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Detailed Chapter 12 घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन RBSE Solutions for Class 9 Mathematics
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Class 9 Mathematics Chapter 12 घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन RBSE Solutions PDF
बहुविकल्पीय प्रश्न
प्रश्न 1. यदि घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके आयतन के बराबर है, तो घन की कोर है-
(a) 5 सेमी
(b) 6 सेमी
(c) 7 सेमी
(d) 8 सेमी
Answer: (b) 6 सेमी
In simple words: यदि घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके आयतन के बराबर हो, तो उसकी भुजा की लम्बाई 6 सेमी होती है। यह एक विशेष स्थिति है जहाँ इन दो ज्यामितीय मापों का मान समान होता है।
🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल \( (6a^2) \) और आयतन \( (a^3) \) के सूत्रों को बराबर करके भुजा \( (a) \) का मान ज्ञात करें।
प्रश्न 2. 6 सेमी \( \times \) 4 सेमी \( \times \) \( 2\sqrt{3} \) सेमी माप वाले एक आयताकार बक्से में कितनी अधिकतम लम्बाई की छड़ रखी जा सकती है?
(a) 8 सेमी
(b) \( 6\sqrt{3} \) सेमी
(c) \( 5\sqrt{3} \) सेमी
(d) \( 4\sqrt{2} \) सेमी
Answer: (a) 8 सेमी
In simple words: किसी बक्से में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ की लंबाई उस बक्से के विकर्ण की लंबाई के बराबर होती है। इस बक्से के लिए, विकर्ण की लंबाई 8 सेमी है।
🎯 Exam Tip: घनाभ के विकर्ण की लम्बाई का सूत्र \( \sqrt{l^2 + b^2 + h^2} \) होता है। इस सूत्र का उपयोग करके लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई के मानों को सही ढंग से रखकर गणना करें।
प्रश्न 3. 4 सेमी भुजा वाले घन को 1 सेमी भुजा वाले घनों में काटा गया है। काटे गए छोटे घनों का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
(a) 96 सेमी\(^2\)
(b) 64 सेमी\(^2\)
(c) 24 सेमी\(^2\)
(d) 384 सेमी\(^2\)
Answer: (d) 384 सेमी\(^2\)
In simple words: एक बड़े घन को छोटे-छोटे घनों में काटने पर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बढ़ जाता है। यहाँ, 4 सेमी के घन को 1 सेमी के घनों में काटने पर सभी छोटे घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 384 सेमी\(^2\) होगा।
🎯 Exam Tip: जब एक बड़े घन को छोटे घनों में काटा जाता है, तो नए छोटे घनों की संख्या ज्ञात करने के लिए बड़े घन के आयतन को छोटे घन के आयतन से विभाजित करें। फिर सभी छोटे घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
प्रश्न 5. यदि किसी घन के विकर्ण की लम्बाई \( 6\sqrt{3} \) सेमी हो, तो इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा
(a) 648 सेमी\(^2\)
(b) 432 सेमी\(^2\)
(c) 216 सेमी\(^2\)
(d) 144 सेमी\(^2\)
Answer: (c) 216 सेमी\(^2\)
In simple words: घन के विकर्ण की लम्बाई से उसकी भुजा ज्ञात की जा सकती है। एक बार भुजा मिल जाने पर, आप घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल आसानी से निकाल सकते हैं। यहाँ, पृष्ठीय क्षेत्रफल 216 सेमी\(^2\) है।
🎯 Exam Tip: घन के विकर्ण का सूत्र \( a\sqrt{3} \) होता है, जहाँ \( a \) भुजा है। पहले इस सूत्र से भुजा ज्ञात करें, फिर पृष्ठीय क्षेत्रफल \( (6a^2) \) के सूत्र का उपयोग करें।
प्रश्न 6. यदि घन के तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल का अनुपात 3 : 4 : 6 है और इसका आयतन 3000 सेमी\(^3\) है, तब लम्बी भुजा की लम्बाई है:
(a) 15 सेमी
(b) 20 सेमी
(c) 10 सेमी
(d) 125 सेमी
Answer: (b) 20 सेमी
In simple words: यदि किसी घनाभ के तीन पड़ोसी फलकों के क्षेत्रफलों का अनुपात और उसका आयतन दिया हो, तो हम उसकी तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं। यहाँ, सबसे लंबी भुजा की लंबाई 20 सेमी है।
🎯 Exam Tip: आसन्न फलकों के क्षेत्रफलों को \( lb=3x, bh=4x, hl=6x \) मानें। तीनों को गुणा करने पर \( (lbh)^2 = 72x^3 \) प्राप्त होगा। आयतन \( lbh \) का मान रखने पर \( x \) का मान मिल जाएगा, जिससे भुजाएँ ज्ञात की जा सकती हैं।
प्रश्न 7. किसी घन के 1 फलक का परिमाप 32 सेमी है। घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल है-
(a) 256 सेमी\(^2\)
(b) 384 सेमी\(^2\)
(c) 216 सेमी\(^2\)
(d) 300 सेमी\(^2\)
Answer: (b) 384 सेमी\(^2\)
In simple words: घन का प्रत्येक फलक एक वर्ग होता है। यदि वर्ग का परिमाप 32 सेमी है, तो उसकी भुजा 8 सेमी होगी। इस भुजा का उपयोग करके, हम घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 384 सेमी\(^2\) निकाल सकते हैं।
🎯 Exam Tip: घन के फलक के परिमाप से घन की भुजा (a) ज्ञात करें (परिमाप \( = 4a \))। फिर घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( (6a^2) \) के सूत्र से ज्ञात करें।
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
प्रश्न 8. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
1. घनाभ में 6 होते हैं।
2. घन में 12 होती हैं।
3. घनाभ का प्रत्येक फलक.......... होता है।
4. घन का प्रत्येक फलक..........होता है।
5. घनाभ का आयतन =..... का क्षेत्रफल \( \times \) ऊँचाई
6. 1 मी\(^3\) =.............ली
7. 1 ली = ......... सेमी\(^3\)
Answer:
1. घनाभ में 6 फलक होते हैं।
2. घन में 12 कोरें होती हैं।
3. घनाभ का प्रत्येक फलक आयताकार होता है।
4. घन का प्रत्येक फलक वर्गाकार होता है।
5. घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल \( \times \) ऊँचाई
6. 1 मी\(^3\) = 1000 ली
7. 1 ली = 1000 सेमी\(^3\) यहाँ, 1 लीटर में 1000 घन सेंटीमीटर होते हैं।
In simple words: घनाभ में 6 फलक और घन में 12 कोरें होती हैं। घनाभ के फलक आयताकार और घन के फलक वर्गाकार होते हैं। आयतन ज्ञात करने के लिए आधार के क्षेत्रफल को ऊँचाई से गुणा करते हैं, और 1 घन मीटर में 1000 लीटर तथा 1 लीटर में 1000 घन सेंटीमीटर होते हैं।
🎯 Exam Tip: घन और घनाभ के मूलभूत गुणों (फलक, कोर, शीर्ष) और आयतन व धारिता के बीच संबंध को अच्छी तरह याद रखें।
अतिलघूत्तीय/लघूत्तीय प्रश्न
प्रश्न 1. 6 मीटर भुजा के वर्गाकार फर्श के कमरे में हवा का आयतन 180 घन मीटर है। कमरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
कमरे के वर्गाकार फर्श की लम्बाई \( l = 6 \) मीटर
कमरे के वर्गाकार फर्श की चौड़ाई \( b = 6 \) मीटर (क्योंकि फर्श वर्गाकार है)
कमरे में हवा का आयतन \( V = 180 \) घन मीटर
माना कमरे की ऊँचाई \( = h \) मीटर
कमरे का आयतन \( = l \times b \times h \)
\( 180 = 6 \times 6 \times h \)
\( 180 = 36h \)
\( h = \frac{180}{36} \)
\( h = 5 \) मीटर
अतः, कमरे की ऊँचाई 5 मीटर है। कमरे का आयतन उसके अंदर की जगह को दर्शाता है।
In simple words: कमरे का आयतन उसकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई को गुणा करके निकाला जाता है। यदि हमें आयतन, लम्बाई और चौड़ाई पता है, तो हम ऊँचाई को आयतन को लम्बाई और चौड़ाई के गुणनफल से भाग देकर ज्ञात कर सकते हैं।
