Step-by-Step Textbook Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 11 समतलीय आकृतियों का क्षेत्रफल
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प्रश्न 1. निम्नलिखित माप के आयतों के क्षेत्रफल एवं परिमाप ज्ञात कीजिए।
(i) लम्बाई 9.5 मीटर, चौड़ाई 7.5 मीटर
(ii) लम्बाई 125 मीटर, चौड़ाई 75 मीटर
(iii) लम्बाई 12.5 सेमी, चौड़ाई 7.5 सेमी
Answer:
(i) आयत की लम्बाई \( = 9.5 \) मी
आयत की चौड़ाई \( = 7.5 \) मी
आयत का क्षेत्रफल \( = \) लम्बाई \( \times \) चौड़ाई \( = 9.5 \times 7.5 = 71.25 \) वर्ग मी
आयत का परिमाप \( = 2 \times ( \) लम्बाई \( + \) चौड़ाई \( ) = 2 \times (9.5 + 7.5) = 2 \times 17 = 34 \) मी
(ii) आयत की लम्बाई \( = 125 \) मी
आयत की चौड़ाई \( = 75 \) मी
आयत का क्षेत्रफल \( = \) लम्बाई \( \times \) चौड़ाई \( = 125 \times 75 = 9375 \) वर्ग मी
आयत का परिमाप \( = 2 \times ( \) लम्बाई \( + \) चौड़ाई \( ) = 2 \times (125 + 75) = 2 \times 200 = 400 \) मी
(iii) आयत की लम्बाई \( = 12.5 \) सेमी
आयत की चौड़ाई \( = 7.5 \) सेमी
आयत का क्षेत्रफल \( = \) लम्बाई \( \times \) चौड़ाई \( = 12.5 \times 7.5 = 93.75 \) वर्ग सेमी
आयत का परिमाप \( = 2 \times ( \) लम्बाई \( + \) चौड़ाई \( ) = 2 \times (12.5 + 7.5) = 2 \times 20 = 40 \) सेमी
In simple words: आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उसकी लम्बाई और चौड़ाई को गुणा करते हैं, और परिमाप के लिए लम्बाई और चौड़ाई को जोड़कर दो से गुणा करते हैं। इन सूत्रों का उपयोग करके आप किसी भी आयत का क्षेत्रफल और परिमाप आसानी से निकाल सकते हैं।
🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल हमेशा वर्ग इकाइयों (जैसे वर्ग मीटर) में और परिमाप हमेशा रेखीय इकाइयों (जैसे मीटर) में व्यक्त करें।
प्रश्न 2. निम्नलिखित माप की भुजा के वर्गों के क्षेत्रफल एवं परिमाप ज्ञात कीजिए:
(i) 5.3 मीटर
(ii) 8.5 मीटर
(iii) 9.6 मीटर
Answer:
(i) वर्ग की भुजा (a) \( = 5.3 \) मी
वर्ग का क्षेत्रफल \( = a^2 = 5.3 \times 5.3 = 28.09 \) वर्ग मी
वर्ग का परिमाप \( = 4a = 4 \times 5.3 = 21.2 \) मी
(ii) वर्ग की भुजा (a) \( = 8.5 \) मी
वर्ग का क्षेत्रफल \( = a^2 = 8.5 \times 8.5 = 72.25 \) वर्ग मी
वर्ग का परिमाप \( = 4a = 4 \times 8.5 = 34.0 \) मी
(iii) वर्ग की भुजा (a) \( = 9.6 \) मी
वर्ग का क्षेत्रफल \( = a^2 = 9.6 \times 9.6 = 92.16 \) वर्ग मी
वर्ग का परिमाप \( = 4a = 4 \times 9.6 = 38.4 \) मी
In simple words: वर्ग एक ऐसा चतुर्भुज होता है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए भुजा की लम्बाई का वर्ग करते हैं, और परिमाप के लिए भुजा की लम्बाई को चार से गुणा करते हैं।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप दशमलव संख्याओं को सही ढंग से गुणा करते हैं और क्षेत्रफल व परिमाप के लिए उपयुक्त इकाइयों का उपयोग करते हैं।
प्रश्न 3. एक वर्गाकार मैदान के 4 चक्कर लगाने पर 16 किमी की दौड़ पूर्ण होती है तो मैदान की लम्बाई एवं क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
