Step-by-Step Textbook Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 12 घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
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Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 12 घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 12.2
प्रश्न 1. माचिस की डिब्बी की माप 3 सेमी x 2 सेमी x 1 सेमी है। ऐसी 12 डिब्बीयों के पैकेट का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: माचिस की एक डिब्बी की माप: लम्बाई \( (l) = 3 \) सेमी, चौड़ाई \( (b) = 2 \) सेमी, ऊँचाई \( (h) = 1 \) सेमी
एक माचिस की डिब्बी का आयतन \( = l \times b \times h \)
\( = 3 \times 2 \times 1 \)
\( = 6 \) सेमी³
अब, हमें ऐसी 12 डिब्बियों का आयतन निकालना है।
12 डिब्बियों का कुल आयतन \( = 6 \times 12 \)
\( = 72 \) सेमी³
In simple words: पहले एक माचिस की डिब्बी का आयतन (लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई) निकाला जाता है, जो 6 सेमी³ है। फिर ऐसे ही 12 डिब्बियों का कुल आयतन जानने के लिए एक डिब्बी के आयतन को 12 से गुणा करते हैं, जिससे 72 सेमी³ आता है।
🎯 Exam Tip: घनाभ के आयतन का सूत्र याद रखें \( (l \times b \times h) \) और सुनिश्चित करें कि सभी इकाइयाँ (जैसे सेमी) समान हों.
प्रश्न 2. घन के एक पृष्ठ का परिमाप 24 सेमी है, तो उस घन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: घन के एक पृष्ठ का परिमाप \( = 24 \) सेमी
घन का प्रत्येक पृष्ठ एक वर्ग होता है। वर्ग का परिमाप \( = 4 \times \) भुजा
मान लीजिए घन की कोर की माप \( = a \) सेमी है।
तो, \( 4a = 24 \) सेमी
\( \implies a = \frac{24}{4} \)
\( \implies a = 6 \) सेमी
अब, घन का आयतन \( = a^3 \)
\( = 6 \times 6 \times 6 \)
\( = 216 \) सेमी³
In simple words: घन का एक किनारा ढूंढने के लिए, पहले उसके वर्गाकार पृष्ठ के परिमाप को 4 से भाग करते हैं। फिर, उस किनारे की लम्बाई को तीन बार गुणा करके घन का कुल आयतन पता चलता है।
🎯 Exam Tip: घन के पृष्ठ का परिमाप और घन के आयतन दोनों के सूत्रों को ध्यान में रखें। घन के एक पृष्ठ का परिमाप \( 4a \) होता है और उसका आयतन \( a^3 \) होता है।
प्रश्न 3. धातु के तीन घनों की कोर क्रमशः 3 सेमी, 5 सेमी तथा 4 सेमी है। उन्हें पिघलाकर एक नया घन बनाया गया है। इस नए घन का आयतन तथा इस घन की कोर की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: धातु के तीन घनों की कोरें क्रमशः: \( a_1 = 3 \) सेमी, \( a_2 = 5 \) सेमी तथा \( a_3 = 4 \) सेमी हैं।
पहले घन का आयतन \( V_1 = a_1^3 = 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \) सेमी³
दूसरे घन का आयतन \( V_2 = a_2^3 = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125 \) सेमी³
