RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 11 समतलीय आकृतियों का क्षेत्रफल Exercise 11.3

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 11 समतलीय आकृतियों का क्षेत्रफल Ex 11.3

Question 1. एक चक्रीय चतुर्भुजाकार मैदान की भुजाएँ क्रमशः 72 मीटर, 154 मीटर, 80 मीटर एवं 150 मीटर है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस मैदान में टाइल बिछवाने का व्यय 5 रुपये प्रति वर्ग मीटर हो तो कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer: सबसे पहले, हम मानते हैं कि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुजाकार मैदान है। इसकी भुजाएँ इस प्रकार हैं: \( a = 72 \) मी, \( b = 154 \) मी, \( c = 80 \) मी और \( d = 150 \) मी। मैदान का परिमाप एक महत्वपूर्ण प्रारंभिक माप है।
सबसे पहले, हम अर्ध-परिमाप \( s \) ज्ञात करते हैं: \( s = \frac {a+b+c+d}{2} \)
\( \implies s = \frac {72+154+80+150}{2} \)
\( \implies s = \frac {456}{2} \)
\( \implies s = 228 \) मी
अब, चक्रीय चतुर्भुजाकार मैदान का क्षेत्रफल ब्रह्मगुप्त के सूत्र से ज्ञात किया जाता है: क्षेत्रफल \( = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \)
\( = \sqrt{(228-72)(228-154)(228-80)(228-150)} \)
\( = \sqrt{156 \times 74 \times 148 \times 78} \)
\( = \sqrt{11544 \times 11544} \)
\( = 11544 \) वर्ग मी
मैदान में 1 वर्ग मी टाइल बिछवाने का खर्च = Rs. 5 है।
मैदान में कुल 11544 वर्ग मी टाइल बिछवाने का कुल खर्च: कुल व्यय \( = 11544 \times 5 = 57720 \)
इसलिए, मैदान का कुल क्षेत्रफल 11544 वर्ग मीटर है और टाइल बिछवाने का कुल व्यय Rs. 57720 है।
In simple words: हमने मैदान की सभी भुजाओं को जोड़कर आधा किया ताकि अर्ध-परिमाप मिल सके। फिर, चक्रीय चतुर्भुज के क्षेत्रफल के विशेष सूत्र का उपयोग करके, हमने मैदान का क्षेत्रफल निकाला। अंत में, हमने कुल क्षेत्रफल को टाइल लगाने के प्रति वर्ग मीटर खर्च से गुणा करके कुल खर्च पता किया।

🎯 Exam Tip: चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ब्रह्मगुप्त का सूत्र याद रखें, और अर्ध-परिमाप की गणना में सावधानी बरतें। साथ ही, इकाइयों (मीटर, वर्ग मीटर, Rs.) का सही उपयोग सुनिश्चित करें।

Question 2. एक समचतुर्भुज के विकर्ण 25 सेमी तथा 42 सेमी है। इसका क्षेत्रफल एवं परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए ABCD एक समचतुर्भुज है, जिसके विकर्ण BD = 25 सेमी और AC = 42 सेमी हैं। हम मानते हैं कि ये विकर्ण बिंदु O पर एक दूसरे को काटते हैं। समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं।
सबसे पहले, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं: क्षेत्रफल \( = \frac {1}{2} \times \) विकर्णों का गुणनफल
\( = \frac {1}{2} \times AC \times BD \)
\( = \frac {1}{2} \times 42 \times 25 \)
\( = 525 \) वर्ग सेमी
चूँकि समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर एक-दूसरे को आधा करते हैं, इसलिए \( \angle AOB = 90^\circ \) होगा।
अब, विकर्णों के आधे हिस्से ज्ञात करते हैं: \( AO = OC = \frac {1}{2} AC = \frac {42}{2} = 21 \) सेमी
\( BO = OD = \frac {1}{2} BD = \frac {25}{2} \) सेमी
समकोण त्रिभुज AOB में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भुजा AB ज्ञात करते हैं: \( AB^2 = AO^2 + BO^2 \)
\( AB^2 = 21^2 + \left( \frac {25}{2} \right)^2 \)
\( AB^2 = 441 + \frac {625}{4} \)
\( AB^2 = \frac {1764+625}{4} \)
\( AB^2 = \frac {2389}{4} \)
\( AB = \sqrt{\frac {2389}{4}} \)
\( AB = \frac {48.88}{2} \) (लगभग)
\( AB = 24.44 \) सेमी
अब, समचतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करते हैं: परिमाप \( = 4 \times AB \)
परिमाप \( = 4 \times 24.44 \)
परिमाप \( = 97.76 \) सेमी (लगभग)
अतः, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 525 वर्ग सेमी और इसका परिमाप लगभग 97.76 सेमी है।
In simple words: पहले, हमने विकर्णों को गुणा करके आधा करके समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निकाला। फिर, क्योंकि विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर आधा करते हैं, हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भुजा की लंबाई ज्ञात की। अंत में, भुजा की लंबाई को 4 से गुणा करके परिमाप निकाला।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज के क्षेत्रफल और परिमाप के सूत्रों को याद रखना महत्वपूर्ण है। साथ ही, यह भी याद रखें कि विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, जिससे पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।

