RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 11 समतलीय आकृतियों का क्षेत्रफल Exercise 11.2

Exercise 11.2

Question 1. एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण की लम्बाई 12 सेमी है तथा सम्मुख शीर्षों से डाले गए लम्बों की लम्बाई क्रमशः 7 सेमी एवं 8 सेमी है।
Answer: चतुर्भुज के विकर्ण की लम्बाई \( = 12 \) सेमी
विकर्ण के सम्मुख शीर्षों से डाले गए लम्बों की लम्बाई क्रमशः \( = 7 \) सेमी तथा \( 8 \) सेमी
चतुर्भुज का क्षेत्रफल का सूत्र है: \( \frac{1}{2} \times \) विकर्ण की लम्बाई \( \times \) (सम्मुख शीर्षों से विकर्ण पर डाले गए लम्बों का योग)
\( = \frac{1}{2} \times 12 \times (7 + 8) \)
\( = 6 \times 15 \)
\( = 90 \) वर्ग सेमी
इसलिए, चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = 90 \) वर्ग सेमी। यह सूत्र ऐसे चतुर्भुजों के लिए उपयोगी है जिनमें एक विकर्ण और उस पर विपरीत शीर्षों से डाले गए लम्बों की जानकारी हो।
In simple words: हमें एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालना है। इसके लिए, विकर्ण की लम्बाई और उस विकर्ण पर सामने वाले कोनों से खींची गई लम्बाइयों को जोड़कर, उसे विकर्ण की लम्बाई से गुणा करके, फिर आधा कर देते हैं।

🎯 Exam Tip: इस सूत्र का उपयोग तभी करें जब चतुर्भुज का एक विकर्ण और उस पर सम्मुख शीर्षों से डाले गए लम्बों की दूरियाँ दी गई हों। दोनों लम्बों की लम्बाइयों को जोड़ना न भूलें।

Question 2. एक समान्तर चतुर्भुजाकार खेल के मैदान का क्षेत्रफल 2000 वर्ग मीटर है। यदि इसका आधार 50 मीटर हो तो मैदान की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर चतुर्भुजाकार मैदान का क्षेत्रफल \( = 2000 \) वर्ग मीटर
मैदान का आधार \( = 50 \) मीटर
माना मैदान की ऊँचाई \( = h \) मीटर है।
समान्तर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: आधार \( \times \) ऊँचाई
\( \implies \) \( 2000 = 50 \times h \)
\( \implies \) \( h = \frac{2000}{50} \)
\( \implies \) \( h = 40 \) मीटर
अतः समान्तर चतुर्भुजाकार खेत की ऊँचाई \( = 40 \) मीटर है। एक समान्तर चतुर्भुज में ऊँचाई हमेशा आधार के लंबवत मापी जाती है।
In simple words: एक खेल के मैदान का क्षेत्रफल और आधार दिया गया है। मैदान एक समान्तर चतुर्भुज के आकार का है। क्षेत्रफल को आधार से भाग देने पर हमें मैदान की ऊँचाई मिल जाती है।

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए आधार और ऊँचाई हमेशा लंबवत होनी चाहिए। यदि क्षेत्रफल और आधार दिया गया हो, तो ऊँचाई ज्ञात करने के लिए क्षेत्रफल को आधार से भाग दें।

