RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 9 बीजीय व्यंजक Important Questions

I. बहुविकल्पात्मक प्रश्न

प्रश्न 1. xy, yz और zx का गुणनफल होगा -
(a) 2xyz
(b) x²y²z²
(c) xy + yz + zx
(d) x³y³z³
Answer: (b) x²y²z²
In simple words: जब हम xy, yz, और zx का गुणा करते हैं, तो सभी चरों (x, y, z) की घातें जुड़ जाती हैं। इसलिए, x दो बार, y दो बार और z दो बार आता है, जिससे x²y²z² मिलता है।

🎯 Exam Tip: बीजीय व्यंजकों का गुणा करते समय, संख्यात्मक गुणांकों को गुणा करें और समान आधार वाले चरों की घातों को जोड़ें।

प्रश्न 2. \( \frac {8}{5}x^5 \) में \( x^5 \) का गुणांक है –
(a) \( \frac {8}{5} \)
(b) 5
(c) 8
(d) \( \frac {5}{8} \)
Answer: (a) \( \frac {8}{5} \)
In simple words: गुणांक वह संख्या होती है जो चर पद के साथ गुणा की जाती है। इस व्यंजक में, \( x^5 \) के साथ \( \frac {8}{5} \) गुणा किया गया है।

🎯 Exam Tip: गुणांक हमेशा चर पद के साथ गुणा होने वाला संख्यात्मक मान होता है, न कि स्वयं चर की घात।

प्रश्न 3. \( \frac {15}{16} xyz \) में yz का गुणांक है -
(a) \( \frac {15}{16} \)z
(b) \( \frac {15}{16} \)x
(c) \( \frac {15}{16} \)y
(d) \( \frac {15}{16} \)
Answer: (b) \( \frac {15}{16} \)x
In simple words: किसी पद में, एक चर या चरों के समूह का गुणांक वह भाग होता है जो उस चर या चरों के समूह से गुणा हो रहा होता है। यहाँ, \( \frac {15}{16} \) और x, yz से गुणा हो रहे हैं।

🎯 Exam Tip: ध्यान रखें कि गुणांक में संख्यात्मक मान के साथ-साथ अन्य चर भी शामिल हो सकते हैं जो निर्दिष्ट चर समूह में नहीं हैं।

प्रश्न 4. व्यंजक \( 8x^2 + 2xy + 3x^2 + 2y^2 + 2x^2 \) में पदों की संख्या है –
(a) 3
(b) 2
(c) 5
(d) 4
Answer: (a) 3
In simple words: सबसे पहले, समान पदों को एक साथ जोड़कर व्यंजक को सरल बनाएं। \( (8x^2 + 3x^2 + 2x^2) + 2xy + 2y^2 \) बन जाता है \( 13x^2 + 2xy + 2y^2 \)। अब इसमें तीन अलग-अलग पद हैं।

🎯 Exam Tip: पदों की संख्या गिनने से पहले हमेशा समान पदों को संयोजित करके बीजीय व्यंजक को सरल करें।

प्रश्न 6. 3 (x + y) का गुणनफल होगा -
(a) \( 3x^2 + 3xy \)
(b) \( 3x^2 + y \)
(c) \( x^2 + 3xy \)
(d) 3x + 3y
Answer: (d) 3x + 3y
In simple words: जब एक संख्या या चर को कोष्ठक में दिए गए व्यंजक से गुणा किया जाता है, तो उसे कोष्ठक के अंदर के प्रत्येक पद से गुणा करना होता है। इसे वितरण नियम कहते हैं।

🎯 Exam Tip: वितरण नियम का उपयोग करते समय, कोष्ठक के बाहर वाले पद को अंदर के हर पद से गुणा करना याद रखें।

प्रश्न 7. 5a + 2b में से 2a + 3b घटाने पर प्राप्त होगा –
(a) 3a + 2b
(b) 2a + 3b
(c) 3a - b
(d) 5a - 3b
Answer: (c) 3a - b
In simple words: घटाने के लिए, हम दूसरे व्यंजक के प्रत्येक पद का चिन्ह बदलकर पहले व्यंजक में जोड़ते हैं। \( (5a + 2b) - (2a + 3b) = 5a + 2b - 2a - 3b = (5a - 2a) + (2b - 3b) = 3a - b \)।

