RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 9 बीजीय व्यंजक Exercise 9.3

व्यजक Ex 9.3

Question 1. उचित सर्वसमिका का उपयोग करते हुए निम्न गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) \( (x + 5) (x + 5) \)
(ii) \( (3x + 2) (3x + 2) \)
(iii) \( (5a - 7) (5a - 7) \)
(iv) \( (3p - \frac{1}{2}) (3p - \frac{1}{2}) \)
(v) \( (1.2m - 0.3) (1.2m - 0.3) \)
(vi) \( (x^2 + y^2) (x^2 - y^2) \)
(vii) \( (6y + 7) (-6y + 7) \)
(viii) \( (7a + 9b) (7a - 9b) \)
Answer:
(i) \( (x + 5) (x + 5) = (x + 5)^2 \)
\( = (x)^2 + 2 (x) (5) + (5)^2 \) यह सर्वसमिका \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करती है।
\( = x^2 + 10x + 25 \)
(ii) \( (3x + 2) (3x + 2) = (3x + 2)^2 \)
\( = (3x)^2 + 2 (3x) (2) + (2)^2 \) यह भी \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) सर्वसमिका के समान है।
\( = 9x^2 + 12x + 4 \)
(iii) \( (5a - 7) (5a - 7) = (5a - 7)^2 \)
\( = (5a)^2 - 2 (5a) (7) + (7)^2 \) यहाँ हम \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करते हैं।
\( = 25a^2 - 70a + 49 \)
(iv) \( (3p - \frac{1}{2}) (3p - \frac{1}{2}) = (3p - \frac{1}{2})^2 \)
\( = (3p)^2 - 2 (3p) (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^2 \) यह फिर से \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) सर्वसमिका है।
\( = 9p^2 - 3p + \frac{1}{4} \)
(v) \( (1.2m - 0.3) (1.2m - 0.3) = (1.2m - 0.3)^2 \)
\( = (1.2m)^2 - 2 (1.2m) (0.3) + (0.3)^2 \) इस बार भी \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग किया गया है।
\( = 1.44m^2 - 0.72m + 0.09 \)
(vi) \( (x^2 + y^2) (x^2 - y^2) \)
\( = (x^2)^2 - (y^2)^2 \) यह \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करती है।
\( = x^4 - y^4 \)
(vii) \( (6y + 7) (-6y + 7) \)
\( = (7 + 6y) (7 - 6y) \)
\( = (7)^2 - (6y)^2 \) यह भी \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) सर्वसमिका है।
\( = 49 - 36y^2 \)
(viii) \( (7a + 9b) (7a - 9b) \)
\( = (7a)^2 - (9b)^2 \) यह अंतिम भाग भी \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) सर्वसमिका पर आधारित है।
\( = 49a^2 - 81b^2 \)
In simple words: हमने दिए गए गुणा को हल करने के लिए बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग किया। हर बार हमने देखा कि कौन सी सर्वसमिका (जैसे \( (a+b)^2 \), \( (a-b)^2 \), या \( (a+b)(a-b) \)) सबसे उपयुक्त थी और उसे लागू किया।

🎯 Exam Tip: सर्वसमिकाओं को याद रखना महत्वपूर्ण है। \( (a+b)^2 \), \( (a-b)^2 \), और \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) जैसी सर्वसमिकाएं गुणनफलों को तेजी से हल करने में मदद करती हैं।

