RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 11 समतलीय आकृतियों का क्षेत्रफल Important Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

 

Question 1. त्रिभुज की भुजाएँ 5 सेमी, 6 सेमी तथा 7 सेमी है, तब त्रिभुज का अर्ध परिमाप है:
(A) 6 सेमी
(B) 7 सेमी
(C) 8 सेमी
(D) 9 सेमी
Answer: (D) 9 सेमी
In simple words: त्रिभुज की भुजाओं को जोड़कर 2 से भाग देने पर अर्ध परिमाप 9 सेमी आता है।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के अर्ध-परिमाप (s) को उसकी सभी भुजाओं (a, b, c) के योग को 2 से विभाजित करके ज्ञात किया जाता है: \( s = \frac{a+b+c}{2} \).

 

Question 2. 16\( \sqrt{3} \) सेमी क्षेत्रफल वाले समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लम्बाई है:
(A) 36 सेमी
(B) 8 सेमी
(C) 6 सेमी
(D) 4 सेमी
Answer: (B) 8 सेमी
In simple words: क्षेत्रफल के सूत्र \( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \) में मान रखने पर, समबाहु त्रिभुज की भुजा 8 सेमी होगी।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र \( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \) होता है, जहाँ 'a' त्रिभुज की भुजा की लम्बाई है। इस सूत्र को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है।

 

Question 3. समबाहु त्रिभुज की माध्यिका की लम्बाई 3 सेमी है। त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लम्बाई है:
(A) 2\( \sqrt{3} \) सेमी
(B) 3\( \sqrt{3} \) सेमी
(C) 4\( \sqrt{3} \) सेमी
(D) 2\( \sqrt{6} \) सेमी
Answer: (A) 2\( \sqrt{3} \) सेमी
In simple words: माध्यिका के सूत्र \( \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{भुजा} \) का उपयोग करने पर, भुजा की लम्बाई \( 2\sqrt{3} \) सेमी आती है।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज में माध्यिका, शीर्षलम्ब और कोण समद्विभाजक तीनों एक ही होते हैं, और इसकी लम्बाई \( \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{भुजा} \) होती है।

 

Question 4. समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लम्बाई 4 सेमी है। त्रिभुज के लम्बे की लम्बाई है:
(A) Typesetting math: 30%
(B) 2\( \sqrt{3} \) सेमी
Answer: (B) 2\( \sqrt{3} \) सेमी
In simple words: भुजा 4 सेमी होने पर, समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई \( 2\sqrt{3} \) सेमी होती है।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, उसकी भुजा को \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) से गुणा करें। यह ऊँचाई त्रिभुज को दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है।

 

Question 6. एक समबाहु त्रिभुज तथा वर्ग का परिमाप बराबर है। त्रिभुज का क्षेत्रफल 36\( \sqrt{3} \) सेमी\( ^2 \) है तब वर्ग के विकर्ण की लम्बाई है:
(A) 9\( \sqrt{3} \) सेमी
(B) 9\( \sqrt{2} \) सेमी
(C) 8\( \sqrt{2} \) सेमी
(D) 18\( \sqrt{2} \) सेमी
Answer: (B) 9\( \sqrt{2} \) सेमी
In simple words: त्रिभुज के क्षेत्रफल से उसकी भुजा और परिमाप निकालें। वर्ग का परिमाप बराबर होने से उसकी भुजा 9 सेमी होगी, और विकर्ण \( 9\sqrt{2} \) सेमी होगा।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, हमेशा पहले एक आकृति की अज्ञात भुजाएँ और परिमाप ज्ञात करें, फिर उन्हें दूसरी आकृति से संबंधित करें। वर्ग का विकर्ण उसकी भुजा का \( \sqrt{2} \) गुना होता है।

 

Question 7. त्रिभुज के अर्द्ध परिमाप तथा इसकी भुजाओं में अन्तर क्रमशः 4 सेमी, 5 सेमी तथा 6 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
(A) 2\( \sqrt{30} \) सेमी\( ^2 \)
(B) 10\( \sqrt{3} \) सेमी\( ^2 \)
(C) 20\( \sqrt{10} \) सेमी\( ^2 \)
(D) 30\( \sqrt{2} \) सेमी\( ^2 \)
Answer: (D) 30\( \sqrt{2} \) सेमी\( ^2 \)
In simple words: अर्ध-परिमाप और भुजाओं के अंतर से पहले अर्ध-परिमाप और भुजाएँ ज्ञात करें, फिर हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल \( 30\sqrt{2} \) सेमी\( ^2 \) निकालें।

