RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 10 त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल Important Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1. यदि त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती हैं, तब ar (ABCG) : ar (△ABC) का अनुपात है?
(A) 1:3
(B) 3:1
(C) 1:2
(D) 2:1
Answer: (A) 1:3
In simple words: जब त्रिभुज की सभी माध्यिकाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं, तो वे त्रिभुज को छह छोटे त्रिभुजों में बाँट देती हैं, जिनका क्षेत्रफल बराबर होता है। ABCG का क्षेत्रफल पूरे त्रिभुज के क्षेत्रफल का एक-तिहाई होता है, इसलिए अनुपात 1:3 है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि त्रिभुज का केंद्रक (medians का प्रतिच्छेद बिंदु) प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, जो इस क्षेत्रफल अनुपात के लिए महत्वपूर्ण है।

प्रश्न 2. चित्र में समबाहु त्रिभुज ABC तथा APQ इस प्रकार है P रेखा AB का मध्य बिन्दु है। तब ar (APQ) : ar (ABC) का अनुपात है।
(A) 1:2
(B) 1:4
(C) 3:4
(D) 4:1
Answer: (B) 1:4
In simple words: क्योंकि P, AB का मध्य-बिंदु है, तो AP, AB का आधा है। समरूप त्रिभुजों (APQ और ABC) के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। इसलिए, (AP/AB)² = (1/2)² = 1/4।

🎯 Exam Tip: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात हमेशा उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

प्रश्न 3. चित्र में, ABCD एक वर्ग है। यदि विकर्ण AC तथा BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं और AO = 4 सेमी; तब वर्ग ABCD का क्षेत्रफल है?
(A) 32 सेमी²
(B) 64 सेमी²
(C) 16 सेमी²
(D) 20 सेमी²
Answer: (A) 32 सेमी²
In simple words: वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे को आधा करते हैं। यदि AO 4 सेमी है, तो पूरा विकर्ण AC, 8 सेमी होगा। वर्ग का क्षेत्रफल उसके विकर्ण के वर्ग का आधा होता है, इसलिए 8² का आधा यानी 32 सेमी² होगा।

🎯 Exam Tip: वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। क्षेत्रफल को \( \frac{1}{2} d^2 \) सूत्र से भी ज्ञात किया जा सकता है।

प्रश्न 4. चित्र में, ABCD एक समचतुर्भुज है। यदि BO = 3 सेमी तथा समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी है। विकर्ण AC की लम्बाई होगी :
(A) 6 सेमी
(B) 8 सेमी
(C) 16 सेमी
(D) 10 सेमी
Answer: (B) 8 सेमी
In simple words: समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को आधा करते हैं, इसलिए यदि BO 3 सेमी है, तो विकर्ण BD 6 सेमी होगा। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल दोनों विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है। दिए गए क्षेत्रफल और एक विकर्ण का उपयोग करके, हम दूसरे विकर्ण की लंबाई 8 सेमी पाते हैं।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। क्षेत्रफल का सूत्र \( \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \) होता है।

प्रश्न 5. यदि △ABC तथा △ABD एक ही आधार AB पर तथा एक ही समान्तर रेखाओं AB तथा AD के मध्य स्थित है, तब ar (∆ABC) : ar (AABD) का अनुपात है?
(A) 1:1
(B) 1:2
(C) 1:3
(D) 1:4
Answer: (A) 1:1
In simple words: वे त्रिभुज जिनका आधार एक ही होता है और जो एक ही समांतर रेखाओं के बीच बने होते हैं, उनका क्षेत्रफल बराबर होता है। इसलिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात 1:1 होगा।

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुण है जिसे अक्सर क्षेत्रफल से संबंधित प्रश्नों में प्रयोग किया जाता है।

प्रश्न 7. चित्र में, PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है। यदि RU ⊥ TQ तब, PQRS का क्षेत्रफल है:
(A) TQ × RU
(B) \( \frac {1}{2 } \times RU \times TQ \)
(C) \( 2 \times RU \times TQ \)
(D) QR × RU
Answer: (A) TQ × RU
In simple words: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार को उसकी संगत ऊँचाई से गुणा करके निकाला जाता है। यहाँ, TQ आधार है और RU उसकी लंबवत ऊँचाई है।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप आधार के लिए सही संगत ऊँचाई का उपयोग कर रहे हैं। ऊंचाई हमेशा आधार के लंबवत होती है।