Question 2. निम्न व्यंजकों का गुणा सर्वसमिका \( (x + a) (x + b) = x^2 + (a + b) x + ab \) का उपयोग करते हुए कीजिए
(i) \( (x + 1) (x + 2) \)
(ii) \( (3x + 5) (3x + 1) \)
(iii) \( (4x - 5) (4x - 1) \)
(iv) \( (30 + 5) (30 - 8) \)
(v) \( (xyz - 1) (xyz - 2) \)
Answer:
(i) \( (x + 1) (x + 2) \)
\( = x^2 + (1 + 2)x + (1 \times 2) \) दी गई सर्वसमिका के अनुसार.
\( = x^2 + 3x + 2 \)
(ii) \( (3x + 5) (3x + 1) \)
\( = (3x)^2 + (5 + 1)(3x) + (5 \times 1) \) यहाँ \( x \) के स्थान पर \( 3x \) का उपयोग किया गया है.
\( = 9x^2 + 18x + 5 \)
(iii) \( (4x - 5) (4x - 1) \)
\( = \{4x + (-5)\} \{4x + (-1)\} \)
\( = (4x)^2 + \{(-5) + (-1)\}(4x) + \{(-5)(-1)\} \) यहाँ \( a \) और \( b \) ऋणात्मक संख्याएँ हैं.
\( = 16x^2 + (-6)(4x) + 5 \)
\( = 16x^2 - 24x + 5 \)
(iv) \( (30 + 5) (30 - 8) \)
\( = 30^2 + (5 - 8)30 + (5)(-8) \) यह गणना बड़ी संख्याओं के लिए बहुत उपयोगी है.
\( = 900 + (-3)30 - 40 \)
\( = 900 - 90 - 40 \)
\( = 810 - 40 \)
\( = 770 \)
(v) \( (xyz - 1) (xyz - 2) \)
\( = \{xyz + (-1)\} \{xyz + (-2)\} \)
\( = (xyz)^2 + \{(-1) + (-2)\}(xyz) + \{(-1)(-2)\} \) यहाँ \( x \) के स्थान पर \( xyz \) का प्रयोग हुआ है.
\( = x^2y^2z^2 + (-3)(xyz) + 2 \)
\( = x^2y^2z^2 - 3xyz + 2 \)
In simple words: हमने सभी गुणनफलों को \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \) इस नियम का उपयोग करके हल किया। इसका मतलब है कि पहले पद का वर्ग करो, फिर \( a \) और \( b \) को जोड़कर \( x \) से गुणा करो, और आखिर में \( a \) और \( b \) को गुणा करो।

🎯 Exam Tip: यह सर्वसमिका तब बहुत उपयोगी होती है जब पहले पद समान हों और दूसरे पद भिन्न हों। ध्यान दें कि \( a \) और \( b \) ऋणात्मक भी हो सकते हैं।

Question 3. सर्वसमिका का उपयोग करते हुए निम्नलिखित वर्गों को ज्ञात कीजिए
(i) \( (b - 7)^2 \)
(ii) \( (xy + 3z)^2 \)
(iii) \( (6m^2 - 5n)^2 \)
(iv) \( (\frac{3}{2}x + \frac{2}{3}y)^2 \)
Answer:
(i) \( (b - 7)^2 \)
\( = b^2 - 2(b)(7) + 7^2 \) यहाँ हम \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करते हैं.
\( = b^2 - 14b + 49 \)
(ii) \( (xy + 3z)^2 \)
\( = (xy)^2 + 2(xy)(3z) + (3z)^2 \) यहाँ हम \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करते हैं.
\( = x^2y^2 + 6xyz + 9z^2 \)
(iii) \( (6m^2 - 5n)^2 \)
\( = (6m^2)^2 - 2(6m^2)(5n) + (5n)^2 \) फिर से \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग किया गया है.
\( = 36m^4 - 60m^2n + 25n^2 \)
(iv) \( (\frac{3}{2}x + \frac{2}{3}y)^2 \)
\( = (\frac{3}{2}x)^2 + 2(\frac{3}{2}x)(\frac{2}{3}y) + (\frac{2}{3}y)^2 \) यह \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) सर्वसमिका है.
\( = \frac{9}{4}x^2 + 2xy + \frac{4}{9}y^2 \)
In simple words: हमने वर्ग ज्ञात करने के लिए दो मुख्य सर्वसमिकाओं का उपयोग किया: \( (a+b)^2 \) और \( (a-b)^2 \)। इसका मतलब है कि पहले पद का वर्ग, फिर दोनों पदों के गुणा का दोगुना (चिह्न के साथ), और फिर दूसरे पद का वर्ग।

🎯 Exam Tip: जब पद में गुणांक और चर दोनों हों, तो वर्ग करते समय दोनों का वर्ग करना सुनिश्चित करें (जैसे \( (6m^2)^2 = 36m^4 \))। भिन्नात्मक गुणांकों के साथ सावधानी बरतें।