🎯 Exam Tip: यदि \( s-a, s-b, s-c \) दिए गए हों, तो पहले अर्ध-परिमाप (s) ज्ञात करें, फिर भुजाएँ (a, b, c) निकालें, और अंत में हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल की गणना करें।

 

Question 8. समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ 2.4 सेमी तथा 3.2 सेमी हैं। उनके संगत लम्बों का अनुपात हैं:
(A) 3:4
(B) 4:3
(C) 2:3
(D) 3:2
Answer: (B) 4:3
In simple words: समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल समान रहता है, इसलिए भुजाओं और लम्बों का अनुपात उलटा होता है। भुजाओं \( 2.4:3.2 \) का उलटा अनुपात \( 3.2:2.4 \) होता है, जो \( 4:3 \) है।

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार \( \times \) ऊँचाई होता है। यदि क्षेत्रफल स्थिर है, तो भुजाओं और संगत लम्बों का अनुपात व्युत्क्रमानुपाती होता है (यानी, \( a_1 h_1 = a_2 h_2 \implies \frac{h_1}{h_2} = \frac{a_2}{a_1} \)).

अतिलघूतरीय/लघूत्तरीय प्रश्न

 

Question 9. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
Answer:
1. परिमाप एक बहुभुज की भुजाओं का योग होता है।
2. एक समद्विबाहु समलम्ब की असमान्तर रेखाओं की लम्बाई समान होती है।
3. समलम्ब चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान्तर होता है।
4. यदि त्रिभुज का आधार, आधा कर दिया, तब इसका क्षेत्रफल पुराने त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होगा।
5. हीरो सूत्र में s का मान त्रिभुज के अर्द्धपरिमाप के बराबर होता है।
6. समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \) (समान्तर भुजाओं का योग) \( \times \) समान्तर भुजाओं के मध्य दूरी।
7. चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \( \sqrt{[(s – a)(s – b)(s – c)(s – d)]} \)
In simple words: 1. परिमाप भुजाओं का योग है। 2. समद्विबाहु समलम्ब में असमान्तर भुजाएँ समान होती हैं। 3. समलम्ब चतुर्भुज में एक युग्म भुजाएँ समान्तर होती हैं। 4. आधार आधा करने पर क्षेत्रफल आधा हो जाता है। 5. हीरोन के सूत्र में 's' अर्ध-परिमाप है। 6. समलम्ब का क्षेत्रफल \( \frac{1}{2} \) गुणा समान्तर भुजाओं का योग गुणा दूरी होता है। 7. चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल ब्रह्मगुप्त के सूत्र से निकलता है।

🎯 Exam Tip: रिक्त स्थान भरते समय, प्रत्येक कथन को ध्यान से पढ़ें और सुनिश्चित करें कि आपका उत्तर गणितीय नियमों और परिभाषाओं के अनुसार सटीक हो।

 

Question 1. यदि समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लम्बाई 8 सेमी है, ज्ञात करो-
(i) त्रिभुज का क्षेत्रफल,
(ii) त्रिभुज की ऊँचाई
Answer:
(i) समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम भुजा की लम्बाई 8 सेमी का उपयोग करते हैं। क्षेत्रफल का सूत्र \( \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{(भुजा)}^2 \) होता है, जिससे हमें \( 16\sqrt{3} \) सेमी² क्षेत्रफल मिलता है। यह सूत्र त्रिभुज की तीनों भुजाओं के समान होने पर ही लागू होता है।
(ii) त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं क्योंकि ऊँचाई आधार को समद्विभाजित करती है और समकोण बनाती है। भुजा 8 सेमी होने पर, त्रिभुज की ऊँचाई \( \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4\sqrt{3} \) सेमी मिलती है।
In simple words: (i) 8 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल \( 16\sqrt{3} \) सेमी² है। (ii) इसकी ऊँचाई \( 4\sqrt{3} \) सेमी है।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज के लिए, क्षेत्रफल और ऊँचाई दोनों के सूत्र याद रखना महत्वपूर्ण है। ऊँचाई का सूत्र \( \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \) और क्षेत्रफल का सूत्र \( \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \) है, जहाँ 'a' भुजा की लम्बाई है।

