RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 14 न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात Exercise 14.1

प्रश्न 1. यदि △ABC में ∠A = 90°, a = 25 सेमी, b = 7 सेमी हो, तो ∠B और ∠C के लिए सभी त्रिकोणमितीय अनुपात लिखिए।
Answer: दिया है कि त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें कोण \( \angle A = 90^\circ \) है।
कर्ण \( BC = a = 25 \) सेमी है।
लम्ब \( AC = b = 7 \) सेमी है।
हमें आधार \( AB = c \) ज्ञात करना है।
त्रिभुज ABC में, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करेंगे:
\( BC^2 = AC^2 + AB^2 \)
\( (25)^2 = (7)^2 + (AB)^2 \)
\( 625 = 49 + (AB)^2 \)
\( AB^2 = 625 - 49 \)
\( AB^2 = 576 \)
\( AB = \sqrt{576} \)
\( AB = 24 \) सेमी

अब, \( \angle B \) के लिए, भुजाएँ होंगी:
आधार (adjacent) \( AB = 24 \) सेमी
लम्ब (opposite) \( AC = 7 \) सेमी
कर्ण (hypotenuse) \( BC = 25 \) सेमी

त्रिकोणमितीय अनुपात \( \angle B \) के लिए:
\( \sin B = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{AC}{BC} = \frac{7}{25} \)
\( \cos B = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{BC} = \frac{24}{25} \)
\( \tan B = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{AC}{AB} = \frac{7}{24} \)
\( \text{cosec } B = \frac{1}{\sin B} = \frac{25}{7} \)
\( \sec B = \frac{1}{\cos B} = \frac{25}{24} \)
\( \cot B = \frac{1}{\tan B} = \frac{24}{7} \)

अब, \( \angle C \) के लिए, भुजाएँ होंगी:
आधार (adjacent) \( AC = 7 \) सेमी
लम्ब (opposite) \( AB = 24 \) सेमी
कर्ण (hypotenuse) \( BC = 25 \) सेमी

त्रिकोणमितीय अनुपात \( \angle C \) के लिए:
\( \sin C = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{BC} = \frac{24}{25} \)
\( \cos C = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{AC}{BC} = \frac{7}{25} \)
\( \tan C = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{7} \)
\( \text{cosec } C = \frac{1}{\sin C} = \frac{25}{24} \)
\( \sec C = \frac{1}{\cos C} = \frac{25}{7} \)
\( \cot C = \frac{1}{\tan C} = \frac{7}{24} \)
In simple words: हमने पहले पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके त्रिभुज की तीसरी भुजा (AB) का मान 24 सेमी निकाला। फिर, हमने कोण B और कोण C दोनों के लिए सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपात निकाले। इन अनुपातों को लम्ब, आधार और कर्ण की सही भुजाओं के आधार पर परिभाषित किया जाता है।

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज में किसी भी न्यून कोण के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करते समय, यह सुनिश्चित करें कि आप 'लम्ब' और 'आधार' की सही भुजाओं का चयन कर रहे हैं, क्योंकि ये कोण के सापेक्ष बदलते हैं।

 

प्रश्न 2. यदि △ABC में ∠B = 90°, a = 12 सेमी, b = डि समा हा, तो कोण ८ और ∠C के लिए सभी त्रिकोणमितीय अनुपात लिखिए।
Answer: दिया है कि त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें कोण \( \angle B = 90^\circ \) है।
लम्ब \( BC = a = 12 \) सेमी है।
कर्ण \( AC = b = 13 \) सेमी है। (यह प्रश्न के संदर्भित समाधान से लिया गया है)
हमें आधार \( AB = c \) ज्ञात करना है।
त्रिभुज ABC में, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करेंगे:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
\( (13)^2 = c^2 + (12)^2 \)
\( 169 = c^2 + 144 \)
\( c^2 = 169 - 144 \)
\( c^2 = 25 \)
\( c = \sqrt{25} \)
\( c = 5 \) सेमी
इस प्रकार, \( AB = 5 \) सेमी है।

अब, \( \angle A \) के लिए, भुजाएँ होंगी:
आधार (adjacent) \( AB = 5 \) सेमी
लम्ब (opposite) \( BC = 12 \) सेमी
कर्ण (hypotenuse) \( AC = 13 \) सेमी