तीसरे घन का आयतन \( V_3 = a_3^3 = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \) सेमी³
तीनों घनों को पिघलाकर एक नया घन बनाया गया है, तो नए घन का आयतन तीनों घनों के आयतनों के योग के बराबर होगा। जब कोई वस्तु पिघलाकर दूसरी वस्तु बनाई जाती है, तो उनका कुल आयतन समान रहता है।
नए घन का आयतन \( V = V_1 + V_2 + V_3 \)
\( V = 27 + 125 + 64 \)
\( V = 216 \) सेमी³
अब, माना कि नए घन की कोर की माप \( A \) सेमी है।
तो, नए घन का आयतन \( V = A^3 \)
\( A^3 = 216 \)
\( A = \sqrt[3]{216} \)
\( A = 6 \) सेमी
अतः, नए घन का आयतन \( 216 \) सेमी³ और उसकी कोर की लम्बाई \( 6 \) सेमी है।
In simple words: तीन छोटे घनों को पिघलाकर एक बड़ा घन बनाया जाता है। पहले हर छोटे घन का आयतन निकालते हैं, फिर उन सभी आयतनों को जोड़कर नए बड़े घन का कुल आयतन पाते हैं। आखिर में, नए घन की कोर की लम्बाई जानने के लिए उसके आयतन का घनमूल निकालते हैं।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि जब ठोस को पिघलाकर नया ठोस बनाया जाता है, तो आयतन अपरिवर्तित रहता है। घनमूल निकालने के लिए गुणनखंड विधि का उपयोग करें।
प्रश्न 4. पानी की एक टंकी की लम्बाई 2.5 मी, चौड़ाई 2 मी, है। इसमें 1500 लीटर पानी आता है। टंकी की गहराई ज्ञात कीजिए।
Answer: पानी की टंकी की लम्बाई \( (l) = 2.5 \) मी
पानी की टंकी की चौड़ाई \( (b) = 2 \) मी
पानी की टंकी का आयतन \( = 1500 \) लीटर
हम जानते हैं कि \( 1000 \) लीटर \( = 1 \) मी³। इस जानकारी का उपयोग करके हम आयतन को घन मीटर में बदल सकते हैं।
इसलिए, टंकी का आयतन \( = \frac{1500}{1000} \) मी³ \( = 1.5 \) मी³
मान लीजिए टंकी की गहराई \( (h) \) मी है।
टंकी का आयतन \( = l \times b \times h \)
\( 1.5 = 2.5 \times 2 \times h \)
\( 1.5 = 5 \times h \)
\( \implies h = \frac{1.5}{5} \)
\( \implies h = 0.3 \) मी
गहराई को सेमी में बदलने के लिए \( 1 \) मी \( = 100 \) सेमी का उपयोग करेंगे।
\( h = 0.3 \times 100 \)
\( h = 30 \) सेमी
अतः, पानी की टंकी की गहराई \( 30 \) सेमी है।
In simple words: पहले लीटर में दिए गए टंकी के पानी के आयतन को घन मीटर में बदलते हैं। फिर, टंकी की लम्बाई और चौड़ाई का उपयोग करके आयतन के सूत्र से उसकी गहराई पता करते हैं।
🎯 Exam Tip: लीटर को घन मीटर में बदलने के लिए सही रूपांतरण कारक (1000 लीटर = 1 मी³) का उपयोग करना याद रखें। फिर घनाभ के आयतन सूत्र \( (l \times b \times h) \) का प्रयोग करें।
प्रश्न 5. एक दीवार की लम्बाई 4 मीटर, चौड़ाई 15 सेमी तथा ऊँचाई 3 मीटर है। दीवार बनाने में 20 सेमी × 10 सेमी x 8 सेमी माप की कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी। यदि ईंटों का मूल्य 120 रु प्रति हजार हों तो ईंटों का कुल मूल्य ज्ञात कीजिए।