 

Question 2. यदि समबाहु त्रिभुज का परिमाप अंकिक मान में इसके क्षेत्रफल के बराबर है, तब समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा?
Answer:
माना समबाहु त्रिभुज की भुजा 'a' सेमी है।
त्रिभुज का परिमाप \( = 3a \)
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)
प्रश्न के अनुसार, परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं:
\( 3a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)
\( 3 = \frac{\sqrt{3}}{4} a \) (दोनों पक्षों को 'a' से भाग देने पर, क्योंकि \( a \ne 0 \))
\( a = \frac{3 \times 4}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \) सेमी।
अब, त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
क्षेत्रफल \( = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (16 \times 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 48 = 12\sqrt{3} \) सेमी²।
In simple words: परिमाप को क्षेत्रफल के बराबर रखने पर, भुजा \( 4\sqrt{3} \) सेमी मिलती है। इस भुजा से क्षेत्रफल \( 12\sqrt{3} \) सेमी² होगा।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में जहाँ परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर होते हैं, 'a' को 0 के बराबर न मानें और दोनों पक्षों को 'a' से भाग देकर 'a' का मान ज्ञात करें।

 

Question 3. समद्विबाहु त्रिभुज का आधार समान भुजा का \( \frac{3}{2} \) गुना है। यदि इसका परिमाप 28 सेमी है तब इसका क्षेत्रफल तथा ऊँचाई ज्ञात करो।
Answer:
माना समद्विबाहु त्रिभुज की प्रत्येक समान भुजा \( x \) सेमी है।
तो, आधार \( b = \frac{3}{2} x \) सेमी।
त्रिभुज का परिमाप \( = x + x + \frac{3}{2} x = 2x + \frac{3}{2} x = \frac{4x+3x}{2} = \frac{7x}{2} \)
दिया गया है कि परिमाप 28 सेमी है।
\( \frac{7x}{2} = 28 \)
\( \implies 7x = 56 \)
\( \implies x = 8 \) सेमी।
तो, समान भुजाएँ \( a=c=8 \) सेमी और आधार \( b = \frac{3}{2} \times 8 = 12 \) सेमी।
अर्ध-परिमाप \( s = \frac{28}{2} = 14 \) सेमी।
हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल:
\( \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{14(14-8)(14-12)(14-8)} \)
\( = \sqrt{14 \times 6 \times 2 \times 6} \)
\( = \sqrt{(2 \times 7) \times (2 \times 3) \times 2 \times (2 \times 3)} \)
\( = \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7} = 2^2 \times 3 \times \sqrt{7} = 4 \times 3 \times \sqrt{7} = 12\sqrt{7} \) सेमी²।
अब, ऊँचाई ज्ञात करने के लिए क्षेत्रफल का सूत्र उपयोग करें:
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( 12\sqrt{7} = \frac{1}{2} \times 12 \times \text{ऊँचाई} \)
\( \implies 12\sqrt{7} = 6 \times \text{ऊँचाई} \)
\( \implies \text{ऊँचाई} = \frac{12\sqrt{7}}{6} = 2\sqrt{7} \) सेमी।
In simple words: समान भुजाएँ 8 सेमी और आधार 12 सेमी हैं। क्षेत्रफल \( 12\sqrt{7} \) सेमी² है और ऊँचाई \( 2\sqrt{7} \) सेमी है।

🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज के लिए, पहले समान भुजाओं और आधार की लम्बाई ज्ञात करें, फिर हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल निकालें और अंत में क्षेत्रफल के सूत्र से ऊँचाई ज्ञात करें।

 