प्रश्न 8. एक त्रिभुज का आधार 12 सेमी तथा ऊँचाई 10 सेमी है तो इसका क्षेत्रफल होगाः
(A) 30 सेमी²
(B) 50 सेमी²
(C) 60 सेमी²
(D) 72 सेमी²
Answer: (C) 60 सेमी²
In simple words: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आधार और ऊँचाई को गुणा करें, फिर उसका आधा कर दें। यहाँ, \( \frac{1}{2} \times 12 \times 10 = 60 \) वर्ग सेमी।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \) हमेशा याद रखें, जहाँ ऊँचाई आधार के लंबवत होती है।

प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की माध्यिका उसको समान क्षेत्रफल वाली दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
Answer: दिया है: एक △ABC, जिसमें AD माध्यिका है। हमें सिद्ध करना है कि क्षेत्रफल (△ABD) = क्षेत्रफल (△ADC).
रचना: बिंदु A से BC पर AL लंब खींचिए।
उपपत्ति: AD, △ABC की माध्यिका है, इसलिए D बिंदु, BC का मध्य-बिंदु है।
इसका मतलब है कि \( BD = DC \).
△ABD का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times BD \times AL \).
△ADC का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times DC \times AL \).
चूँकि \( BD = DC \), इसलिए हम लिख सकते हैं:
\( \frac{1}{2} \times BD \times AL = \frac{1}{2} \times DC \times AL \)
\( \implies \) क्षेत्रफल (△ABD) = क्षेत्रफल (△ADC).
इस प्रकार यह सिद्ध होता है कि त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
In simple words: एक त्रिभुज की माध्यिका एक रेखा होती है जो एक कोने से सामने वाली भुजा के मध्य-बिंदु तक जाती है। यह रेखा त्रिभुज को दो छोटे त्रिभुजों में बांटती है, और उन दोनों छोटे त्रिभुजों का क्षेत्रफल हमेशा बराबर होता है। यह एक खास गुण है जो माध्यिकाओं को बहुत उपयोगी बनाता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए एक शीर्ष से आधार पर लंब खींचना और क्षेत्रफलों के सूत्र का उपयोग करना महत्वपूर्ण है। याद रखें कि माध्यिका सामने वाली भुजा को दो बराबर भागों में बांटती है।

प्रश्न 2. आकृति में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 सेमी, AE = 8 सेमी CF = 10 सेमी है, तो AD ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
हमें पता है कि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए \( AB = DC = 16 \) सेमी।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \).
जब आधार DC है, तो ऊँचाई AE है।
अतः, क्षेत्रफल (ABCD) \( = DC \times AE = 16 \text{ सेमी} \times 8 \text{ सेमी} = 128 \text{ वर्ग सेमी} \) ... (i)
जब आधार AD है, तो ऊँचाई CF है।
अतः, क्षेत्रफल (ABCD) \( = AD \times CF = AD \times 10 \text{ सेमी} \) ... (ii)
समीकरण (i) और (ii) से, हम दोनों क्षेत्रफलों को बराबर कर सकते हैं क्योंकि यह एक ही समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।
\( 128 = AD \times 10 \)
\( \implies AD = \frac{128}{10} \)
\( \implies AD = 12.8 \text{ सेमी} \).
In simple words: एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल हमेशा एक ही रहता है, चाहे आप किसी भी भुजा को आधार मानें और उससे जुड़ी ऊँचाई का उपयोग करें। हमने दिए गए एक आधार और ऊँचाई से क्षेत्रफल निकाला, फिर उसी क्षेत्रफल और दूसरे आधार की ऊँचाई से दूसरे आधार की लंबाई ज्ञात की।

🎯 Exam Tip: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, आधार और संगत ऊँचाई का सही चुनाव करें। यह महत्वपूर्ण है कि ऊँचाई आधार के लंबवत हो।