मैदान के चार चक्कर लगाने पर तय की गई दूरी \( = 16 \) किमी
मैदान का एक चक्कर लगाने पर तय की गई दूरी \( = \frac {16}{4} = 4 \) किमी
वर्गाकार मैदान का 1 चक्कर लगाने पर तय की गई दूरी ही मैदान का परिमाप है।
वर्गाकार मैदान का परिमाप \( = 4 \) किमी
वर्ग का परिमाप का सूत्र \( = 4 \times \) भुजा होता है।
\( \implies 4 = 4 \times \) वर्गाकार मैदान की भुजा
\( \implies \) वर्गाकार मैदान की भुजा \( = \frac {4}{4} = 1 \) किमी
वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल \( = (\text{भुजा})^2 = (1)^2 = 1 \times 1 = 1 \) वर्ग किमी
अतः वर्गाकार मैदान की भुजा \( (a) = 1 \) किमी तथा क्षेत्रफल \( = 1 \) वर्ग किमी है।
In simple words: यदि कोई व्यक्ति किसी वर्गाकार मैदान के कुछ चक्कर लगाता है, तो कुल तय की गई दूरी को चक्करों की संख्या से भाग देने पर एक चक्कर की दूरी मिलती है। यह एक चक्कर की दूरी ही मैदान का परिमाप होती है। परिमाप ज्ञात होने पर, आप वर्ग की भुजा और फिर उसका क्षेत्रफल निकाल सकते हैं।
🎯 Exam Tip: ध्यान रखें कि दूरी किलोमीटर में दी गई है, इसलिए वर्ग की भुजा और क्षेत्रफल भी किमी और वर्ग किमी में ही होंगे।
प्रश्न 4. एक आयताकार खेत 75 मीटर लम्बा एवं 45 मीटर चौड़ा है। इसमें 5 मीटर लम्बी एवं 3 मीटर चौड़ी कितनी क्यारियाँ बन सकती हैं?
Answer:
आयताकार खेत की लम्बाई \( = 75 \) मी
आयताकार खेत की चौड़ाई \( = 45 \) मी
आयताकार खेत का क्षेत्रफल \( = \) लम्बाई \( \times \) चौड़ाई \( = 75 \times 45 = 3375 \) वर्ग मी
एक क्यारी की लम्बाई \( = 5 \) मी
एक क्यारी की चौड़ाई \( = 3 \) मी
एक क्यारी का क्षेत्रफल \( = 5 \times 3 = 15 \) वर्ग मी
खेत में बनी क्यारियों की संख्या \( = \frac {\text{खेत का क्षेत्रफल}}{\text{एक क्यारी का क्षेत्रफल}} = \frac {3375}{15} = 225 \)
अतः खेत में बनी क्यारियों की संख्या \( = 225 \) है।
In simple words: सबसे पहले पूरे खेत का क्षेत्रफल निकालते हैं। फिर एक छोटी क्यारी का क्षेत्रफल निकालते हैं। कुल क्यारियों की संख्या जानने के लिए खेत के कुल क्षेत्रफल को एक क्यारी के क्षेत्रफल से भाग कर देते हैं।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि सभी मापन इकाइयाँ (जैसे मीटर) समान हैं। यदि वे भिन्न होतीं, तो आपको उन्हें गणना से पहले एक ही इकाई में बदलना पड़ता।
प्रश्न 5. ...टर तथा चौड़ाई 5 मीटर है। इसके फर्श पर 50 वर्ग सेमी के कितने चौकों की आवश्यकता होगी तथा 20
Answer:
एक चौके का क्षेत्रफल \( = 50 \) सेमी\(^2\)
कमरे का क्षेत्रफल (माना) \( = 500000 \) सेमी\(^2\) (जैसा कि दिए गए हल में उपयोग किया गया है, \( 500000 / 50 = 10000 \) चौके)
कमरे के फर्श में लगे चौकों की संख्या \( = \frac {\text{कमरे का क्षेत्रफल}}{\text{एक चौके का क्षेत्रफल}} = \frac {500000}{50} = 10000 \)
1 चौके की कीमत \( = \) Rs 20
10000 चौकों की कीमत \( = 10000 \times 20 = \) Rs 200000
