RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 12 घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन More Ques

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 12 घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Miscellaneous Exercise

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 1 से 6 तक)

प्रश्न 1. एक घन का आयतन 125 घन मीटर है, घन की भुजा होगी
(a) 7 मीटर
(b) 6 मीटर
(c) 5 मीटर
(d) 2 मीटर
Answer: (c) 5 मीटर
माना कि घन की भुजा \( a \) मीटर है।
घन का आयतन \( = 125 \) घन मीटर
\( a^3 = 125 \)
\( \implies \) \( a = \sqrt[3]{125} \)
\( \implies \) \( a = 5 \) मीटर
In simple words: घन की भुजा निकालने के लिए, उसके आयतन का घनमूल लिया जाता है। 125 का घनमूल 5 होता है, इसलिए भुजा 5 मीटर होगी। एक घन की सभी भुजाएँ समान होती हैं।

🎯 Exam Tip: घन की भुजा निकालने के लिए आयतन का घनमूल (क्यूब रूट) सही ढंग से ज्ञात करना महत्वपूर्ण है।

प्रश्न 2. एक घन का आयतन 1331 घन सेमी है। घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
(a) 762 वर्ग सेमी
(b) 726 वर्ग सेमी
(c) 426 वर्ग सेमी
(d) 468 वर्ग सेमी
Answer: (b) 726 वर्ग सेमी
माना कि घन की भुजा \( a \) सेमी है।
घन का आयतन \( = 1331 \) घन सेमी
\( a^3 = 1331 \)
\( \implies \) \( a = \sqrt[3]{1331} \)
\( \implies \) \( a = 11 \) सेमी
अब, घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 6a^2 \)
\( = 6 \times (11)^2 \)
\( = 6 \times 121 \)
\( = 726 \) वर्ग सेमी
In simple words: पहले घन के आयतन से उसकी भुजा (11 सेमी) ज्ञात करें। फिर इस भुजा का उपयोग करके घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( (6 \times \text{भुजा}^2) \) ज्ञात करें, जो 726 वर्ग सेमी आएगा।

🎯 Exam Tip: घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए \( 6a^2 \) सूत्र याद रखें और गणना में वर्ग करने का ध्यान रखें।

प्रश्न 3. एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 4 मीटर, 3 मीटर और 2 मीटर है। घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा।
(a) 25 वर्ग मीटर
(b) 26 वर्ग मीटर
(c) 52 वर्ग मीटर
(d) 62 वर्ग मीटर
Answer: (c) 52 वर्ग मीटर
घनाभ की लम्बाई \( l = 4 \) मीटर
घनाभ की चौड़ाई \( b = 3 \) मीटर
घनाभ की ऊँचाई \( h = 2 \) मीटर
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(lb + bh + hl) \)
\( = 2(4 \times 3 + 3 \times 2 + 2 \times 4) \)
\( = 2(12 + 6 + 8) \)
\( = 2(26) \)
\( = 52 \) वर्ग मीटर
In simple words: घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( 2(lb + bh + hl) \) होता है। इसमें दी गई लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई के मान रखने पर हमें 52 वर्ग मीटर मिलता है।

🎯 Exam Tip: घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र को सही से लिखें और गणना करते समय गुणा और जोड़ का क्रम ध्यान से करें।

प्रश्न 4. 8 मीटर × 7 मीटर × 6 मीटर माप वाले घनाभ का विकर्ण है-
(a) 12.2 मीटर
(b) 12.02 मीटर
(c) 14.2
(d) 14.02
Answer: (a) 12.2 मीटर
घनाभ की लम्बाई \( l = 8 \) मीटर
घनाभ की चौड़ाई \( b = 7 \) मीटर
घनाभ की ऊँचाई \( h = 6 \) मीटर
घनाभ के विकर्ण की लम्बाई \( = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2} \)
\( = \sqrt{8^2 + 7^2 + 6^2} \)
\( = \sqrt{64 + 49 + 36} \)
\( = \sqrt{149} \)
\( \approx 12.20 \) मीटर
In simple words: घनाभ का विकर्ण निकालने के लिए, उसकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई के वर्गों का योग करके उसका वर्गमूल लिया जाता है। यह एक घनाभ के सबसे लम्बे किनारे की माप होती है।

