RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 14 न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात Exercise 14.2

त्रिकोणमितीय अनुपातों में सम्बन्धों द्वारा हल कीजिए : [ प्रश्न 1 से 10 तक]

Question 1. यदि \( \operatorname{cosec} A = \frac {5}{4} \) हों, तो \( \cot A, \sin A, \cos A \) को मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम जानते हैं कि, त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करके, हम अन्य अनुपात ज्ञात कर सकते हैं।
\( 1 + \cot^2 A = \operatorname{cosec}^2 A \)
\( 1 + \cot^2 A = \left( \frac {5}{4} \right)^2 \)
\( 1 + \cot^2 A = \frac {25}{16} \)
\( \cot^2 A = \frac {25}{16} - 1 \)
\( \cot^2 A = \frac {25 - 16}{16} \)
\( \cot^2 A = \frac {9}{16} \)
\( \implies \cot A = \sqrt{\frac{9}{16}} \)
\( \implies \cot A = \frac{3}{4} \)

हम यह भी जानते हैं कि \( \tan A = \frac {1}{\cot A} \) होता है।
\( \tan A = \frac {1}{3/4} \)
\( \tan A = \frac {4}{3} \)

हम यह भी जानते हैं कि \( \sec^2 A = 1 + \tan^2 A \)
\( \sec^2 A = 1 + \left( \frac {4}{3} \right)^2 \)
\( \sec^2 A = 1 + \frac {16}{9} \)
\( \sec^2 A = \frac {9 + 16}{9} \)
\( \sec^2 A = \frac {25}{9} \)
\( \implies \sec A = \sqrt{\frac{25}{9}} \)
\( \implies \sec A = \frac{5}{3} \)

\( \cos A = \frac{1}{\sec A} \)
\( \cos A = \frac{1}{5/3} \)
\( \implies \cos A = \frac{3}{5} \)

हम यह भी जानते हैं कि \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \)
\( \sin^2 A = 1 - \cos^2 A \)
\( \sin^2 A = 1 - \left( \frac {3}{5} \right)^2 \)
\( \sin^2 A = 1 - \frac {9}{25} \)
\( \sin^2 A = \frac {25 - 9}{25} \)
\( \sin^2 A = \frac {16}{25} \)
\( \implies \sin A = \sqrt{\frac{16}{25}} \)
\( \implies \sin A = \frac{4}{5} \)

अतः, \( \cot A = \frac{3}{4} \), \( \cos A = \frac{3}{5} \) और \( \sin A = \frac{4}{5} \) हैं।
In simple words: हमने कोसेकेंट के मान का उपयोग करके कोटेंजेंट, साइन और कोसाइन के मान निकाले हैं. त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके हम एक अनुपात से अन्य सभी अनुपात ज्ञात कर सकते हैं.

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को अच्छी तरह याद रखें, खासकर \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \), \( 1 + \tan^2 A = \sec^2 A \), और \( 1 + \cot^2 A = \operatorname{cosec}^2 A \). ये मान ज्ञात करने में बहुत सहायक होती हैं.

Question 3. यदि \( \sin A = \frac{3}{5} \) हो तो \( \cos A \) और \( \tan A \) के मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \sin A \) का मान दिया गया है, और हमें \( \cos A \) तथा \( \tan A \) का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \) होती है।
\( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \)
\( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A \)
\( \cos^2 A = 1 - \left( \frac{3}{5} \right)^2 \)
\( \cos^2 A = 1 - \frac{9}{25} \)
\( \cos^2 A = \frac{25 - 9}{25} \)
\( \cos^2 A = \frac{16}{25} \)
\( \implies \cos A = \sqrt{\frac{16}{25}} \)
\( \implies \cos A = \frac{4}{5} \)

अब, हम \( \tan A \) का मान ज्ञात करेंगे। हम जानते हैं कि \( \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \) होता है।
\( \tan A = \frac{3/5}{4/5} \)
\( \tan A = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} \)
\( \implies \tan A = \frac{3}{4} \)

अतः, \( \cos A = \frac{4}{5} \) और \( \tan A = \frac{3}{4} \) हैं।
In simple words: हमने \( \sin A \) के दिए गए मान का उपयोग करके \( \cos A \) और \( \tan A \) का मान निकाला है. सबसे पहले, \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \) सूत्र का उपयोग करके \( \cos A \) ज्ञात किया, फिर \( \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \) सूत्र का उपयोग करके \( \tan A \) ज्ञात किया.

