} = 2\sec\theta \)
Answer: हम बाएँ पक्ष (LHS) से शुरू करेंगे:
LHS \( = \frac{1}{\sec\theta - \tan\theta} + \frac{1}{\sec\theta + \tan\theta} \)
इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हम उभयनिष्ठ हर \( (\sec\theta - \tan\theta)(\sec\theta + \tan\theta) \) लेंगे:
\( \implies \frac{(\sec\theta + \tan\theta) + (\sec\theta - \tan\theta)}{(\sec\theta - \tan\theta)(\sec\theta + \tan\theta)} \)
अंश में \( \tan\theta \) पद रद्द हो जाते हैं:
\( \implies \frac{2\sec\theta}{\sec^2\theta - \tan^2\theta} \)
हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1 \) होती है।
\( \implies \frac{2\sec\theta}{1} \)
\( \implies 2\sec\theta \)
यह दाएँ पक्ष (RHS) के बराबर है।
इसलिए, LHS = RHS इति सिद्धम्।
In simple words: हमने बाएं पक्ष के दो भिन्नों को जोड़ा। इसके लिए हमने एक उभयनिष्ठ हर लिया, जो \( (\sec\theta - \tan\theta)(\sec\theta + \tan\theta) \) था, जिसे \( \sec^2\theta - \tan^2\theta \) के रूप में सरल किया जा सकता है। हमें पता है कि \( \sec^2\theta - \tan^2\theta \) का मान 1 होता है, जिससे पूरा समीकरण \( 2\sec\theta \) के बराबर हो जाता है, जो दाहिना पक्ष है।

🎯 Exam Tip: जब भी \( \sec\theta \pm \tan\theta \) या \( \operatorname{cosec}\theta \pm \cot\theta \) के पद हों, तो \( \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1 \) या \( \operatorname{cosec}^2\theta - \cot^2\theta = 1 \) सर्वसमिका का उपयोग करके हर को सरल बनाने का प्रयास करें।

Question 8. यदि \( \operatorname{cosec} A = \sqrt{10} \) हो, तो \( \cot A, \sin A, \cos A \) के मान त्रिकोणमितीय अनुपातों में परस्पर सम्बन्धों की सहायता से ज्ञात कीजिए। \( A \) न्यून कोण है।
Answer: हमें दिया गया है \( \operatorname{cosec} A = \sqrt{10} \). कोण A एक न्यून कोण है।
हम जानते हैं कि \( \sin A = \frac{1}{\operatorname{cosec} A} \).
\( \implies \sin A = \frac{1}{\sqrt{10}} \)

अब, \( \cot A \) ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका \( 1 + \cot^2 A = \operatorname{cosec}^2 A \) का उपयोग करेंगे।
\( \implies \cot^2 A = \operatorname{cosec}^2 A - 1 \)
\( \implies \cot^2 A = (\sqrt{10})^2 - 1 \)
\( \implies \cot^2 A = 10 - 1 \)
\( \implies \cot^2 A = 9 \)
\( \implies \cot A = \sqrt{9} \)
\( \implies \cot A = 3 \) (क्योंकि A एक न्यून कोण है, \( \cot A \) धनात्मक होगा)

अंत में, \( \cos A \) ज्ञात करने के लिए, हम संबंध \( \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \) का उपयोग करेंगे।
\( \implies \cos A = \cot A \cdot \sin A \)
\( \implies \cos A = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \)
\( \implies \cos A = \frac{3}{\sqrt{10}} \)

अतः, \( \sin A = \frac{1}{\sqrt{10}} \), \( \cot A = 3 \), और \( \cos A = \frac{3}{\sqrt{10}} \).
In simple words: हमें \( \operatorname{cosec} A = \sqrt{10} \) दिया गया था। सबसे पहले, हमने \( \sin A \) को \( \operatorname{cosec} A \) का उल्टा करके \( \frac{1}{\sqrt{10}} \) पाया। फिर, \( \cot A \) ज्ञात करने के लिए हमने \( 1 + \cot^2 A = \operatorname{cosec}^2 A \) सूत्र का उपयोग किया, जिससे \( \cot A = 3 \) मिला। आखिर में, \( \cos A \) को \( \cot A \) और \( \sin A \) को गुणा करके \( \frac{3}{\sqrt{10}} \) पाया।

🎯 Exam Tip: जब एक त्रिकोणमितीय अनुपात दिया हो, तो अन्य अनुपातों को ज्ञात करने के लिए मूल सर्वसमिकाओं और व्युत्क्रम संबंधों का व्यवस्थित रूप से उपयोग करें।