🎯 Exam Tip: घनाभ के विकर्ण का सूत्र \( \sqrt{l^2 + b^2 + h^2} \) याद रखें और गणना के लिए वर्गमूल सही ढंग से निकालें।

प्रश्न 5. एक घन की भुजा 5 सेमी है। घन का विकर्ण है-
(a) \( 4\sqrt{3} \) सेमी।
(b) \( 2\sqrt{3} \) सेमी
(c) \( 5/3 \) सेमी
(d) \( 5\sqrt{3} \) सेमी
Answer: (d) 5√3 सेमी
घन की भुजा \( a = 5 \) सेमी
घन का विकर्ण \( = a\sqrt{3} \)
\( = 5\sqrt{3} \) सेमी
In simple words: घन का विकर्ण उसकी भुजा के \( \sqrt{3} \) गुना होता है। यहाँ भुजा 5 सेमी है, तो विकर्ण \( 5\sqrt{3} \) सेमी होगा।

🎯 Exam Tip: घन के विकर्ण का सूत्र \( a\sqrt{3} \) याद रखना चाहिए, जहाँ \( a \) घन की भुजा है।

प्रश्न 6. एक घनाभ का आयतन 400 घन सेमी है और इसके आधार को क्षेत्रफल 80 वर्ग सेमी है तो घनाभ की ऊँचाई है।
(a) 7 सेमी
(b) 6 सेमी
(c) 4 सेमी
(d) 5 सेमी
Answer: (d) 5 सेमी
घनाभ का आयतन \( = 400 \) घन सेमी
आधार का क्षेत्रफल \( = 80 \) वर्ग सेमी
घनाभ का आयतन \( = \) आधार का क्षेत्रफल \( \times \) ऊँचाई
\( 400 = 80 \times h \)
\( \implies \) \( h = \frac{400}{80} \)
\( \implies \) \( h = 5 \) सेमी
In simple words: घनाभ का आयतन उसके आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई को गुणा करने से मिलता है। यदि हमें आयतन और आधार का क्षेत्रफल पता है, तो ऊँचाई निकालने के लिए आयतन को आधार के क्षेत्रफल से भाग देंगे।

🎯 Exam Tip: घनाभ के आयतन का सूत्र \( \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई} \) का सही उपयोग करें।

प्रश्न 7. एक घनाभ की माप 15 सेमी × 12 सेमी × 6 सेमी है। इस घनाभ को पिघलाकर 3 सेमी वाले कितने घन बनाये जा सकते हैं?
Answer:
घनाभ की लम्बाई \( l = 15 \) सेमी
घनाभ की चौड़ाई \( b = 12 \) सेमी
घनाभ की ऊँचाई \( h = 6 \) सेमी
घनाभ का आयतन \( = l \times b \times h \)
\( = 15 \times 12 \times 6 \)
\( = 1080 \) घन सेमी
छोटे घन की भुजा \( a = 3 \) सेमी
छोटे घन का आयतन \( = a^3 \)
\( = 3^3 \)
\( = 27 \) घन सेमी
घनाभ को पिघलाकर छोटे घन बनाए गए हैं, इसलिए आयतन समान रहेगा।
बने घनों की संख्या \( = \frac{\text{घनाभ का आयतन}}{\text{एक घन का आयतन}} \)
\( = \frac{1080}{27} \)
\( = 40 \)
In simple words: जब किसी वस्तु को पिघलाकर नई वस्तुएँ बनाई जाती हैं, तो कुल आयतन वही रहता है। इसलिए, घनाभ के कुल आयतन को एक छोटे घन के आयतन से भाग देकर हम बनने वाले घनों की संख्या ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, ध्यान रखें कि पदार्थ का आयतन पिघलने के बाद भी नहीं बदलता है।