Question 3. एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ क्रमश: AB = 3 सेमी, BC = 4 सेमी, CD = 6 सेमी एवं DA = 5 सेमी है तथा विकर्ण AC = 5 सेमी है।
Answer: चतुर्भुज ABCD को विकर्ण AC द्वारा दो त्रिभुजों \( \triangle ABC \) और \( \triangle ACD \) में विभाजित किया जा सकता है। हम हेरोन के सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
**त्रिभुज ABC की भुजाएँ हैं:**
\( a = BC = 4 \) सेमी
\( b = AC = 5 \) सेमी
\( c = AB = 3 \) सेमी
अर्ध-परिमाप \( s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+5+3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) सेमी
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल \( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{6(6-4)(6-5)(6-3)} \)
\( = \sqrt{6 \times 2 \times 1 \times 3} \)
\( = \sqrt{36} \)
\( = 6 \) वर्ग सेमी
**त्रिभुज ACD की भुजाएँ हैं:**
\( a = CD = 6 \) सेमी
\( b = AD = 5 \) सेमी
\( c = AC = 5 \) सेमी
अर्ध-परिमाप \( s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+5+5}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) सेमी
त्रिभुज ACD का क्षेत्रफल \( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{8(8-6)(8-5)(8-5)} \)
\( = \sqrt{8 \times 2 \times 3 \times 3} \)
\( = \sqrt{144} \)
\( = 12 \) वर्ग सेमी
**चतुर्भुज ABCD का कुल क्षेत्रफल:**
\( = \) त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल \( + \) त्रिभुज ACD का क्षेत्रफल
\( = 6 + 12 \)
\( = 18 \) वर्ग सेमी
अतः चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल \( = 18 \) वर्ग सेमी है। हेरोन का सूत्र तब बहुत उपयोगी होता है जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ ज्ञात हों लेकिन ऊँचाई ज्ञात न हो।
In simple words: हम चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बांटते हैं। फिर हर त्रिभुज का क्षेत्रफल हेरोन के सूत्र से निकालते हैं, जिसमें त्रिभुज की तीनों भुजाओं का इस्तेमाल होता है। अंत में, दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को जोड़कर पूरे चतुर्भुज का क्षेत्रफल मिलता है।

🎯 Exam Tip: जब किसी चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना हो और उसकी भुजाएँ तथा एक विकर्ण दिया गया हो, तो चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करके हेरोन के सूत्र का उपयोग करें। सभी गणनाएँ ध्यान से करें।

Question 4. एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ क्रमश: 9 सेमी, 40 सेमी, 28 सेमी एवं 15 सेमी है। तथा इसकी प्रथम दो भुजाओं के मध्य समकोण है।
Answer: माना ABCD एक चतुर्भुज है जिसकी भुजाएँ \( AB = 9 \) सेमी, \( BC = 40 \) सेमी, \( CD = 28 \) सेमी और \( DA = 15 \) सेमी हैं।
इसकी प्रथम दो भुजाओं (AB तथा BC) के मध्य समकोण है, अर्थात \( \angle B = 90^\circ \)।
चतुर्भुज को विकर्ण AC द्वारा दो त्रिभुजों \( \triangle ABC \) और \( \triangle ACD \) में विभाजित किया जा सकता है।
**समकोण त्रिभुज ABC में:**
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके विकर्ण AC की लम्बाई ज्ञात करें:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
\( \implies AC^2 = 9^2 + 40^2 \)
\( \implies AC^2 = 81 + 1600 \)
\( \implies AC^2 = 1681 \)
\( \implies AC = \sqrt{1681} \)
\( \implies AC = 41 \) सेमी
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \) आधार \( \times \) ऊँचाई
\( = \frac{1}{2} \times 9 \times 40 \)
\( = 180 \) वर्ग सेमी
**त्रिभुज ACD की भुजाएँ हैं:**
\( a = CD = 28 \) सेमी
\( b = AD = 15 \) सेमी
\( c = AC = 41 \) सेमी
अर्ध-परिमाप \( s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{28+15+41}{2} = \frac{84}{2} = 42 \) सेमी
त्रिभुज ACD का क्षेत्रफल \( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{42(42-28)(42-15)(42-41)} \)
\( = \sqrt{42 \times 14 \times 27 \times 1} \)
\( = \sqrt{(2 \times 3 \times 7) \times (2 \times 7) \times (3 \times 3 \times 3)} \)
\( = \sqrt{2^2 \times 3^4 \times 7^2} \)
\( = 2 \times 3^2 \times 7 \)
\( = 2 \times 9 \times 7 \)
\( = 126 \) वर्ग सेमी
**चतुर्भुज ABCD का कुल क्षेत्रफल:**
\( = \) त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल \( + \) त्रिभुज ACD का क्षेत्रफल
\( = 180 + 126 \)
\( = 306 \) वर्ग सेमी
अतः चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल \( = 306 \) वर्ग सेमी है। जब एक समकोण त्रिभुज बनता है, तो उसका क्षेत्रफल सीधे आधार और ऊँचाई का उपयोग करके निकाला जा सकता है, जिससे गणना आसान हो जाती है।
In simple words: इस चतुर्भुज को एक विकर्ण से दो त्रिभुजों में बांटा जाता है। क्योंकि पहली दो भुजाओं के बीच समकोण है, तो पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल सीधे निकल जाएगा। फिर विकर्ण की लम्बाई निकालकर, दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल हेरोन के सूत्र से निकाला जाता है। अंत में, दोनों क्षेत्रफलों को जोड़ दिया जाता है।

