RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 11 समतलीय आकृतियों का क्षेत्रफल More Ques

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 11 समतलीय आकृतियों का क्षेत्रफल Miscellaneous Exercise

निम्नलिखित में से प्रत्येक का सही उत्तर लिखिए-

 

Question 1. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 8 सेमी है तो त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा:
(A) \( 16\sqrt{3} \) वर्ग सेमी
(B) \( 8\sqrt{3} \) वर्ग सेमी
(C) \( 64\sqrt{3} \) वर्ग सेमी
(D) \( 4\sqrt{3} \) वर्ग सेमी
Answer: (A) \( 16\sqrt{3} \) वर्ग सेमी
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, भुजा की लम्बाई का वर्ग करके उसे \( \frac{\sqrt{3}}{4} \) से गुणा किया जाता है। एक समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं।
In simple words: एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा के वर्ग को \( \frac{\sqrt{3}}{4} \) से गुणा करके निकाला जाता है। यदि भुजा 8 सेमी है, तो क्षेत्रफल \( 16\sqrt{3} \) वर्ग सेमी होगा।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र \( \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \) को हमेशा याद रखें, जहाँ 'a' त्रिभुज की भुजा की लम्बाई है।

 

Question 2. एक त्रिभुज की भुजाएँ 40 सेमी, 70 सेमी एवं 90 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल होगाः
(A) \( 600\sqrt{5} \) वर्ग मी
(B) \( 500\sqrt{6} \) वर्ग सेमी
(C) \( 482\sqrt{5} \) वर्ग सेमी
(D) \( 60\sqrt{5} \) वर्ग सेमी
Answer: (A) \( 600\sqrt{5} \) वर्ग मी
त्रिभुज की भुजाएँ a = 40 सेमी, b = 70 सेमी, c = 90 सेमी हैं।
अर्ध-परिमाप \( s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{40+70+90}{2} = \frac{200}{2} = 100 \) सेमी।
हेरोन के सूत्र से, क्षेत्रफल \( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{100(100-40)(100-70)(100-90)} \)
\( = \sqrt{100 \times 60 \times 30 \times 10} \)
\( = \sqrt{(10^2) \times (6 \times 10) \times (3 \times 10) \times 10} \)
\( = \sqrt{10^2 \times 6 \times 3 \times 10^3} = \sqrt{10^5 \times 18} = 10^2 \sqrt{10 \times 18} = 100 \sqrt{180} \)
\( = 100 \sqrt{36 \times 5} = 100 \times 6 \sqrt{5} = 600\sqrt{5} \) वर्ग सेमी। त्रिभुज का क्षेत्रफल मापने के लिए हेरोन का सूत्र बहुत उपयोगी होता है, खासकर जब भुजाओं की लम्बाई विषम हो।
In simple words: हेरोन के सूत्र का उपयोग करके, हम त्रिभुज का अर्ध-परिमाप निकालते हैं और फिर क्षेत्रफल के सूत्र में मान रखकर \( 600\sqrt{5} \) वर्ग सेमी क्षेत्रफल प्राप्त करते हैं।

🎯 Exam Tip: हेरोन का सूत्र \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) उन त्रिभुजों का क्षेत्रफल निकालने के लिए एकदम सही है जिनकी भुजाओं की लम्बाई दी गई हो, खासकर जब वह समकोण त्रिभुज या समबाहु त्रिभुज न हो।

 

Question 3. एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 6 सेमी तथा अन्य भुजा 8 सेमी है। तो त्रिभुज का क्षेत्रफल होगाः
(A) \( 8\sqrt{5} \) वर्ग सेमी
(B) \( 5\sqrt{8} \) वर्ग सेमी
(C) \( 3\sqrt{55} \) वर्ग सेमी
(D) \( 3\sqrt{8} \) वर्ग सेमी
Answer: (A) \( 8\sqrt{5} \) वर्ग सेमी
समान भुजाएँ \( a = 6 \) सेमी, असमान भुजा \( b = 8 \) सेमी।
समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2} \)
\( = \frac{8}{4}\sqrt{4(6)^2-(8)^2} \)
\( = 2\sqrt{4(36)-64} \)
\( = 2\sqrt{144-64} \)
\( = 2\sqrt{80} \)
\( = 2\sqrt{16 \times 5} \)
\( = 2 \times 4\sqrt{5} \)
\( = 8\sqrt{5} \) वर्ग सेमी। यह सूत्र समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए सीधा और प्रभावी है।
In simple words: समान भुजाओं 6 सेमी और आधार 8 सेमी वाले समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल \( 8\sqrt{5} \) वर्ग सेमी होता है, जिसे विशेष सूत्र का उपयोग करके निकाला जा सकता है।

🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए \( \frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2} \) सूत्र का उपयोग करने से गणनाएँ बहुत आसान हो जाती हैं, जहाँ 'a' समान भुजा और 'b' असमान भुजा है।

 