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय व्यंजकों को घटाते समय, जिस व्यंजक को घटाया जा रहा है, उसके हर पद का चिन्ह बदलना न भूलें।

प्रश्न 8. pq + qr + 2p और 0 का गुणनफल होगा -
(a) 0
(b) 1
(c) pqr
(d) pq + qr + rp
Answer: (a) 0
In simple words: गणित का एक मूलभूत नियम है कि किसी भी संख्या या व्यंजक को शून्य (0) से गुणा करने पर परिणाम हमेशा शून्य ही आता है।

🎯 Exam Tip: शून्य से गुणन की इस मूलभूत संपत्ति को हमेशा याद रखें, यह अक्सर सरल प्रश्नों में भ्रमित कर सकती है।

प्रश्न 9. व्यंजक \( 7x^2y \) का संजातीय पद है –
(a) 7xy
(b) \( -10x^2y \)
(c) 7
(d) \( 7x^2 \)
Answer: (b) \( -10x^2y \)
In simple words: संजातीय पद वे होते हैं जिनके चर भाग (variables) और उनकी घातें (powers) बिल्कुल समान होती हैं, चाहे उनके संख्यात्मक गुणांक (numerical coefficients) अलग-अलग हों। यहाँ, केवल \( -10x^2y \) का चर भाग \( x^2y \) है।

🎯 Exam Tip: संजातीय पदों को पहचानने के लिए, केवल चर और उनकी घातों पर ध्यान केंद्रित करें, संख्यात्मक गुणांक पर नहीं।

II. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

प्रश्न 1. \( \frac {1}{4} x^4 \) में \( x^4 \) का गुणांक...........है।
Answer: \( \frac {1}{4} \)
In simple words: गुणांक वह संख्या है जो चर पद से गुणा की जाती है। यहाँ \( x^4 \) का गुणांक \( \frac{1}{4} \) है।

🎯 Exam Tip: गुणांक को पहचानते समय, सुनिश्चित करें कि आप उस संख्या को चुन रहे हैं जो विशेष चर पद से गुणा हो रही है।

प्रश्न 2. \( 8xyz - 5xyz \) का ................है।
Answer: \( 3xyz \)
In simple words: समान पदों को घटाने के लिए, उनके संख्यात्मक गुणांकों को घटाया जाता है और चर भाग वही रहता है। \( 8 - 5 = 3 \), तो उत्तर \( 3xyz \) है।

🎯 Exam Tip: केवल समान पद ही जोड़े या घटाए जा सकते हैं; उनके चर भाग और घातें बिल्कुल समान होनी चाहिए।

प्रश्न 3. \( 8x^2 + 2x \) व \( 4x + 2 \) का योग ................है।
Answer: \( 8x^2 + 6x + 2 \)
In simple words: दो व्यंजकों को जोड़ने के लिए, हम उनके समान पदों को एक साथ जोड़ते हैं। यहाँ \( 2x \) और \( 4x \) समान पद हैं, जिन्हें जोड़ने पर \( 6x \) मिलता है। \( 8x^2 \) और \( 2 \) के समान पद नहीं हैं, इसलिए वे वैसे ही रहते हैं।

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय व्यंजकों को जोड़ते समय, समान पदों को समूहबद्ध करें और उनके गुणांकों को जोड़ें, जबकि चर भाग को अपरिवर्तित रखें।

प्रश्न 4. \( 2x, 4x \) व \( \frac {2}{3}x \) का गुणनफल ....होगा।
Answer: \( \frac {{16x}^{3}}{3} \)
In simple words: पदों को गुणा करने के लिए, हम उनके संख्यात्मक गुणांकों को गुणा करते हैं और फिर उनके चर की घातों को जोड़ते हैं। \( (2 \times 4 \times \frac{2}{3}) \times (x \times x \times x) = \frac{16}{3} x^3 \)।

🎯 Exam Tip: चरों को गुणा करते समय, उनकी घातों को जोड़ें। उदाहरण के लिए, \( x \times x \times x = x^{1+1+1} = x^3 \)।

प्रश्न 5. \( x^2 + (a + b) x + ab = (x + a) ................ \)
Answer: \( (x + b) \)
In simple words: यह एक मानक बीजगणितीय सर्वसमिका है। \( (x + a)(x + b) \) का गुणनफल \( x^2 + (a + b)x + ab \) होता है।