त्रिकोणमितीय अनुपात \( \angle A \) के लिए:
\( \sin A = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{13} \)
\( \cos A = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{13} \)
\( \tan A = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{5} \)
\( \text{cosec } A = \frac{1}{\sin A} = \frac{13}{12} \)
\( \sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{13}{5} \)
\( \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{5}{12} \)

अब, \( \angle C \) के लिए, भुजाएँ होंगी:
आधार (adjacent) \( BC = 12 \) सेमी
लम्ब (opposite) \( AB = 5 \) सेमी
कर्ण (hypotenuse) \( AC = 13 \) सेमी

त्रिकोणमितीय अनुपात \( \angle C \) के लिए:
\( \sin C = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{13} \)
\( \cos C = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{13} \)
\( \tan C = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{12} \)
\( \text{cosec } C = \frac{1}{\sin C} = \frac{13}{5} \)
\( \sec C = \frac{1}{\cos C} = \frac{13}{12} \)
\( \cot C = \frac{1}{\tan C} = \frac{12}{5} \)
In simple words: हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके त्रिभुज की आधार भुजा (AB) ज्ञात की, जो 5 सेमी निकली। फिर, हमने कोण A और कोण C के लिए सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपात निकाले। ये अनुपात एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच के संबंध को दर्शाते हैं।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपात के प्रश्नों में, यह महत्वपूर्ण है कि आप त्रिभुज की सभी तीनों भुजाओं की लंबाई सही ढंग से ज्ञात करें, आमतौर पर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके।

 

प्रश्न 3. यदि tan A = \( \sqrt{2} - 1 \) तो सिद्ध कीजिए कि sin A cos A = \( \frac{1}{2\surd 2} \)
Answer: दिया है, \( \tan A = \sqrt{2} - 1 \)
हम जानते हैं कि \( \tan A = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} \)
तो, \( \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} \)
मान लीजिए \( BC = (\sqrt{2} - 1)k \) और \( AB = k \), जहाँ \( k \) एक धनात्मक स्थिरांक है।
समकोण त्रिभुज ABC में, पाइथागोरस प्रमेय से:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
\( AC^2 = (k)^2 + ((\sqrt{2} - 1)k)^2 \)
\( AC^2 = k^2 + k^2 (\sqrt{2} - 1)^2 \)
\( AC^2 = k^2 + k^2 ((\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} + 1^2) \)
\( AC^2 = k^2 + k^2 (2 - 2\sqrt{2} + 1) \)
\( AC^2 = k^2 + k^2 (3 - 2\sqrt{2}) \)
\( AC^2 = k^2 (1 + 3 - 2\sqrt{2}) \)
\( AC^2 = k^2 (4 - 2\sqrt{2}) \)
\( AC = k \sqrt{4 - 2\sqrt{2}} \)

अब, हमें \( \sin A \) और \( \cos A \) के मान ज्ञात करने होंगे।
\( \sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{(\sqrt{2} - 1)k}{k\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} \)
\( \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{k}{k\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} \)

हमें सिद्ध करना है कि \( \sin A \cos A = \frac{1}{2\sqrt{2}} \)
बायाँ पक्ष (LHS) \( = \sin A \cos A \)
\( = \left( \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} \right) \times \left( \frac{1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} \right) \)
\( = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{4 - 2\sqrt{2}})^2} \)
\( = \frac{\sqrt{2} - 1}{4 - 2\sqrt{2}} \)
\( = \frac{\sqrt{2} - 1}{2(2 - \sqrt{2})} \)
\( = \frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)} \) (हर से \( \sqrt{2} \) उभयनिष्ठ लेने पर)
\( = \frac{1}{2\sqrt{2}} \)
यह दायाँ पक्ष (RHS) है।
इस प्रकार, \( \text{LHS} = \text{RHS} \) सिद्ध हुआ। यह दिखाता है कि त्रिकोणमितीय पहचानें कैसे बीजगणितीय व्यंजकों के साथ काम करती हैं।
In simple words: हमने \( \tan A \) के मान का उपयोग करके त्रिभुज की भुजाएँ निकालीं। फिर, \( \sin A \) और \( \cos A \) के मान ज्ञात किए। अंत में, हमने इन मानों को गुणा किया और यह सिद्ध किया कि उनका गुणनफल \( \frac{1}{2\sqrt{2}} \) के बराबर है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, \( \tan A = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} \) जैसे मूल त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके भुजाओं को \( k \) के पदों में व्यक्त करना अक्सर सहायक होता है।