Question 4. समबाहु त्रिभुज का परिमाप 60 सेमी हो तो उसका क्षेत्रफल होगाः
(A) \( 400\sqrt{3} \) वर्ग सेमी
(B) \( 100\sqrt{3} \) वर्ग सेमी
(C) \( 50\sqrt{3} \) वर्ग सेमी
(D) \( 200\sqrt{3} \) वर्ग सेमी
Answer: (B) \( 100\sqrt{3} \) वर्ग सेमी
समबाहु त्रिभुज का परिमाप \( = 3 \times \) भुजा
\( 60 = 3a \)
\( \implies a = \frac{60}{3} = 20 \) सेमी।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{4}(20)^2 \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 400 \)
\( = 100\sqrt{3} \) वर्ग सेमी। परिमाप से भुजा ज्ञात करना पहला महत्वपूर्ण कदम होता है।
In simple words: यदि एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप 60 सेमी है, तो उसकी प्रत्येक भुजा 20 सेमी होगी। इस भुजा का उपयोग करके, त्रिभुज का क्षेत्रफल \( 100\sqrt{3} \) वर्ग सेमी पाया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज के परिमाप से उसकी भुजा ज्ञात करना और फिर क्षेत्रफल के सूत्र में मान रखना एक सामान्य समस्या-समाधान रणनीति है।

 

Question 5. एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 36 वर्ग सेमी है एवं आधार 9 सेमी हो तो लम्ब की लम्बाई होगी:
(A) 8 सेमी
(B) 4 सेमी
(C) 16 सेमी
(D) 32 सेमी
Answer: (A) 8 सेमी
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \) आधार \( \times \) ऊँचाई
\( 36 = \frac{1}{2} \times 9 \times \) ऊँचाई
\( \implies \) ऊँचाई \( = \frac{36 \times 2}{9} \)
\( = \frac{72}{9} \)
\( = 8 \) सेमी। समकोण त्रिभुज में लम्ब और आधार इसकी सीधी भुजाएँ होती हैं।
In simple words: समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके, हम दी गई जानकारी (क्षेत्रफल 36 वर्ग सेमी और आधार 9 सेमी) से लम्ब की लम्बाई 8 सेमी ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र \( \frac{1}{2} \times \) आधार \( \times \) ऊँचाई का उपयोग करके किसी भी अज्ञात मान (आधार, ऊँचाई या क्षेत्रफल) को आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।

 

Question 6. किसी वर्ग की भुजा 10 सेमी हो तो परिमाप होगाः
(A) 20 सेमी
(B) 10 सेमी
(C) 40 सेमी
(D) 30 सेमी
Answer: (C) 40 सेमी
वर्ग का परिमाप \( = 4 \times \) भुजा
\( = 4 \times 10 \)
\( = 40 \) सेमी। वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए परिमाप ज्ञात करना सीधा है।
In simple words: वर्ग की भुजा को 4 से गुणा करने पर उसका परिमाप मिलता है। 10 सेमी भुजा वाले वर्ग का परिमाप 40 सेमी होगा।

🎯 Exam Tip: वर्ग के परिमाप के सूत्र को याद रखना बहुत आसान है: \( 4 \times \) भुजा, क्योंकि इसकी सभी चार भुजाएँ समान होती हैं।

 

Question 7. समचतुर्भुज के विकर्ण 8 सेमी एवं 6 सेमी हो तो उसका क्षेत्रफल होगा :
(A) 24 वर्ग सेमी
(B) 24 वर्ग सेमी
(C) 24 वर्ग सेमी
(D) 24 वर्ग सेमी
Answer: (B) 24 वर्ग सेमी
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \)
जहाँ \( d_1 \) और \( d_2 \) विकर्णों की लम्बाई है।
\( = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \)
\( = \frac{1}{2} \times 48 \)
\( = 24 \) वर्ग सेमी। समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
In simple words: एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों की लम्बाई के गुणनफल का आधा होता है। 8 सेमी और 6 सेमी के विकर्णों के साथ, क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी होगा।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए \( \frac{1}{2}d_1d_2 \) सूत्र याद रखें, यह विकर्णों की जानकारी होने पर क्षेत्रफल निकालने का सबसे तेज़ तरीका है।

 

Question 8. किसी कमरे का परिमाप 40 मीटर और ऊँचाई 4 मीटर है तो उसकी चारों दीवारों का क्षेत्रफल होगा:
(A) 40 वर्ग सेमी
(B) 80 वर्ग सेमी
(C) 120 वर्ग सेमी
(D) 160 वर्ग सेमी
Answer: (D) 160 वर्ग सेमी
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल \( = 2(\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}) \times \text{ऊँचाई} \)
यह सूत्र कमरे के परिमाप को ऊँचाई से गुणा करने के बराबर है।
हमें दिया गया है कि कमरे का परिमाप (जो \( 2(\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}) \) है) 40 मीटर है।
ऊँचाई = 4 मीटर।
अतः, चारों दीवारों का क्षेत्रफल \( = 40 \times 4 = 160 \) वर्ग मीटर। यह किसी भी आयताकार कमरे के लिए लागू होता है।
In simple words: कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल निकालने के लिए, कमरे के परिमाप को उसकी ऊँचाई से गुणा करते हैं। 40 मीटर परिमाप और 4 मीटर ऊँचाई के साथ, क्षेत्रफल 160 वर्ग मीटर होगा।