🎯 Exam Tip: इस तरह की सर्वसमिका को याद रखने से आपको द्विघात व्यंजकों का गुणनखंडन और विस्तार करने में मदद मिलेगी।

III. सत्य/असत्य

प्रश्न 1. \( 4y - 7z \) एक त्रिपद है।
Answer: असत्य
In simple words: त्रिपद में तीन पद होते हैं। \( 4y - 7z \) में केवल दो पद हैं, इसलिए यह एक द्विपद है।

🎯 Exam Tip: किसी बीजीय व्यंजक में पदों की संख्या गिनने के लिए, धन (+) या ऋण (-) चिन्हों से अलग किए गए भागों को देखें।

प्रश्न 2. \( x + \frac {1}{x} \) एक बहुपद है।
Answer: असत्य
In simple words: एक बहुपद में, चर की घात हमेशा एक पूर्ण संख्या (whole number) होनी चाहिए (जैसे 0, 1, 2, ...)। यहाँ \( \frac{1}{x} \) को \( x^{-1} \) के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें घात ऋणात्मक है।

🎯 Exam Tip: बहुपद की परिभाषा में चर की घात हमेशा धनात्मक पूर्णांक या शून्य होनी चाहिए।

प्रश्न 3. \( (x + a) (x + b) = x^2 + (a + b) x + ab \) एके सर्वसमिका है।
Answer: सत्य
In simple words: एक सर्वसमिका एक ऐसा समीकरण होता है जो अपने चरों के सभी मानों के लिए सत्य होता है। यह व्यंजक एक मानक बीजगणितीय सर्वसमिका है।

🎯 Exam Tip: सर्वसमिकाएँ विशेष बीजगणितीय संबंध होती हैं जिनका उपयोग गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है।

प्रश्न 4. 1 और 100 सजातीय पद हैं।
Answer: सत्य
In simple words: सभी स्थिरांक (constants) सजातीय पद माने जाते हैं क्योंकि उनके पास समान चर भाग \( x^0 \) होता है, जिसका मान 1 होता है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि कोई भी संख्या, जैसे 1, 100, -5, आदि, एक स्थिर पद है और सभी स्थिर पद एक दूसरे के सजातीय होते हैं।

IV. मिलान/सुमेलन वाले प्रश्न

प्रश्न. खंड (1) और खंड (2) का मिलान कीजिए।
खण्ड (1)
1. \( 4x \times 5y \times 7z = \)
2. \( 1 + x + x^2 \) में \( x \) का गुणांक
3. \( ab – bc, bc – ca, ca – ab \) का योग
खण्ड (2)
(a) \( 140xyz \)
(b) 0
(c) \( a^2-b^2 \)
(d) 1
Answer:
1. \( 4x \times 5y \times 7z = 140xyz \) (मिलान: (a))
2. \( 1 + x + x^2 \) में \( x \) का गुणांक = 1 (मिलान: (d))
3. \( (ab – bc) + (bc – ca) + (ca – ab) = ab – bc + bc – ca + ca – ab = 0 \) (मिलान: (b))
In simple words: गुणनफल ज्ञात करें, चर \( x \) के साथ गुणा की गई संख्या पहचानें और व्यंजकों को जोड़कर सही उत्तरों के साथ मिलान करें।

🎯 Exam Tip: प्रत्येक खंड को ध्यान से हल करें और फिर संबंधित उत्तर के साथ मिलान करें, खासकर जोड़ या गुणा करते समय।

V. अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1. \( -\frac {3}{7}x^2y^2 \) में \( x^2 \) का गुणांक ज्ञात कीजिए।
Answer: \( -\frac {3}{7}x^2y^2 \) में \( x^2 \) का गुणांक \( -\frac{3}{7}y^2 \) है।
In simple words: \( x^2 \) के साथ गुणा हो रहा संख्यात्मक भाग और अन्य चर \( (-\frac{3}{7}y^2) \) ही \( x^2 \) का गुणांक है।

🎯 Exam Tip: किसी विशिष्ट चर पद का गुणांक वह सब कुछ होता है जो उस पद को गुणा कर रहा हो, जिसमें संख्याएं और अन्य चर भी शामिल होते हैं।