🎯 Exam Tip: कमरे का फर्श वर्गाकार होने पर लम्बाई और चौड़ाई बराबर होती हैं। आयतन के सूत्र \( (V = l \times b \times h) \) का उपयोग करके अज्ञात ऊँचाई ज्ञात करें।
प्रश्न 2. एक कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5, 4 और 3 मीटर हैं। 7.50 रुपये प्रति मीटर\(^2\) की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer:
कमरे की लम्बाई \( l = 5 \) मीटर
कमरे की चौड़ाई \( b = 4 \) मीटर
कमरे की ऊँचाई \( h = 3 \) मीटर
सफेदी कराने की दर \( = 7.50 \) रुपये प्रति मीटर\(^2\)
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल \( = 2(l + b)h \)
\( = 2(5 + 4) \times 3 \)
\( = 2(9) \times 3 \)
\( = 18 \times 3 = 54 \) मीटर\(^2\)
छत का क्षेत्रफल \( = l \times b \)
\( = 5 \times 4 = 20 \) मीटर\(^2\)
सफेदी कराने योग्य कुल क्षेत्रफल \( = \) दीवारों का क्षेत्रफल \( + \) छत का क्षेत्रफल
\( = 54 + 20 = 74 \) मीटर\(^2\)
कुल सफेदी कराने का व्यय \( = \) कुल क्षेत्रफल \( \times \) दर
\( = 74 \times 7.50 \)
\( = 555.00 \) रुपये
अतः, कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का कुल व्यय 555 रुपये होगा। सफेदी कराने से कमरे की सुंदरता बढ़ती है।
In simple words: पहले कमरे की दीवारों और छत का कुल क्षेत्रफल निकालें। दीवारों का क्षेत्रफल \( 2(l+b)h \) होता है और छत का क्षेत्रफल \( l \times b \) होता है। फिर कुल क्षेत्रफल को सफेदी की दर से गुणा करके कुल व्यय पता करें।
🎯 Exam Tip: दीवारों और छत पर सफेदी कराने का मतलब है कि फर्श पर सफेदी नहीं होती। सही क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए दीवारों और छत के अलग-अलग क्षेत्रफल को जोड़ें।
प्रश्न 3. एक सन्दूक की माप 50 सेमी \( \times \) 36 सेमी \( \times \) 25 सेमी है। इस सन्दूक का कवर बनाने में कितने वर्ग सेमी कपड़े की आवश्यकता होगी?
Answer:
सन्दूक की लम्बाई \( l = 50 \) सेमी
सन्दूक की चौड़ाई \( b = 36 \) सेमी
सन्दूक की ऊँचाई \( h = 25 \) सेमी
सन्दूक का कवर बनाने के लिए उसके सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर कपड़े की आवश्यकता होगी। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल यह दर्शाता है कि सन्दूक की सभी बाहरी सतहों को ढकने के लिए कितना कपड़ा चाहिए।
सन्दूक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(lb + bh + hl) \)
\( = 2(50 \times 36 + 36 \times 25 + 25 \times 50) \)
\( = 2(1800 + 900 + 1250) \)
\( = 2(3950) \)
\( = 7900 \) वर्ग सेमी
अतः, सन्दूक के कवर के लिए 7900 वर्ग सेमी कपड़े की आवश्यकता होगी।
In simple words: सन्दूक का कवर बनाने के लिए उसके कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर कपड़े की जरूरत होगी। यह क्षेत्रफल घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र \( 2(lb + bh + hl) \) से निकाला जाता है।
🎯 Exam Tip: किसी वस्तु को पूरी तरह ढकने के लिए हमेशा उसके सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का उपयोग करें। लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई को सही ढंग से गुणा और जोड़ना सुनिश्चित करें।
प्रश्न 4. एक छोटा पौधा-घर (ग्रीन हाउस) पूरी तरह से शीशे की पट्टियों से (आधार भी शामिल) घर के अंदर बनाया गया है, और इसे टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा-घर 30 सेमी लम्बा, 25 सेमी चौड़ा और 25 सेमी ऊँचा है। ज्ञात कीजिए:
(i) शीशे की पट्टियों का कुल क्षेत्रफल कितना है?
(ii) सभी किनारों को चिपकाने के लिए आवश्यक टेप की लम्बाई कितनी है?