 

प्रश्न 4. यदि sin A = \( \frac{1}{3} \) तो cos A cosec A + tan A sec A का मान ज्ञात कीजिए
Answer: दिया है, \( \sin A = \frac{1}{3} \)
हम जानते हैं कि \( \sin A = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} \)
तो, एक समकोण त्रिभुज ABC में, मान लीजिए लम्ब \( BC = k \) और कर्ण \( AC = 3k \), जहाँ \( k \) एक धनात्मक स्थिरांक है।
पाइथागोरस प्रमेय से, \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
\( AB^2 + k^2 = (3k)^2 \)
\( AB^2 + k^2 = 9k^2 \)
\( AB^2 = 9k^2 - k^2 \)
\( AB^2 = 8k^2 \)
\( AB = \sqrt{8k^2} = k\sqrt{8} = 2\sqrt{2}k \)
(चूँकि A एक न्यून कोण है, इसलिए हम धनात्मक मान लेते हैं।)

अब हम अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करते हैं:
\( \cos A = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} = \frac{2\sqrt{2}k}{3k} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
\( \text{cosec } A = \frac{1}{\sin A} = \frac{3}{1} = 3 \)
\( \tan A = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{BC}{AB} = \frac{k}{2\sqrt{2}k} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \)
\( \sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{3}{2\sqrt{2}} \)

अब हमें \( \cos A \text{ cosec } A + \tan A \sec A \) का मान ज्ञात करना है:
\( = \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \right) \times (3) + \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right) \times \left( \frac{3}{2\sqrt{2}} \right) \)
\( = 2\sqrt{2} + \frac{3}{4 \times 2} \)
\( = 2\sqrt{2} + \frac{3}{8} \)
\( = \frac{16\sqrt{2} + 3}{8} \)
यह व्यंजक का मान है। एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच के संबंधों को समझना त्रिकोणमिति में महत्वपूर्ण है।
In simple words: हमें \( \sin A \) का मान दिया गया था। हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके त्रिभुज की बाकी भुजाओं को खोजा। फिर, हमने \( \cos A, \text{cosec } A, \tan A, \sec A \) के मान निकाले और उन्हें दिए गए व्यंजक में रखकर अंतिम मान प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: जब एक त्रिकोणमितीय अनुपात दिया हो, तो हमेशा एक समकोण त्रिभुज बनाकर और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके सभी आवश्यक भुजाओं को ज्ञात करने का प्रयास करें।

 

प्रश्न 5. यदि cos \( \theta = \frac{8}{17} \) हो, तो शेष त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है, \( \cos \theta = \frac{8}{17} \)
हम जानते हैं कि \( \cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} \)
तो, एक समकोण त्रिभुज में, मान लीजिए आधार \( AB = 8k \) और कर्ण \( AC = 17k \), जहाँ \( k \) एक धनात्मक स्थिरांक है।
पाइथागोरस प्रमेय से, \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
\( (8k)^2 + BC^2 = (17k)^2 \)
\( 64k^2 + BC^2 = 289k^2 \)
\( BC^2 = 289k^2 - 64k^2 \)
\( BC^2 = 225k^2 \)
\( BC = \sqrt{225k^2} = 15k \)

अब हम अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करते हैं:
\( \sin \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{15k}{17k} = \frac{15}{17} \)
\( \tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{BC}{AB} = \frac{15k}{8k} = \frac{15}{8} \)
\( \text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{17}{15} \)
\( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{17}{8} \)
\( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{8}{15} \)
ये सभी शेष त्रिकोणमितीय अनुपात हैं। इन अनुपातों को एक कोण के लिए ज्ञात करने से हमें उस कोण और त्रिभुज की भुजाओं के बीच के संबंधों की पूरी जानकारी मिलती है।
In simple words: हमें \( \cos \theta \) का मान दिया गया था। हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके त्रिभुज की तीसरी भुजा (लम्ब) को खोजा। फिर, हमने सभी बाकी पाँच त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान निकाले।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपातों के प्रश्नों में, यदि एक अनुपात दिया गया है, तो हमेशा एक समकोण त्रिभुज की अवधारणा का उपयोग करके अन्य सभी अनुपातों को आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।