Question 9. यदि \( \cos\theta = \frac{5}{13} \) हो, तो \( \sin\theta, \tan\theta \) के मान त्रिकोणमितीय अनुपातों में परस्पर सम्बन्धों की सहायता से ज्ञात कीजिए, जबकि \( \theta \) एक न्यून कोण है।
Answer: हमें दिया गया है \( \cos\theta = \frac{5}{13} \). कोण \( \theta \) एक न्यून कोण है।
हम जानते हैं कि \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \).
\( \implies \sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta \)
\( \implies \sin^2\theta = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 \)
\( \implies \sin^2\theta = 1 - \frac{25}{169} \)
\( \implies \sin^2\theta = \frac{169 - 25}{169} \)
\( \implies \sin^2\theta = \frac{144}{169} \)
\( \implies \sin\theta = \sqrt{\frac{144}{169}} \)
\( \implies \sin\theta = \frac{12}{13} \) (क्योंकि \( \theta \) एक न्यून कोण है, \( \sin\theta \) धनात्मक होगा)

अब, \( \tan\theta \) ज्ञात करने के लिए, हम संबंध \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \) का उपयोग करेंगे।
\( \implies \tan\theta = \frac{12/13}{5/13} \)
\( \implies \tan\theta = \frac{12}{5} \)

अतः, \( \sin\theta = \frac{12}{13} \) और \( \tan\theta = \frac{12}{5} \).
In simple words: हमें \( \cos\theta = \frac{5}{13} \) दिया गया था। \( \sin\theta \) ज्ञात करने के लिए, हमने \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) सूत्र का उपयोग किया और \( \sin\theta = \frac{12}{13} \) पाया। फिर, \( \tan\theta \) को \( \sin\theta \) को \( \cos\theta \) से भाग देकर \( \frac{12}{5} \) प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: जब भी \( \sin \) या \( \cos \) का मान दिया हो, तो \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) का उपयोग करके दूसरे मूल अनुपात को ज्ञात करें, फिर अन्य अनुपातों की गणना करें।

Question 10. यदि \( \tan\theta = \sqrt{3} \) हो, तो शेष त्रिकोणमितीय अनुपातों को त्रिकोणमितीय अनुपातों में परस्पर सम्बन्धों की सहायता से ज्ञात कीजिए, जबकि \( \theta \) एक न्यून कोण है।
Answer: हमें दिया गया है \( \tan\theta = \sqrt{3} \). कोण \( \theta \) एक न्यून कोण है।
यदि \( \tan\theta = \sqrt{3} \) है, तो \( \theta = 60^\circ \).

अब हम अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करेंगे:
1. \( \cot\theta \):
\( \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} \)
\( \implies \cot\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

2. \( \sec\theta \):
हम जानते हैं कि \( 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \).
\( \implies \sec^2\theta = 1 + (\sqrt{3})^2 \)
\( \implies \sec^2\theta = 1 + 3 \)
\( \implies \sec^2\theta = 4 \)
\( \implies \sec\theta = \sqrt{4} \)
\( \implies \sec\theta = 2 \) (क्योंकि \( \theta \) एक न्यून कोण है, \( \sec\theta \) धनात्मक होगा)

3. \( \cos\theta \):
\( \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} \)
\( \implies \cos\theta = \frac{1}{2} \)

4. \( \sin\theta \):
हम जानते हैं कि \( \sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta \).
\( \implies \sin\theta = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \)
\( \implies \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

5. \( \operatorname{cosec}\theta \):
\( \operatorname{cosec}\theta = \frac{1}{\sin\theta} \)
\( \implies \operatorname{cosec}\theta = \frac{1}{\sqrt{3}/2} \)
\( \implies \operatorname{cosec}\theta = \frac{2}{\sqrt{3}} \)

अतः, \( \cot\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \), \( \sec\theta = 2 \), \( \cos\theta = \frac{1}{2} \), \( \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \) और \( \operatorname{cosec}\theta = \frac{2}{\sqrt{3}} \).
In simple words: \( \tan\theta = \sqrt{3} \) होने पर, हमें पता चला कि \( \theta \) का मान \( 60^\circ \) है। हमने \( \cot\theta \) को \( \tan\theta \) का उल्टा करके पाया। फिर, \( \sec\theta \) को \( 1 + \tan^2\theta \) सूत्र से निकाला। \( \cos\theta \) को \( \sec\theta \) का उल्टा करके पाया। \( \sin\theta \) को \( \tan\theta \) और \( \cos\theta \) को गुणा करके पाया, और \( \operatorname{cosec}\theta \) को \( \sin\theta \) का उल्टा करके प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: एक त्रिकोणमितीय अनुपात से शुरू करके सभी छह अनुपात ज्ञात करने के लिए, आप या तो \( \theta \) के मान को पहचान सकते हैं या पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं।