Answer: दीवार की लम्बाई \( (L) = 4 \) मीटर \( = 4 \times 100 = 400 \) सेमी
दीवार की चौड़ाई \( (B) = 15 \) सेमी
दीवार की ऊँचाई \( (H) = 3 \) मीटर \( = 3 \times 100 = 300 \) सेमी
दीवार का आयतन \( V_{दीवार} = L \times B \times H \)
\( V_{दीवार} = 400 \times 15 \times 300 \)
\( V_{दीवार} = 1800000 \) सेमी³
एक ईंट की लम्बाई \( (l) = 20 \) सेमी, चौड़ाई \( (b) = 10 \) सेमी तथा ऊँचाई \( (h) = 8 \) सेमी
एक ईंट का आयतन \( V_{ईंट} = l \times b \times h \)
\( V_{ईंट} = 20 \times 10 \times 8 \)
\( V_{ईंट} = 1600 \) सेमी³
दीवार में लगी ईंटों की संख्या \( = \frac{V_{दीवार}}{V_{ईंट}} \)
\( = \frac{1800000}{1600} \)
\( = \frac{18000}{16} \)
\( = 1125 \)
ईंटों की संख्या \( = 1125 \) रु
1000 ईंटों का मूल्य \( = 120 \) रु
तो, 1 ईंट का मूल्य \( = \frac{120}{1000} \) रु
1125 ईंटों का कुल मूल्य \( = 1125 \times \frac{120}{1000} \)
\( = \frac{135000}{1000} \)
\( = 135 \) रु
अतः, दीवार में \( 1125 \) ईंटें लगेंगी और उनका कुल मूल्य \( 135 \) रु होगा।
In simple words: पहले दीवार और हर ईंट की सभी मापों को एक ही इकाई (सेमी) में बदलते हैं। फिर, दीवार का कुल आयतन और एक ईंट का आयतन निकालते हैं। दीवार के आयतन को एक ईंट के आयतन से भाग करके कुल ईंटों की संख्या पता चलती है। आखिर में, कुल ईंटों की संख्या को प्रति हजार ईंटों के मूल्य से गुणा करके कुल लागत निकालते हैं।
🎯 Exam Tip: आयतन की गणना करते समय सभी मापों को एक ही इकाई (जैसे सेमी) में बदलना बहुत महत्वपूर्ण है। साथ ही, प्रति हजार ईंटों के मूल्य की गणना सही ढंग से करें।
प्रश्न 6. एक गाँव में 20 मीटर × 15 मीटर × 6 मीटर माप की एक पानी की टंकी बनी हुई है। उसमें कितने लीटर पानी आ सकता है। यदि प्रतिदिन उसमें से 1000 लीटर पानी खर्च किया जाये तो टंकी का पानी कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा।
Answer: पानी की टंकी की लम्बाई \( (l) = 20 \) मी
पानी की टंकी की चौड़ाई \( (b) = 15 \) मी
पानी की टंकी की ऊँचाई \( (h) = 6 \) मी
टंकी का आयतन \( V = l \times b \times h \)
\( V = 20 \times 15 \times 6 \)
\( V = 1800 \) मी³
हम जानते हैं कि \( 1 \) मी³ \( = 1000 \) लीटर
इसलिए, टंकी में पानी का आयतन (लीटर में) \( = 1800 \times 1000 \)
\( = 1800000 \) लीटर
प्रतिदिन खर्च होने वाले पानी का आयतन \( = 1000 \) लीटर
पानी कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा \( = \frac{\text{टंकी का कुल पानी}}{\text{प्रतिदिन खर्च होने वाला पानी}} \)
\( = \frac{1800000}{1000} \)
\( = 1800 \) दिन
अतः, टंकी में \( 1800000 \) लीटर पानी आ सकता है, और यह पानी \( 1800 \) दिनों के लिए पर्याप्त होगा।