Question 4. समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 150 सेमी² है। यदि लम्ब की लम्बाई तथा आधार की लम्बाई का अन्तर 5 सेमी है तब त्रिभुज का परिमाप ज्ञात करो।
Answer:
माना समकोण त्रिभुज का आधार \( x \) सेमी है।
तो, लम्ब की लम्बाई \( = (x+5) \) सेमी (क्योंकि लम्ब और आधार का अंतर 5 सेमी है)।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{लम्ब} \)
\( 150 = \frac{1}{2} \times x \times (x+5) \)
\( 300 = x^2 + 5x \)
\( x^2 + 5x - 300 = 0 \)
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
\( x^2 + 20x - 15x - 300 = 0 \)
\( x(x+20) - 15(x+20) = 0 \)
\( (x+20)(x-15) = 0 \)
\( \implies x = -20 \) (जो संभव नहीं है क्योंकि लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती) या \( x = 15 \)।
अतः, आधार \( BC = 15 \) सेमी।
लम्ब \( AB = 15+5 = 20 \) सेमी।
पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण \( AC \) ज्ञात करें:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
\( AC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 \)
\( \implies AC = \sqrt{625} = 25 \) सेमी।
त्रिभुज का परिमाप \( = AB + BC + AC = 20 + 15 + 25 = 60 \) सेमी।
In simple words: आधार को 15 सेमी और ऊँचाई को 20 सेमी पाया। कर्ण 25 सेमी है। परिमाप \( 15+20+25 = 60 \) सेमी है।

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज के सवालों में, आधार और ऊँचाई के बीच संबंध को समझने के लिए द्विघात समीकरण बनाना अक्सर आवश्यक होता है। फिर पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण और अंत में परिमाप ज्ञात करें।

 

Question 5. एक समद्विबाहु त्रिभुज की दो समान भुजाओं में प्रत्येक 5 सेमी एवं तीसरी भुजा 4 सेमी है तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ \( a=5 \) सेमी, \( b=5 \) सेमी और \( c=4 \) सेमी हैं।
त्रिभुज का अर्ध-परिमाप \( s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+5+4}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) सेमी।
हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल \( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{7(7-5)(7-5)(7-4)} \)
\( = \sqrt{7 \times 2 \times 2 \times 3} \)
\( = \sqrt{4 \times 21} = 2\sqrt{21} \) सेमी²।
In simple words: समान भुजाएँ 5 सेमी और आधार 4 सेमी है। अर्ध-परिमाप 7 सेमी है। हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल \( 2\sqrt{21} \) सेमी² है।

🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए हीरोन का सूत्र एक विश्वसनीय तरीका है, खासकर जब ऊँचाई सीधे न दी गई हो।

 

Question 6. समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसकी एक भुजा 20 है।
Answer:
दिया है कि समबाहु त्रिभुज की भुजा \( a = 20 \) इकाई है।
समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई (h) का सूत्र है:
\( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \)
\( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 20 \)
\( h = 10\sqrt{3} \) इकाई।
In simple words: 20 इकाई भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई \( 10\sqrt{3} \) इकाई है।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई का सूत्र \( \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{भुजा} \) को याद रखना सरल और सीधा है। यह सूत्र अक्सर क्षेत्रमिति के प्रश्नों में उपयोग होता है।

 

Question 7. एक चतुर्भुज को क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी भुजाएँ क्रमशः 9 सेमी, 40 सेमी, 28 सेमी एवं 15 सेमी हैं एवं प्रथम दो भुजाओं के मध्य समकोण है।
Answer:
माना ABCD एक चतुर्भुज है जिसकी भुजाएँ AB, BC, CD और DA क्रमशः 9 सेमी, 40 सेमी, 28 सेमी और 15 सेमी हैं।
AB तथा BC के मध्य कोण 90° है, जिसका अर्थ है कि \( \triangle ABC \) एक समकोण त्रिभुज है।
\( \triangle ABC \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \)
\( = \frac{1}{2} \times 9 \times 40 = 9 \times 20 = 180 \) वर्ग सेमी।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, \( \triangle ABC \) में कर्ण \( AC \) की लम्बाई ज्ञात करें:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 \)
\( \implies AC = \sqrt{1681} = 41 \) सेमी।
अब, \( \triangle ACD \) पर विचार करें, जिसकी भुजाएँ AC=41 सेमी, CD=28 सेमी और DA=15 सेमी हैं।
\( \triangle ACD \) का अर्ध-परिमाप \( s = \frac{AC+CD+DA}{2} = \frac{41+28+15}{2} = \frac{84}{2} = 42 \) सेमी।
हीरोन के सूत्र से \( \triangle ACD \) का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल \( = \sqrt{s(s-AC)(s-CD)(s-DA)} \)
\( = \sqrt{42(42-41)(42-28)(42-15)} \)
\( = \sqrt{42 \times 1 \times 14 \times 27} \)
\( = \sqrt{(2 \times 3 \times 7) \times 1 \times (2 \times 7) \times (3^3)} \)
\( = \sqrt{2^2 \times 3^4 \times 7^2} = 2 \times 3^2 \times 7 = 2 \times 9 \times 7 = 126 \) वर्ग सेमी।
चतुर्भुज ABCD का कुल क्षेत्रफल \( = \triangle ABC \) का क्षेत्रफल + \( \triangle ACD \) का क्षेत्रफल
\( = 180 + 126 = 306 \) वर्ग सेमी।
In simple words: चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बांटें। समकोण त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 180 सेमी² है। कर्ण AC 41 सेमी है। दूसरे त्रिभुज ACD का क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र से 126 सेमी² है। कुल क्षेत्रफल \( 180 + 126 = 306 \) सेमी² है।