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच के संबंधों को समझना महत्वपूर्ण है. साइन, कोसाइन और टेंजेंट जैसे मूल अनुपातों से सभी अन्य अनुपातों को आसानी से निकाला जा सकता है.

Question 5. यदि \( \sin A = \frac {5}{13} \) हो, तो \( \cos A \) और \( \tan A \) के मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \sin A \) का मान दिया गया है, और हमें \( \cos A \) तथा \( \tan A \) का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A \) होती है।
\( \cos^2 A = 1 - \left( \frac {5}{13} \right)^2 \)
\( \cos^2 A = 1 - \frac {25}{169} \)
\( \cos^2 A = \frac {169 - 25}{169} \)
\( \cos^2 A = \frac {144}{169} \)
\( \implies \cos A = \sqrt{\frac {144}{169}} \)
\( \implies \cos A = \frac {12}{13} \)

और, हम जानते हैं कि \( \tan A = \frac {\sin A}{\cos A} \) होता है।
\( \tan A = \frac {5/13}{12/13} \)
\( \tan A = \frac {5}{13} \times \frac {13}{12} \)
\( \implies \tan A = \frac {5}{12} \)
In simple words: इस प्रश्न में, हमने \( \sin A \) का मान उपयोग करके पहले \( \cos A \) का मान निकाला है. फिर, हमने \( \sin A \) और \( \cos A \) दोनों का उपयोग करके \( \tan A \) का मान ज्ञात किया है.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप वर्गों का सही ढंग से गणना करते हैं और भिन्नों को सावधानी से सरल करते हैं, खासकर जब वर्गमूल ले रहे हों. इससे गलतियों से बचा जा सकता है.

Question 6. यदि \( \tan A = \sqrt{2} - 1 \) हो, तो सिद्ध कीजिए कि \( \sin A \cos A = \frac {1}{2\sqrt{2}} \)
Answer: हमें दिया गया है कि \( \tan A = \sqrt{2} - 1 \)। हमें \( \sin A \cos A = \frac {1}{2\sqrt{2}} \) सिद्ध करना है।
हम जानते हैं कि \( \sec^2 A = 1 + \tan^2 A \)
\( \sec^2 A = 1 + (\sqrt{2} - 1)^2 \)
\( \sec^2 A = 1 + ((\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}(1) + 1^2) \)
\( \sec^2 A = 1 + (2 - 2\sqrt{2} + 1) \)
\( \sec^2 A = 1 + (3 - 2\sqrt{2}) \)
\( \sec^2 A = 4 - 2\sqrt{2} \)
\( \implies \sec A = \sqrt{4 - 2\sqrt{2}} \)

अब, हम जानते हैं कि \( \cos A = \frac{1}{\sec A} \)
\( \cos A = \frac{1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} \)

और, हम जानते हैं कि \( \sin A = \tan A \cos A \)
\( \sin A = (\sqrt{2} - 1) \times \frac{1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} \)
\( \implies \sin A = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} \)

अब हम \( \sin A \cos A \) का मान ज्ञात करेंगे।
LHS \( = \sin A \cos A \)
LHS \( = \left( \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} \right) \times \left( \frac{1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} \right) \)
LHS \( = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{4 - 2\sqrt{2}})^2} \)
LHS \( = \frac{\sqrt{2} - 1}{4 - 2\sqrt{2}} \)
LHS \( = \frac{\sqrt{2} - 1}{2(2 - \sqrt{2})} \)
LHS \( = \frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)} \) (हर से \( \sqrt{2} \) उभयनिष्ठ लेने पर)
LHS \( = \frac{1}{2\sqrt{2}} \)
अतः, LHS \( = \) RHS. इति सिद्धम्।
In simple words: हमने \( \tan A \) के दिए गए मान से \( \sec A \), \( \cos A \), और \( \sin A \) का मान निकाला है. फिर, हमने इन मानों को \( \sin A \cos A \) में रखकर सिद्ध किया कि यह \( \frac{1}{2\sqrt{2}} \) के बराबर है.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, वर्गमूल के साथ बीजगणितीय व्यंजकों को सरल करना अक्सर शामिल होता है. हर का परिमेयकरण करना या उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना गणना को आसान बनाने में मदद कर सकता है.