Question 11. यदि \( \sec\theta = \frac{17}{8} \) हो, तो शेष त्रिकोणमितीय अनुपातों को त्रिकोणमितीय अनुपातों में परस्पर सम्बन्धों की सहायता से ज्ञात कीजिए। \( \theta \) एक न्यून कोण है।
Answer: हमें दिया गया है \( \sec\theta = \frac{17}{8} \). कोण \( \theta \) एक न्यून कोण है।
1. \( \cos\theta \):
\( \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} \)
\( \implies \cos\theta = \frac{1}{17/8} \)
\( \implies \cos\theta = \frac{8}{17} \)

2. \( \sin\theta \):
हम जानते हैं कि \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \).
\( \implies \sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta \)
\( \implies \sin^2\theta = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 \)
\( \implies \sin^2\theta = 1 - \frac{64}{289} \)
\( \implies \sin^2\theta = \frac{289 - 64}{289} \)
\( \implies \sin^2\theta = \frac{225}{289} \)
\( \implies \sin\theta = \sqrt{\frac{225}{289}} \)
\( \implies \sin\theta = \frac{15}{17} \) (क्योंकि \( \theta \) एक न्यून कोण है, \( \sin\theta \) धनात्मक होगा)

3. \( \operatorname{cosec}\theta \):
\( \operatorname{cosec}\theta = \frac{1}{\sin\theta} \)
\( \implies \operatorname{cosec}\theta = \frac{1}{15/17} \)
\( \implies \operatorname{cosec}\theta = \frac{17}{15} \)

4. \( \tan\theta \):
हम जानते हैं कि \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \).
\( \implies \tan\theta = \frac{15/17}{8/17} \)
\( \implies \tan\theta = \frac{15}{8} \)

5. \( \cot\theta \):
\( \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} \)
\( \implies \cot\theta = \frac{1}{15/8} \)
\( \implies \cot\theta = \frac{8}{15} \)

अतः, \( \cos\theta = \frac{8}{17} \), \( \sin\theta = \frac{15}{17} \), \( \operatorname{cosec}\theta = \frac{17}{15} \), \( \tan\theta = \frac{15}{8} \) और \( \cot\theta = \frac{8}{15} \).
In simple words: हमें \( \sec\theta = \frac{17}{8} \) दिया गया था। सबसे पहले, हमने \( \cos\theta \) को \( \sec\theta \) का उल्टा करके \( \frac{8}{17} \) पाया। फिर, \( \sin\theta \) को \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) सूत्र से \( \frac{15}{17} \) निकाला। अन्य अनुपात \( \operatorname{cosec}\theta, \tan\theta \) और \( \cot\theta \) को \( \sin\theta \) और \( \cos\theta \) से संबंधित सूत्रों का उपयोग करके प्राप्त किया गया।

🎯 Exam Tip: एक अनुपात से सभी अनुपात ज्ञात करने के लिए, \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \), \( 1+\tan^2\theta = \sec^2\theta \), और \( 1+\cot^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta \) जैसी मूल सर्वसमिकाओं का उपयोग करना अक्सर सबसे कुशल तरीका होता है।

Question 12. निम्न सर्वसमिका को सिद्ध कीजिए \( \frac{\sec\theta - \tan\theta}{\sec\theta + \tan\theta} = 1 - 2\sec\theta \tan\theta + 2 \tan^2\theta \)
Answer: हम बाएँ पक्ष (LHS) से शुरू करेंगे:
LHS \( = \frac{\sec\theta - \tan\theta}{\sec\theta + \tan\theta} \)
हर का परिमेयकरण करने के लिए, हम अंश और हर को \( (\sec\theta - \tan\theta) \) से गुणा करेंगे।
\( \implies \frac{(\sec\theta - \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta)}{(\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta)} \)
\( \implies \frac{(\sec\theta - \tan\theta)^2}{\sec^2\theta - \tan^2\theta} \)
हम जानते हैं कि \( \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1 \).
\( \implies \frac{(\sec\theta - \tan\theta)^2}{1} \)
\( \implies (\sec\theta - \tan\theta)^2 \)
\( \implies \sec^2\theta - 2\sec\theta \tan\theta + \tan^2\theta \)
हमें दाहिने पक्ष में \( 2\tan^2\theta \) और \( 1 \) चाहिए। हम \( \sec^2\theta \) को \( 1 + \tan^2\theta \) से बदल सकते हैं।
\( \implies (1 + \tan^2\theta) - 2\sec\theta \tan\theta + \tan^2\theta \)
\( \implies 1 + \tan^2\theta + \tan^2\theta - 2\sec\theta \tan\theta \)
\( \implies 1 + 2\tan^2\theta - 2\sec\theta \tan\theta \)
\( \implies 1 - 2\sec\theta \tan\theta + 2\tan^2\theta \)
यह दाएँ पक्ष (RHS) के बराबर है।
इसलिए, LHS = RHS इति सिद्धम्।
In simple words: हमने बाएं पक्ष से शुरू किया और हर का परिमेयकरण किया। अंश को \( (\sec\theta - \tan\theta) \) से और हर को \( (\sec\theta - \tan\theta) \) से गुणा करके हमने \( \sec^2\theta - \tan^2\theta \) प्राप्त किया, जिसका मान 1 है। फिर, हमने अंश में \( (A-B)^2 \) सूत्र का उपयोग किया और \( \sec^2\theta \) को \( 1 + \tan^2\theta \) से बदलकर अंतिम परिणाम प्राप्त किया, जो दाहिने पक्ष के बराबर था।