🎯 Exam Tip: जब एक चतुर्भुज की भुजाएँ और एक कोण दिया गया हो, तो चतुर्भुज को त्रिभुजों में विभाजित करें और हीरोन के सूत्र या समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

 

Question 8. किसी समान्तर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ क्रमशः 5 सेमी एवं 3.5 सेमी हैं तथा विकर्ण 6.5 सेमी है। समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना समान्तर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ 5 सेमी और 3.5 सेमी हैं, और एक विकर्ण 6.5 सेमी है।
यह विकर्ण समान्तर चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बांटता है। माना एक त्रिभुज ABC है जिसकी भुजाएँ \( a=5 \) सेमी, \( b=3.5 \) सेमी और \( c=6.5 \) सेमी हैं।
त्रिभुज का अर्ध-परिमाप \( s = \frac{5+3.5+6.5}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \) सेमी।
हीरोन के सूत्र से \( \triangle ABC \) का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल \( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{7.5(7.5-5)(7.5-3.5)(7.5-6.5)} \)
\( = \sqrt{7.5 \times 2.5 \times 4 \times 1} \)
\( = \sqrt{\frac{15}{2} \times \frac{5}{2} \times 4 \times 1} \)
\( = \sqrt{\frac{75}{4} \times 4} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \) वर्ग सेमी।
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = 2 \times \triangle ABC \) का क्षेत्रफल
\( = 2 \times 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \) वर्ग सेमी।
In simple words: समान्तर चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बांटें। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र से \( 5\sqrt{3} \) सेमी² है। समान्तर चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल \( 2 \times 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \) सेमी² है।

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बांटता है। इसलिए, विकर्ण और दो आसन्न भुजाओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करके उसे दोगुना कर दें।

 

Question 9. चित्र के अनुसार ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसकी समान्तर भुजाएँ AB = 55 सेमी, DC = 40 सेमी एवं असमान्तर भुजाएँ AD = 20 सेमी एवं BC = 25 सेमी हैं। इस समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
समलम्ब चतुर्भुज ABCD में, समान्तर भुजाएँ DC = 40 सेमी और AB = 55 सेमी हैं। असमान्तर भुजाएँ AD = 20 सेमी और BC = 25 सेमी हैं।
समांतर भुजाओं DC और AB पर, D से A पर लम्ब डालें, और C से B के लिए एक काल्पनिक लम्ब CQ डालें। दिए गए माप से, यह एक समकोण समलम्ब चतुर्भुज है जहाँ AD भुजा AB के लम्बवत है।
तो, ऊँचाई (h) \( = AD = 20 \) सेमी।
CQ \( = AD = 20 \) सेमी।
\( AQ = DC = 40 \) सेमी।
\( QB = AB - AQ = 55 - 40 = 15 \) सेमी।
समकोण त्रिभुज CQB में, \( CQ^2 + QB^2 = BC^2 \)
\( 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 = 25^2 \)। यह BC = 25 सेमी के साथ मेल खाता है।
समलम्ब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (\text{समान्तर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times (DC + AB) \times AD \)
\( = \frac{1}{2} \times (40 + 55) \times 20 \)
\( = \frac{1}{2} \times 95 \times 20 = 95 \times 10 = 950 \) वर्ग सेमी।
In simple words: समलम्ब चतुर्भुज की समान्तर भुजाएँ 40 सेमी और 55 सेमी हैं, और ऊँचाई 20 सेमी है। क्षेत्रफल निकालने के लिए, समान्तर भुजाओं के योग को ऊँचाई से गुणा करके 2 से भाग दें। कुल क्षेत्रफल 950 वर्ग सेमी होगा।

