RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 9 बीजीय व्यंजक Exercise 9.2

व्यंजक Ex 9.2

प्रश्न 1. नीचे दिए गए द्विपदों का गुणा कीजिए
(i) \( (2x + 5) \) और \( (3x - 7) \)
(ii) \( (x - 8) \) और \( (3y + 5) \)
(iii) \( (1.5p - 0.5q) \) और \( (1.5p + 0.5q) \)
(iv) \( (a + 3b) \) और \( (x + 5) \)
(v) \( (2lm + 3m^2) \) और \( (3lm - 5m^2) \)
(vi) \( ( \frac{3}{4} a^2 + 3b^2 ) \) और \( (4a^2 - \frac{5}{3} b^2 ) \)
Answer:
(i) \( (2x + 5) (3x - 7) \)
\( = 2x(3x - 7) + 5(3x - 7) \)
\( = (2x \times 3x) - (2x \times 7) + (5 \times 3x) - (5 \times 7) \)
\( = 6x^2 - 14x + 15x - 35 \)
\( = 6x^2 + (15 - 14)x - 35 \)
\( = 6x^2 + x - 35 \) दो द्विपदों का गुणा करते समय, प्रत्येक पद को दूसरे द्विपद के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है।
In simple words: द्विपदों को गुणा करने के लिए, पहले द्विपद के हर पद को दूसरे द्विपद के हर पद से गुणा करें और फिर समान पदों को जोड़ें या घटाएं।

🎯 Exam Tip: द्विपदों को गुणा करते समय वितरण नियम (distributive law) का सही ढंग से पालन करें और सभी पदों को गुणा करना याद रखें।

Answer:
(ii) \( (x - 8) (3y + 5) \)
\( = x(3y + 5) - 8(3y + 5) \)
\( = (x \times 3y) + (x \times 5) - (8 \times 3y) - (8 \times 5) \)
\( = 3xy + 5x - 24y - 40 \) यह गुणनफल का सरलतम रूप है।
In simple words: x को दूसरे द्विपद से गुणा करें, फिर -8 को दूसरे द्विपद से गुणा करें, और अंत में सभी पदों को एक साथ लिखें।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप ऋणात्मक चिह्नों को सही ढंग से संभालते हैं, विशेष रूप से जब आप -8 से गुणा करते हैं।

Answer:
(iii) \( (1.5p - 0.5q) (1.5p + 0.5q) \)
यह \( (A - B)(A + B) \) के रूप में है, जिसका परिणाम \( A^2 - B^2 \) होता है।
यहां, \( A = 1.5p \) और \( B = 0.5q \)
\( = (1.5p)^2 - (0.5q)^2 \)
\( = (1.5)^2 p^2 - (0.5)^2 q^2 \)
\( = 2.25p^2 - 0.25q^2 \) यह विशेष बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके सरल होता है।
In simple words: जब आपके पास \( (A-B) \) और \( (A+B) \) का गुणा होता है, तो बस \( A \) का वर्ग करके \( B \) का वर्ग घटा दें।

🎯 Exam Tip: \( (A - B)(A + B) = A^2 - B^2 \) सर्वसमिका को पहचानना और उसका उपयोग करना समय बचाता है।

Answer:
(iv) \( (a + 3b) (x + 5) \)
\( = a(x + 5) + 3b(x + 5) \)
\( = (a \times x) + (a \times 5) + (3b \times x) + (3b \times 5) \)
\( = ax + 5a + 3bx + 15b \) यह द्विपदों के गुणन का मूल तरीका है।
In simple words: पहले पद को दूसरे द्विपद के हर पद से गुणा करें, फिर दूसरे पद को दूसरे द्विपद के हर पद से गुणा करें और सभी को जोड़ दें।

🎯 Exam Tip: यदि द्विपदों में कोई समान पद नहीं हैं, तो परिणाम में सभी पद अलग-अलग रहेंगे।