प्रश्न 2. \( 5xy + 2xz + 3xy + x^2 + y^2 \) में पदों की संख्या बताइए।
Answer: सबसे पहले व्यंजक को सरल कीजिए:
\( 5xy + 2xz + 3xy + x^2 + y^2 \)
\( = (5xy + 3xy) + 2xz + x^2 + y^2 \)
\( = 8xy + 2xz + x^2 + y^2 \)
सरल करने के बाद, इस व्यंजक में 4 पद हैं।
In simple words: पहले समान पदों को जोड़ें। \( 5xy \) और \( 3xy \) मिलकर \( 8xy \) बनाते हैं। अब व्यंजक \( 8xy + 2xz + x^2 + y^2 \) में चार अलग-अलग पद हैं।

🎯 Exam Tip: पदों की संख्या गिनने से पहले हमेशा समान पदों को जोड़कर व्यंजक को सरल करें।

प्रश्न 3. \( \frac {5}{6}x+ \frac {7}{6}x + \frac {1}{6} x \) का योगफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
\( \frac {5}{6}x+ \frac {7}{6}x + \frac {1}{6} x \)
\( = (\frac {5}{6} + \frac {7}{6} + \frac {1}{6}) x \)
\( = \frac {5+7+1}{6} x \)
\( = \frac {13}{6} x \)
In simple words: सभी पदों में \( x \) एक समान चर है और सभी भिन्नों का हर भी समान है। इसलिए, हम केवल भिन्नों के अंशों को जोड़ते हैं और हर को वही रखते हुए \( x \) से गुणा कर देते हैं।

🎯 Exam Tip: समान हर वाले भिन्नों को जोड़ते समय, केवल अंशों को जोड़ें और हर को समान रखें।

प्रश्न 4. \( (2x + 7), (4x - 2) \) व \( (6x+4) \) का योगफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
\( (2x + 7) + (4x - 2) + (6x + 4) \)
समान पदों को एक साथ समूहबद्ध कीजिए:
\( = (2x + 4x + 6x) + (7 - 2 + 4) \)
\( = 12x + 9 \)
In simple words: पहले सभी \( x \) वाले पदों को एक साथ जोड़ें। फिर सभी स्थिर पदों (संख्याओं) को एक साथ जोड़ें।

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय व्यंजकों को जोड़ते समय, हमेशा समान पदों को एक साथ जोड़ें।

प्रश्न 5. \( (x^2 + 2x) \) को \( (2x + 3) \) से गुणा कीजिए।
Answer:
\( (x^2 + 2x)(2x + 3) \)
पहले व्यंजक के प्रत्येक पद को दूसरे व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा कीजिए:
\( = x^2(2x + 3) + 2x(2x + 3) \)
\( = (x^2 \times 2x) + (x^2 \times 3) + (2x \times 2x) + (2x \times 3) \)
\( = 2x^3 + 3x^2 + 4x^2 + 6x \)
समान पदों को संयोजित कीजिए:
\( = 2x^3 + (3x^2 + 4x^2) + 6x \)
\( = 2x^3 + 7x^2 + 6x \)
In simple words: पहले कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा करें। फिर, जो पद समान हों (एक ही चर और घात वाले), उन्हें एक साथ जोड़ दें।

🎯 Exam Tip: गुणनफल ज्ञात करते समय, प्रत्येक पद को सावधानी से गुणा करें और घातों को जोड़ना याद रखें।

प्रश्न 6. यदि \( x = 5, y = 2 \) हो तो \( (3x^2 + 4xy + 2y^2) \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है: \( x = 5, y = 2 \)
व्यंजक में \( x \) और \( y \) के मानों को प्रतिस्थापित करें:
\( 3x^2 + 4xy + 2y^2 \)
\( = 3(5)^2 + 4(5)(2) + 2(2)^2 \)
\( = 3(25) + 4(10) + 2(4) \)
\( = 75 + 40 + 8 \)
\( = 123 \)
In simple words: दिए गए \( x \) और \( y \) के मानों को व्यंजक में भरें। पहले घातों (स्क्वायर) को हल करें, फिर गुणा करें, और अंत में सभी संख्याओं को जोड़ दें।

🎯 Exam Tip: मानों को प्रतिस्थापित करते समय, हमेशा संचालन के क्रम (BODMAS/PEMDAS) का पालन करें - पहले कोष्ठक, फिर घात, गुणा/भाग, और अंत में जोड़/घटाव।

