Official RBSE Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 11 समतलीय आकृतियों का क्षेत्रफल
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 11 समतलीय आकृतियों का क्षेत्रफल
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Question 1. एक त्रिभुज का आधार 20 सेमी तथा ऊँचाई 6 सेमी है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है-
त्रिभुज का आधार \( = 20 \) सेमी
त्रिभुज की ऊँचाई \( = 6 \) सेमी
अब, त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac { 1 }{ 2 } \times \) आधार \( \times \) ऊँचाई
\( = \frac { 1 }{ 2 } \times 20 \times 6 \)
\( = 60 \) वर्ग सेमी
त्रिभुज का क्षेत्रफल 60 वर्ग सेमी है, जो दिए गए आधार और ऊँचाई से प्राप्त होता है।
In simple words: हमें त्रिभुज का आधार और ऊँचाई दी गई है. त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए, आधार और ऊँचाई को गुणा करके उसका आधा कर देते हैं.
🎯 Exam Tip: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय हमेशा सही सूत्र \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \) का उपयोग करें और इकाइयाँ (जैसे वर्ग सेमी) लिखना न भूलें।
Question 2. त्रिभुज जिसकी भुजाएँ क्रमशः 15 सेमी, 25 सेमी एवं 30 सेमी हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ हैं:
\( a = 15 \) सेमी
\( b = 25 \) सेमी
\( c = 30 \) सेमी
सबसे पहले, त्रिभुज का अर्ध-परिमाप (s) निकालते हैं:
\( s = \frac { a + b + c }{ 2 } \)
\( s = \frac { 15 + 25 + 30 }{ 2 } \)
\( s = \frac { 70 }{ 2 } \)
\( s = 35 \) सेमी
अब, हेरॉन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
क्षेत्रफल \( = \sqrt { s(s-a)(s-b)(s-c) } \)
\( = \sqrt { 35(35-15)(35-25)(35-30) } \)
\( = \sqrt { 35 \times 20 \times 10 \times 5 } \)
\( = \sqrt { (5 \times 7) \times (4 \times 5) \times (2 \times 5) \times 5 } \)
\( = \sqrt { 5 \times 7 \times 2 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 5 } \)
\( = \sqrt { 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 } \)
\( = 2 \times 5 \times 5 \sqrt { 2 \times 7 } \)
\( = 50\sqrt { 14 } \) वर्ग सेमी
इस त्रिभुज का क्षेत्रफल \( 50\sqrt{14} \) वर्ग सेमी है, जो हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके पाया गया है।
In simple words: अगर त्रिभुज की तीनों भुजाएँ पता हों, तो पहले उनका आधा परिमाप निकालते हैं. फिर हेरॉन का सूत्र लगाकर क्षेत्रफल निकालते हैं. यह सूत्र बहुत काम आता है जब ऊँचाई नहीं पता हो.
🎯 Exam Tip: हेरॉन के सूत्र का उपयोग करते समय, अर्ध-परिमाप \( s \) को सही ढंग से गणना करें और फिर वर्गमूल के अंदर सभी गुणनफलों को ध्यान से हल करें।
Question 3. एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसकी समान भुजा 8 सेमी है तथा तीसरी भुजा 4 सेमी हो, तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ हैं:
\( a = 8 \) सेमी
\( b = 8 \) सेमी
\( c = 4 \) सेमी
पहले अर्ध-परिमाप (s) निकालते हैं:
\( s = \frac { a + b + c }{ 2 } \)
\( s = \frac { 8 + 8 + 4 }{ 2 } \)
\( s = \frac { 20 }{ 2 } \)
\( s = 10 \) सेमी
अब, हेरॉन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
क्षेत्रफल \( = \sqrt { s(s-a)(s-b)(s-c) } \)
\( = \sqrt { 10(10-8)(10-8)(10-4) } \)
\( = \sqrt { 10 \times 2 \times 2 \times 6 } \)
\( = \sqrt { 240 } \)
\( = \sqrt { 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 } \)
\( = 2 \times 2 \sqrt { 3 \times 5 } \)
\( = 4\sqrt { 15 } \) वर्ग सेमी
इस समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल \( 4\sqrt{15} \) वर्ग सेमी है, क्योंकि इसकी दो भुजाएँ समान हैं।
In simple words: समद्विबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं. इसका क्षेत्रफल निकालने के लिए भी हेरॉन का सूत्र काम आता है.
🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज में दो समान भुजाओं और एक तीसरी अलग भुजा को पहचानना महत्वपूर्ण है, फिर अर्ध-परिमाप और हेरॉन के सूत्र का सही ढंग से उपयोग करें।
Question 4. एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा 20 सेमी है, उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: समबाहु त्रिभुज की भुजा (a) \( = 20 \) सेमी
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल का सूत्र है:
क्षेत्रफल \( = \frac { \sqrt { 3 } }{ 4 } a^2 \)
\( = \frac { \sqrt { 3 } }{ 4 } \times (20)^2 \)
\( = \frac { \sqrt { 3 } }{ 4 } \times 400 \)
\( = 100\sqrt { 3 } \) वर्ग सेमी
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल \( 100\sqrt{3} \) वर्ग सेमी है, क्योंकि इसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
In simple words: समबाहु त्रिभुज में सारी भुजाएँ एक जैसी होती हैं. इसका क्षेत्रफल निकालने का एक सीधा सूत्र होता है, जिसमें भुजा की लम्बाई का वर्ग करते हैं.
🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए विशिष्ट सूत्र \( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \) को याद रखें, जो गणना को सरल बनाता है।
Question 5. एक त्रिभुजाकार मैदान जिसकी दो भुजाएँ 8 सेमी तथा 15 सेमी हैं, उसका परिमाप 40 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: त्रिभुजाकार मैदान की दो भुजाएँ हैं:
\( a = 8 \) सेमी
\( b = 15 \) सेमी
परिमाप \( 2s = 40 \) सेमी
त्रिभुज का परिमाप तीनों भुजाओं का योग होता है:
\( 2s = a + b + c \)
\( 40 = 8 + 15 + c \)
\( 40 = 23 + c \)
\( \implies c = 40 - 23 \)
\( \implies c = 17 \) सेमी
तो, तीसरी भुजा \( c = 17 \) सेमी है। अब तीनों भुजाएँ \( a=8 \), \( b=15 \), \( c=17 \) सेमी हैं।
अर्ध-परिमाप \( s = \frac { 40 }{ 2 } = 20 \) सेमी
अब, हेरॉन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
क्षेत्रफल \( = \sqrt { s(s-a)(s-b)(s-c) } \)
\( = \sqrt { 20(20-8)(20-15)(20-17) } \)
\( = \sqrt { 20 \times 12 \times 5 \times 3 } \)
\( = \sqrt { (4 \times 5) \times (3 \times 4) \times 5 \times 3 } \)
\( = \sqrt { 2 \times 2 \times 5 \times 3 \times 2 \times 2 \times 5 \times 3 } \)
\( = \sqrt { 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 } \)
\( = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \)
\( = 60 \) वर्ग सेमी
इस त्रिभुजाकार मैदान का क्षेत्रफल 60 वर्ग सेमी है, जिसे तीसरी भुजा निकालने के बाद हेरॉन के सूत्र से गणना किया गया।
In simple words: जब किसी त्रिभुज का परिमाप और दो भुजाएँ दी हों, तो पहले तीसरी भुजा निकालें. फिर हेरॉन का सूत्र लगाकर उसका क्षेत्रफल आसानी से पता कर सकते हैं.