🎯 Exam Tip: समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र \( \frac{1}{2} \times (\text{समान्तर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई} \) है। यदि ऊँचाई सीधे नहीं दी गई है, तो इसे अन्य भुजाओं और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके ज्ञात करें।

 

Question 10. एक त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ 20 मीटर, 51 मीटर एवं 37 मीटर हैं। 2 \( \times \) 3 वर्ग मीटर माप की कितनी क्यारियाँ इस खेत में बनाई जा सकती हैं?
Answer:
त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ \( a=20 \) मीटर, \( b=51 \) मीटर एवं \( c=37 \) मीटर हैं।
खेत का अर्ध-परिमाप \( s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{20+51+37}{2} = \frac{108}{2} = 54 \) मीटर।
हीरोन के सूत्र से खेत का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल \( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{54(54-20)(54-51)(54-37)} \)
\( = \sqrt{54 \times 34 \times 3 \times 17} \)
\( = \sqrt{(2 \times 3^3) \times (2 \times 17) \times 3 \times 17} \)
\( = \sqrt{2^2 \times 3^4 \times 17^2} = 2 \times 3^2 \times 17 = 2 \times 9 \times 17 = 306 \) वर्ग मीटर।
एक क्यारी का क्षेत्रफल \( = 2 \times 3 = 6 \) वर्ग मीटर।
बनाई जा सकने वाली क्यारियों की संख्या \( = \frac{\text{खेत का क्षेत्रफल}}{\text{एक क्यारी का क्षेत्रफल}} = \frac{306}{6} = 51 \) क्यारियाँ।
In simple words: खेत का क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र से 306 वर्ग मीटर है। एक क्यारी का क्षेत्रफल 6 वर्ग मीटर है। कुल 51 क्यारियाँ बनाई जा सकती हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में जहाँ कुल क्षेत्रफल को छोटे-छोटे समान क्षेत्रों में विभाजित करना हो, हमेशा पहले कुल क्षेत्रफल और फिर एक इकाई का क्षेत्रफल ज्ञात करें, और अंत में भाग देकर संख्या निकालें।

 

Question 11. एक समबाहु त्रिभुज की माध्यिका की लम्बाई x सेमी है तो उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करो।
Answer:
माना समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लम्बाई 'a' सेमी है।
समबाहु त्रिभुज की माध्यिका की लम्बाई (जो कि ऊँचाई भी होती है) का सूत्र है:
\( \text{माध्यिका} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \)
प्रश्न के अनुसार, माध्यिका की लम्बाई \( x \) सेमी है, तो:
\( x = \frac{\sqrt{3}}{2} a \)
'a' के लिए हल करने पर:
\( a = \frac{2x}{\sqrt{3}} \) सेमी।
समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है:
क्षेत्रफल \( = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)
'a' का मान रखने पर:
क्षेत्रफल \( = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)^2 \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{4x^2}{3} \)
\( = \frac{\sqrt{3}x^2}{3} = \frac{x^2}{\sqrt{3}} \) वर्ग सेमी।
In simple words: माध्यिका 'x' है, तो भुजा \( \frac{2x}{\sqrt{3}} \) होगी। क्षेत्रफल \( \frac{x^2}{\sqrt{3}} \) वर्ग सेमी है।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज के लिए, ऊँचाई और भुजा के बीच संबंध (माध्यिका \( = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{भुजा} \)) और क्षेत्रफल के सूत्र को आपस में जोड़ना सीखें ताकि यदि कोई एक मान दिया गया हो तो दूसरा मान ज्ञात किया जा सके।

 