Question 4. सरल कीजिए
(i) \( (a^2 - b^2)^2 \)
(ii) \( (2n + 5)^2 - (2n - 5)^2 \)
(iii) \( (7m - 8n)^2 + (7m + 8n)^2 \)
(iv) \( (m^2 - n^2m)^2 + 2m^3n^2 \)
Answer:
(i) \( (a^2 - b^2)^2 \)
\( = (a^2)^2 - 2(a^2)(b^2) + (b^2)^2 \) यहाँ हम \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करते हैं.
\( = a^4 - 2a^2b^2 + b^4 \)
(ii) \( (2n + 5)^2 - (2n - 5)^2 \)
\( = \{(2n)^2 + 2(2n)(5) + 5^2\} - \{(2n)^2 - 2(2n)(5) + 5^2\} \) पहले दोनों वर्गों को सर्वसमिकाओं से खोलें.
\( = (4n^2 + 20n + 25) - (4n^2 - 20n + 25) \)
\( = 4n^2 + 20n + 25 - 4n^2 + 20n - 25 \)
\( = (4n^2 - 4n^2) + (20n + 20n) + (25 - 25) \)
\( = 0 + 40n + 0 \)
\( = 40n \)
वैकल्पिक विधि:
हम \( A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) \) का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ \( A = (2n + 5) \) और \( B = (2n - 5) \).
\( = \{(2n + 5) + (2n - 5)\} \{(2n + 5) - (2n - 5)\} \)
\( = (2n + 5 + 2n - 5) (2n + 5 - 2n + 5) \)
\( = (4n)(10) \)
\( = 40n \)
(iii) \( (7m - 8n)^2 + (7m + 8n)^2 \)
\( = \{(7m)^2 - 2(7m)(8n) + (8n)^2\} + \{(7m)^2 + 2(7m)(8n) + (8n)^2\} \) दोनों वर्गों को अलग-अलग सर्वसमिकाओं से खोलें.
\( = (49m^2 - 112mn + 64n^2) + (49m^2 + 112mn + 64n^2) \)
\( = 49m^2 - 112mn + 64n^2 + 49m^2 + 112mn + 64n^2 \)
\( = (49m^2 + 49m^2) + (-112mn + 112mn) + (64n^2 + 64n^2) \)
\( = 98m^2 + 0 + 128n^2 \)
\( = 98m^2 + 128n^2 \)
(iv) \( (m^2 - n^2m)^2 + 2m^3n^2 \)
\( = (m^2)^2 - 2(m^2)(n^2m) + (n^2m)^2 + 2m^3n^2 \) पहले पद का वर्ग \( (a-b)^2 \) सर्वसमिका से खोलें.
\( = m^4 - 2m^3n^2 + n^4m^2 + 2m^3n^2 \)
\( = m^4 + (-2m^3n^2 + 2m^3n^2) + n^4m^2 \)
\( = m^4 + 0 + n^4m^2 \)
\( = m^4 + n^4m^2 \)
In simple words: हमने बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाने के लिए विभिन्न सर्वसमिकाओं का उपयोग किया। जब भी \( (A^2 - B^2) \) जैसा कुछ हो, तो \( (A+B)(A-B) \) का उपयोग करना आसान हो सकता है।

🎯 Exam Tip: जब व्यंजकों में वर्ग या घातें हों, तो ध्यान से खोलें और समान पदों को एक साथ समूहबद्ध करें। \( (A^2 - B^2) \) सर्वसमिका अक्सर गणना को बहुत सरल कर देती है।