Question 7. यदि \( \tan A = 2 \) हो, तो \( \sec A \sin A + \tan^2 A - \operatorname{cosec} A \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \tan A = 2 \) दिया गया है। हमें \( \sec A \sin A + \tan^2 A - \operatorname{cosec} A \) का मान ज्ञात करना है।
पहले, हम अन्य आवश्यक त्रिकोणमितीय अनुपातों का मान ज्ञात करेंगे।
हम जानते हैं कि \( \sec^2 A = 1 + \tan^2 A \)
\( \sec^2 A = 1 + (2)^2 \)
\( \sec^2 A = 1 + 4 \)
\( \sec^2 A = 5 \)
\( \implies \sec A = \sqrt{5} \)

हम जानते हैं कि \( \cos A = \frac{1}{\sec A} \)
\( \implies \cos A = \frac{1}{\sqrt{5}} \)

हम जानते हैं कि \( \sin A = \tan A \times \cos A \)
\( \sin A = 2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} \)
\( \implies \sin A = \frac{2}{\sqrt{5}} \)

हम जानते हैं कि \( \operatorname{cosec} A = \frac{1}{\sin A} \)
\( \operatorname{cosec} A = \frac{1}{2/\sqrt{5}} \)
\( \implies \operatorname{cosec} A = \frac{\sqrt{5}}{2} \)

अब, दिए गए व्यंजक में इन मानों को रखने पर:
\( \sec A \sin A + \tan^2 A - \operatorname{cosec} A \)
\( = (\sqrt{5}) \times \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right) + (2)^2 - \left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right) \)
\( = 2 + 4 - \frac{\sqrt{5}}{2} \)
\( = 6 - \frac{\sqrt{5}}{2} \)
\( = \frac{12 - \sqrt{5}}{2} \)

अतः, \( \sec A \sin A + \tan^2 A - \operatorname{cosec} A = \frac{12 - \sqrt{5}}{2} \) है।
In simple words: हमने \( \tan A \) का उपयोग करके \( \sec A, \sin A \), और \( \operatorname{cosec} A \) के मान निकाले हैं. फिर, इन सभी मानों को दिए गए गणितीय समीकरण में रखा गया है और उसे सरल किया गया है.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आप सही मानों का उपयोग कर रहे हैं, सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को चरण-दर-चरण गणना करें. भिन्न और वर्गमूल वाली संख्याओं को संभालते समय सावधानी बरतें.

Question 8. यदि \( \sin \theta = \frac {4}{5} \) हो, तो \( \frac { 4\tan\theta -5\cos\theta }{ \sec\theta +4\cot\theta } \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \sin \theta = \frac {4}{5} \) दिया गया है। हमें \( \frac { 4\tan\theta -5\cos\theta }{ \sec\theta +4\cot\theta } \) का मान ज्ञात करना है।
पहले, हम अन्य आवश्यक त्रिकोणमितीय अनुपातों का मान ज्ञात करेंगे।
हम जानते हैं कि \( \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta \)
\( \cos^2 \theta = 1 - \left( \frac {4}{5} \right)^2 \)
\( \cos^2 \theta = 1 - \frac {16}{25} \)
\( \cos^2 \theta = \frac {25 - 16}{25} \)
\( \cos^2 \theta = \frac {9}{25} \)
\( \implies \cos \theta = \sqrt{\frac {9}{25}} \)
\( \implies \cos \theta = \frac {3}{5} \)

अब, \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)
\( \tan \theta = \frac{4/5}{3/5} \)
\( \implies \tan \theta = \frac {4}{3} \)

और \( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} \)
\( \implies \cot \theta = \frac{3}{4} \)

और \( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \)
\( \implies \sec \theta = \frac{1}{3/5} \)
\( \implies \sec \theta = \frac{5}{3} \)

अब, दिए गए व्यंजक में इन मानों को रखने पर:
\( \frac { 4\tan\theta -5\cos\theta }{ \sec\theta +4\cot\theta } \)
\( = \frac { 4\left(\frac{4}{3}\right) - 5\left(\frac{3}{5}\right) }{ \frac{5}{3} + 4\left(\frac{3}{4}\right) } \)
\( = \frac { \frac{16}{3} - 3 }{ \frac{5}{3} + 3 } \)
\( = \frac { \frac{16 - 9}{3} }{ \frac{5 + 9}{3} } \)
\( = \frac { \frac{7}{3} }{ \frac{14}{3} } \)
\( = \frac {7}{3} \times \frac {3}{14} \)
\( = \frac {7}{14} \)
\( \implies = \frac {1}{2} \)