Answer:
पौधा-घर की लम्बाई \( l = 30 \) सेमी
पौधा-घर की चौड़ाई \( b = 25 \) सेमी
पौधा-घर की ऊँचाई \( h = 25 \) सेमी
(i) शीशे की पट्टियों का कुल क्षेत्रफल:
चूँकि पौधा-घर आधार सहित पूरी तरह शीशे से बना है, इसलिए आवश्यक शीशे का क्षेत्रफल पौधा-घर के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होगा। एक पौधा घर पर्यावरण को नियंत्रित करने में मदद करता है।
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(lb + bh + hl) \)
\( = 2[(30 \times 25) + (25 \times 25) + (25 \times 30)] \)
\( = 2[750 + 625 + 750] \)
\( = 2 \times 2125 \)
\( = 4250 \) सेमी\(^2\)
अतः, पौधा घर बनाने में प्रयुक्त काँच का कुल क्षेत्रफल 4250 वर्ग सेमी है।
(ii) आवश्यक टेप की लम्बाई:
एक घनाभ के 12 किनारे होते हैं, जिनमें 4 लम्बाइयाँ, 4 चौड़ाइयाँ और 4 ऊँचाइयाँ शामिल होती हैं।
सभी किनारों की कुल लम्बाई \( = 4(l + b + h) \)
\( = 4(30 + 25 + 25) \)
\( = 4(80) \)
\( = 320 \) सेमी
अतः, आवश्यक टेप की कुल लम्बाई 320 सेमी है।
In simple words: (i) शीशे का कुल क्षेत्रफल पौधा-घर के कुल बाहरी सतह के बराबर होता है, जिसे \( 2(lb + bh + hl) \) सूत्र से निकालते हैं। (ii) टेप की लम्बाई घनाभ के सभी किनारों की कुल लम्बाई के बराबर होती है, जिसे \( 4(l + b + h) \) सूत्र से निकालते हैं।
🎯 Exam Tip: जब आधार सहित संपूर्ण ढाँचे की बात हो, तो सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र प्रयोग करें। किनारों के लिए टेप की लम्बाई ज्ञात करने हेतु सभी 12 किनारों की कुल लम्बाई का सूत्र \( 4(l+b+h) \) का उपयोग करें।
प्रश्न 5. यदि 12 सेमी कोर वाले ठोस घन को 8 बराबर आयतन वाले घनों में काटा जाता है। इस प्रकार बने घन की कोर की लम्बाई क्या होगी? दिए हुए घन तथा 8 नए बने घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात करो।
Answer:
दिए गए घन की कोर \( A = 12 \) सेमी
दिए गए घन का आयतन \( V_L = A^3 = 12^3 = 1728 \) सेमी\(^3\)
इस बड़े घन को 8 बराबर आयतन वाले छोटे घनों में काटा जाता है।
प्रत्येक छोटे घन का आयतन \( V_S = \frac{V_L}{8} = \frac{1728}{8} = 216 \) सेमी\(^3\)
माना प्रत्येक छोटे घन की कोर \( = a \) सेमी
तब, \( a^3 = 216 \) सेमी\(^3\)
\( \implies \) \( a = \sqrt[3]{216} \)
\( \implies \) \( a = 6 \) सेमी
अतः, इस प्रकार बने प्रत्येक घन की कोर की लम्बाई 6 सेमी होगी। जब एक बड़ा घन छोटे घनों में कटता है, तो उसका कुल आयतन वही रहता है, बस पृष्ठीय क्षेत्रफल बदल जाता है।
अब पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करते हैं:
दिए गए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S_1 = 6A^2 = 6 \times (12)^2 = 6 \times 144 = 864 \) सेमी\(^2\)
8 नए बने घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S_2 = 8 \times (6a^2) = 8 \times (6 \times 6^2) = 8 \times (6 \times 36) = 8 \times 216 = 1728 \) सेमी\(^2\)
दोनों पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात \( \frac{S_1}{S_2} = \frac{864}{1728} = \frac{1}{2} \)
अतः, दिए गए घन और 8 नए बने घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात \( 1:2 \) है।
In simple words: पहले बड़े घन के आयतन को 8 से भाग देकर छोटे घन का आयतन और फिर उसकी भुजा निकालें। फिर बड़े घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल और सभी 8 छोटे घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकाल कर उनका अनुपात ज्ञात करें।