🎯 Exam Tip: यदि किसी चतुर्भुज में समकोण दिया गया हो, तो उस भाग को पहले समकोण त्रिभुज के रूप में हल करें। इससे विकर्ण की लम्बाई ज्ञात करना और एक त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालना आसान हो जाता है, जो अगले चरण में मदद करता है।

Question 5. एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो आसन्न भुजाएँ क्रमशः 50 सेमी एवं 40 सेमी हो तथा विकर्ण 30 सेमी हो।
Answer: माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसकी दो आसन्न भुजाएँ \( AB = 50 \) सेमी और \( BC = 40 \) सेमी हैं।
एक विकर्ण की लम्बाई \( BD = 30 \) सेमी है।
चूंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं:
\( CD = AB = 50 \) सेमी
\( AD = BC = 40 \) सेमी
एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = 2 \times (\triangle ABD \text{ का क्षेत्रफल}) \) क्योंकि विकर्ण इसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बांटता है।
**त्रिभुज ABD की भुजाएँ हैं:**
\( a = BD = 30 \) सेमी
\( b = AD = 40 \) सेमी
\( c = AB = 50 \) सेमी
अर्ध-परिमाप \( s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{30+40+50}{2} = \frac{120}{2} = 60 \) सेमी
त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल \( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{60(60-30)(60-40)(60-50)} \)
\( = \sqrt{60 \times 30 \times 20 \times 10} \)
\( = \sqrt{(6 \times 10) \times (3 \times 10) \times (2 \times 10) \times 10} \)
\( = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 10^4} \)
\( = \sqrt{36 \times 10^4} \)
\( = 6 \times 100 \)
\( = 600 \) वर्ग सेमी
**समान्तर चतुर्भुज ABCD का कुल क्षेत्रफल:**
\( = 2 \times (\triangle ABD \text{ का क्षेत्रफल}) \)
\( = 2 \times 600 \)
\( = 1200 \) वर्ग सेमी
अतः समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल \( = 1200 \) वर्ग सेमी है। किसी भी समान्तर चतुर्भुज को उसके विकर्ण द्वारा दो बिल्कुल एक जैसे त्रिभुजों में बांटा जा सकता है।
In simple words: हम समान्तर चतुर्भुज को एक विकर्ण की मदद से दो एक जैसे त्रिभुजों में बांटते हैं। फिर हेरोन के सूत्र से एक त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालते हैं। चूंकि दोनों त्रिभुज एक जैसे हैं, इसलिए चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल, एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना होता है।

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आप उसे एक विकर्ण द्वारा दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल हेरोन के सूत्र से निकालें और फिर उसे दोगुना कर दें।

Question 6. समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके एक विकर्ण की लम्बाई 5.2 सेमी है तथा विकर्ण के सम्मुख शीर्षों से लम्बों की दूरियाँ क्रमश: 3.5 सेमी है।
Answer: समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण की लम्बाई \( = 5.2 \) सेमी
विकर्ण के सम्मुख शीर्षों से लम्बों की दूरियाँ क्रमश: \( = 3.5 \) सेमी (प्रत्येक)
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल का सूत्र है: \( \frac{1}{2} \times \) विकर्ण की लम्बाई \( \times \) (विकर्ण पर डाले गए लम्बों का योग)
\( = \frac{1}{2} \times 5.2 \times (3.5 + 3.5) \)
\( = \frac{1}{2} \times 5.2 \times 7 \)
\( = 2.6 \times 7 \)
\( = 18.2 \) वर्ग सेमी
अतः समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = 18.2 \) वर्ग सेमी है। समान्तर चतुर्भुज में, एक विकर्ण पर सम्मुख शीर्षों से डाले गए लम्बों की लम्बाई हमेशा समान होती है।
In simple words: समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए, विकर्ण की लम्बाई को उसके ऊपर डाले गए दोनों लम्बों की कुल लम्बाई से गुणा करके, फिर आधा कर देते हैं।