🎯 Exam Tip: दीवारों के क्षेत्रफल को 'पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल' भी कहा जाता है। याद रखें कि यह आधार के परिमाप को ऊँचाई से गुणा करके प्राप्त होता है।

 

Question 9. समबाहु त्रिभुज की भुजा की लम्बाई क्या होगी जिसका क्षेत्रफल \( 9\sqrt{3} \) वर्ग सेमी है।
Answer:
माना समबाहु त्रिभुज की भुजा 'a' सेमी है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \)
हमें दिया गया है कि क्षेत्रफल \( = 9\sqrt{3} \) वर्ग सेमी।
तो, \( \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 9\sqrt{3} \)
दोनों पक्षों से \( \sqrt{3} \) को हटाने पर,
\( \implies \frac{1}{4}a^2 = 9 \)
\( \implies a^2 = 9 \times 4 \)
\( \implies a^2 = 36 \)
\( \implies a = \sqrt{36} \)
\( \implies a = 6 \) सेमी। इस तरह हम क्षेत्रफल से भुजा की लम्बाई आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।
In simple words: एक समबाहु त्रिभुज की भुजा ज्ञात करने के लिए जब उसका क्षेत्रफल \( 9\sqrt{3} \) वर्ग सेमी हो, तो हम क्षेत्रफल के सूत्र को \( 9\sqrt{3} \) के बराबर रखते हैं। गणना करने पर, त्रिभुज की भुजा 6 सेमी निकलती है।

🎯 Exam Tip: जब क्षेत्रफल दिया हो और भुजा ज्ञात करनी हो, तो क्षेत्रफल के सूत्र में दिए गए मान को रखें और भुजा के लिए समीकरण को हल करें।

 

Question 10. चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र लिखिए।
Answer:
चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र 'ब्रह्मगुप्त का सूत्र' कहलाता है।
यदि चक्रीय चतुर्भुज की भुजाएँ a, b, c, d हों और अर्ध-परिमाप \( s = \frac{a+b+c+d}{2} \) हो, तो क्षेत्रफल \( = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \) होता है। इस सूत्र का उपयोग किसी भी चक्रीय चतुर्भुज के लिए किया जा सकता है।
In simple words: चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ब्रह्मगुप्त का सूत्र इस्तेमाल होता है। इसमें चारों भुजाओं की लम्बाई से अर्ध-परिमाप निकालते हैं, फिर उसे एक सूत्र में डालकर क्षेत्रफल पाते हैं।

🎯 Exam Tip: ब्रह्मगुप्त का सूत्र हेरोन के सूत्र का एक विस्तार है। यदि चतुर्भुज एक चक्रीय चतुर्भुज हो, तो यह सूत्र हमेशा काम करता है।

 

Question 11. एक वर्ग का क्षेत्रफल 144 आर है तो इसका परिमाप लिखिए।
Answer:
माना वर्ग की भुजा 'a' मीटर है।
हमें पता है कि 1 आर (are) \( = 100 \) वर्ग मीटर।
तो, वर्ग का क्षेत्रफल \( = 144 \text{ आर} = 144 \times 100 = 14400 \) वर्ग मीटर।
वर्ग का क्षेत्रफल \( = a^2 \)
\( \implies a^2 = 14400 \)
\( \implies a = \sqrt{14400} \)
\( \implies a = \sqrt{144 \times 100} \)
\( \implies a = 12 \times 10 \)
\( \implies a = 120 \) मीटर। वर्ग का परिमाप ज्ञात करने के लिए भुजा की लम्बाई का पता होना ज़रूरी है।
वर्ग का परिमाप \( = 4 \times a \)
\( = 4 \times 120 \)
\( = 480 \) मीटर।
In simple words: पहले वर्ग के क्षेत्रफल को 'आर' से वर्ग मीटर में बदलते हैं। फिर क्षेत्रफल से वर्ग की भुजा ज्ञात करते हैं, जो 120 मीटर आती है। अंत में, भुजा को 4 से गुणा करके वर्ग का परिमाप 480 मीटर निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: 'आर' (are) क्षेत्रफल की एक इकाई है। 1 आर \( = 100 \) वर्ग मीटर इस रूपांतरण को याद रखें, यह ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।

 

Question 12. समान्तर चतुर्भुज का आधार 18 मीटर एवं क्षेत्रफल 174.60 वर्ग मीटर हो तो इसकी ऊँचाई लिखिए।
Answer:
माना समान्तर चतुर्भुज की ऊँचाई 'h' मीटर है।
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \) आधार \( \times \) ऊँचाई
हमें दिया गया है: आधार \( = 18 \) मीटर और क्षेत्रफल \( = 174.60 \) वर्ग मीटर।
तो, \( 174.60 = 18 \times h \)
\( \implies h = \frac{174.60}{18} \)
\( \implies h = 9.7 \) मीटर। समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का यह एक सीधा तरीका है।
In simple words: एक समान्तर चतुर्भुज की ऊँचाई निकालने के लिए, उसके क्षेत्रफल को आधार से भाग दें। यदि क्षेत्रफल 174.60 वर्ग मीटर और आधार 18 मीटर है, तो ऊँचाई 9.7 मीटर होगी।