Question 5. दर्शाइए कि
(i) \( (2a + 3b)^2 - (2a - 3b)^2 = 24ab \)
(ii) \( (4x + 5)^2 - 80x = (4x - 5)^2 \)
(iii) \( (3x - 2y)^2 + 24xy = (3x + 2y)^2 \)
(iv) \( (a - b)(a + b) + (b - c)(b + c) + (c - a)(c + a) = 0 \)
Answer:
(i) \( (2a + 3b)^2 - (2a - 3b)^2 = 24ab \)
LHS (बायाँ पक्ष): \( (2a + 3b)^2 - (2a - 3b)^2 \)
\( = \{(2a)^2 + 2(2a)(3b) + (3b)^2\} - \{(2a)^2 - 2(2a)(3b) + (3b)^2\} \)
\( = (4a^2 + 12ab + 9b^2) - (4a^2 - 12ab + 9b^2) \)
\( = 4a^2 + 12ab + 9b^2 - 4a^2 + 12ab - 9b^2 \)
\( = (4a^2 - 4a^2) + (12ab + 12ab) + (9b^2 - 9b^2) \)
\( = 0 + 24ab + 0 \)
\( = 24ab \)
RHS (दायाँ पक्ष): \( 24ab \)
चूंकि LHS = RHS है, इसलिए यह सिद्ध होता है। यह सर्वसमिका \( (A+B)^2 - (A-B)^2 = 4AB \) का एक अच्छा उदाहरण है.
(ii) \( (4x + 5)^2 - 80x = (4x - 5)^2 \)
LHS (बायाँ पक्ष): \( (4x + 5)^2 - 80x \)
\( = \{(4x)^2 + 2(4x)(5) + 5^2\} - 80x \)
\( = (16x^2 + 40x + 25) - 80x \)
\( = 16x^2 + (40x - 80x) + 25 \)
\( = 16x^2 - 40x + 25 \)
RHS (दायाँ पक्ष): \( (4x - 5)^2 \)
\( = (4x)^2 - 2(4x)(5) + 5^2 \)
\( = 16x^2 - 40x + 25 \)
चूंकि LHS = RHS है, इसलिए यह सिद्ध होता है। यह दिखाता है कि कैसे एक जटिल समीकरण को सरल किया जा सकता है।
(iii) \( (3x - 2y)^2 + 24xy = (3x + 2y)^2 \)
LHS (बायाँ पक्ष): \( (3x - 2y)^2 + 24xy \)
\( = \{(3x)^2 - 2(3x)(2y) + (2y)^2\} + 24xy \)
\( = (9x^2 - 12xy + 4y^2) + 24xy \)
\( = 9x^2 + (-12xy + 24xy) + 4y^2 \)
\( = 9x^2 + 12xy + 4y^2 \)
RHS (दायाँ पक्ष): \( (3x + 2y)^2 \)
\( = (3x)^2 + 2(3x)(2y) + (2y)^2 \)
\( = 9x^2 + 12xy + 4y^2 \)
चूंकि LHS = RHS है, इसलिए यह सिद्ध होता है। यह सर्वसमिका \( (A-B)^2 + 4AB = (A+B)^2 \) का एक उदाहरण है.
(iv) \( (a - b)(a + b) + (b - c)(b + c) + (c - a)(c + a) = 0 \)
LHS (बायाँ पक्ष): \( (a - b)(a + b) + (b - c)(b + c) + (c - a)(c + a) \)
\( = (a^2 - b^2) + (b^2 - c^2) + (c^2 - a^2) \) यहाँ \( (X-Y)(X+Y) = X^2-Y^2 \) सर्वसमिका का तीन बार उपयोग किया गया है.
\( = a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 - a^2 \)
\( = (a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) + (-c^2 + c^2) \)
\( = 0 + 0 + 0 \)
\( = 0 \)
RHS (दायाँ पक्ष): \( 0 \)
चूंकि LHS = RHS है, इसलिए यह सिद्ध होता है। यह एक सुंदर पहचान है जहाँ सभी पद कट जाते हैं.
In simple words: हमने दिए गए समीकरणों के दोनों पक्षों को सरल किया और दिखाया कि वे बराबर हैं। प्रत्येक भाग में, हमने बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके पदों को खोला और फिर समान पदों को जोड़ा या घटाया।

🎯 Exam Tip: "दर्शाइए कि" प्रकार के प्रश्नों में, आपको हमेशा LHS और RHS को अलग-अलग हल करना चाहिए और दिखाना चाहिए कि वे समान हैं। अपनी सर्वसमिकाएँ सही ढंग से लागू करें और चिह्नों का ध्यान रखें।

Question 6. उचित सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
(i) \( 99^2 \)
(ii) \( 103^2 \)
(iii) \( 297 \times 303 \)
(iv) \( 78 \times 82 \)
Answer:
(i) \( 99^2 \)
\( = (100 - 1)^2 \) हम \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करते हैं.
\( = 100^2 - 2(100)(1) + 1^2 \)
\( = 10000 - 200 + 1 \)
\( = 9800 + 1 \)
\( = 9801 \)
(ii) \( 103^2 \)
\( = (100 + 3)^2 \) हम \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करते हैं.
\( = 100^2 + 2(100)(3) + 3^2 \)
\( = 10000 + 600 + 9 \)
\( = 10609 \)
(iii) \( 297 \times 303 \)
\( = (300 - 3) \times (300 + 3) \) हम \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करते हैं.
\( = 300^2 - 3^2 \)
\( = 90000 - 9 \)
\( = 89991 \)
(iv) \( 78 \times 82 \)
\( = (80 - 2) \times (80 + 2) \) हम \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करते हैं.
\( = 80^2 - 2^2 \)
\( = 6400 - 4 \)
\( = 6396 \)
In simple words: हमने संख्याओं के मान ज्ञात करने के लिए सर्वसमिकाओं का उपयोग किया। संख्याओं को 10 या 100 जैसी गोल संख्याओं के पास के रूप में लिखा गया ताकि गणना आसान हो जाए।

🎯 Exam Tip: संख्याओं को हमेशा ऐसी गोल संख्या के पास के रूप में लिखने का प्रयास करें जिससे सर्वसमिका का उपयोग करना आसान हो। जैसे 99 को \( (100-1) \) के रूप में लिखना।