अतः चौकों की संख्या \( = 10000 \) तथा चौकों की कुल कीमत \( = \) Rs 200000 है।
In simple words: फर्श पर लगने वाले चौकों की कुल संख्या जानने के लिए कमरे के कुल क्षेत्रफल को एक चौके के क्षेत्रफल से भाग देते हैं। कुल कीमत निकालने के लिए चौकों की संख्या को एक चौके की कीमत से गुणा करते हैं।
🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल की गणना करते समय इकाइयों (मीटर या सेमी) का ध्यान रखें। यदि कमरे का क्षेत्रफल मीटर में है और चौके का क्षेत्रफल सेमी में, तो उन्हें एक ही इकाई में बदलें (1 वर्ग मीटर \( = 10000 \) वर्ग सेमी)।
प्रश्न 6. एक वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल 2025 वर्ग मीटर है। इसके चारों ओर 3.5 मीटर चौड़ा मार्ग हो तो मार्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना कि वर्गाकार मैदान की भुजा \( a \) मी है।
वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल \( = 2025 \) वर्ग मी
\( \implies a^2 = 2025 \)
\( \implies a = \sqrt{2025} \)
\( \implies a = 45 \) मी
वर्गाकार मैदान के चारों ओर \( 3.5 \) मी चौड़ा मार्ग है।
मार्ग सहित वर्गाकार मैदान की भुजा \( = 45 + (3.5 + 3.5) = 45 + 7 = 52 \) मी
मार्ग सहित वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल \( = 52 \times 52 = 2704 \) वर्ग मी
मार्ग का क्षेत्रफल \( = \) मार्ग सहित वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल \( - \) वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल
\( = 2704 - 2025 = 679 \) वर्ग मी
In simple words: पहले मैदान की भुजा ज्ञात करते हैं। फिर मार्ग की चौड़ाई जोड़कर बड़े वर्ग की भुजा निकालते हैं। बड़े वर्ग के क्षेत्रफल में से छोटे वर्ग के क्षेत्रफल को घटाने पर मार्ग का क्षेत्रफल मिल जाता है।
🎯 Exam Tip: ध्यान रखें कि मार्ग मैदान के चारों ओर है, इसलिए भुजा की लम्बाई में मार्ग की चौड़ाई को दोनों तरफ से (यानी दो बार) जोड़ना होगा।
प्रश्न 7. एक आयताकार कमरा 40 मीटर लम्बा तथा 25 मीटर चौड़ा है। इसके चारों ओर 2.5 मीटर चौड़ाई की एक सड़क है। इसमें 50 सेमी \( \times \) 70 सेमी के चौके बिछाने है। चौकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
आयताकार कमरे की चौड़ाई \( = 25 \) मी
आयताकार कमरे का क्षेत्रफल \( = \) लम्बाई \( \times \) चौड़ाई \( = 40 \times 25 = 1000 \) वर्ग मी
कमरे के चारों ओर \( 2.5 \) मी चौड़ी सड़क है।
अतः सड़क को माप में लेने पर, कमरे की नई लम्बाई (सड़क सहित) \( = 40 + (2.5 + 2.5) = 40 + 5 = 45 \) मी
कमरे की नई चौड़ाई (सड़क सहित) \( = 25 + (2.5 + 2.5) = 25 + 5 = 30 \) मी
सड़क सहित कमरे का क्षेत्रफल \( = 45 \times 30 = 1350 \) वर्ग मी
सड़क का क्षेत्रफल \( = \) सड़क सहित कमरे का क्षेत्रफल \( - \) कमरे का क्षेत्रफल \( = 1350 - 1000 = 350 \) वर्ग मी
एक चौके का क्षेत्रफल \( = 50 \) सेमी \( \times 70 \) सेमी \( = 3500 \) वर्ग सेमी
वर्ग सेमी को वर्ग मीटर में बदलने के लिए \( 10000 \) से भाग करते हैं। (1 मी \( = 100 \) सेमी, 1 वर्ग मी \( = 100 \times 100 = 10000 \) वर्ग सेमी)