 

प्रश्न 6. यदि cos A = \( \frac{5}{13} \) हो, तो \( \frac{ }{ \text{cosA+cosecA} } \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है, \( \cos A = \frac{5}{13} \)
हम जानते हैं कि \( \cos A = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} \)
तो, एक समकोण त्रिभुज में, मान लीजिए आधार \( AB = 5k \) और कर्ण \( AC = 13k \), जहाँ \( k \) एक धनात्मक स्थिरांक है।
पाइथागोरस प्रमेय से, \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
\( (5k)^2 + BC^2 = (13k)^2 \)
\( 25k^2 + BC^2 = 169k^2 \)
\( BC^2 = 169k^2 - 25k^2 \)
\( BC^2 = 144k^2 \)
\( BC = \sqrt{144k^2} = 12k \)

अब हम \( \sin A \) और \( \text{cosec } A \) के मान ज्ञात करते हैं:
\( \sin A = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13} \)
\( \text{cosec } A = \frac{1}{\sin A} = \frac{13}{12} \)

प्रश्न में दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करना है: \( \frac{\sin A - \cos A}{\sin A + \text{cosec } A} \)
(यह व्यंजक प्रश्न के समाधान से लिया गया है क्योंकि मूल प्रश्न में व्यंजक अधूरा था।)
\( = \frac{\frac{12}{13} - \frac{5}{13}}{\frac{12}{13} + \frac{13}{12}} \)
\( = \frac{\frac{12 - 5}{13}}{\frac{12 \times 12 + 13 \times 13}{13 \times 12}} \)
\( = \frac{\frac{7}{13}}{\frac{144 + 169}{156}} \)
\( = \frac{\frac{7}{13}}{\frac{313}{156}} \)
\( = \frac{7}{13} \times \frac{156}{313} \)
\( = 7 \times \frac{12}{313} \)
\( = \frac{84}{313} \)
यह दिए गए व्यंजक का मान है। त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके जटिल व्यंजकों को हल करना एक सामान्य अभ्यास है।
In simple words: हमें \( \cos A \) का मान दिया गया था। हमने त्रिभुज की बाकी भुजाओं को निकालने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का इस्तेमाल किया। फिर, हमने \( \sin A \) और \( \text{cosec } A \) के मान निकाले और उन्हें दिए गए व्यंजक में रखकर अंतिम उत्तर प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: जब कोई जटिल त्रिकोणमितीय व्यंजक दिया हो, तो पहले सभी आवश्यक त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान अलग-अलग ज्ञात करें, फिर उन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करके सरलीकृत करें।

 

प्रश्न 7. यदि 5 tan\( \theta \) = 4 हो, तो \( \frac{5\sin\theta -3\cos\theta }{5\sin\theta +2\cos\theta } \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है, \( 5 \tan \theta = 4 \)
तो, \( \tan \theta = \frac{4}{5} \)
हम जानते हैं कि \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)
दिए गए व्यंजक को \( \cos \theta \) से अंश और हर को विभाजित करके सरलीकृत किया जा सकता है:
\( \frac{5\sin\theta -3\cos\theta }{5\sin\theta +2\cos\theta } = \frac{\frac{5\sin\theta}{\cos\theta} - \frac{3\cos\theta}{\cos\theta} }{\frac{5\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{2\cos\theta}{\cos\theta} } \)
\( = \frac{5\tan\theta - 3}{5\tan\theta + 2} \)
अब \( \tan \theta = \frac{4}{5} \) का मान प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac{5\left(\frac{4}{5}\right) - 3}{5\left(\frac{4}{5}\right) + 2} \)
\( = \frac{4 - 3}{4 + 2} \)
\( = \frac{1}{6} \)
यह दिए गए व्यंजक का मान है। इस विधि का उपयोग करके, हमें त्रिभुज की भुजाओं को अलग से खोजने की आवश्यकता नहीं पड़ी।
In simple words: हमें \( \tan \theta \) का मान दिया गया था। हमने दिए गए व्यंजक के अंश और हर को \( \cos \theta \) से भाग दिया ताकि यह \( \tan \theta \) के पदों में बदल जाए। फिर, हमने \( \tan \theta \) का मान रखा और व्यंजक को सरल किया, जिससे हमें \( \frac{1}{6} \) उत्तर मिला।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में जहाँ \( \tan \theta \) का मान दिया हो और \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) वाले व्यंजक का मान पूछा गया हो, सबसे कुशल तरीका यह है कि व्यंजक के अंश और हर को \( \cos \theta \) से भाग देकर उसे \( \tan \theta \) के पदों में बदल दिया जाए।