प्रश्न 8. दो घनाकार पासों की कोर 2 सेमी है। इन पासों के एक पृष्ठ को आपस में चिपकाकर एक ठोस बनाया गया है। ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
एक घन की कोर (भुजा) \( = 2 \) सेमी
दो समान घनों को एक पृष्ठ से चिपकाने पर एक नया घनाभ बनता है।
नए ठोस की लम्बाई \( l = 2 + 2 = 4 \) सेमी (क्योंकि दो भुजाएँ जुड़ जाती हैं)
नए ठोस की चौड़ाई \( b = 2 \) सेमी (चौड़ाई वही रहती है)
नए ठोस की ऊँचाई \( h = 2 \) सेमी (ऊँचाई भी वही रहती है)
नए ठोस (घनाभ) का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(lb + bh + hl) \)
\( = 2(4 \times 2 + 2 \times 2 + 2 \times 4) \)
\( = 2(8 + 4 + 8) \)
\( = 2(20) \)
\( = 40 \) वर्ग सेमी
In simple words: जब दो घनों को जोड़ा जाता है, तो उनकी लम्बाई दोगुनी हो जाती है, जबकि चौड़ाई और ऊँचाई वही रहती है। फिर नए घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( 2(lb + bh + hl) \) लगाकर गणना की जाती है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले नए बने ठोस (घनाभ) की सही लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई निर्धारित करें, फिर सूत्र का उपयोग करें।

प्रश्न 9. तीन घनों की कोर क्रमशः 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी है। इनसे बनने वाले एक घने की भुजा की लम्बाई क्या होगी?
Answer:
पहले घन की कोर \( a_1 = 3 \) सेमी
दूसरे घन की कोर \( a_2 = 4 \) सेमी
तीसरे घन की कोर \( a_3 = 5 \) सेमी
तीनों घनों को पिघलाकर एक नया घन बनाया गया है। पिघलाने पर आयतन नहीं बदलता है।
नए घन का आयतन \( = \) पहले घन का आयतन \( + \) दूसरे घन का आयतन \( + \) तीसरे घन का आयतन
माना नए घन की भुजा \( A \) सेमी है।
\( A^3 = a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 \)
\( A^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 \)
\( A^3 = 27 + 64 + 125 \)
\( A^3 = 216 \)
\( \implies \) \( A = \sqrt[3]{216} \)
\( \implies \) \( A = 6 \) सेमी
अतः नए घन की भुजा 6 सेमी होगी।
In simple words: तीन छोटे घनों को पिघलाकर एक बड़ा घन बनाने पर, बड़े घन का आयतन तीनों छोटे घनों के आयतन के जोड़ के बराबर होता है। फिर उस कुल आयतन का घनमूल निकालकर नए घन की भुजा ज्ञात की जाती है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि पिघलाकर नई आकृति बनाने पर आयतन स्थिर रहता है, पृष्ठीय क्षेत्रफल नहीं।

प्रश्न 10. एक खाली हौज 4 मीटर लम्बा और 3 मीटर चौड़ा हैं। इसमें कितने घनमीटर पानी भरा जाये कि पानी की गहराई 2 मीटर हो जाये?
Answer:
हौज की लम्बाई \( l = 4 \) मीटर
हौज की चौड़ाई \( b = 3 \) मीटर
हौज में भरे पानी की गहराई \( h = 2 \) मीटर
हौज में भरे पानी का आयतन \( = l \times b \times h \)
\( = 4 \times 3 \times 2 \)
\( = 24 \) घन मीटर
In simple words: हौज में भरे पानी का आयतन हौज की लम्बाई, चौड़ाई और पानी की गहराई का गुणनफल होता है। यह सूत्र घनाभ के आयतन के बराबर है।