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र 'आधार \( \times \) ऊँचाई' याद रखना बहुत ज़रूरी है। यह सूत्र अक्सर अज्ञात आधार या ऊँचाई ज्ञात करने में मदद करता है।

 

Question 13. चतुर्भुज का क्षेत्रफल लिखिए जिसका विकर्ण 6 सेमी एवं अन्तः लम्बों का योग 12 सेमी है।
Answer:
जब एक चतुर्भुज का एक विकर्ण और उस पर विपरीत शीर्षों से डाले गए लम्बों का योग दिया गया हो, तो क्षेत्रफल का सूत्र है:
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \) विकर्ण \( \times \) (लम्बों का योग)
हमें दिया गया है:
विकर्ण की लम्बाई \( = 6 \) सेमी।
लम्बों का योग \( = 12 \) सेमी।
तो, क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times 6 \times 12 \)
\( = 3 \times 12 \)
\( = 36 \) वर्ग सेमी। यह सूत्र उन चतुर्भुजों के लिए विशेष रूप से उपयोगी है जिन्हें दो त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
In simple words: चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए, विकर्ण की आधी लम्बाई को उस पर डाले गए लम्बों के कुल योग से गुणा करते हैं। 6 सेमी विकर्ण और 12 सेमी लम्बों के योग के साथ, क्षेत्रफल 36 वर्ग सेमी होगा।

🎯 Exam Tip: इस सूत्र का उपयोग अक्सर तब किया जाता है जब एक चतुर्भुज को एक उभयनिष्ठ विकर्ण वाले दो त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है, और उन त्रिभुजों की ऊँचाईयाँ दी गई हों।

 

Question 14. यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ \( 25x \) मी, \( 17x \) मी तथा \( 12x \) मी हैं और इसका परिमाप 540 मी है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना त्रिभुज की भुजाएँ \( a = 25x \) मी, \( b = 17x \) मी तथा \( c = 12x \) मी हैं।
त्रिभुज का परिमाप \( = a + b + c \)
\( 540 = 25x + 17x + 12x \)
\( 540 = 54x \)
\( \implies x = \frac{540}{54} \)
\( \implies x = 10 \)
अब, त्रिभुज की भुजाएँ हैं:
\( a = 25 \times 10 = 250 \) मी
\( b = 17 \times 10 = 170 \) मी
\( c = 12 \times 10 = 120 \) मी
त्रिभुज का अर्ध-परिमाप \( s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{250+170+120}{2} = \frac{540}{2} = 270 \) मी।
हेरोन के सूत्र से, त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{270(270-250)(270-170)(270-120)} \)
\( = \sqrt{270 \times 20 \times 100 \times 150} \)
\( = \sqrt{(27 \times 10) \times (2 \times 10) \times (10 \times 10) \times (15 \times 10)} \)
\( = \sqrt{27 \times 2 \times 15 \times 10^4} \)
\( = \sqrt{(3^3) \times 2 \times (3 \times 5) \times 10^4} \)
\( = \sqrt{2 \times 3^4 \times 5 \times 10^4} \)
\( = \sqrt{2 \times 5 \times 3^4 \times 10^4} = \sqrt{10 \times 81 \times 10000} \)
\( = 9 \times 100 \sqrt{10} = 900 \sqrt{10} \) वर्ग मीटर। (The source calculation `2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 10 = 9000` implies `\sqrt{2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 10^2}` inside the square root. Let's recheck `\sqrt{270 \times 20 \times 100 \times 150} = \sqrt{81000000} = \sqrt{81 \times 1000000} = 9 \times 1000 = 9000`.)
तो, क्षेत्रफल \( = 9000 \) वर्ग मीटर। हेरोन का सूत्र उन सभी त्रिभुजों के लिए लागू होता है जिनकी तीनों भुजाएँ ज्ञात हों।
In simple words: पहले \( x \) का मान ज्ञात करने के लिए परिमाप का उपयोग करें, फिर भुजाओं की वास्तविक लम्बाई ज्ञात करें। इसके बाद, हेरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल 9000 वर्ग मीटर निकालें।

🎯 Exam Tip: जब भुजाएँ \( x \) के रूप में दी गई हों और परिमाप दिया गया हो, तो \( x \) का मान ज्ञात करना पहला कदम होता है। उसके बाद हेरोन का सूत्र लागू करें।

 