 

प्रश्न 8. त्रिभुज ABC में \( \angle C = 90^\circ \) है और यदि cot A = \( \sqrt{3} \) तथा cot B = \( \frac{1}{\surd 3 } \) है तो सिद्ध कीजिए का sin A cos B + cos A sin B = 1
Answer: दिया है कि त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें \( \angle C = 90^\circ \) है।

पहला भाग: \( \cot A = \sqrt{3} \)
हम जानते हैं कि \( \cot A = \sqrt{3} \) जब \( A = 30^\circ \) होता है।

दूसरा भाग: \( \cot B = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
हम जानते हैं कि \( \cot B = \frac{1}{\sqrt{3}} \) जब \( B = 60^\circ \) होता है।

चूँकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है, तो \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
\( 30^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
\( 180^\circ = 180^\circ \)
इससे पुष्टि होती है कि \( A = 30^\circ \) और \( B = 60^\circ \) सही हैं।

अब हमें \( \sin A \cos B + \cos A \sin B = 1 \) सिद्ध करना है।
यहाँ, \( A = 30^\circ \) और \( B = 60^\circ \) का उपयोग करेंगे।
\( \sin A = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \cos B = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \cos A = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \sin B = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

बायाँ पक्ष (LHS) \( = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
\( = \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
\( = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \)
\( = \frac{1+3}{4} \)
\( = \frac{4}{4} \)
\( = 1 \)
यह दायाँ पक्ष (RHS) है।
इस प्रकार, \( \text{LHS} = \text{RHS} \) सिद्ध हुआ। यह त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \) का एक उदाहरण भी है।
In simple words: हमें \( \cot A \) और \( \cot B \) के मान दिए गए थे। हमने उन मानों से कोण A और B को पहचाना। फिर, हमने इन कोणों के लिए \( \sin \) और \( \cos \) के मान निकाले। अंत में, हमने इन मानों को दिए गए व्यंजक में रखा और दिखाया कि इसका उत्तर 1 आता है।

🎯 Exam Tip: मानक कोणों (जैसे \( 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ \)) के त्रिकोणमितीय मानों को याद रखना इस प्रकार के सिद्ध करने वाले प्रश्नों को हल करने में बहुत सहायक होता है।

 

प्रश्न 9. यदि 16 cot A = 12 हों, तो \( \frac{ }{sinA+cosA }{ sinA-cosA } \) को मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है, \( 16 \cot A = 12 \)
तो, \( \cot A = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \)
हम जानते हैं कि \( \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \)
दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करना है: \( \frac{\sin A + \cos A}{\sin A - \cos A} \)
(यह व्यंजक प्रश्न के समाधान से लिया गया है क्योंकि मूल प्रश्न में व्यंजक अधूरा था।)
इस व्यंजक को \( \sin A \) से अंश और हर को विभाजित करके सरलीकृत किया जा सकता है:
\( \frac{\sin A + \cos A}{\sin A - \cos A} = \frac{\frac{\sin A}{\sin A} + \frac{\cos A}{\sin A}}{\frac{\sin A}{\sin A} - \frac{\cos A}{\sin A}} \)
\( = \frac{1 + \cot A}{1 - \cot A} \)
अब \( \cot A = \frac{3}{4} \) का मान प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac{1 + \frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{4}} \)
\( = \frac{\frac{4+3}{4}}{\frac{4-3}{4}} \)
\( = \frac{\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}} \)
\( = 7 \)
यह दिए गए व्यंजक का मान है। त्रिकोणमितीय अनुपातों का उचित रूपांतरण ऐसे प्रश्नों को आसानी से हल करने में मदद करता है।
In simple words: हमें \( \cot A \) का मान दिया गया था। हमने इसे \( \frac{3}{4} \) के रूप में सरल किया। फिर, हमने दिए गए व्यंजक के अंश और हर को \( \sin A \) से भाग देकर उसे \( \cot A \) के रूप में बदल दिया। अंत में, \( \cot A \) का मान रखा और व्यंजक को सरल करके उत्तर 7 प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: यदि \( \cot A \) या \( \tan A \) का मान दिया गया हो और \( \sin A \) तथा \( \cos A \) वाले व्यंजक का मान पूछा जाए, तो व्यंजक को \( \cot A \) या \( \tan A \) के पदों में बदलने के लिए अंश और हर को \( \sin A \) या \( \cos A \) से विभाजित करना सबसे प्रभावी तरीका होता है।