Question 3. एक समचतुर्भुज का परिमाप 40 मीटर हो तथा उसके विकर्ण की लम्बाई 12 मीटर हो तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए ABCD एक समचतुर्भुज है। इसका परिमाप 40 मीटर है और एक विकर्ण (BD) की लंबाई 12 मीटर है। हमें इस समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
समचतुर्भुज का परिमाप \( = 4 \times \) भुजा की लम्बाई
\( 4 \times a = 40 \) मी
\( \implies a = \frac {40}{4} = 10 \) मी
अतः, समचतुर्भुज की भुजा (AB) \( = 10 \) मी
हमें पता है कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर आधा करते हैं।
मान लीजिए दूसरा विकर्ण (AC) \( = 2x \) मी है।
अब, विकर्णों के आधे हिस्से ज्ञात करते हैं: \( AO = OC \)
\( \implies AO = \frac {1}{2} AC \)
\( \implies AO = \frac {1}{2} \times 2x = x \) मी
तथा \( BO = OD \)
\( \implies BO = \frac {1}{2} BD \)
\( \implies BO = \frac {1}{2} \times 12 = 6 \) मी
हमें यह भी पता है कि \( \angle AOB = 90^\circ \) है।
समकोण त्रिभुज AOB में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके \( x \) का मान ज्ञात करते हैं: \( AB^2 = AO^2 + BO^2 \)
\( \implies 10^2 = x^2 + 6^2 \) (क्योंकि AB \( = 10 \) मी)
\( \implies 100 = x^2 + 36 \)
\( \implies x^2 = 100 - 36 \)
\( \implies x^2 = 64 \)
\( \implies x = \sqrt{64} = 8 \)
तो, दूसरा विकर्ण \( AC = 2 \times 8 = 16 \) मी।
अब, समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं: क्षेत्रफल \( = \frac {1}{2} \times AC \times BD \)
क्षेत्रफल \( = \frac {1}{2} \times 16 \times 12 \)
क्षेत्रफल \( = 96 \) वर्ग मी
अतः, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 96 वर्ग मीटर है।
In simple words: पहले, हमने परिमाप से समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई ज्ञात की। फिर, क्योंकि विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं, हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके दूसरे विकर्ण की लंबाई निकाली। अंत में, दोनों विकर्णों का उपयोग करके क्षेत्रफल सूत्र से समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज के गुणों को याद रखें: सभी भुजाएँ समान होती हैं, और विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। यह जानकारी अक्सर भुजाओं या विकर्णों को ज्ञात करने में मदद करती है।

Question 4. एक समलम्बाकार खेत जिसकी समान्तर भुजाएँ 42 मीटर एवं 30 मीटर हैं तथा अन्य भुजाएँ 18 मीटर एवं 18 मीटर हैं। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए ABCD एक समलम्बाकार खेत है, जिसकी समान्तर भुजाएँ AB \( = 42 \) मी और CD \( = 30 \) मी हैं। इसकी अन्य भुजाएँ (गैर-समान्तर भुजाएँ) AD \( = 18 \) मी और BC \( = 18 \) मी हैं।
AD के समान्तर CE और CM लंब AB खींचा।
इससे AECD एक समान्तर चतुर्भुज बनता है।
तो, \( AE = CD = 30 \) मी और \( CE = AD = 18 \) मी।
अब, \( BE = AB - AE = 42 - 30 = 12 \) मी।
CEB एक समद्विबाहु त्रिभुज है क्योंकि \( CE = BC = 18 \) मी।
त्रिभुज CEB का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम एक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जब असमान भुजा (b) और समान भुजाएँ (a) ज्ञात हों: क्षेत्रफल \( = \frac {b}{4} \sqrt{4a^2 - b^2} \)
क्षेत्रफल \( = \frac {12}{4} \sqrt{4 \times 18^2 - 12^2} \)
\( = 3 \times \sqrt{4 \times 324 - 144} \)
\( = 3 \times \sqrt{1296 - 144} \)
\( = 3 \times \sqrt{1152} \)
\( = 101.82 \) मी (लगभग)
त्रिभुज CEB का क्षेत्रफल \( = \frac {1}{2} \times \) आधार \( \times \) ऊँचाई
\( 101.82 = \frac {1}{2} \times 12 \times \) ऊँचाई
\( \implies \) ऊँचाई \( = \frac {101.82 \times 2}{12} \)
\( \implies \) ऊँचाई \( = 16.97 \) मी (लगभग)
अब, समलम्बाकार खेत का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं: क्षेत्रफल \( = \frac {1}{2} \times (AB + CD) \times CM \)
क्षेत्रफल \( = \frac {1}{2} \times (42 + 30) \times 16.97 \)
क्षेत्रफल \( = 36 \times 16.97 \)
क्षेत्रफल \( = 610.92 \) वर्ग मी (लगभग)
अतः, समलम्बाकार खेत का क्षेत्रफल लगभग 610.92 वर्ग मीटर है।
In simple words: हमने पहले एक समान्तर चतुर्भुज बनाकर त्रिभुज CEB की भुजाएँ निकालीं। फिर, उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया और उससे ऊँचाई निकाली। अंत में, समलम्ब के क्षेत्रफल सूत्र में सभी मानों को रखकर कुल क्षेत्रफल पता किया।