🎯 Exam Tip: पानी के आयतन को हौज के अंदर बने घनाभ के आयतन के रूप में देखें, जिसमें पानी की गहराई ही ऊँचाई का काम करती है।

Question. एक समकोणिक समांतर षटफलक की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः \(6x\), \(5x\) और \(4x\) सेमी है। यदि इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 33300 वर्ग सेमी है, तो इसका आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना कि समकोणिक समांतर षटफलक की लम्बाई \( l = 6x \) सेमी
चौड़ाई \( b = 5x \) सेमी
ऊँचाई \( h = 4x \) सेमी
समकोणिक समांतर षटफलक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 33300 \) वर्ग सेमी
पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( = 2(lb + bh + hl) \)
\( \implies \) \( 2(6x \times 5x + 5x \times 4x + 4x \times 6x) = 33300 \)
\( \implies \) \( 2(30x^2 + 20x^2 + 24x^2) = 33300 \)
\( \implies \) \( 2(74x^2) = 33300 \)
\( \implies \) \( 148x^2 = 33300 \)
\( \implies \) \( x^2 = \frac{33300}{148} \)
\( \implies \) \( x^2 = 225 \)
\( \implies \) \( x = \sqrt{225} \)
\( \implies \) \( x = 15 \) सेमी
अब, विमाएँ ज्ञात करें:
लम्बाई \( l = 6x = 6 \times 15 = 90 \) सेमी
चौड़ाई \( b = 5x = 5 \times 15 = 75 \) सेमी
ऊँचाई \( h = 4x = 4 \times 15 = 60 \) सेमी
समकोणिक समांतर षटफलक का आयतन \( = l \times b \times h \)
\( = 90 \times 75 \times 60 \)
\( = 405000 \) घन सेमी
अतः, समकोणिक समांतर षटफलक का आयतन 405000 घन सेमी है।
In simple words: पहले पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके \( x \) का मान ज्ञात किया जाता है। फिर \( x \) के मान से घनाभ की वास्तविक लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई ज्ञात की जाती है। अंत में, इन विमाओं का उपयोग करके घनाभ का आयतन \( (l \times b \times h) \) निकाला जाता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले अज्ञात चर (जैसे \( x \)) का मान ज्ञात करें, फिर सभी विमाएँ निकालें और अंत में वांछित मात्रा (जैसे आयतन) की गणना करें।

प्रश्न 12. किसी गोदाम की माप 60 मीटर × 25 मीटर × 10 मीटर है। इस गोदाम में 1.5 मीटर × 1.25 मीटर × 0.5 मीटर की माप वाले लकड़ी के अधिकतम कितने क्रेट रखे जा सकते हैं।
Answer:
गोदाम की लम्बाई \( L = 60 \) मीटर, चौड़ाई \( B = 25 \) मीटर, ऊँचाई \( H = 10 \) मीटर
गोदाम का आयतन \( = L \times B \times H \)
\( = 60 \times 25 \times 10 \)
\( = 15000 \) घन मीटर
एक क्रेट की लम्बाई \( l = 1.5 \) मीटर, चौड़ाई \( b = 1.25 \) मीटर, ऊँचाई \( h = 0.5 \) मीटर
एक क्रेट का आयतन \( = l \times b \times h \)
\( = 1.5 \times 1.25 \times 0.5 \)
\( = 0.9375 \) घन मीटर
गोदाम में रखे जाने वाले क्रेटों की संख्या \( = \frac{\text{गोदाम का आयतन}}{\text{एक क्रेट का आयतन}} \)
\( = \frac{15000}{0.9375} \)
\( = 16000 \)
अतः गोदाम में अधिकतम 16000 क्रेट रखे जा सकते हैं।
In simple words: हमें गोदाम के कुल आयतन को एक क्रेट के आयतन से भाग देना होगा ताकि पता चल सके कि कितने क्रेट उसमें समा सकते हैं। दशमलव वाली संख्याओं के साथ भाग करते समय सावधानी बरतें।