🎯 Exam Tip: आयतन के बराबर भागों में काटने पर नए घनों की भुजा ज्ञात करने के लिए आयतन के सूत्र का उपयोग करें। पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात निकालते समय, सभी नए घनों के कुल क्षेत्रफल का ध्यान रखें।
प्रश्न 7. किसी घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई का योग 17 सेमी है तथा इसके विकर्ण की लम्बाई 13 सेमी है। ज्ञात करोः
(i) घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) 2.5 रुपये/सेमी\(^2\) की दर से रंग कराने का व्यय
Answer:
माना घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई क्रमशः \( l, b \) और \( h \) सेमी है।
दिया गया है:
\( l + b + h = 17 \) सेमी
घनाभ के विकर्ण की लम्बाई \( D = 13 \) सेमी
हम जानते हैं कि घनाभ के विकर्ण का सूत्र \( D = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2} \) होता है।
\( \sqrt{l^2 + b^2 + h^2} = 13 \)
दोनों ओर वर्ग करने पर:
\( l^2 + b^2 + h^2 = 13^2 \)
\( l^2 + b^2 + h^2 = 169 \) ...(1)
हम यह भी जानते हैं कि \( (l+b+h)^2 = l^2 + b^2 + h^2 + 2(lb + bh + hl) \)
दिए गए मानों को समीकरण में रखने पर:
\( (17)^2 = 169 + 2(lb + bh + hl) \)
\( 289 = 169 + 2(lb + bh + hl) \)
\( 2(lb + bh + hl) = 289 - 169 \)
\( 2(lb + bh + hl) = 120 \) सेमी\(^2\)
(i) घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल:
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(lb + bh + hl) = 120 \) सेमी\(^2\)
यह क्षेत्रफल घनाभ की सभी छह सतहों का कुल माप है।
(ii) रंग कराने का व्यय:
रंग कराने की दर \( = \) Rs. 2.5 प्रति सेमी\(^2\)
कुल रंग कराने का व्यय \( = \) पृष्ठीय क्षेत्रफल \( \times \) दर
\( = 120 \times 2.5 \)
\( = 300 \) रुपये
अतः, घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 120 सेमी\(^2\) है और इसे रंग कराने का कुल व्यय 300 रुपये होगा।
In simple words: यदि घनाभ की भुजाओं का योग और विकर्ण की लम्बाई दी हो, तो हम एक विशेष सूत्र का उपयोग करके उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। फिर इस क्षेत्रफल को रंग की दर से गुणा करके कुल खर्चा निकाला जा सकता है।
🎯 Exam Tip: \( (l+b+h)^2 \) के विस्तार सूत्र \( (l^2+b^2+h^2+2(lb+bh+hl)) \) का उपयोग घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए करें जब योग और विकर्ण की लम्बाई दी गई हो।
प्रश्न 9. एक बच्चा भवन ब्लॉकों से खेल रहा है, जो एक घन के आकार के हैं और उसने नीचे दिखाई गई आकृतिक अनुसार ढाँचा बना लिया है। प्रत्येक घन का किनारा 3 सेमी है। उस बच्चे द्वारा बनाए गए ढाँचे का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए ढाँचे में घनों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक परत में घनों की संख्या जोड़ेंगे:
सबसे निचली परत में घनों की संख्या \( = 4 \times 3 = 12 \)
बीच वाली परत में घनों की संख्या \( = 3 \times 2 = 6 \)
सबसे ऊपरी परत में घनों की संख्या \( = 2 \times 1 = 2 \)
ढाँचे में कुल घनों की संख्या \( = 12 + 6 + 2 = 20 \)
प्रत्येक घन का किनारा \( = 3 \) सेमी
एक घन का आयतन \( = (\text{किनारा})^3 = 3^3 = 27 \) सेमी\(^3\)
पूरे ढाँचे का कुल आयतन \( = \) कुल घनों की संख्या \( \times \) एक घन का आयतन