Question 12. यदि किसी त्रिभुज की प्रत्येक भुजा को दुगुना कर दिया जाए तो इस त्रिभुज के क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि हो जायेगी।
Answer:
माना एक त्रिभुज की भुजाएँ \( x, y, z \) हैं।
मूल अर्ध-परिमाप \( s = \frac{x+y+z}{2} \)
मूल क्षेत्रफल \( A_1 = \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)} \)
यदि प्रत्येक भुजा को दुगुना कर दिया जाए, तो नई भुजाएँ \( 2x, 2y, 2z \) होंगी।
नया अर्ध-परिमाप \( s' = \frac{2x+2y+2z}{2} = 2 \left(\frac{x+y+z}{2}\right) = 2s \)
नया क्षेत्रफल \( A_2 = \sqrt{s'(s'-2x)(s'-2y)(s'-2z)} \)
\( = \sqrt{2s(2s-2x)(2s-2y)(2s-2z)} \)
\( = \sqrt{2s \times 2(s-x) \times 2(s-y) \times 2(s-z)} \)
\( = \sqrt{16 \times s(s-x)(s-y)(s-z)} \)
\( = 4 \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)} \)
\( = 4A_1 \)
क्षेत्रफल में वृद्धि \( = A_2 - A_1 = 4A_1 - A_1 = 3A_1 \)
प्रतिशत वृद्धि \( = \frac{\text{क्षेत्रफल में वृद्धि}}{\text{मूल क्षेत्रफल}} \times 100 \)
\( = \frac{3A_1}{A_1} \times 100 = 300\% \)
In simple words: भुजाओं को दुगुना करने पर अर्ध-परिमाप भी दुगुना हो जाता है। नया क्षेत्रफल पुराने क्षेत्रफल का चार गुना होता है। इसलिए, क्षेत्रफल में 300% की वृद्धि होती है।

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है: यदि एक त्रिभुज की भुजाओं को 'k' गुना कर दिया जाए, तो उसका क्षेत्रफल \( k^2 \) गुना हो जाता है। इस मामले में, k=2, तो क्षेत्रफल \( 2^2 = 4 \) गुना हो जाता है, जिससे 300% की वृद्धि होती है।

 

Question 13. एक त्रिभुज तथा समचतुर्भुज का समान आधार तथा समान क्षेत्रफल है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 30 सेमी, 32 सेमी तथा 34 सेमी हो तथा समचतुर्भुज का आधार 32 सेमी पर स्थित हो तो इसकी ऊँचाई ज्ञात करो।
Answer:
त्रिभुज की भुजाएँ \( a=30 \) सेमी, \( b=32 \) सेमी तथा \( c=34 \) सेमी हैं।
त्रिभुज का अर्ध-परिमाप \( s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{30+32+34}{2} = \frac{96}{2} = 48 \) सेमी।
हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल \( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{48(48-30)(48-32)(48-34)} \)
\( = \sqrt{48 \times 18 \times 16 \times 14} \)
\( = \sqrt{(16 \times 3) \times (9 \times 2) \times 16 \times (2 \times 7)} \)
\( = \sqrt{16^2 \times 3^2 \times 2^2 \times 7} = 16 \times 3 \times 2 \times \sqrt{7} = 96\sqrt{7} \) वर्ग सेमी।
दिया गया है कि समचतुर्भुज का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है।
तो, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = 96\sqrt{7} \) वर्ग सेमी।
समचतुर्भुज का आधार \( = 32 \) सेमी।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( 96\sqrt{7} = 32 \times \text{ऊँचाई} \)
\( \implies \text{ऊँचाई} = \frac{96\sqrt{7}}{32} = 3\sqrt{7} \) सेमी।
In simple words: त्रिभुज का क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र से \( 96\sqrt{7} \) सेमी² है। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल भी यही है। आधार 32 सेमी है, इसलिए ऊँचाई \( \frac{96\sqrt{7}}{32} = 3\sqrt{7} \) सेमी होगी।

🎯 Exam Tip: जब दो ज्यामितीय आकृतियों का क्षेत्रफल समान दिया गया हो, तो पहले एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें और फिर उस मान का उपयोग करके दूसरी आकृति के अज्ञात आयाम (जैसे ऊँचाई) को ज्ञात करें।

The provided content from pages 15 to 18 of the PDF does not contain any questions or answers. These pages exclusively feature website navigation, footer links, comment sections, and copyright information, all of which are to be ignored according to the content processing rules. Therefore, no HTML output is generated for this range.