Answer:
(v) \( (2lm + 3m^2) (3lm - 5m^2) \)
\( = 2lm(3lm - 5m^2) + 3m^2(3lm - 5m^2) \)
\( = (2lm \times 3lm) - (2lm \times 5m^2) + (3m^2 \times 3lm) - (3m^2 \times 5m^2) \)
\( = 6l^2m^2 - 10lm^3 + 9lm^3 - 15m^4 \)
\( = 6l^2m^2 + (-10 + 9)lm^3 - 15m^4 \)
\( = 6l^2m^2 - lm^3 - 15m^4 \) यह गुणनफल घातांक नियमों का भी उपयोग करता है।
In simple words: प्रत्येक पद को गुणा करें और फिर उन पदों को एक साथ जोड़ें या घटाएं जिनकी चर और घात समान हैं।

🎯 Exam Tip: जब चर गुणा होते हैं, तो उनकी घातें जुड़ जाती हैं (जैसे \( m \times m^2 = m^{1+2} = m^3 \))।

Answer:
(vi) \( ( \frac{3}{4} a^2 + 3b^2 ) ( 4a^2 - \frac{5}{3} b^2 ) \)
\( = \frac{3}{4} a^2 (4a^2 - \frac{5}{3} b^2) + 3b^2 (4a^2 - \frac{5}{3} b^2) \)
\( = (\frac{3}{4} a^2 \times 4a^2) - (\frac{3}{4} a^2 \times \frac{5}{3} b^2) + (3b^2 \times 4a^2) - (3b^2 \times \frac{5}{3} b^2) \)
\( = 3a^4 - \frac{5}{4} a^2b^2 + 12a^2b^2 - 5b^4 \)
\( = 3a^4 + (12 - \frac{5}{4})a^2b^2 - 5b^4 \)
\( = 3a^4 + (\frac{48 - 5}{4})a^2b^2 - 5b^4 \)
\( = 3a^4 + \frac{43}{4} a^2b^2 - 5b^4 \) भिन्नों वाले द्विपदों को भी इसी तरह से गुणा किया जाता है।
In simple words: भिन्नों के साथ गुणा करते समय, सुनिश्चित करें कि आप गुणा और फिर जोड़ने या घटाने के लिए सामान्य हर ढूंढें।

🎯 Exam Tip: भिन्नों को गुणा करते समय अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करें, और फिर सामान्य पदों को संयोजित करें।

प्रश्न 2. गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) \( (3x + 8) (5 - 2x) \)
(ii) \( (x + 3y) (3x -y) \)
(iii) \( (a^2 + b) (a + b^2) \)
(iv) \( (p^2 -q^2) (2p + q) \)
Answer:
(i) \( (3x + 8) (5 - 2x) \)
\( = 3x(5 - 2x) + 8(5 - 2x) \)
\( = (3x \times 5) - (3x \times 2x) + (8 \times 5) - (8 \times 2x) \)
\( = 15x - 6x^2 + 40 - 16x \)
\( = -6x^2 + (15x - 16x) + 40 \)
\( = -6x^2 - x + 40 \) यह समान पदों को संयोजित करके सरल किया गया है।
In simple words: दो कोष्ठकों को गुणा करें और फिर \( x \) वाले पदों को एक साथ लाएं।

🎯 Exam Tip: हमेशा परिणाम को मानक रूप में लिखें, जहां उच्चतम घात वाला पद पहले आता है।

Answer:
(ii) \( (x + 3y) (3x -y) \)
\( = x(3x - y) + 3y(3x - y) \)
\( = (x \times 3x) - (x \times y) + (3y \times 3x) - (3y \times y) \)
\( = 3x^2 - xy + 9xy - 3y^2 \)
\( = 3x^2 + 8xy - 3y^2 \) यह \( xy \) पदों को जोड़कर प्राप्त हुआ है।
In simple words: पहले कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा करें और फिर एक जैसे पदों को जोड़ें।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप \( xy \) जैसे समान पदों को सही ढंग से पहचानते हैं और उन्हें जोड़ते हैं।