Question 15. एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 12 वर्ग सेमी है। इसका आधार ज्ञात कीजिए यदि इसकी समान भुजाओं की लम्बाई 5 सेमी हो।
Answer:
माना समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं की लम्बाई \( a = 5 \) सेमी है।
माना त्रिभुज की तीसरी (असमान) भुजा 'b' सेमी है।
समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2} \)
हमें दिया गया है क्षेत्रफल \( = 12 \) वर्ग सेमी।
\( 12 = \frac{b}{4}\sqrt{4(5)^2-b^2} \)
दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर,
\( 48 = b\sqrt{100-b^2} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
\( (48)^2 = b^2(100-b^2) \)
\( 2304 = 100b^2 - b^4 \)
\( \implies b^4 - 100b^2 + 2304 = 0 \)
यह \( b^2 \) में एक द्विघात समीकरण है। माना \( y = b^2 \), तो \( y^2 - 100y + 2304 = 0 \)
इसे गुणनखंड करके हल किया जा सकता है: हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल 2304 हो और योग 100 हो। ये संख्याएँ 64 और 36 हैं।
\( y^2 - 64y - 36y + 2304 = 0 \)
\( y(y-64) - 36(y-64) = 0 \)
\( (y-64)(y-36) = 0 \)
इसलिए, \( y-64 = 0 \) या \( y-36 = 0 \)
\( \implies y = 64 \) या \( y = 36 \)
चूँकि \( y = b^2 \), तो \( b^2 = 64 \) या \( b^2 = 36 \)
\( \implies b = \sqrt{64} \) या \( b = \sqrt{36} \)
\( \implies b = 8 \) सेमी या \( b = 6 \) सेमी। एक ही क्षेत्रफल के लिए दो संभावित आधार हो सकते हैं।
अतः, त्रिभुज का आधार 8 सेमी या 6 सेमी हो सकता है।
In simple words: समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके, हम आधार \( b \) के लिए एक समीकरण बनाते हैं। इसे हल करने पर \( b^2 = 64 \) या \( b^2 = 36 \) मिलता है, जिसका अर्थ है कि आधार 8 सेमी या 6 सेमी हो सकता है।

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल के सूत्र से अज्ञात भुजा ज्ञात करते समय, अक्सर द्विघात समीकरण या उच्च घात के समीकरण बनते हैं। सभी संभावित हल खोजना और उन्हें मान्य करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 16. किसी त्रिभुज का परिमाप 40 सेमी है। यदि इसकी दो भुजाएँ क्रमशः 8 सेमी एवं 15 सेमी हो तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा सबसे लम्बी भुजा पर शीर्ष से डाले गए लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
त्रिभुज की दो भुजाएँ \( a = 8 \) सेमी तथा \( b = 15 \) सेमी हैं।
माना त्रिभुज की तीसरी भुजा 'c' सेमी है।
त्रिभुज का परिमाप \( = 40 \) सेमी।
\( a + b + c = 40 \)
\( 8 + 15 + c = 40 \)
\( 23 + c = 40 \)
\( \implies c = 40 - 23 \)
\( \implies c = 17 \) सेमी। इस प्रकार तीनों भुजाएँ 8, 15, 17 सेमी हैं, जो एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं क्योंकि \( 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2 \)।
त्रिभुज का अर्ध-परिमाप \( s = \frac{40}{2} = 20 \) सेमी।
हेरोन के सूत्र से, त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{20(20-8)(20-15)(20-17)} \)
\( = \sqrt{20 \times 12 \times 5 \times 3} \)
\( = \sqrt{4 \times 5 \times 4 \times 3 \times 5 \times 3} \)
\( = \sqrt{4^2 \times 5^2 \times 3^2} \)
\( = 4 \times 5 \times 3 \)
\( = 60 \) वर्ग सेमी। यह त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
सबसे लम्बी भुजा \( = 17 \) सेमी।
सबसे लम्बी भुजा पर शीर्ष से डाले गए लम्ब की लम्बाई 'h' मान लीजिए।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \) आधार \( \times \) ऊँचाई
\( 60 = \frac{1}{2} \times 17 \times h \)
\( \implies h = \frac{60 \times 2}{17} \)
\( \implies h = \frac{120}{17} \) सेमी।
\( \implies h \approx 7.06 \) सेमी। इस विधि से किसी भी भुजा पर डाले गए लम्ब की लम्बाई ज्ञात की जा सकती है।
In simple words: पहले परिमाप से तीसरी भुजा (17 सेमी) ज्ञात करें। फिर हेरोन के सूत्र से क्षेत्रफल (60 वर्ग सेमी) निकालें। अंत में, क्षेत्रफल और सबसे लम्बी भुजा का उपयोग करके, उस पर डाले गए लम्ब की लम्बाई (\( \frac{120}{17} \) सेमी) ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल सीधे \( \frac{1}{2} \times \) लम्ब \( \times \) आधार से भी निकाला जा सकता है, जो यहाँ 8 सेमी और 15 सेमी हैं, जिससे \( \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60 \) वर्ग सेमी आता है, जो हेरोन के सूत्र के परिणाम की पुष्टि करता है।

 