प्रश्न 7. गुणनफल ज्ञात कीजिए \( (3x + 5) (5x - 3) \)
Answer:
\( (3x + 5)(5x - 3) \)
वितरण नियम का उपयोग करें (प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें):
\( = 3x(5x - 3) + 5(5x - 3) \)
\( = (3x \times 5x) + (3x \times -3) + (5 \times 5x) + (5 \times -3) \)
\( = 15x^2 - 9x + 25x - 15 \)
समान पदों को संयोजित कीजिए:
\( = 15x^2 + (25x - 9x) - 15 \)
\( = 15x^2 + 16x - 15 \)
In simple words: \( 3x \) को \( (5x - 3) \) से गुणा करें, और फिर \( 5 \) को \( (5x - 3) \) से गुणा करें। सभी गुणनफलों को जोड़ें और फिर समान पदों को एक साथ इकट्ठा करें।

🎯 Exam Tip: दो द्विपदों को गुणा करते समय, FOIL विधि (First, Outer, Inner, Last) को लागू करना याद रखें और फिर समान पदों को मिलाएं।

प्रश्न 8. यदि \( x = \frac {1}{2 },y = \frac {1}{2 } \) व \( z = \frac {1}{3} \) हो तो \( \frac {1}{8}xyz \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है: \( x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2}, z = \frac{1}{3} \)
व्यंजक में मानों को प्रतिस्थापित करें:
\( \frac{1}{8}xyz = \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \)
सभी अंशों को गुणा करें और सभी हरों को गुणा करें:
\( = \frac{1 \times 1 \times 1 \times 1}{8 \times 2 \times 2 \times 3} \)
\( = \frac{1}{96} \)
In simple words: \( x, y, z \) के भिन्नात्मक मानों को \( \frac{1}{8}xyz \) में रखें। फिर सभी अंशों को एक साथ और सभी हरों को एक साथ गुणा करें।

🎯 Exam Tip: भिन्नों को गुणा करते समय, अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करें; कोई क्रॉस-गुणा नहीं होता है।

VI. लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1. \( (x-\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2}) \) को सरल कीजिए।
Answer:
व्यंजक है: \( (x - \frac{1}{x})(x + \frac{1}{x})(x^2 + \frac{1}{x^2}) \)
पहले \( (x - \frac{1}{x})(x + \frac{1}{x}) \) को हल करें। यह \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) के रूप में है:
\( = (x^2 - (\frac{1}{x})^2)(x^2 + \frac{1}{x^2}) \)
\( = (x^2 - \frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x^2}) \)
यह फिर से \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) के रूप में है, जहाँ \( a = x^2 \) और \( b = \frac{1}{x^2} \):
\( = (x^2)^2 - (\frac{1}{x^2})^2 \)
\( = x^4 - \frac{1}{x^4} \)
In simple words: हम \( (a-b)(a+b) = a^2-b^2 \) सूत्र का दो बार उपयोग करते हैं। पहले \( (x - \frac{1}{x})(x + \frac{1}{x}) \) के लिए, फिर जो परिणाम आता है, उसे \( (x^2 + \frac{1}{x^2}) \) से गुणा करने के लिए फिर से उसी सूत्र का उपयोग करते हैं।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, बीजगणितीय सर्वसमिकाओं को पहचानना और उनका उपयोग करना प्रमुख होता है। \( (a-b)(a+b) = a^2-b^2 \) एक बहुत उपयोगी सर्वसमिका है।

प्रश्न 2. यदि \( x + \frac{1}{x} = 7 \), तो \( x^2 + \frac{1}{x^2} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है: \( x + \frac{1}{x} = 7 \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( (x + \frac{1}{x})^2 = 7^2 \)
सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करें:
\( x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 = 49 \)
\( x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 49 \)
अब 2 को दाईं ओर ले जाएं:
\( x^2 + \frac{1}{x^2} = 49 - 2 \)
\( x^2 + \frac{1}{x^2} = 47 \)
In simple words: \( x + \frac{1}{x} = 7 \) को हल करने के लिए, हम समीकरण के दोनों ओर वर्ग करते हैं। वर्ग करने पर \( x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 49 \) मिलता है। फिर \( 2 \) को \( 49 \) में से घटाकर अंतिम उत्तर \( 47 \) प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: जब आपको \( x + \frac{1}{x} \) दिया गया हो और \( x^2 + \frac{1}{x^2} \) का मान पूछा जाए, तो दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करना अक्सर सबसे अच्छा तरीका होता है।