🎯 Exam Tip: यदि परिमाप और दो भुजाएँ दी गई हों, तो तीसरी भुजा की गणना करना पहला कदम है, जिसके बाद ही आप हेरॉन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
Question 6. एक त्रिभुजाकार मेज जिसकी भुजाओं का अनुपात 3 : 4 : 5 तथा परिमाप 36 मी. है उस मेज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: मेज की भुजाओं का अनुपात \( = 3 : 4 : 5 \)
माना मेज की भुजाएँ \( 3x \) मी, \( 4x \) मी तथा \( 5x \) मी हैं।
मेज का परिमाप \( = 36 \) मी
परिमाप तीनों भुजाओं का योग होता है:
\( 3x + 4x + 5x = 36 \)
\( \implies 12x = 36 \)
\( \implies x = \frac { 36 }{ 12 } \)
\( \implies x = 3 \)
अतः मेज की भुजाएँ हैं:
\( a = 3 \times 3 = 9 \) मी
\( b = 4 \times 3 = 12 \) मी
\( c = 5 \times 3 = 15 \) मी
अब अर्ध-परिमाप (s) निकालते हैं:
\( s = \frac { a + b + c }{ 2 } \)
\( s = \frac { 9 + 12 + 15 }{ 2 } \)
\( s = \frac { 36 }{ 2 } \)
\( s = 18 \) मी
अब, हेरॉन के सूत्र से मेज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
क्षेत्रफल \( = \sqrt { s(s-a)(s-b)(s-c) } \)
\( = \sqrt { 18(18-9)(18-12)(18-15) } \)
\( = \sqrt { 18 \times 9 \times 6 \times 3 } \)
\( = \sqrt { (2 \times 3 \times 3) \times (3 \times 3) \times (2 \times 3) \times 3 } \)
\( = \sqrt { 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 } \)
\( = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \)
\( = 54 \) वर्ग मी
इस त्रिभुजाकार मेज का क्षेत्रफल 54 वर्ग मी है, जिसे भुजाओं के अनुपात और परिमाप से गणना किया गया।
In simple words: जब भुजाएँ अनुपात में दी हों और परिमाप भी पता हो, तो पहले 'x' का मान निकाल कर सही भुजाओं की लम्बाई पता करते हैं. फिर हेरॉन के सूत्र से क्षेत्रफल निकाल लेते हैं.
🎯 Exam Tip: अनुपात वाले प्रश्नों में, पहले \( x \) का मान ज्ञात करके भुजाओं की वास्तविक लंबाई निर्धारित करें, फिर हेरॉन के सूत्र का उपयोग करें।
Question 7. एक खेत जिसकी आकृति त्रिभुजाकार है। इसकी भुजाएँ 20 मी, 51 मी एवं 37 मी है तो उस खेत में 2 × 3 वर्ग मीटर माप की कितनी क्यारियाँ बनाई जा सकती हैं?
Answer: त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ हैं:
\( a = 20 \) मी
\( b = 51 \) मी
\( c = 37 \) मी
पहले अर्ध-परिमाप (s) निकालते हैं:
\( s = \frac { a + b + c }{ 2 } \)
\( s = \frac { 20 + 51 + 37 }{ 2 } \)
\( s = \frac { 108 }{ 2 } \)
\( s = 54 \) मी
अब, हेरॉन के सूत्र से खेत का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
खेत का क्षेत्रफल \( = \sqrt { s(s-a)(s-b)(s-c) } \)
\( = \sqrt { 54(54-20)(54-51)(54-37) } \)
\( = \sqrt { 54 \times 34 \times 3 \times 17 } \)
\( = \sqrt { (2 \times 3 \times 3 \times 3) \times (2 \times 17) \times 3 \times 17 } \)
\( = \sqrt { 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 17 \times 17 } \)
\( = 2 \times 3 \times 3 \times 17 \)
\( = 306 \) वर्ग मी
खेत में बनी एक क्यारी का क्षेत्रफल \( = 2 \times 3 = 6 \) वर्ग मी
खेत में बनी क्यारियों की संख्या \( = \frac { \text{खेत का क्षेत्रफल} }{ \text{एक क्यारी का क्षेत्रफल} } \)
\( = \frac { 306 }{ 6 } \)
\( = 51 \)
अतः, उस खेत में 51 क्यारियाँ बनाई जा सकती हैं, जिससे खेत का पूरा उपयोग हो सके।
In simple words: सबसे पहले, खेत का कुल क्षेत्रफल हेरॉन के सूत्र से निकालते हैं. फिर एक क्यारी के क्षेत्रफल से कुल खेत के क्षेत्रफल को भाग देकर यह पता चलता है कि कितनी क्यारियाँ बन सकती हैं.
🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में पहले बड़े क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें, फिर छोटे इकाई क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें, और अंत में कुल संख्या ज्ञात करने के लिए दोनों को विभाजित करें।
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