प्रश्न 3. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC तथा BD परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar (AAOD) = ar (ABOC) है। सिद्ध करो कि AB || CD है।
Answer: दिया है: चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC तथा BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं और क्षेत्रफल (△AOD) = क्षेत्रफल (△BOC).
हमें सिद्ध करना है: \( AB || CD \).
उपपत्ति: हमें दिया गया है कि क्षेत्रफल (△AOD) = क्षेत्रफल (△BOC).
दोनों पक्षों में क्षेत्रफल (△AOB) जोड़ने पर:
क्षेत्रफल (△AOD) + क्षेत्रफल (△AOB) = क्षेत्रफल (△BOC) + क्षेत्रफल (△AOB)
\( \implies \) क्षेत्रफल (△ABD) = क्षेत्रफल (△ABC).
अब, हम देखते हैं कि △ABD और △ABC दोनों का आधार AB एक ही है।
साथ ही, हमने सिद्ध किया है कि इन दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है।
हम जानते हैं कि यदि दो त्रिभुज एक ही आधार पर हों और उनके क्षेत्रफल बराबर हों, तो वे एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित होते हैं।
अतः, △ABD और △ABC एक ही आधार AB पर और एक ही समांतर रेखाओं AB तथा CD के बीच स्थित हैं।
\( \implies AB || CD \).
इति सिद्धम्।
In simple words: यदि एक चतुर्भुज के विकर्णों से बनने वाले दो सामने के त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर हो (जैसे AOD और BOC), तो इसका मतलब है कि चतुर्भुज की एक जोड़ी भुजाएँ (जैसे AB और CD) समांतर होंगी। यह इस बात पर आधारित है कि समान आधार और समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज हमेशा समांतर रेखाओं के बीच होते हैं।

🎯 Exam Tip: यह प्रमेय उस महत्वपूर्ण सिद्धांत का व्युत्क्रम है जिसमें कहा गया है कि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है। इसे ध्यान से समझें और चरण-दर-चरण लिखें।

प्रश्न 4. दर्शाइए कि एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल इसके विकर्णों की लम्बाई के गुणनफल का आधा होता है।
Answer: दिया है: एक समचतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC तथा BD एक-दूसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
हमें सिद्ध करना है: क्षेत्रफल (ABCD) \( = \frac{1}{2} \times AC \times BD \).
उपपत्ति: हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए, \( AO \perp BD \) और \( OC \perp BD \).
△ABD का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times BD \times AO \) ... (1)
△BCD का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times BD \times OC \) ... (2)
समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल, △ABD और △BCD के क्षेत्रफलों का योग होता है।
क्षेत्रफल (ABCD) = क्षेत्रफल (△ABD) + क्षेत्रफल (△BCD)
\( = \frac{1}{2} \times BD \times AO + \frac{1}{2} \times BD \times OC \)
\( = \frac{1}{2} \times BD \times (AO + OC) \).
चूँकि \( AO + OC = AC \), हम लिख सकते हैं:
क्षेत्रफल (ABCD) \( = \frac{1}{2} \times BD \times AC \).
इति सिद्धम्।
In simple words: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए, उसके दोनों विकर्णों की लंबाई को गुणा करें और फिर उसे आधा कर दें। यह इसलिए काम करता है क्योंकि विकर्ण समकोण पर मिलते हैं और समचतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बांट देते हैं।

🎯 Exam Tip: यह सूत्र समचतुर्भुज के लिए विशिष्ट है। याद रखें कि विकर्ण एक-दूसरे के लंबवत होते हैं, जिससे ऊँचाई का निर्धारण आसान हो जाता है।