प्रश्न 3. यदि \( 2(a^2 + b^2) = (a + b)^2 \), तो सिद्ध कीजिए कि \( a = b \).
Answer:
दिया गया है: \( 2(a^2 + b^2) = (a + b)^2 \)
दाएं पक्ष को सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करके विस्तृत करें:
\( 2a^2 + 2b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
सभी पदों को एक पक्ष में ले आएं:
\( 2a^2 - a^2 + 2b^2 - b^2 - 2ab = 0 \)
\( a^2 + b^2 - 2ab = 0 \)
यह सर्वसमिका \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का रूप है:
\( (a - b)^2 = 0 \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( a - b = 0 \)
\( a = b \)
इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि \( a = b \).
In simple words: हम दिए गए समीकरण में \( (a+b)^2 \) को \( a^2 + 2ab + b^2 \) में बदलते हैं। फिर सभी पदों को एक तरफ ले जाकर \( a^2 - 2ab + b^2 = 0 \) प्राप्त करते हैं, जिसे \( (a-b)^2 = 0 \) लिखा जा सकता है। इसका मतलब है कि \( a-b = 0 \), जिससे \( a=b \) सिद्ध होता है।

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय सर्वसमिकाओं को पहचानना और उनका उपयोग करना ऐसे सिद्ध करने वाले प्रश्नों को हल करने में बहुत महत्वपूर्ण होता है।

प्रश्न 4. a का क्या मान होना चाहिए यदि \( 2x^2 + x – a \), 5 के बराबर है, जबकि \( x = 0 \).
Answer:
दिया गया व्यंजक है: \( 2x^2 + x - a \)
दिया गया है कि जब \( x = 0 \) होता है, तो व्यंजक का मान 5 के बराबर होता है।
व्यंजक में \( x = 0 \) प्रतिस्थापित करें:
\( 2(0)^2 + (0) - a = 5 \)
\( 0 + 0 - a = 5 \)
\( -a = 5 \)
\( a = -5 \)
In simple words: हम \( x \) की जगह \( 0 \) रखते हैं और पूरे समीकरण को \( 5 \) के बराबर कर देते हैं। इससे हमें \( -a = 5 \) मिलता है, जिसका मतलब है कि \( a = -5 \)।

🎯 Exam Tip: जब किसी व्यंजक का मान किसी विशेष चर मान पर दिया जाता है, तो उस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें और अज्ञात को हल करें।

प्रश्न 5. व्यंजक \( 2(a^2 + ab) + 3 – ab \) को सरल कीजिए और इसका मान ज्ञात कीजिए जब \( a = 5 \) और \( b = -3 \).
Answer:
पहले व्यंजक को सरल कीजिए:
\( 2(a^2 + ab) + 3 - ab \)
कोष्ठक को खोलिए:
\( = 2a^2 + 2ab + 3 - ab \)
समान पदों को संयोजित कीजिए:
\( = 2a^2 + (2ab - ab) + 3 \)
\( = 2a^2 + ab + 3 \)
अब \( a = 5 \) और \( b = -3 \) मान प्रतिस्थापित कीजिए:
\( = 2(5)^2 + (5)(-3) + 3 \)
\( = 2(25) - 15 + 3 \)
\( = 50 - 15 + 3 \)
\( = 35 + 3 \)
\( = 38 \)
In simple words: पहले व्यंजक को \( 2a^2 + ab + 3 \) के रूप में सरल करें। फिर \( a=5 \) और \( b=-3 \) के मानों को इसमें रखें। गुणा और जोड़ करने के बाद, अंतिम मान \( 38 \) मिलेगा।

🎯 Exam Tip: जटिल व्यंजकों में मान रखने से पहले उन्हें सरल करना हमेशा बेहतर होता है, क्योंकि इससे गणनाएं आसान हो जाती हैं और त्रुटियों की संभावना कम हो जाती है।