In simple words: पहले टंकी की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई को गुणा करके उसका कुल आयतन घन मीटर में निकालते हैं। फिर, इस आयतन को लीटर में बदलते हैं (1 घन मीटर = 1000 लीटर)। आखिर में, कुल लीटर पानी को प्रतिदिन खर्च होने वाले पानी से भाग करके यह पता करते हैं कि पानी कितने दिन चलेगा।
🎯 Exam Tip: घन मीटर को लीटर में बदलने के लिए सही रूपांतरण कारक \( (1 \) मी³ \( = 1000 \) लीटर) का प्रयोग करें और सुनिश्चित करें कि आयतन की गणना सही हो।
प्रश्न 7. एक दीवार की लम्बाई 8 मीटर तथा ऊँचाई 4 मीटर है। दीवार 35 सेमी मोटी है। इसमें एक दरवाजा 2 मीटर x 1 मीटर का और दो खिड़कियाँ 1.20 मीटर x 1 मीटर की है। दीवार बनाने का खर्च 1500 रुपये प्रति घन मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।
Answer: दीवार की लम्बाई \( (l) = 8 \) मी
दीवार की ऊँचाई \( (h) = 4 \) मी
दीवार की मोटाई \( (b) = 35 \) सेमी \( = 0.35 \) मी (सेमी को मीटर में बदलने के लिए 100 से भाग करें)
पूरी दीवार का आयतन \( V_{दीवार} = l \times b \times h \)
\( V_{दीवार} = 8 \times 0.35 \times 4 \)
\( V_{दीवार} = 11.2 \) मी³
दरवाजे की माप: लम्बाई \( = 2 \) मी, चौड़ाई \( = 1 \) मी
दरवाजे का आयतन \( V_{दरवाजा} = 2 \times 1 \times 0.35 \) (दीवार की मोटाई दरवाजे की गहराई होगी)
\( V_{दरवाजा} = 0.7 \) मी³
एक खिड़की की माप: लम्बाई \( = 1.20 \) मी, चौड़ाई \( = 1 \) मी
एक खिड़की का आयतन \( = 1.20 \times 1 \times 0.35 \)
\( = 0.42 \) मी³
दो खिड़कियों का कुल आयतन \( V_{खिड़कियाँ} = 2 \times 0.42 = 0.84 \) मी³
दीवार का वास्तविक आयतन (जहाँ ईंटें लगेंगी) \( = V_{दीवार} - V_{दरवाजा} - V_{खिड़कियाँ} \)
\( = 11.2 - 0.7 - 0.84 \)
\( = 11.2 - 1.54 \)
\( = 9.66 \) मी³
दीवार बनाने का खर्च \( = 1500 \) रुपये प्रति घन मीटर
दीवार बनाने का कुल खर्च \( = \) वास्तविक आयतन \( \times \) प्रति घन मीटर खर्च
\( = 9.66 \times 1500 \)
\( = 14490 \) रु
अतः, दीवार बनाने का कुल खर्च \( 14490 \) रु होगा।
In simple words: पहले पूरी दीवार का आयतन निकालते हैं, जिसमें सभी मापों को मीटर में रखना जरूरी है। फिर, दरवाजा और खिड़कियों का आयतन निकालते हैं, और उन्हें कुल दीवार के आयतन से घटा देते हैं। यह दीवार का वह आयतन होता है जहाँ असल में सामग्री लगी होगी। आखिर में, इस आयतन को प्रति घन मीटर के खर्च से गुणा करके कुल लागत निकालते हैं।
🎯 Exam Tip: दरवाजा और खिड़कियों के आयतन को घटाना न भूलें क्योंकि वहां सामग्री का उपयोग नहीं होता है। सभी इकाइयों को मीटर में बदल कर गणना करें।
प्रश्न 8. 5 मीटर लम्बी, 2 मीटर ऊँचाई तथा 50 सेमी मोटी एक दीवार बनाने के लिए 25 सेमी x 15 सेमी x 6 सेमी माप की कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी यदि दीवार में 10% स्थान सीमेन्ट का है?