🎯 Exam Tip: यह सूत्र समान्तर चतुर्भुज के लिए भी लागू होता है। ध्यान दें कि समान्तर चतुर्भुज में एक विकर्ण पर सम्मुख शीर्षों से डाले गए लम्बों की दूरियाँ हमेशा बराबर होती हैं।

Question 7. एक समान्तर चतुर्भुजाकार भूखण्ड ABCD की आसन्न भुजाएँ AB = 39 मी, BC = 25 मी तथा विकर्ण AC = 56 मी है। इस भूखण्ड पर Rs. 100 प्रति वर्ग मी की दर से मिट्टी डलवाने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer: माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुजाकार भूखण्ड है जिसकी आसन्न भुजाएँ \( AB = 39 \) मी और \( BC = 25 \) मी हैं।
विकर्ण \( AC = 56 \) मी है।
चूंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, तो:
\( CD = AB = 39 \) मी
\( AD = BC = 25 \) मी
समान्तर चतुर्भुजाकार भूखण्ड ABCD का क्षेत्रफल \( = 2 \times (\triangle ABC \text{ का क्षेत्रफल}) \)
**त्रिभुज ABC की भुजाएँ हैं:**
\( a = BC = 25 \) मी
\( b = AC = 56 \) मी
\( c = AB = 39 \) मी
अर्ध-परिमाप \( s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{25+56+39}{2} = \frac{120}{2} = 60 \) मी
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल \( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{60(60-25)(60-56)(60-39)} \)
\( = \sqrt{60 \times 35 \times 4 \times 21} \)
\( = \sqrt{(2 \times 2 \times 3 \times 5) \times (5 \times 7) \times (2 \times 2) \times (3 \times 7)} \)
\( = \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^2} \)
\( = (2^2 \times 3 \times 5 \times 7) \)
\( = 4 \times 3 \times 5 \times 7 \)
\( = 420 \) वर्ग मी
**समान्तर चतुर्भुजाकार भूखण्ड ABCD का कुल क्षेत्रफल:**
\( = 2 \times (\triangle ABC \text{ का क्षेत्रफल}) \)
\( = 2 \times 420 \)
\( = 840 \) वर्ग मी
अब, भूखण्ड पर मिट्टी डलवाने का व्यय ज्ञात करें:
\( 1 \) वर्ग मी क्षेत्रफल पर मिट्टी डलवाने का व्यय \( = \) Rs. \( 100 \)
\( 840 \) वर्ग मी क्षेत्रफल पर मिट्टी डलवाने का व्यय \( = 840 \times 100 \)
\( = 84000 \) Rs.
अतः समान्तर चतुर्भुजाकार भूखण्ड पर मिट्टी डलवाने का कुल व्यय \( = \) Rs. \( 84000 \) है। पहले क्षेत्रफल निकालना और फिर उसे प्रति वर्ग मीटर की लागत से गुणा करना कुल खर्च निकालने का एक सीधा तरीका है।
In simple words: सबसे पहले, समान्तर चतुर्भुज को एक विकर्ण से दो त्रिभुजों में बांटें और हेरोन के सूत्र का उपयोग करके एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें। फिर कुल क्षेत्रफल निकालने के लिए उसे दोगुना करें। अंत में, कुल क्षेत्रफल को मिट्टी डलवाने की प्रति वर्ग मीटर लागत से गुणा करके कुल व्यय प्राप्त करें।

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के प्रश्नों में, यदि लागत भी पूछी गई हो, तो क्षेत्रफल की गणना के बाद लागत से गुणा करना न भूलें। हेरोन के सूत्र में गुणनखण्डों को ध्यान से सरल करें।