Answer:
(iii) \( (a^2 + b) (a + b^2) \)
\( = a^2(a + b^2) + b(a + b^2) \)
\( = (a^2 \times a) + (a^2 \times b^2) + (b \times a) + (b \times b^2) \)
\( = a^3 + a^2b^2 + ab + b^3 \) इस गुणनफल में सभी पद अलग-अलग हैं।
In simple words: \( a^2 \) को दूसरे कोष्ठक से गुणा करें, फिर \( b \) को दूसरे कोष्ठक से गुणा करें और सभी पदों को एक साथ लिखें।

🎯 Exam Tip: यदि कोई समान पद नहीं हैं, तो उत्तर सभी गुणा किए गए पदों का योग होगा।

Answer:
(iv) \( (p^2 - q^2) (2p + q) \)
\( = p^2(2p + q) - q^2(2p + q) \)
\( = (p^2 \times 2p) + (p^2 \times q) - (q^2 \times 2p) - (q^2 \times q) \)
\( = 2p^3 + p^2q - 2q^2p - q^3 \) यह गुणा करके और फिर पदों को व्यवस्थित करके प्राप्त हुआ है।
In simple words: \( p^2 \) को दूसरे कोष्ठक से गुणा करें, फिर \( -q^2 \) को दूसरे कोष्ठक से गुणा करें और सभी को जोड़ दें।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक चिह्न \( -q^2 \) के साथ वितरण नियम का उपयोग करते समय सावधानी बरतें।

प्रश्न 3. सरल कीजिए
(i) \( (x + 5) (x - 7) + 35 \)
(ii) \( (a^2 - 3) (b^2 + 3) + 5 \)
(iii) \( (t + s^2) (t^2 - s) \)
(iv) \( (a + b)(c - d) + (a - b)(c + d) + 2(ac + bd) \)
(v) \( (a + b) (a^2 - ab + b^2) \)
(vi) \( (a + b + c)(a + b - c) \)
(vii) \( (a + b) (a - b) - a^2 + b^2 \)
Answer:
(i) \( (x + 5) (x - 7) + 35 \)
\( = x(x - 7) + 5(x - 7) + 35 \)
\( = x^2 - 7x + 5x - 35 + 35 \)
\( = x^2 - 2x \) यहां \( -35 \) और \( +35 \) कट जाते हैं।
In simple words: पहले कोष्ठकों को गुणा करें, फिर समान \( x \) पदों को एक साथ लाएं और संख्याओं को जोड़ें/घटाएं।

🎯 Exam Tip: हमेशा यह देखें कि क्या कोई पद एक-दूसरे को रद्द करते हैं, जैसे \( -35 + 35 = 0 \), जिससे समीकरण सरल हो जाता है।

Answer:
(ii) \( (a^2 - 3) (b^2 + 3) + 5 \)
\( = a^2(b^2 + 3) - 3(b^2 + 3) + 5 \)
\( = (a^2 \times b^2) + (a^2 \times 3) - (3 \times b^2) - (3 \times 3) + 5 \)
\( = a^2b^2 + 3a^2 - 3b^2 - 9 + 5 \)
\( = a^2b^2 + 3a^2 - 3b^2 - 4 \) यह गुणा करके और फिर संख्यात्मक पदों को जोड़कर प्राप्त हुआ है।
In simple words: पहले कोष्ठकों को गुणा करें, फिर \( -9 \) और \( +5 \) को एक साथ मिलाएं।

🎯 Exam Tip: गुणनफल के बाद बचे हुए संख्यात्मक पदों को जोड़ना या घटाना न भूलें।

Answer:
(iii) \( (t + s^2) (t^2 - s) \)
\( = t(t^2 - s) + s^2(t^2 - s) \)
\( = (t \times t^2) - (t \times s) + (s^2 \times t^2) - (s^2 \times s) \)
\( = t^3 - ts + s^2t^2 - s^3 \) इस गुणनफल में कोई समान पद नहीं हैं।
In simple words: पहले कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा करें।