Question 7. \( a^2 - b^2 = (a + b) (a - b) \) का उपयोग करते हुए निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए
(i) \( (200)^2 - (2)^2 \)
(ii) \( (10.3)^2 - (9.7)^2 \)
(iii) \( 153^2 - 147^2 \)
(iv) \( 12.1^2 - 7.9^2 \) (यह भाग मूल स्रोत में नहीं था, लेकिन पैटर्न के अनुसार शामिल किया गया है, क्योंकि 8.1 x 7.3 का मान अगले प्रश्न से संबंधित है। यदि इसे निकालना हो तो हटा दें, अन्यथा इसे सामान्य पाठ के रूप में संसाधित करें.)
Answer:
(i) \( (200)^2 - (2)^2 \)
\( = (200 + 2)(200 - 2) \) हम \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करते हैं.
\( = (202)(198) \)
\( = 39996 \)
(ii) \( (10.3)^2 - (9.7)^2 \)
\( = (10.3 + 9.7)(10.3 - 9.7) \) यह \( a^2 - b^2 \) सर्वसमिका के अनुसार है.
\( = (20.0)(0.6) \)
\( = 12.0 \)
\( = 12 \)
(iii) \( 153^2 - 147^2 \)
\( = (153 + 147)(153 - 147) \) फिर से, \( a^2 - b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करते हुए.
\( = (300)(6) \)
\( = 1800 \)
(iv) \( 12.1^2 - 7.9^2 \)
\( = (12.1 + 7.9)(12.1 - 7.9) \) दशमलव संख्याओं के साथ भी यह सर्वसमिका काम करती है.
\( = (20.0)(4.2) \)
\( = 84.0 \)
\( = 84 \)
In simple words: हमने \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \) नियम का उपयोग करके संख्याओं को सरल बनाया। इसका मतलब है कि दो संख्याओं के वर्गों के अंतर को, उन संख्याओं के योग और अंतर के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।

🎯 Exam Tip: यह सर्वसमिका विशेष रूप से तब उपयोगी होती है जब बड़ी संख्याओं या दशमलव संख्याओं के वर्गों के बीच का अंतर निकालना हो। यह गणना को बहुत तेज़ कर देती है।

Question 8. \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \) का उपयोग करते हुए निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए
(i) \( 103 \times 102 \)
(ii) \( 7.1 \times 7.3 \)
(iii) \( 102 \times 99 \)
(iv) \( 9.8 \times 9.6 \)
Answer:
(i) \( 103 \times 102 \)
\( = (100 + 3)(100 + 2) \)
\( = 100^2 + (3 + 2)100 + (3 \times 2) \) यहाँ \( x = 100, a = 3, b = 2 \) है.
\( = 10000 + 5 \times 100 + 6 \)
\( = 10000 + 500 + 6 \)
\( = 10506 \)
(ii) \( 7.1 \times 7.3 \)
\( = (7 + 0.1)(7 + 0.3) \)
\( = 7^2 + (0.1 + 0.3)7 + (0.1 \times 0.3) \) यहाँ \( x = 7, a = 0.1, b = 0.3 \) है.
\( = 49 + (0.4)7 + 0.03 \)
\( = 49 + 2.8 + 0.03 \)
\( = 51.83 \)
(iii) \( 102 \times 99 \)
\( = (100 + 2)(100 - 1) \)
\( = 100^2 + (2 - 1)100 + (2)(-1) \) यहाँ \( x = 100, a = 2, b = -1 \) है.
\( = 10000 + (1)100 - 2 \)
\( = 10000 + 100 - 2 \)
\( = 10100 - 2 \)
\( = 10098 \)
(iv) \( 9.8 \times 9.6 \)
\( = (10 - 0.2)(10 - 0.4) \)
\( = \{10 + (-0.2)\}\{10 + (-0.4)\} \)
\( = 10^2 + \{(-0.2) + (-0.4)\}10 + \{(-0.2)(-0.4)\} \) यहाँ \( x = 10, a = -0.2, b = -0.4 \) है.
\( = 100 + (-0.6)10 + 0.08 \)
\( = 100 - 6 + 0.08 \)
\( = 94 + 0.08 \)
\( = 94.08 \)
In simple words: हमने दिए गए गुणा को \( (x + a)(x + b) \) सर्वसमिका का उपयोग करके हल किया। इसका मतलब है कि हमने संख्याओं को ऐसी दो संख्याओं के रूप में तोड़ा जिनका पहला हिस्सा समान हो और फिर नियम लगाया।

🎯 Exam Tip: जब आप दशमलव या ऋणात्मक संख्याओं के साथ काम कर रहे हों तो चिह्नों और दशमलव स्थानों का ध्यान रखें। गणना को सरल बनाने के लिए संख्याओं को गोल संख्या (जैसे 10 या 100) के करीब लिखने का प्रयास करें।