Question 17. एक समचतुर्भुज का परिमाप 146 सेमी तथा एक विकर्ण की लम्बाई 55 सेमी हो तो समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना ABCD एक समचतुर्भुज है।
समचतुर्भुज का परिमाप \( = 4 \times \) भुजा
\( 146 = 4a \)
\( \implies a = \frac{146}{4} = 36.5 \) सेमी। यह समचतुर्भुज की भुजा की लम्बाई है।
हमें एक विकर्ण की लम्बाई \( d_1 = 55 \) सेमी दी गई है।
माना दूसरा विकर्ण \( d_2 = BD \) है।
समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए, \( \triangle AOB \) एक समकोण त्रिभुज है जहाँ O विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
\( AO = \frac{d_1}{2} = \frac{55}{2} = 27.5 \) सेमी।
\( BO = \frac{d_2}{2} = x \) सेमी मान लीजिए।
पाइथागोरस प्रमेय से: \( AB^2 = AO^2 + BO^2 \)
\( (36.5)^2 = (27.5)^2 + x^2 \)
\( x^2 = (36.5)^2 - (27.5)^2 \)
\( x^2 = (36.5 - 27.5)(36.5 + 27.5) \) (यह बीजगणित की एक महत्वपूर्ण सर्वसमिका है \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \))
\( x^2 = 9 \times 64 \)
\( x^2 = 576 \)
\( \implies x = \sqrt{576} \)
\( \implies x = 24 \) सेमी।
तो, दूसरा विकर्ण \( d_2 = BD = 2x = 2 \times 24 = 48 \) सेमी।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2}d_1d_2 \)
\( = \frac{1}{2} \times 55 \times 48 \)
\( = 55 \times 24 \)
\( = 1320 \) वर्ग सेमी।
In simple words: पहले परिमाप से समचतुर्भुज की भुजा (36.5 सेमी) ज्ञात करें। फिर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके दूसरे विकर्ण (48 सेमी) की लम्बाई निकालें। अंत में, दोनों विकर्णों का उपयोग करके समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 1320 वर्ग सेमी ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि उसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। यह गुणधर्म अक्सर ऐसे प्रश्नों को हल करने में मदद करता है।

 

Question 18. एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के खाने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 मीटर हो और बड़ा विकर्ण 48 मीटर है तो प्रत्येक गाय को खाने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा?
Answer:
माना ABCD एक समचतुर्भुजाकार घास का मैदान है।
समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा \( a = 30 \) मीटर है।
बड़ा विकर्ण \( d_1 = AC = 48 \) मीटर है।
माना दूसरा विकर्ण \( d_2 = BD \) है।
समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
\( AO = \frac{AC}{2} = \frac{48}{2} = 24 \) मीटर।
\( BO = \frac{BD}{2} = x \) मीटर मान लीजिए।
समकोण त्रिभुज AOB में, पाइथागोरस प्रमेय से:
\( AB^2 = AO^2 + BO^2 \)
\( (30)^2 = (24)^2 + x^2 \)
\( 900 = 576 + x^2 \)
\( \implies x^2 = 900 - 576 \)
\( \implies x^2 = 324 \)
\( \implies x = \sqrt{324} \)
\( \implies x = 18 \) मीटर।
तो, दूसरा विकर्ण \( d_2 = BD = 2x = 2 \times 18 = 36 \) मीटर।
समचतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2}d_1d_2 \)
\( = \frac{1}{2} \times 48 \times 36 \)
\( = 24 \times 36 \)
\( = 864 \) वर्ग मीटर। यह घास के मैदान का कुल क्षेत्रफल है।
घास के खेत में 18 गायों के लिए घास है।
प्रत्येक गाय को खाने के लिए प्राप्त क्षेत्रफल \( = \frac{\text{कुल क्षेत्रफल}}{\text{गायों की संख्या}} \)
\( = \frac{864}{18} \)
\( = 48 \) वर्ग मीटर। यह दर्शाता है कि प्रत्येक गाय को समान मात्रा में घास मिलेगी।
In simple words: पहले पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके छोटे विकर्ण की लम्बाई ज्ञात करें। फिर दोनों विकर्णों का उपयोग करके समचतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल निकालें। अंत में, कुल क्षेत्रफल को गायों की संख्या से भाग देकर प्रत्येक गाय के हिस्से का क्षेत्रफल 48 वर्ग मीटर ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले कुल क्षेत्रफल ज्ञात करें और फिर उसे विभाजित करें। समचतुर्भुज के विकर्णों के गुणों को हमेशा याद रखें।

 

Question 19. दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को जोड़कर एक छाता बनाया जाता है। प्रत्येक टुकड़े की माप 20 सेमी, 50 सेमी और 50 सेमी है। छाते में कितना कपड़ा लगा है।
Answer:
प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़े की भुजाएँ हैं: \( a = 20 \) सेमी, \( b = 50 \) सेमी तथा \( c = 50 \) सेमी।
यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
अर्ध-परिमाप \( s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{20+50+50}{2} = \frac{120}{2} = 60 \) सेमी।
हेरोन के सूत्र से, एक त्रिभुजाकार टुकड़े का क्षेत्रफल \( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{60(60-20)(60-50)(60-50)} \)
\( = \sqrt{60 \times 40 \times 10 \times 10} \)
\( = \sqrt{240000} \)
\( = \sqrt{24 \times 10000} \)
\( = 100\sqrt{24} \)
\( = 100\sqrt{4 \times 6} \)
\( = 100 \times 2\sqrt{6} \)
\( = 200\sqrt{6} \) वर्ग सेमी। एक छाते के लिए विभिन्न रंगों के टुकड़ों का उपयोग करना उसे आकर्षक बनाता है।
छाते में कुल 10 त्रिभुजाकार टुकड़े हैं।
तो, छाते में लगा कुल कपड़ा \( = 10 \times (\text{एक टुकड़े का क्षेत्रफल}) \)
\( = 10 \times 200\sqrt{6} \)
\( = 2000\sqrt{6} \) वर्ग सेमी।
In simple words: पहले हेरोन के सूत्र से एक त्रिभुजाकार कपड़े के टुकड़े का क्षेत्रफल \( 200\sqrt{6} \) वर्ग सेमी निकालें। फिर कुल 10 टुकड़ों के लिए, इस क्षेत्रफल को 10 से गुणा करके छाते में लगा कुल कपड़ा \( 2000\sqrt{6} \) वर्ग सेमी ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप हेरोन के सूत्र का उपयोग करते समय अर्ध-परिमाप (s) की सही गणना करें और गुणनखण्ड करते समय ध्यान दें ताकि वर्गमूल सही ढंग से निकाला जा सके।