\( \implies \) एक चौके का क्षेत्रफल \( = \frac {3500}{10000} = 0.35 \) वर्ग मी
सड़क में लगे चौकों की संख्या \( = \frac {\text{सड़क का क्षेत्रफल}}{\text{1 चौके का क्षेत्रफल}} = \frac {350}{0.35} = \frac {35000}{35} = 1000 \)
अतः सड़क में लगे चौकों की संख्या \( = 1000 \) है।
In simple words: पहले कमरे का क्षेत्रफल निकालते हैं। फिर सड़क सहित पूरे क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालते हैं। बड़े क्षेत्रफल में से छोटे क्षेत्रफल को घटाने पर सड़क का क्षेत्रफल मिल जाता है। इसके बाद, सड़क के क्षेत्रफल को एक टाइल के क्षेत्रफल से भाग करके कुल टाइलों की संख्या ज्ञात करते हैं। याद रखें, सभी इकाइयों को एक जैसा रखना बहुत जरूरी है।
🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, मार्ग की चौड़ाई को लम्बाई और चौड़ाई दोनों में दो बार (दोनों तरफ से) जोड़ना न भूलें। इकाइयों को वर्ग सेमी से वर्ग मी में बदलते समय \( 10000 \) से भाग करना याद रखें।
प्रश्न 9. चित्र में दी गई आकृति का क्षेत्रफल एवं परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer:
\( = (\text{AD} \times \text{CD}) + (\text{QR} \times \text{SR}) + (\text{MN} \times \text{KN}) \)
\( = (12 \times 2) + (12 \times 2) + (5 \times 2) \)
\( = 24 + 24 + 10 \)
\( = 58 \) वर्ग मी
दी गई आकृति का परिमाप \( = \text{AD} + \text{DC} + \text{CN} + \text{NM} + \text{MS} + \text{SR} + \text{RQ} + \text{QP} + \text{PL} + \text{LK} + \text{KB} + \text{BA} \)
\( = 12 + 2 + 5 + 5 + 5 + 2 + 12 + 2 + 5 + 5 + 5 + 2 \)
\( = 62 \) मी
अतः दी गई आकृति का क्षेत्रफल \( = 58 \) वर्ग मी तथा परिमाप \( = 62 \) मी है।
In simple words: ऐसी जटिल आकृतियों का क्षेत्रफल निकालने के लिए उन्हें छोटे-छोटे सरल आयतों में बाँटते हैं, प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल निकालते हैं और फिर सभी को जोड़ देते हैं। परिमाप निकालने के लिए आकृति की सभी बाहरी भुजाओं की लम्बाई को जोड़ते हैं।
🎯 Exam Tip: जटिल आकृतियों को सरल भागों में विभाजित करते समय यह सुनिश्चित करें कि आप किसी भी भाग को दो बार न गिनें या किसी भाग को छोड़ें नहीं। परिमाप की गणना करते समय, केवल बाहरी किनारों को ही जोड़ें।
प्रश्न 10. एक कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 15.35 मीटर, 4.65 मीटर एवं 6.50 मीटर है। यदि कमरे में 4 दरवाजे प्रत्येक 1.5 मीटर \( \times \) 1.3 मीटर और 3 खिड़कियाँ प्रत्येक 1.5 मीटर \( \times \) 1.2 मीटर की हो तो 3.40 रुपये प्रति वर्ग की दर से कमरे में रंग करवाने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer:
कमरे की लम्बाई \( = 15.35 \) मी
कमरे की चौड़ाई \( = 4.65 \) मी
कमरे की ऊँचाई \( = 6.50 \) मी
1 दरवाजे की लम्बाई \( = 1.5 \) मी
1 दरवाजे की चौड़ाई \( = 1.3 \) मी
1 दरवाजे का क्षेत्रफल \( = \) लम्बाई \( \times \) चौड़ाई \( = 1.5 \times 1.3 = 1.95 \) वर्ग मी