🎯 Exam Tip: समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, यदि गैर-समान्तर भुजाएँ दी गई हों, तो अक्सर एक समान्तर चतुर्भुज बनाकर त्रिभुज बनाना और उसकी ऊँचाई ज्ञात करना सहायक होता है।

Question 5. एक समलम्ब चतुर्भुज की समांतर भुजाओं की लम्बाई 26 सेमी तथा 44 सेमी है। यदि इसका क्षेत्रफल 350 वर्ग सेमी हो, तो समांतर भुजाओं के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें एक समलम्ब चतुर्भुज दिया गया है जिसकी समान्तर भुजाओं की लम्बाई 26 सेमी और 44 सेमी है। इसका क्षेत्रफल 350 वर्ग सेमी है। हमें समान्तर भुजाओं के बीच की दूरी (ऊँचाई, \( h \)) ज्ञात करनी है।
समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: क्षेत्रफल \( = \frac {1}{2} \times \) (समान्तर भुजाओं का योग) \( \times \) उनके मध्य दूरी
\( 350 = \frac {1}{2} \times (26 + 44) \times h \)
\( \implies 350 = \frac {1}{2} \times 70 \times h \)
\( \implies 350 = 35 \times h \)
\( \implies h = \frac {350}{35} \)
\( \implies h = 10 \) सेमी
अतः, समान्तर भुजाओं के मध्य की दूरी 10 सेमी है।
In simple words: हमने समलम्ब के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग किया। हमें क्षेत्रफल और दोनों समांतर भुजाओं की लंबाई पता थी। इन मानों को सूत्र में डालकर, हमने आसानी से समांतर भुजाओं के बीच की दूरी (ऊँचाई) निकाल ली।

🎯 Exam Tip: समलम्ब के क्षेत्रफल सूत्र को सही ढंग से लागू करें। दिए गए मानों को ध्यान से रखें और फिर अज्ञात चर (जैसे ऊँचाई) के लिए समीकरण को हल करें।

Question 6. एक मेज समलम्ब चतुर्भुजाकार है। मेज की समान्तर भुजाएँ 8 मीटर तथा 16 मीटर हैं। मेज का क्षेत्रफल 108 वर्ग मीटर हो तो मेज की चौड़ाई (समान्तर भुजाओं के मध्य दूरी) ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें एक मेज दी गई है जो समलम्ब चतुर्भुजाकार है। इसकी समान्तर भुजाएँ 8 मीटर और 16 मीटर हैं। मेज का क्षेत्रफल 108 वर्ग मीटर है। हमें मेज की चौड़ाई (समान्तर भुजाओं के मध्य की दूरी, \( h \)) ज्ञात करनी है।
समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: क्षेत्रफल \( = \frac {1}{2} \times \) (समान्तर भुजाओं का योग) \( \times \) चौड़ाई
\( 108 = \frac {1}{2} \times (8 + 16) \times h \)
\( \implies 108 = \frac {1}{2} \times 24 \times h \)
\( \implies 108 = 12 \times h \)
\( \implies h = \frac {108}{12} \)
\( \implies h = 9 \) मी
अतः, मेज की चौड़ाई 9 मीटर है।
In simple words: हमने मेज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग किया। मेज का क्षेत्रफल और उसकी दोनों समांतर भुजाओं की लंबाई हमें पता थी। इन संख्याओं को सूत्र में डालकर, हमने मेज की चौड़ाई (समांतर भुजाओं के बीच की दूरी) को गणित से निकाल लिया।

🎯 Exam Tip: जब समलम्ब का क्षेत्रफल और समांतर भुजाएँ दी गई हों, तो हमेशा सूत्र \( \text{Area} = \frac{1}{2} \times (\text{side}_1 + \text{side}_2) \times \text{height} \) का उपयोग करके अज्ञात ऊँचाई (चौड़ाई) ज्ञात करें।