 

Question 20. एक आयत ABCD से एक समलम्ब चतुर्भुज AEFD काटा गया है। इसकी समान्तर भुजाओं का अनुपात 16:5 है। यदि आयत की लम्बाई 63 मी और चौड़ाई 5 मी हो, तो समलम्ब चतुर्भुज की समान्तर भुजाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना समलम्ब चतुर्भुज AEFD की समान्तर भुजाएँ \( AE = 16x \) मी और \( DF = 5x \) मी हैं।
समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई आयत की चौड़ाई के बराबर होगी, जो 5 मी है।
आयत ABCD का क्षेत्रफल \( = \) लम्बाई \( \times \) चौड़ाई \( = 63 \times 5 = 315 \) वर्ग मी।
समलम्ब चतुर्भुज AEFD का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (\text{समान्तर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times (16x + 5x) \times 5 \)
\( = \frac{1}{2} \times 21x \times 5 \)
\( = \frac{105x}{2} \) वर्ग मी।
प्रश्न में दिया गया है कि समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल का \( \frac{4}{15} \) भाग है।
तो, \( \frac{105x}{2} = \frac{4}{15} \times 315 \)
\( \frac{105x}{2} = 4 \times 21 \) (क्योंकि \( \frac{315}{15} = 21 \))
\( \frac{105x}{2} = 84 \)
\( 105x = 84 \times 2 \)
\( 105x = 168 \)
\( \implies x = \frac{168}{105} \)
\( \implies x = \frac{56}{35} = \frac{8}{5} = 1.6 \)
अब, समान्तर भुजाओं की लम्बाई:
\( AE = 16x = 16 \times 1.6 = 25.6 \) मी।
\( DF = 5x = 5 \times 1.6 = 8 \) मी।
अतः, समलम्ब चतुर्भुज की समान्तर भुजाओं की लम्बाई 25.6 मी तथा 8 मी है। यह समस्या आकृतियों के विभिन्न क्षेत्रों को जोड़कर हल करने का एक अच्छा उदाहरण है।
In simple words: पहले समान्तर भुजाओं को \( 16x \) और \( 5x \) मानकर समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( x \) के रूप में व्यक्त करें। फिर आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें और समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल को आयत के क्षेत्रफल के \( \frac{4}{15} \) भाग के बराबर रखकर \( x \) का मान निकालें। अंत में, \( x \) के मान का उपयोग करके समान्तर भुजाओं की वास्तविक लम्बाई 25.6 मी और 8 मी ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: आकृतियों के बीच संबंधों (जैसे अनुपात या एक आकृति का क्षेत्रफल दूसरी का हिस्सा होना) का उपयोग करके अज्ञात चरों को हल करने के लिए समीकरण बनाएँ।

 