प्रश्न 5. आकृति में, △ABC की एक माध्यिका AD पर स्थित E कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि ar (∆ABE) = ar (∆ACE)
Answer: दिया है: AD, त्रिभुज ABC की माध्यिका है और E भुजा AD पर स्थित कोई बिंदु है।
हमें सिद्ध करना है: क्षेत्रफल (△ABE) = क्षेत्रफल (△ACE).
उपपत्ति: चूँकि AD, त्रिभुज ABC की माध्यिका है, यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
इसलिए, क्षेत्रफल (△ABD) = क्षेत्रफल (△ACD) ... (i)
इसी प्रकार, D, BC का मध्य-बिंदु है और ED, △EBC की माध्यिका है।
इसलिए, क्षेत्रफल (△EBD) = क्षेत्रफल (△ECD) ... (ii)
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर:
क्षेत्रफल (△ABD) - क्षेत्रफल (△EBD) = क्षेत्रफल (△ACD) - क्षेत्रफल (△ECD)
\( \implies \) क्षेत्रफल (△ABE) = क्षेत्रफल (△ACE).
इति सिद्धम्।
In simple words: एक त्रिभुज की माध्यिका उसे दो बराबर क्षेत्रफल वाले भागों में बांटती है। यदि माध्यिका पर कोई बिंदु E हो, तो उस बिंदु से शीर्षों को जोड़ने पर बने नए त्रिभुजों (ABE और ACE) का क्षेत्रफल भी बराबर होगा।

🎯 Exam Tip: यह सिद्ध करने के लिए माध्यिका के गुणधर्म का दो बार उपयोग करें - पहले बड़े त्रिभुज ABC के लिए और फिर छोटे त्रिभुज EBC के लिए। फिर दोनों समीकरणों को घटाएँ।

प्रश्न 6. दिए गए चित्र में BD || CA है, : E रेखाखण्ड CA का मध्य-बिन्दु है तथा BD = \( \frac{1}{2} \) CA है। सिद्ध कीजिए कि ar (ABC) = 2ar (DBC) है।
Answer: हमें सिद्ध करना है कि क्षेत्रफल (△ABC) = 2 × क्षेत्रफल (△DBC).
रचना: D और E को मिलाइए।
उपपत्ति: दिया है कि BD || CA. E, रेखाखंड CA का मध्य-बिंदु है, इसलिए \( CE = \frac{1}{2} CA \).
यह भी दिया गया है कि \( BD = \frac{1}{2} CA \).
इन दोनों से, हमें मिलता है कि \( BD = CE \).
चूँकि BD || CE और \( BD = CE \), तो चतुर्भुज BCED एक समांतर चतुर्भुज है।
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ समान और समांतर होती हैं।
△DBC और △EBC एक ही आधार BC पर स्थित हैं और एक ही समांतर रेखाओं BC तथा DE के बीच हैं।
इसलिए, क्षेत्रफल (△DBC) = क्षेत्रफल (△EBC) ... (1)
अब, △ABC में, BE एक माध्यिका है क्योंकि E, AC का मध्य-बिंदु है।
इसलिए, क्षेत्रफल (△EBC) \( = \frac{1}{2} \times \) क्षेत्रफल (△ABC) ... (2)
समीकरण (1) और (2) से:
क्षेत्रफल (△DBC) \( = \frac{1}{2} \times \) क्षेत्रफल (△ABC).
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
क्षेत्रफल (△ABC) = 2 × क्षेत्रफल (△DBC).
इति सिद्धम्।
In simple words: हमें दिखाना था कि एक त्रिभुज (ABC) का क्षेत्रफल दूसरे त्रिभुज (DBC) के क्षेत्रफल का दुगुना है, जब कुछ भुजाएँ समांतर हों और कुछ बिंदु मध्य-बिंदु हों। हमने सबसे पहले यह सिद्ध किया कि BCED एक समांतर चतुर्भुज है, फिर समांतर रेखाओं के बीच बने त्रिभुजों और माध्यिका के गुणधर्मों का उपयोग करके परिणाम प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, समांतर चतुर्भुज के गुणों और माध्यिका के गुणों को एक साथ लागू करना अक्सर आवश्यक होता है। सहायक रेखाएँ खींचना भी एक महत्वपूर्ण तकनीक है।