4 दरवाजों का कुल क्षेत्रफल \( = 1.95 \times 4 = 7.8 \) वर्ग मी
1 खिड़की की लम्बाई \( = 1.5 \) मी
1 खिड़की की चौड़ाई \( = 1.2 \) मी
1 खिड़की का क्षेत्रफल \( = 1.5 \times 1.2 = 1.80 \) वर्ग मी
3 खिड़कियों का कुल क्षेत्रफल \( = 1.8 \times 3 = 5.4 \) वर्ग मी
दीवारों और छत पर रंग करवाना है (दरवाजों और खिड़कियों को छोड़कर)।
रंग करवाने के लिए कुल क्षेत्रफल \( = 246.8 \) वर्ग मी (दिए गए हल से)
1 वर्ग मी क्षेत्रफल पर रंग करने का खर्च \( = \) Rs \( 3.40 \)
\( 246.8 \) वर्ग मी क्षेत्रफल पर रंग करने का कुल खर्च \( = 246.8 \times 3.40 = \) Rs \( 839.12 \)
अतः कमरे की दीवारों पर रंग करवाने का कुल व्यय \( = \) Rs \( 839.12 \) है।
In simple words: सबसे पहले सभी दरवाजों और खिड़कियों का क्षेत्रफल निकालते हैं। फिर कमरे की दीवारों और छत का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। उस कुल क्षेत्रफल में से दरवाजों और खिड़कियों का क्षेत्रफल घटा देते हैं। जो क्षेत्रफल बचता है, उसे रंगाई के प्रति वर्ग मीटर खर्च से गुणा करके कुल लागत निकालते हैं।
🎯 Exam Tip: दीवारों और छत के क्षेत्रफल की गणना का सूत्र \( 2(L+W)H + LW \) होता है, जिसमें से दरवाजों और खिड़कियों का क्षेत्रफल घटाना होता है।
प्रश्न 11. एक पानी की टंकी 10 मीटर लम्बी, 8 मीटर चौड़ी तथा 2 मीटर गहरी है। इसकी चारों दीवारों एवं तल की मरम्मत कराने का व्यय 15 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।
Answer:
पानी की टंकी की लम्बाई \( (L) = 10 \) मी
पानी की टंकी की चौड़ाई \( (W) = 8 \) मी
पानी की टंकी की गहराई (ऊँचाई) \( (H) = 2 \) मी
टंकी की चारों दीवारों एवं तल की मरम्मत करनी है।
वांछित क्षेत्रफल \( = \) टंकी की चारों दीवारों का क्षेत्रफल \( + \) टंकी के तल का क्षेत्रफल
चारों दीवारों का क्षेत्रफल (पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल) \( = 2(L+W)H \)
तल का क्षेत्रफल \( = L \times W \)
\( \implies \) कुल क्षेत्रफल \( = 2(10+8) \times 2 + 10 \times 8 \)
\( = 2(18) \times 2 + 80 \)
\( = 36 \times 2 + 80 \)
\( = 72 + 80 \)
\( = 152 \) वर्ग मी
1 वर्ग मी पर मरम्मत करवाने का व्यय \( = \) Rs \( 15 \)
\( 152 \) वर्ग मी पर मरम्मत करवाने का कुल व्यय \( = 152 \times 15 = \) Rs \( 2280 \)
अतः टंकी की दीवारों एवं तले की मरम्मत करवाने का कुल व्यय \( = \) Rs \( 2280 \) है।
In simple words: पहले टंकी की चारों दीवारों और उसके तल का कुल क्षेत्रफल निकालते हैं। चूंकि टंकी का ऊपरी हिस्सा खुला होता है, इसलिए छत का क्षेत्रफल शामिल नहीं करते। कुल क्षेत्रफल को प्रति वर्ग मीटर मरम्मत खर्च से गुणा करके कुल व्यय ज्ञात करते हैं।
🎯 Exam Tip: यदि टंकी की छत खुली हो, तो केवल पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार का क्षेत्रफल ही शामिल करें। यदि छत भी शामिल हो, तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का उपयोग करें।
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