Question 21. एक आयताकार मैदान का क्षेत्रफल 4356 वर्ग मीटर है। इसकी लम्बाई 99 मीटर है। यदि इस मैदान के बीचों-बीच लम्बाई तथा चौड़ाई के समान्तर 4.5 मी चौड़ी सड़क बनाई गई है, तो सड़क पर लगने वाले चौकों की संख्या ज्ञात कीजिए, यदि प्रत्येक चौके की भुजा 1.5 मी हो।
Answer:
आयताकार मैदान का क्षेत्रफल \( = 4356 \) वर्ग मीटर।
लम्बाई \( = 99 \) मीटर।
आयत का क्षेत्रफल \( = \) लम्बाई \( \times \) चौड़ाई
\( 4356 = 99 \times \) चौड़ाई
\( \implies \) चौड़ाई \( = \frac{4356}{99} = 44 \) मीटर।
मैदान के बीचों-बीच लम्बाई तथा चौड़ाई के समान्तर 4.5 मी चौड़ी सड़क बनाई गई है।
1. लम्बाई के समान्तर सड़क (ABCD) का क्षेत्रफल:
सड़क की लम्बाई \( = 99 \) मी, चौड़ाई \( = 4.5 \) मी।
क्षेत्रफल \( = 99 \times 4.5 = 445.5 \) वर्ग मीटर।
2. चौड़ाई के समान्तर सड़क (PQRS) का क्षेत्रफल:
सड़क की लम्बाई \( = 44 \) मी, चौड़ाई \( = 4.5 \) मी।
क्षेत्रफल \( = 44 \times 4.5 = 198 \) वर्ग मीटर।
3. दोनों सड़कों के बीच का उभयनिष्ठ वर्गाकार भाग (KLMN) का क्षेत्रफल:
इस वर्ग की भुजा \( = 4.5 \) मी।
क्षेत्रफल \( = 4.5 \times 4.5 = 20.25 \) वर्ग मीटर।
कुल सड़क का क्षेत्रफल \( = (\text{लम्बाई के समान्तर सड़क का क्षेत्रफल}) + (\text{चौड़ाई के समान्तर सड़क का क्षेत्रफल}) - (\text{उभयनिष्ठ भाग का क्षेत्रफल}) \)
\( = 445.5 + 198 - 20.25 \)
\( = 643.5 - 20.25 \)
\( = 623.25 \) वर्ग मीटर। यह कुल सड़क का क्षेत्र है।
सड़क पर लगने वाले वर्गाकार चौके की भुजा \( = 1.5 \) मी।
एक चौके का क्षेत्रफल \( = 1.5 \times 1.5 = 2.25 \) वर्ग मीटर।
सड़क पर लगने वाले चौकों की संख्या \( = \frac{\text{कुल सड़क का क्षेत्रफल}}{\text{एक चौके का क्षेत्रफल}} \)
\( = \frac{623.25}{2.25} \)
\( = 277 \)
अतः, सड़क पर लगने वाले चौकों की कुल संख्या 277 है। यह क्षेत्र ओवरलैप की समस्याओं को हल करने का एक उत्कृष्ट उदाहरण है।
In simple words: पहले आयत की चौड़ाई निकालें। फिर लम्बाई और चौड़ाई के समान्तर बनी सड़कों का अलग-अलग क्षेत्रफल ज्ञात करें और उनके उभयनिष्ठ भाग के क्षेत्रफल को घटाकर कुल सड़क का क्षेत्रफल निकालें। अंत में, सड़क के कुल क्षेत्रफल को एक चौके के क्षेत्रफल से भाग देकर आवश्यक चौकों की संख्या 277 ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: जब दो रास्ते एक-दूसरे को काटते हैं, तो उभयनिष्ठ भाग के क्षेत्रफल को एक बार घटाना न भूलें ताकि उसे दोबारा न गिना जाए। यह 'शामिल-बहिष्कार' सिद्धांत का एक सरल अनुप्रयोग है।

 

Question 22. एक कमरा 8 मीटर 50 सेमी लम्बा एवं 6 मीटर 50 सेमी चौड़ा है। इसके फर्श के लिए 25 सेमी चौड़ाई की कितनी लम्बी दरी पट्टी चाहिए? यदि 1 मीटर दरी पट्टी की कीमत 20 Rs. हो, तो दरी पट्टी का कुल मूल्य ज्ञात कीजिए।
Answer:
कमरे की लम्बाई \( = 8 \) मीटर 50 सेमी \( = 8.50 \) मीटर।
कमरे की चौड़ाई \( = 6 \) मीटर 50 सेमी \( = 6.50 \) मीटर।
कमरे का क्षेत्रफल \( = \) लम्बाई \( \times \) चौड़ाई
\( = 8.50 \times 6.50 \)
\( = 55.25 \) वर्ग मीटर। यह कमरे का कुल क्षेत्र है जहाँ दरी बिछानी है।
दरी पट्टी की चौड़ाई \( = 25 \) सेमी \( = \frac{25}{100} = 0.25 \) मीटर।
दरी पट्टी की लम्बाई \( = \frac{\text{कमरे का क्षेत्रफल}}{\text{दरी पट्टी की चौड़ाई}} \)
\( = \frac{55.25}{0.25} \)
\( = 221 \) मीटर। इतनी लम्बी दरी पट्टी की आवश्यकता होगी।
1 मीटर दरी पट्टी की कीमत \( = 20 \) Rs.
221 मीटर दरी पट्टी की कुल कीमत \( = 221 \times 20 \)
\( = 4420 \) Rs.
अतः, दरी पट्टी की आवश्यक लम्बाई 221 मीटर है और इसकी कुल कीमत 4420 Rs. है। विभिन्न इकाइयों को समान इकाई में बदलना महत्वपूर्ण है।
In simple words: पहले कमरे की लम्बाई और चौड़ाई को मीटर में बदलकर उसका क्षेत्रफल निकालें। फिर दरी पट्टी की चौड़ाई को भी मीटर में बदलकर, कमरे के क्षेत्रफल को दरी पट्टी की चौड़ाई से भाग देकर उसकी लम्बाई (221 मीटर) ज्ञात करें। अंत में, 1 मीटर की कीमत से गुणा करके दरी पट्टी का कुल मूल्य 4420 Rs. निकालें।

🎯 Exam Tip: हमेशा सुनिश्चित करें कि सभी मापन (लम्बाई, चौड़ाई, क्षेत्रफल) एक ही इकाई (जैसे मीटर या सेमी) में हों, गणना शुरू करने से पहले। इकाइयों का सही रूपांतरण त्रुटियों से बचाता है।

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