अतः, \( \frac { 4\tan\theta -5\cos\theta }{ \sec\theta +4\cot\theta } = \frac {1}{2} \) है।
In simple words: हमने \( \sin \theta \) का मान उपयोग करके अन्य त्रिकोणमितीय मान जैसे \( \cos \theta, \tan \theta, \cot \theta \), और \( \sec \theta \) निकाले हैं. फिर, इन सभी मानों को दिए गए भिन्न वाले व्यंजक में रखकर उसे सरल किया है.

🎯 Exam Tip: भिन्न वाली संख्याओं के साथ काम करते समय, हर को समान बनाना और न्यूमरेटर और डिनॉमिनेटर को अलग-अलग सरल करना महत्वपूर्ण है. इससे गणना में गलतियाँ कम होती हैं.

Question 9. यदि \( \cos \theta = \frac {1}{\sqrt{2}} \) हो, तो \( \sin \theta \) तथा \( \cot \theta \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \cos \theta = \frac {1}{\sqrt{2}} \) दिया गया है। हमें \( \sin \theta \) तथा \( \cot \theta \) का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) होती है।
\( \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \)
\( \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} \)
\( \sin \theta = \sqrt{1 - \left( \frac {1}{\sqrt{2}} \right)^2} \)
\( \sin \theta = \sqrt{1 - \frac {1}{2}} \)
\( \sin \theta = \sqrt{\frac {2 - 1}{2}} \)
\( \sin \theta = \sqrt{\frac {1}{2}} \)
\( \implies \sin \theta = \frac {1}{\sqrt{2}} \)

अब, \( \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \)
\( \cot \theta = \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} \)
\( \implies \cot \theta = 1 \)

अतः, \( \sin \theta = \frac {1}{\sqrt{2}} \) और \( \cot \theta = 1 \) हैं।
In simple words: हमने \( \cos \theta \) का मान उपयोग करके \( \sin \theta \) और \( \cot \theta \) का मान निकाला है. पहले हमने \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) सूत्र का उपयोग किया, फिर \( \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \) सूत्र का उपयोग किया.

🎯 Exam Tip: जब \( \sin \theta \) या \( \cos \theta \) के मान \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) हों, तो यह अक्सर 45-डिग्री के कोण को दर्शाता है, जहाँ अन्य अनुपात भी सरल होते हैं.

Question 10. यदि \( \sec \theta = 2 \) हो, तो \( \sin \theta \) और \( \tan \theta \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \sec \theta = 2 \) दिया गया है। हमें \( \sin \theta \) और \( \tan \theta \) का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि \( \cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} \)
\( \cos \theta = \frac{1}{2} \)

अब, \( \sin \theta \) का मान ज्ञात करने के लिए, हम जानते हैं कि \( \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \)
\( \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} \)
\( \sin \theta = \sqrt{1 - \left( \frac {1}{2} \right)^2} \)
\( \sin \theta = \sqrt{1 - \frac {1}{4}} \)
\( \sin \theta = \sqrt{\frac {4 - 1}{4}} \)
\( \sin \theta = \sqrt{\frac {3}{4}} \)
\( \implies \sin \theta = \frac {\sqrt{3}}{2} \)

अब, \( \tan \theta \) का मान ज्ञात करने के लिए, हम जानते हैं कि \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)
\( \tan \theta = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} \)
\( \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{1} \)
\( \implies \tan \theta = \sqrt{3} \)

अतः, \( \sin \theta = \frac {\sqrt{3}}{2} \) और \( \tan \theta = \sqrt{3} \) हैं।
In simple words: हमने \( \sec \theta \) का मान उपयोग करके \( \cos \theta \) का मान निकाला है. फिर, \( \cos \theta \) का उपयोग करके \( \sin \theta \) ज्ञात किया, और अंत में \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) दोनों का उपयोग करके \( \tan \theta \) ज्ञात किया है.

🎯 Exam Tip: यह एक मानक त्रिकोणमितीय अनुपात है; \( \sec \theta = 2 \) का अर्थ है \( \theta = 60^\circ \). \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) और \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \) होते हैं, जिसे सीधे याद रखा जा सकता है.