Answer: दीवार की लम्बाई \( (L) = 5 \) मी \( = 500 \) सेमी
दीवार की चौड़ाई \( (B) = 50 \) सेमी
दीवार की ऊँचाई \( (H) = 2 \) मी \( = 200 \) सेमी
दीवार का कुल आयतन \( V_{दीवार} = L \times B \times H \)
\( V_{दीवार} = 500 \times 50 \times 200 \)
\( V_{दीवार} = 5000000 \) सेमी³
दीवार में 10% स्थान सीमेन्ट का है।
सीमेन्ट द्वारा घेरा गया स्थान \( = 10\% \) of \( V_{दीवार} \)
\( = \frac{10}{100} \times 5000000 \)
\( = 500000 \) सेमी³
सीमेन्ट के अतिरिक्त दीवार का आयतन (जहाँ ईंटें लगेंगी) \( = V_{दीवार} - \) सीमेन्ट का आयतन
\( = 5000000 - 500000 \)
\( = 4500000 \) सेमी³
एक ईंट की माप: लम्बाई \( (l) = 25 \) सेमी, चौड़ाई \( (b) = 15 \) सेमी, ऊँचाई \( (h) = 6 \) सेमी
एक ईंट का आयतन \( V_{ईंट} = l \times b \times h \)
\( V_{ईंट} = 25 \times 15 \times 6 \)
\( V_{ईंट} = 2250 \) सेमी³
दीवार में लगी ईंटों की संख्या \( = \frac{\text{सीमेन्ट के अतिरिक्त दीवार का आयतन}}{V_{ईंट}} \)
\( = \frac{4500000}{2250} \)
\( = 2000 \)
अतः, दीवार बनाने के लिए \( 2000 \) ईंटों की आवश्यकता होगी।
In simple words: सबसे पहले, दीवार की सभी मापों को सेमी में बदलकर उसका कुल आयतन निकालते हैं। फिर, सीमेंट के लिए 10% आयतन को कुल आयतन से घटा देते हैं, जिससे ईंटों के लिए वास्तविक आयतन मिलता है। आखिर में, इस वास्तविक आयतन को एक ईंट के आयतन से भाग करके कुल आवश्यक ईंटों की संख्या प्राप्त होती है।
🎯 Exam Tip: गणना से पहले सभी मापों को एक ही इकाई (सेमी) में बदलें। सीमेन्ट के आयतन को घटाना न भूलें, क्योंकि यह दीवार का वह हिस्सा है जिसमें ईंटें नहीं लगतीं।
प्रश्न 9. तालाब से मिट्टी खोदकर मिट्टी को 300 मी लम्बे तथा 50 मी चौड़े मैदान में समान रूप से फैला दिया जाता है। यदि तालाब में खोदा गया गड्डा 200 मीटर लम्बा, 50 मीटर चौड़ा और 0.75 मीटर गहरा है तो मैदान का धरातल कितना ऊँचा उठ जायेगा?
Answer: तालाब से खोदे गए गड्डे की माप:
लम्बाई \( (l_1) = 200 \) मी
चौड़ाई \( (b_1) = 50 \) मी
गहराई \( (h_1) = 0.75 \) मी
तालाब से खोदी गई मिट्टी का आयतन \( V_{मिट्टी} = l_1 \times b_1 \times h_1 \)
\( V_{मिट्टी} = 200 \times 50 \times 0.75 \)
\( V_{मिट्टी} = 10000 \times 0.75 \)
\( V_{मिट्टी} = 7500 \) मी³
इस मिट्टी को मैदान में फैलाया गया है जिसकी माप है:
मैदान की लम्बाई \( (l_2) = 300 \) मी
मैदान की चौड़ाई \( (b_2) = 50 \) मी
मान लीजिए मिट्टी डालने पर मैदान \( h_2 \) मी ऊपर उठ जाएगा।
तो, मैदान में फैलाई गई मिट्टी का आयतन \( = l_2 \times b_2 \times h_2 \)
चूंकि तालाब से खोदी गई मिट्टी का आयतन, मैदान में फैलाई गई मिट्टी के आयतन के बराबर होगा:
\( 7500 = 300 \times 50 \times h_2 \)
\( 7500 = 15000 \times h_2 \)
\( \implies h_2 = \frac{7500}{15000} \)
\( \implies h_2 = 0.5 \) मी
ऊँचाई को सेमी में बदलने के लिए \( 1 \) मी \( = 100 \) सेमी का उपयोग करेंगे।
\( h_2 = 0.5 \times 100 \)
\( h_2 = 50 \) सेमी