प्रश्न 7. चित्र में, यदि ∆ABC एवं ADBC एक ही आधार BC पर हैं, तो सिद्ध कीजिए कि : \( \frac{\text{△ABC का क्षेत्रफल}}{\text{ADBC का क्षेत्रफल}} = \frac{\text{AO}}{\text{DO}} \)
Answer: दिया है: △ABC और △DBC एक ही आधार BC पर हैं।
हमें सिद्ध करना है: \( \frac{\text{△ABC का क्षेत्रफल}}{\text{ADBC का क्षेत्रफल}} = \frac{\text{AO}}{\text{DO}} \).
रचना: बिंदु A से BC पर AL लंब खींचिए और बिंदु D से BC पर DM लंब खींचिए।
उपपत्ति: △ALO और △DMO में:
1. \( \angle ALO = \angle DMO \) (प्रत्येक 90° क्योंकि AL ⊥ BC और DM ⊥ BC).
2. \( \angle AOL = \angle DOM \) (शीर्षाभिमुख कोण).
अतः, कोण-कोण (AA) समरूपता गुणधर्म से, △ALO ~ △DMO.
जब दो त्रिभुज समरूप होते हैं, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है।
इसलिए, \( \frac{AL}{DM} = \frac{AO}{DO} \) ... (1)
△ABC का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times BC \times AL \).
△DBC का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times BC \times DM \).
अब, क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करते हैं:
\( \frac{\text{△ABC का क्षेत्रफल}}{\text{ADBC का क्षेत्रफल}} = \frac{\frac{1}{2} \times BC \times AL}{\frac{1}{2} \times BC \times DM} \)
\( \implies \frac{\text{△ABC का क्षेत्रफल}}{\text{ADBC का क्षेत्रफल}} = \frac{AL}{DM} \).
समीकरण (1) से AL/DM का मान रखने पर:
\( \frac{\text{△ABC का क्षेत्रफल}}{\text{ADBC का क्षेत्रफल}} = \frac{AO}{DO} \).
इति सिद्धम्।
In simple words: जब दो त्रिभुज एक ही आधार पर होते हैं, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत ऊँचाईयों के अनुपात के बराबर होता है। यह ऊँचाईयाँ फिर एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाखंडों के अनुपात से जुड़ी होती हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रूफ में समरूप त्रिभुजों का उपयोग करके ऊँचाईयों के अनुपात को प्रतिस्थापित करना एक सामान्य और प्रभावी तरीका है। सहायक लंब खींचना न भूलें।

प्रश्न 8. दो त्रिभुज के आधार क्रमशः 8 सेमी व 6 सेमी हैं। यदि उनकी ऊँचाई क्रमशः 6 सेमी व 8 सेमी हो, तो उनके क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: पहले त्रिभुज के लिए:
आधार \( = 8 \) सेमी
ऊँचाई \( = 6 \) सेमी
पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \)
\( = 4 \times 6 \)
\( = 24 \) वर्ग सेमी।
दूसरे त्रिभुज के लिए:
आधार \( = 6 \) सेमी
ऊँचाई \( = 8 \) सेमी
दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \)
\( = 3 \times 8 \)
\( = 24 \) वर्ग सेमी।
दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात:
अनुपात \( = \frac{\text{पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल}}{\text{दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल}} = \frac{24}{24} = \frac{1}{1} \).
अतः, क्षेत्रफलों का अनुपात 1:1 है।
In simple words: हमने दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल को उनके आधार और ऊँचाई का उपयोग करके अलग-अलग निकाला। पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी आया और दूसरे का भी 24 वर्ग सेमी। इसलिए, उनका अनुपात 1:1 है, जिसका मतलब है कि दोनों का क्षेत्रफल बराबर है।

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल के सूत्र को सही ढंग से लागू करें। ध्यान दें कि कभी-कभी अलग-अलग विमाओं वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान हो सकता है।