प्रश्न 7. सर्वसमिका \( (x + a) (x + b) = x^2 + (a + b) x + ab \) का उपयोग करते हुए निम्नांकित का मान ज्ञात कीजिए \( 201 \times 202 \).
Answer:
हमें \( 201 \times 202 \) का मान ज्ञात करना है।
हम इसे \( (200 + 1) \times (200 + 2) \) के रूप में लिख सकते हैं।
अब सर्वसमिका \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \) का उपयोग करें,
यहाँ \( x = 200, a = 1, b = 2 \):
\( = (200)^2 + (1 + 2)(200) + (1)(2) \)
\( = 40000 + (3)(200) + 2 \)
\( = 40000 + 600 + 2 \)
\( = 40602 \)
In simple words: हम \( 201 \) को \( (200+1) \) और \( 202 \) को \( (200+2) \) लिखते हैं। फिर \( (x+a)(x+b) \) वाले सूत्र का उपयोग करते हैं, जिसमें \( x=200, a=1, b=2 \) रखते हैं। अंत में, सभी मानों को जोड़कर \( 40602 \) प्राप्त करते हैं।

🎯 Exam Tip: गुणनफल ज्ञात करने के लिए, संख्याओं को सुविधाजनक भागों में तोड़ें जो ज्ञात बीजगणितीय सर्वसमिकाओं के साथ फिट होते हों, जैसे \( (x+a)(x+b) \)।

प्रश्न 8. \( 3x^2 - 4y^2 + 5xy + 20 \) में क्या घटायें कि \( -x^2 – y^2 + 6xy + 20 \) प्राप्त हो?
Answer:
मान लीजिए कि घटाया जाने वाला व्यंजक \( P \) है।
तो, प्रश्न के अनुसार:
\( (3x^2 - 4y^2 + 5xy + 20) - P = (-x^2 - y^2 + 6xy + 20) \)
\( P \) ज्ञात करने के लिए, हम दूसरे व्यंजक को पहले व्यंजक में से घटाएंगे:
\( P = (3x^2 - 4y^2 + 5xy + 20) - (-x^2 - y^2 + 6xy + 20) \)
ऋणात्मक चिन्ह को वितरित करें (अंदर के सभी पदों के चिन्ह बदलें):
\( P = 3x^2 - 4y^2 + 5xy + 20 + x^2 + y^2 - 6xy - 20 \)
समान पदों को समूहबद्ध करें और संयोजित करें:
\( P = (3x^2 + x^2) + (-4y^2 + y^2) + (5xy - 6xy) + (20 - 20) \)
\( P = 4x^2 - 3y^2 - xy + 0 \)
\( P = 4x^2 - 3y^2 - xy \)
In simple words: हम उस व्यंजक को ज्ञात करना चाहते हैं जिसे \( (3x^2 - 4y^2 + 5xy + 20) \) में से घटाने पर \( (-x^2 - y^2 + 6xy + 20) \) मिले। इसके लिए, हम दिए गए पहले व्यंजक में से दूसरे व्यंजक को घटाते हैं। घटाते समय, दूसरे व्यंजक के सभी पदों के चिन्ह बदल जाते हैं। फिर समान पदों को इकट्ठा करके जोड़ते या घटाते हैं।

🎯 Exam Tip: जब किसी व्यंजक को घटाया जाता है, तो कोष्ठक के बाहर एक ऋण चिन्ह होता है, जो कोष्ठक के अंदर के प्रत्येक पद के चिन्ह को बदल देता है। इस पर विशेष ध्यान दें।

प्रश्न 9. सरल कीजिए \( (a + b) (a - b) - (a^2 + b^2) \)
Answer:
व्यंजक है: \( (a + b) (a - b) - (a^2 + b^2) \)
पहले \( (a + b)(a - b) \) को हल करें, जो सर्वसमिका \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) के रूप में है:
\( = (a^2 - b^2) - (a^2 + b^2) \)
कोष्ठक खोलें और ऋण चिन्ह को वितरित करें:
\( = a^2 - b^2 - a^2 - b^2 \)
समान पदों को संयोजित कीजिए:
\( = (a^2 - a^2) + (-b^2 - b^2) \)
\( = 0 - 2b^2 \)
\( = -2b^2 \)
In simple words: सबसे पहले, \( (a+b)(a-b) \) को \( a^2-b^2 \) में बदलें। फिर \( (a^2+b^2) \) को घटाएं। घटाते समय \( - \) चिन्ह के बाद के सभी पदों के चिन्ह बदल जाते हैं। अंत में, समान पदों को जोड़ें या घटाएं, जिससे \( -2b^2 \) प्राप्त होगा।