अतः, मिट्टी डालने पर मैदान का धरातल \( 50 \) सेमी ऊँचा उठ जाएगा।
In simple words: पहले तालाब से निकली मिट्टी का कुल आयतन निकालते हैं। यह आयतन मैदान पर फैलाई गई मिट्टी के आयतन के बराबर होगा। फिर, मैदान की लम्बाई और चौड़ाई का उपयोग करके, इस आयतन से मैदान की ऊँचाई पता करते हैं कि मिट्टी डालने पर मैदान कितना ऊपर उठेगा।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि खोदी गई मिट्टी का आयतन हमेशा उस मिट्टी द्वारा बनाई गई नई आकृति के आयतन के बराबर होता है। गणना में सभी इकाइयों को समान (मीटर) रखना सुनिश्चित करें।
प्रश्न 10. लकड़ी का एक ढक्कनदार सन्दूक बाहर से 1.25 मीटर लम्बा, 0.80 मीटर चौड़ा और 0.55 मीटर ऊँचा है। लकड़ी की मोटाई 2.5 सेमी है। यदि एक घनमीटर लकड़ी की तोल 250 किलोग्राम हो तो सन्दूक की तोल ज्ञात कीजिए।
Answer: सन्दूक की बाहरी मापें:
लम्बाई \( (L) = 1.25 \) मी
चौड़ाई \( (B) = 0.80 \) मी
ऊँचाई \( (H) = 0.55 \) मी
सन्दूक का बाहरी आयतन \( V_{बाहरी} = L \times B \times H \)
\( V_{बाहरी} = 1.25 \times 0.80 \times 0.55 \)
\( V_{बाहरी} = 0.55 \) मी³
लकड़ी की मोटाई \( = 2.5 \) सेमी \( = 0.025 \) मी (सेमी को मीटर में बदला गया)
सन्दूक की भीतरी मापें:
भीतरी लम्बाई \( (l) = L - 2 \times (\text{मोटाई}) \)
\( l = 1.25 - 2 \times 0.025 \)
\( l = 1.25 - 0.05 = 1.20 \) मी
भीतरी चौड़ाई \( (b) = B - 2 \times (\text{मोटाई}) \)
\( b = 0.80 - 2 \times 0.025 \)
\( b = 0.80 - 0.05 = 0.75 \) मी
भीतरी ऊँचाई \( (h) = H - 2 \times (\text{मोटाई}) \) (चूंकि सन्दूक ढक्कनदार है, मोटाई ऊपर और नीचे दोनों तरफ से घटाई जाती है)।
\( h = 0.55 - 2 \times 0.025 \)
\( h = 0.55 - 0.05 = 0.50 \) मी
सन्दूक का भीतरी आयतन \( V_{भीतरी} = l \times b \times h \)
\( V_{भीतरी} = 1.20 \times 0.75 \times 0.50 \)
\( V_{भीतरी} = 0.45 \) मी³
सन्दूक में लगी लकड़ी का आयतन \( V_{लकड़ी} = V_{बाहरी} - V_{भीतरी} \)
\( V_{लकड़ी} = 0.55 - 0.45 \)
\( V_{लकड़ी} = 0.1 \) मी³
\( 1 \) घन मी लकड़ी की तोल \( = 250 \) किग्रा
इसलिए, \( 0.1 \) घन मी लकड़ी की तोल \( = 0.1 \times 250 \)
\( = 25 \) किग्रा
अतः, सन्दूक की कुल तोल \( 25 \) किग्रा है।
In simple words: पहले सन्दूक का बाहरी आयतन निकालते हैं। फिर, लकड़ी की मोटाई को मीटर में बदलकर बाहरी मापों से घटाकर भीतरी मापें निकालते हैं (ऊपर, नीचे और चारों ओर से)। इसके बाद भीतरी आयतन निकालते हैं और उसे बाहरी आयतन से घटाकर लकड़ी का कुल आयतन पता करते हैं। आखिर में, इस लकड़ी के आयतन को प्रति घन मीटर तोल से गुणा करके सन्दूक की कुल तोल ज्ञात करते हैं।
🎯 Exam Tip: भीतरी मापें निकालते समय, लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई तीनों से लकड़ी की मोटाई को दोनों तरफ से (यानी, \( 2 \times \) मोटाई) घटाना सुनिश्चित करें। इकाइयों को मीटर में बदलना भी बहुत महत्वपूर्ण है।
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