प्रश्न 9. दो त्रिभुज एक ही आधार पर एवं एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं। एक त्रिभुज की ऊँचाई 5 सेमी तथा क्षेत्रफल 18 वर्ग सेमी है। दूसरे त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है: दो त्रिभुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुण है कि यदि दो त्रिभुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हों, तो उनके क्षेत्रफल बराबर होते हैं और उनकी ऊँचाई भी बराबर होती है।
पहले त्रिभुज के लिए:
ऊँचाई \( = 5 \) सेमी
क्षेत्रफल \( = 18 \) वर्ग सेमी
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \).
इसलिए, हम आधार ज्ञात कर सकते हैं:
\( 18 = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times 5 \)
\( \implies \text{आधार} = \frac{2 \times 18}{5} = \frac{36}{5} = 7.2 \) सेमी।
अब, दूसरे त्रिभुज के लिए:
चूँकि दूसरा त्रिभुज भी पहले त्रिभुज के समान आधार पर और समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित है, तो:
दूसरे त्रिभुज का आधार भी \( = 7.2 \) सेमी होगा।
दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल भी \( = 18 \) वर्ग सेमी होगा।
अब, दूसरे त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करते हैं:
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( 18 = \frac{1}{2} \times 7.2 \times \text{ऊँचाई} \)
\( \implies \text{ऊँचाई} = \frac{2 \times 18}{7.2} = \frac{36}{7.2} = 5 \) सेमी।
अतः, दूसरे त्रिभुज की ऊँचाई 5 सेमी है।
In simple words: जब दो त्रिभुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच होते हैं, तो उनका क्षेत्रफल और ऊँचाई दोनों बराबर होते हैं। इसलिए, यदि पहले त्रिभुज की ऊँचाई 5 सेमी है, तो दूसरे त्रिभुज की ऊँचाई भी 5 सेमी ही होगी।

🎯 Exam Tip: यह नियम ज्यामिति में बहुत महत्वपूर्ण है। इसे अच्छी तरह से याद रखें: "समान आधार और समान समांतर रेखाओं के बीच बने त्रिभुजों का क्षेत्रफल और ऊँचाई बराबर होती है।"

प्रश्न 10. सिद्ध करो कि समलम्ब चतुर्भुज को क्षेत्रफल, उसकी समान्तर भुजाओं के मध्य लम्ब दूरी और समान्तर भुजाओं के योगफले के गुणन का आधा होता है।
Answer: दिया है: एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD, जिसमें \( AB || DC \). माना समांतर भुजाएँ \( AB = a \) और \( DC = b \) हैं।
समांतर भुजाओं के बीच की लम्बवत दूरी (ऊँचाई) \( = h \).
हमें सिद्ध करना है कि क्षेत्रफल (समलम्ब चतुर्भुज ABCD) \( = \frac{1}{2} \times h \times (a+b) \).
रचना: विकर्ण AC को मिलाइए।
उपपत्ति: विकर्ण AC, समलम्ब चतुर्भुज ABCD को दो त्रिभुजों, △ABC और △ADC में विभाजित करता है।
समलम्ब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल \( = \) क्षेत्रफल (△ABC) + क्षेत्रफल (△ADC).
△ABC के लिए: आधार \( = AB = a \) और ऊँचाई \( = h \).
क्षेत्रफल (△ABC) \( = \frac{1}{2} \times AB \times h = \frac{1}{2} \times a \times h \) ... (i)
△ADC के लिए: आधार \( = DC = b \) और ऊँचाई \( = h \). (क्योंकि दोनों त्रिभुज समांतर रेखाओं AB और DC के बीच हैं, इसलिए उनकी लंबवत ऊँचाई समान होगी)।
क्षेत्रफल (△ADC) \( = \frac{1}{2} \times DC \times h = \frac{1}{2} \times b \times h \) ... (ii)
अब, समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:
क्षेत्रफल (समलम्ब चतुर्भुज ABCD) \( = \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}bh \)
\( = \frac{1}{2}h(a+b) \).
इति सिद्धम्।
In simple words: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए, उसकी समांतर भुजाओं की लंबाई को जोड़ें, फिर उसे समांतर भुजाओं के बीच की दूरी (ऊँचाई) से गुणा करें, और अंत में पूरे परिणाम को आधा कर दें। यह सूत्र दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को जोड़कर प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: इस सूत्र को प्राप्त करने के लिए समलम्ब चतुर्भुज को विकर्ण द्वारा दो त्रिभुजों में विभाजित करने की तकनीक को याद रखना महत्वपूर्ण है। दोनों त्रिभुजों के लिए समान ऊँचाई का उपयोग करें।