🎯 Exam Tip: घातांकों का सही ढंग से ध्यान रखें; \( t \times t^2 = t^3 \) और \( s^2 \times s = s^3 \)।

Answer:
(iv) \( (a + b)(c - d) + (a - b)(c + d) + 2(ac + bd) \)
\( = [a(c - d) + b(c - d)] + [a(c + d) - b(c + d)] + 2ac + 2bd \)
\( = (ac - ad + bc - bd) + (ac + ad - bc - bd) + 2ac + 2bd \)
\( = ac - ad + bc - bd + ac + ad - bc - bd + 2ac + 2bd \)
अब समान पदों को एक साथ समूहित करें:
\( = (ac + ac + 2ac) + (-ad + ad) + (bc - bc) + (-bd - bd + 2bd) \)
\( = 4ac + 0 + 0 + (-2bd + 2bd) \)
\( = 4ac + 0 \)
\( = 4ac \) इस तरह के लंबे व्यंजकों को व्यवस्थित तरीके से हल करना सबसे अच्छा है।
In simple words: प्रत्येक कोष्ठक को गुणा करें, फिर समान पदों को एक साथ लाएं और उन्हें जोड़ें या घटाएं।

🎯 Exam Tip: ऐसे लंबे व्यंजकों को हल करते समय व्यवस्थित रहें। प्रत्येक पद को ध्यान से गुणा करें और समान पदों को समूहित करने के लिए एक पंक्ति का उपयोग करें।

Answer:
(v) \( (a + b) (a^2 - ab + b^2) \)
\( = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2) \)
\( = (a \times a^2) - (a \times ab) + (a \times b^2) + (b \times a^2) - (b \times ab) + (b \times b^2) \)
\( = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 \)
अब समान पदों को एक साथ समूहित करें:
\( = a^3 + b^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) \)
\( = a^3 + b^3 + 0 + 0 \)
\( = a^3 + b^3 \) यह घन के योग का एक प्रसिद्ध बीजगणितीय सर्वसमिका है।
In simple words: इस तरह के व्यंजक को गुणा करने पर \( a^3 + b^3 \) मिलता है क्योंकि बीच के सभी पद एक-दूसरे को काट देते हैं।

🎯 Exam Tip: यह \( (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 \) सर्वसमिका को पहचानें; यह अक्सर प्रश्न में आता है।

Answer:
(vi) \( (a + b + c)(a + b - c) \)
इसे \( [(a + b) + c][(a + b) - c] \) के रूप में लिखें। यह \( (X + Y)(X - Y) = X^2 - Y^2 \) के रूप में है, जहां \( X = (a + b) \) और \( Y = c \)
\( = (a + b)^2 - c^2 \)
\( = (a^2 + 2ab + b^2) - c^2 \)
\( = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab \) यह एक विशेष गुणनफल है जो अक्सर आता है।
In simple words: \( (a+b) \) को एक इकाई मानें और फिर \( (X+Y)(X-Y) \) सूत्र का उपयोग करके इसे सरल करें।

🎯 Exam Tip: ऐसे व्यंजकों में \( (A+B)(A-B) = A^2-B^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करके समय बचा सकते हैं, जहाँ \( A \) एक द्विपद हो सकता है।

Answer:
(vii) \( (a + b) (a - b) - a^2 + b^2 \)
\( = (a^2 - b^2) - a^2 + b^2 \) क्योंकि \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)
\( = a^2 - b^2 - a^2 + b^2 \)
\( = (a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) \)
\( = 0 + 0 \)
\( = 0 \) इस व्यंजक में सभी पद एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।
In simple words: पहले \( (a+b)(a-b) \) को गुणा करें, जो \( a^2 - b^2 \) देता है, फिर बाकी पदों को जोड़ें या घटाएं, जिससे सब कुछ शून्य हो जाता है।

🎯 Exam Tip: \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) सर्वसमिका को याद रखना ऐसे प्रश्नों को तुरंत हल करने में मदद करता है।