🎯 Exam Tip: ऐसे मामलों में, सुनिश्चित करें कि सभी मापों की इकाइयाँ समान हों और दशमलव वाली संख्याओं को गुणा और भाग करते समय सटीकता बनाए रखें।

प्रश्न 13. 3 मीटर गहरी और 40 मीटर चौड़ी एक नदी 2 किमी प्रति घण्टा की चाल से बह कर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?
Answer:
नदी की गहराई \( h = 3 \) मीटर
नदी की चौड़ाई \( b = 40 \) मीटर
नदी की चाल \( = 2 \) किमी/घण्टा
1 घण्टे में बहे पानी की लम्बाई \( = 2 \) किमी \( = 2000 \) मीटर
1 मिनट में बहे पानी की लम्बाई \( l = \frac{2000}{60} \) मीटर \( = \frac{100}{3} \) मीटर
एक मिनट में समुद्र में गिरने वाले पानी का आयतन \( = l \times b \times h \)
\( = \frac{100}{3} \times 40 \times 3 \)
\( = 100 \times 40 \)
\( = 4000 \) घन मीटर
In simple words: नदी द्वारा एक मिनट में बहाया गया पानी एक घनाभ का आयतन बनाता है। इस घनाभ की लम्बाई उतनी होती है जितनी दूरी पानी एक मिनट में तय करता है, चौड़ाई नदी की चौड़ाई और ऊँचाई नदी की गहराई होती है।

🎯 Exam Tip: चाल (स्पीड) को ध्यान से समय की इकाई (घण्टे से मिनट) में परिवर्तित करें ताकि सभी गणनाएँ सही हों।

प्रश्न 15. एक प्लॉट 20 मीटर लम्बा और 15 मीटर चौड़ा है। प्लॉट के बाहर 10 मीटर लम्बा, 6 मीटर चौड़ा और 5 मीटर गहरा गड्ढा खोदकर उससे निकाली गई मिट्टी को इस प्लॉट में बिछाया गया है। प्लॉट में बिछाई गई मिट्टी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
प्लॉट की लम्बाई \( L = 20 \) मीटर
प्लॉट की चौड़ाई \( B = 15 \) मीटर
गड्ढे की लम्बाई \( l = 10 \) मीटर
गड्ढे की चौड़ाई \( b = 6 \) मीटर
गड्ढे की गहराई \( h = 5 \) मीटर
गड्ढे से निकाली गई मिट्टी का आयतन \( = l \times b \times h \)
\( = 10 \times 6 \times 5 \)
\( = 300 \) घन मीटर
यह मिट्टी प्लॉट पर बिछाई जाती है। माना प्लॉट में बिछाई गई मिट्टी की ऊँचाई \( H \) मीटर है।
प्लॉट में बिछाई गई मिट्टी का आयतन \( = L \times B \times H \)
\( = 20 \times 15 \times H \)
\( = 300H \) घन मीटर
चूँकि गड्ढे से निकाली गई मिट्टी का आयतन और प्लॉट में बिछाई गई मिट्टी का आयतन समान होगा:
\( 300H = 300 \)
\( \implies \) \( H = \frac{300}{300} \)
\( \implies \) \( H = 1 \) मीटर
अतः प्लॉट में बिछाई गई मिट्टी की ऊँचाई 1 मीटर है।
In simple words: गड्ढे से निकली मिट्टी का आयतन पहले ज्ञात किया जाता है। फिर उस आयतन को प्लॉट के क्षेत्रफल पर बिछाने से जो ऊँचाई बनती है, उसे निकालने के लिए आयतन को प्लॉट के क्षेत्रफल से भाग दिया जाता है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि खोदी गई मिट्टी का आयतन, उसे बिछाने के बाद बनने वाली परत के आयतन के बराबर होता है। आयतन के सूत्रों का सही उपयोग करें।