🎯 Exam Tip: \( (a+b)(a-b) \) सर्वसमिका का उपयोग करें और फिर ऋण चिन्ह को सही ढंग से वितरित करना याद रखें ताकि कोई त्रुटि न हो।

प्रश्न 10. गुणनफल ज्ञात कीजिए।
(i) \( (2a + 7) (2a – 7) \)
(ii) \( (p^2 + q^2) (p^2 - q^2) \)
Answer:
(i) \( (2a + 7) (2a – 7) \)
सर्वसमिका \( (A + B)(A - B) = A^2 - B^2 \) का उपयोग करें, जहाँ \( A = 2a \) और \( B = 7 \):
\( = (2a)^2 - (7)^2 \)
\( = 4a^2 - 49 \)
(ii) \( (p^2 + q^2) (p^2 - q^2) \)
सर्वसमिका \( (A + B)(A - B) = A^2 - B^2 \) का उपयोग करें, जहाँ \( A = p^2 \) और \( B = q^2 \):
\( = (p^2)^2 - (q^2)^2 \)
\( = p^4 - q^4 \)
In simple words: दोनों भागों में, हम \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) सूत्र का उपयोग करते हैं। पहले भाग में \( a=2a \) और \( b=7 \) है। दूसरे भाग में \( a=p^2 \) और \( b=q^2 \) है, जिससे हमें उनके वर्गों का अंतर मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) एक शक्तिशाली सर्वसमिका है जो ऐसे गुणनफलों को तुरंत सरल करती है। इसे अच्छी तरह से याद रखें।

प्रश्न 11. उचित सर्वसमिका का उपयोग करते हुए गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) \( (5x – 3) (5x + 3) \)
(ii) \( 103 \times 99 \)
Answer:
(i) \( (5x – 3) (5x + 3) \)
यह सर्वसमिका \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) के रूप में है, जहाँ \( a = 5x \) और \( b = 3 \):
\( = (5x)^2 - (3)^2 \)
\( = 25x^2 - 9 \)
(ii) \( 103 \times 99 \)
हम इसे \( (100 + 3) \times (100 - 1) \) के रूप में लिख सकते हैं।
यह सर्वसमिका \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \) के रूप में है, जहाँ \( x = 100, a = 3, b = -1 \):
\( = (100)^2 + (3 + (-1))(100) + (3)(-1) \)
\( = 10000 + (2)(100) - 3 \)
\( = 10000 + 200 - 3 \)
\( = 10200 - 3 \)
\( = 10197 \)
In simple words: पहले भाग में, हम \( (a-b)(a+b) \) सूत्र का उपयोग करते हैं। दूसरे भाग में, \( 103 \times 99 \) को \( (100+3)(100-1) \) के रूप में लिखते हैं और फिर \( (x+a)(x+b) \) सूत्र का उपयोग करके गुणा करते हैं।

🎯 Exam Tip: यह जानना महत्वपूर्ण है कि गुणनफल को सरल बनाने के लिए कौन सी सर्वसमिका सबसे उपयुक्त है। संख्याओं को \( (x+a) \) और \( (x+b) \) के रूप में लिखने का प्रयास करें।

प्रश्न 12. सरल कीजिए-\( (x - 5)^2 + 10x \)
Answer:
व्यंजक है: \( (x - 5)^2 + 10x \)
पहले \( (x - 5)^2 \) को सर्वसमिका \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करके विस्तृत करें:
\( = (x^2 - 2(x)(5) + 5^2) + 10x \)
\( = x^2 - 10x + 25 + 10x \)
समान पदों को संयोजित कीजिए:
\( = x^2 + (-10x + 10x) + 25 \)
\( = x^2 + 0 + 25 \)
\( = x^2 + 25 \)
In simple words: सबसे पहले, \( (x-5)^2 \) को \( x^2 - 10x + 25 \) में बदलें। फिर इसे \( 10x \) के साथ जोड़ें। \( -10x \) और \( +10x \) एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, और हमें \( x^2 + 25 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( (a-b)^2 \) जैसी सर्वसमिकाओं को सही ढंग से विस्तृत करना याद रखें, और फिर समान पदों को सावधानी से संयोजित करें।