\( = 20 \times 27 \)
\( = 540 \) सेमी\(^3\)
अतः, बच्चे द्वारा बनाए गए ढाँचे का कुल आयतन 540 सेमी\(^3\) है। यह संरचनात्मक खेल बच्चों की स्थानिक समझ को बढ़ाता है।
In simple words: पहले चित्र में दिखाए गए सभी छोटे घनों को गिनें। फिर एक छोटे घन का आयतन निकालें। कुल आयतन ज्ञात करने के लिए कुल घनों की संख्या को एक घन के आयतन से गुणा कर दें।
🎯 Exam Tip: ऐसे संरचनात्मक प्रश्नों में, सबसे पहले सभी छोटे-छोटे इकाइयों (घनों) की गिनती करें। फिर एक इकाई का आयतन ज्ञात करके कुल आयतन निकालें।
प्रश्न 11. एक आयताकार धातु की चादर की लम्बाई 45 सेमी तथा चौड़ाई 30 सेमी है। इसके प्रत्येक किनारे से 5 सेमी का वर्ग काटा गया है। चादर के बचे हुए भाग को मोड़कर एक खुला बक्सा बनाया गया है। इस बक्से का आयतन ज्ञात करो।
Answer:
धातु की चादर की मूल लम्बाई \( L = 45 \) सेमी
धातु की चादर की मूल चौड़ाई \( B = 30 \) सेमी
प्रत्येक कोने से काटे गए वर्ग की भुजा \( = 5 \) सेमी
जब किनारों से वर्ग काट कर चादर को मोड़ा जाता है, तो बक्से की ऊँचाई काटे गए वर्ग की भुजा के बराबर होती है।
बक्से की ऊँचाई \( h = 5 \) सेमी
बक्से की लम्बाई \( l = L - (2 \times 5) = 45 - 10 = 35 \) सेमी
बक्से की चौड़ाई \( b = B - (2 \times 5) = 30 - 10 = 20 \) सेमी
बक्से का आयतन \( V = l \times b \times h \)
\( = 35 \times 20 \times 5 \)
\( = 700 \times 5 \)
\( = 3500 \) सेमी\(^3\)
अतः, इस खुले बक्से का आयतन 3500 सेमी\(^3\) होगा। इस तरह के बक्से पैकेजिंग और भंडारण में उपयोगी होते हैं।
In simple words: जब एक आयताकार चादर के कोनों से वर्ग काटे जाते हैं और उसे मोड़ा जाता है, तो बक्से की लम्बाई और चौड़ाई दोनों ओर से घटी हुई भुजा के बराबर हो जाती है, जबकि कटे हुए वर्ग की भुजा ही बक्से की ऊँचाई बन जाती है। फिर तीनों विमाओं को गुणा करके आयतन निकाला जाता है।
🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, कटाई के बाद लम्बाई और चौड़ाई दोनों में से दो बार कटे हुए हिस्से की लम्बाई घटती है, और कटे हुए हिस्से की लम्बाई ही बक्से की ऊँचाई बनती है।
प्रश्न 12. तीन धातु के घनों की कोरों का अनुपात 3 : 4 : 5 है। यदि इनको पिघलाकर एक नया घन बनाया जाए, जिसके विकर्ण की लम्बाई \( 12\sqrt{3} \) सेमी है, तो इन तीन घनों की कोरें ज्ञात करो।
Answer:
माना तीन धातु के घनों की कोरें क्रमशः \( 3x, 4x \) और \( 5x \) सेमी हैं।
पहले घन का आयतन \( V_1 = (3x)^3 = 27x^3 \)
दूसरे घन का आयतन \( V_2 = (4x)^3 = 64x^3 \)
तीसरे घन का आयतन \( V_3 = (5x)^3 = 125x^3 \)
तीनों घनों का कुल आयतन \( V_{कुल} = V_1 + V_2 + V_3 = 27x^3 + 64x^3 + 125x^3 = 216x^3 \)
इन तीनों घनों को पिघलाकर एक नया घन बनाया जाता है। पिघलाने पर आयतन अपरिवर्तित रहता है।
माना नए घन की कोर \( = a \) सेमी
नए घन का आयतन \( = a^3 \)
इसलिए, \( a^3 = 216x^3 \) ...(1)
नए घन के विकर्ण की लम्बाई \( = 12\sqrt{3} \) सेमी
हम जानते हैं कि घन के विकर्ण का सूत्र \( = a\sqrt{3} \) होता है।
अतः, \( a\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \)
\( \implies \) \( a = 12 \) सेमी
समीकरण (1) में \( a \) का मान रखने पर:
\( 12^3 = 216x^3 \)
\( 1728 = 216x^3 \)
\( x^3 = \frac{1728}{216} \)
\( x^3 = 8 \)
\( \implies \) \( x = \sqrt[3]{8} \)
\( \implies \) \( x = 2 \)
अब तीनों मूल घनों की कोरें ज्ञात करते हैं:
पहले घन की कोर \( = 3x = 3 \times 2 = 6 \) सेमी
दूसरे घन की कोर \( = 4x = 4 \times 2 = 8 \) सेमी
तीसरे घन की कोर \( = 5x = 5 \times 2 = 10 \) सेमी
अतः, तीनों घनों की कोरें क्रमशः 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी हैं। धातुओं को पिघलाकर नई आकृतियाँ बनाने की यह प्रक्रिया सामग्री के संरक्षण को दर्शाती है।
In simple words: सबसे पहले, घनों की कोरों के अनुपात से उनके आयतन को \( x \) के पदों में निकालें और कुल आयतन ज्ञात करें। फिर नए घन के विकर्ण से उसकी भुजा ज्ञात करें। इस भुजा से नए घन का आयतन निकालें और उसे कुल आयतन के बराबर करके \( x \) का मान ज्ञात करें। अंत में, \( x \) के मान से तीनों घनों की मूल कोरें ज्ञात करें।
🎯 Exam Tip: जब धातु के घनों को पिघलाया जाता है, तो उनका कुल आयतन नहीं बदलता। इस सिद्धांत का उपयोग करके एक चर (जैसे \( x \)) का मान ज्ञात करें और फिर सभी भुजाओं की गणना करें।
प्रश्न 14. एक आयताकार जलाशय 75 मी लम्बा, 50 मी चौड़ा है। 15 सेमी \( \times \) 10 सेमी अनुप्रस्थ काट वाली नली से 10 किमी/घण्टा की दर से इसमें पानी बह रहा है। 20 घण्टे में पानी का स्तर कितना ऊँचा उठ जायेगा?
Answer:
जलाशय की लम्बाई \( L = 75 \) मी
जलाशय की चौड़ाई \( B = 50 \) मी
नली की अनुप्रस्थ काट की लम्बाई \( = 15 \) सेमी \( = 0.15 \) मी
नली की अनुप्रस्थ काट की चौड़ाई \( = 10 \) सेमी \( = 0.10 \) मी
पानी बहने की दर (चाल) \( v = 10 \) किमी/घण्टा \( = 10 \times 1000 \) मी/घण्टा \( = 10000 \) मी/घण्टा
समय \( t = 20 \) घण्टे
1 घण्टे में नली से बहे पानी का आयतन \( = \) नली के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल \( \times \) चाल
\( = (0.15 \times 0.10) \times 10000 \)
\( = 0.015 \times 10000 \)
\( = 150 \) मी\(^3\)
20 घण्टे में नली से बहे पानी का कुल आयतन \( = 150 \times 20 = 3000 \) मी\(^3\)
यह 3000 मी\(^3\) पानी जलाशय में पानी का स्तर ऊपर उठाएगा। जल संरक्षण के लिए जलाशयों का उपयोग महत्वपूर्ण है।
माना जलाशय में पानी का स्तर \( h \) मीटर ऊँचा उठेगा।
तब, जलाशय में पानी का आयतन \( = L \times B \times h \)
\( 3000 = 75 \times 50 \times h \)
\( 3000 = 3750 \times h \)
\( \implies \) \( h = \frac{3000}{3750} \)
\( \implies \) \( h = \frac{300}{375} \)
\( \implies \) \( h = 0.8 \) मीटर
\( h = 0.8 \times 100 = 80 \) सेमी
अतः, 20 घण्टे में जलाशय में पानी का स्तर 80 सेमी ऊँचा उठ जाएगा।
In simple words: सबसे पहले, नली से 20 घंटे में बहने वाले पानी का कुल आयतन ज्ञात करें। यह आयतन नली के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल और पानी की चाल को समय से गुणा करके मिलता है। फिर इस आयतन को जलाशय के आधार के क्षेत्रफल से भाग देकर पानी के स्तर में हुई वृद्धि (ऊँचाई) को ज्ञात करें।
🎯 Exam Tip: सभी इकाइयों को एक समान प्रणाली (जैसे मीटर) में बदलना सुनिश्चित करें। पानी का आयतन निकालने के लिए नली के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल को पानी की चाल और समय से गुणा करें, फिर इसे जलाशय के आयतन के सूत्र में प्रयोग करें।
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RBSE Solutions Class 9 Mathematics Chapter 12 घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
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