🎯 Exam Tip: परिमेयकरण ऐसे भिन्नों को सरल बनाने की एक सामान्य रणनीति है। \( (A-B)^2 \) और \( (A+B)(A-B) \) जैसे बीजगणितीय सूत्रों को याद रखना और उनका सही उपयोग करना महत्वपूर्ण है।

Question 13. \( \triangle ABC \) में, \( \angle C = 90^\circ, BC = 24 \) सेमी तथा \( AC = 7 \) सेमी है। \( \sin A, \operatorname{cosec} A \) तथा \( \cot A \) के मान ज्ञात कीजिए।
Answer: \( \triangle ABC \) में, \( \angle C = 90^\circ \).
हमें \( BC = 24 \) सेमी और \( AC = 7 \) सेमी दिया गया है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम कर्ण \( AB \) ज्ञात करेंगे:
\( AB^2 = BC^2 + AC^2 \)
\( AB^2 = 24^2 + 7^2 \)
\( AB^2 = 576 + 49 \)
\( AB^2 = 625 \)
\( AB = \sqrt{625} \)
\( AB = 25 \) सेमी

अब, कोण A के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करते हैं:
\( \sin A = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AB} = \frac{24}{25} \)

\( \operatorname{cosec} A = \frac{1}{\sin A} = \frac{AB}{BC} = \frac{25}{24} \)

\( \cot A = \frac{\text{संलग्न भुजा}}{\text{सम्मुख भुजा}} = \frac{AC}{BC} = \frac{7}{24} \)

अतः, \( \sin A = \frac{24}{25} \), \( \operatorname{cosec} A = \frac{25}{24} \) तथा \( \cot A = \frac{7}{24} \).
In simple words: सबसे पहले, हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके त्रिभुज के कर्ण \( AB \) को \( 25 \) सेमी पाया। फिर, हमने कोण A के लिए \( \sin A \) को सम्मुख भुजा (BC) को कर्ण (AB) से भाग देकर निकाला। \( \operatorname{cosec} A \) \( \sin A \) का उल्टा होता है, और \( \cot A \) संलग्न भुजा (AC) को सम्मुख भुजा (BC) से भाग देकर प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: जब समकोण त्रिभुज में दो भुजाएँ दी हों, तो हमेशा तीसरी भुजा ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें, इससे पहले कि आप त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना करें।

Question 15. समकोण \( \triangle ABC \) में, शीर्ष \( B \) पर समकोण है, \( AC = 10 \) सेमी तथा \( AB = 6 \) सेमी है। \( \sin C, \cos C \) तथा \( \tan C \) के मान ज्ञात कीजिए।
Answer: \( \triangle ABC \) में, \( \angle B = 90^\circ \).
हमें \( AC = 10 \) सेमी (कर्ण) तथा \( AB = 6 \) सेमी (कोण C के सम्मुख भुजा) दिया गया है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम भुजा \( BC \) (कोण C के संलग्न भुजा) ज्ञात करेंगे:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
\( 10^2 = 6^2 + BC^2 \)
\( 100 = 36 + BC^2 \)
\( BC^2 = 100 - 36 \)
\( BC^2 = 64 \)
\( BC = \sqrt{64} \)
\( BC = 8 \) सेमी

अब, कोण C के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करते हैं:
\( \sin C = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)

\( \cos C = \frac{\text{संलग्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \)

\( \tan C = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{संलग्न भुजा}} = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \)

अतः, \( \sin C = \frac{3}{5} \), \( \cos C = \frac{4}{5} \) तथा \( \tan C = \frac{3}{4} \).
In simple words: हमें \( \angle B = 90^\circ \), \( AC = 10 \) सेमी और \( AB = 6 \) सेमी दिया गया था। सबसे पहले, हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके \( BC \) भुजा को \( 8 \) सेमी पाया। फिर, हमने कोण C के लिए \( \sin C \) (सम्मुख भुजा को कर्ण से भाग), \( \cos C \) (संलग्न भुजा को कर्ण से भाग) और \( \tan C \) (सम्मुख भुजा को संलग्न भुजा से भाग) के मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप कोण C के लिए सही 'सम्मुख' और 'संलग्न' भुजाओं की पहचान करते हैं, क्योंकि वे कोण A के लिए भुजाओं से भिन्न होंगी।