 

प्रश्न 10. चित्र में, AD = DB तथा \( \angle B = 90^\circ \) है तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।
(i) sine
(ii) cose
(iii) tane

Answer: चित्र के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज ABC है जहाँ \( \angle B = 90^\circ \) है।
बिंदु D भुजा AB पर स्थित है, और \( AD = DB \) दिया गया है। इसका मतलब है कि D, AB का मध्यबिंदु है।
मान लीजिए \( AB = a \) और \( AC = b \)।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके \( \triangle ABC \) में:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
\( b^2 = a^2 + BC^2 \)
\( BC^2 = b^2 - a^2 \)
\( BC = \sqrt{b^2 - a^2} \)

चूँकि D, AB का मध्यबिंदु है, \( BD = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2} \)
अब, \( \triangle DBC \) में, \( \angle B = 90^\circ \) है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके \( \triangle DBC \) में:
\( CD^2 = BC^2 + BD^2 \)
\( CD^2 = (b^2 - a^2) + \left( \frac{a}{2} \right)^2 \)
\( CD^2 = b^2 - a^2 + \frac{a^2}{4} \)
\( CD^2 = \frac{4b^2 - 4a^2 + a^2}{4} \)
\( CD^2 = \frac{4b^2 - 3a^2}{4} \)
\( CD = \frac{\sqrt{4b^2 - 3a^2}}{2} \)

कोण \( \theta \) के लिए (जो \( \angle DCB \) है):
लम्ब \( = BD = \frac{a}{2} \)
आधार \( = BC = \sqrt{b^2 - a^2} \)
कर्ण \( = CD = \frac{\sqrt{4b^2 - 3a^2}}{2} \)

(i) \( \sin \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{BD}{CD} \)
\( = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{4b^2 - 3a^2}}{2}} \)
\( = \frac{a}{\sqrt{4b^2 - 3a^2}} \)

(ii) \( \cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{CD} \)
\( = \frac{\sqrt{b^2 - a^2}}{\frac{\sqrt{4b^2 - 3a^2}}{2}} \)
\( = \frac{2\sqrt{b^2 - a^2}}{\sqrt{4b^2 - 3a^2}} \)

(iii) \( \tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{BD}{BC} \)
\( = \frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{b^2 - a^2}} \)
\( = \frac{a}{2\sqrt{b^2 - a^2}} \)
In simple words: दिए गए चित्र और शर्तों के आधार पर, हमने पहले त्रिभुज की सभी भुजाओं की लंबाई \( a \) और \( b \) के रूप में ज्ञात की। फिर, हमने कोण \( \theta \) के लिए \( \sin \theta, \cos \theta, \) और \( \tan \theta \) के मानों की गणना की, जिसके लिए हमने लम्ब, आधार और कर्ण की पहचान की।

🎯 Exam Tip: ऐसे ज्यामितीय प्रश्नों में जहाँ कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात पूछे जाते हैं, हमेशा एक समकोण त्रिभुज की पहचान करें, उसकी सभी भुजाओं का मान ज्ञात करें, और फिर उन भुजाओं के सापेक्ष लम्ब, आधार और कर्ण को सही ढंग से चुनें।