RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 6 बहुभुज Exercise 6.2

प्रश्न 1. उपयुक्त विकल्प चुनकर रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए।
(i) समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण ________ होते (बराबर/सम्पूरक)
(ii) आयत के विकर्ण ________ होते हैं। (बराबर/लम्ब समद्विभाजित)
(iii) किसी समलम्ब चतुर्भुज में AB || CD, यदि A = 100° हो तो D का मान ...... होगा। (100°/80°)
(iv) यदि किसी चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित कर रहे हैं तो वह ________ कहलाता है। (समान्तर चतुर्भुज/समचतुर्भुज)
(v) सभी वर्ग ________ होते हैं। (सर्वांगसम/समरूप)
Answer:
(i) समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण सम्पूरक होते हैं।
(ii) आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।
(iii) किसी समलम्ब चतुर्भुज में AB || CD, यदि A = 100° हो तो D का मान 80° होगा।
(iv) यदि किसी चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित कर रहे हैं तो वह समचतुर्भुज कहलाता है।
(v) सभी वर्ग समरूप होते हैं।
In simple words: आपको रिक्त स्थानों को सही विकल्प से भरना था। समान्तर चतुर्भुज के पास के कोणों का जोड़ 180° होता है। आयत के दोनों विकर्ण एक बराबर होते हैं। समलम्ब चतुर्भुज में समांतर रेखाओं के बीच के कोणों का जोड़ 180° होता है। जिस चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को 90° पर काटते हैं, उसे समचतुर्भुज कहते हैं। सभी वर्ग एक जैसे दिखते हैं, इसलिए वे समरूप होते हैं।
🎯 Exam Tip: इन प्रश्नों को हल करते समय चतुर्भुज के मूलभूत गुणों को याद रखें, जैसे आसन्न कोण, सम्मुख कोण और विकर्णों के गुण।

प्रश्न 2. आकृति में BEST एक समान्तर चतुर्भुज है। x, y, z के मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है कि BEST एक समान्तर चतुर्भुज है।
समान्तर चतुर्भुज में, आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
इसलिए, \( \angle B + \angle E = 180^\circ \)
\( 110^\circ + x = 180^\circ \)
\( x = 180^\circ - 110^\circ \)
\( \implies x = 70^\circ \)
समान्तर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए, \( y = \angle B \)
\( \implies y = 110^\circ \)
और \( z = \angle E \)
\( \implies z = x \)
\( \implies z = 70^\circ \)
अतः, \( x = 70^\circ \), \( y = 110^\circ \) और \( z = 70^\circ \).
In simple words: BEST एक समान्तर चतुर्भुज है। समान्तर चतुर्भुज में अगल-बगल के कोणों को जोड़ने पर 180° मिलता है, इसलिए हमने x को 70° पाया। सामने वाले कोण बराबर होते हैं, इसलिए y 110° है (जैसे B) और z 70° है (जैसे x)।
🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज के गुणों को याद रखें: आसन्न कोण सम्पूरक होते हैं (180° का योग), और सम्मुख कोण बराबर होते हैं। यह आपको अज्ञात कोणों को आसानी से खोजने में मदद करेगा।

प्रश्न 3. निम्न समान्तर चतुर्भुजों में अज्ञात x, y, z के मान ज्ञात कीजिए
(i)
(ii)
Answer:
(i) इस आकृति में, विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं।
इसलिए, \( x = 90^\circ \) (विकर्ण समकोण पर काटते हैं)
त्रिभुज AOD में, दिया गया है कि \( OA = OD \).
अतः, \( \angle OAD = \angle ODA = y^\circ \) (एक समद्विबाहु त्रिभुज में समान भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं)।
त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।
\( \angle AOD + \angle OAD + \angle ODA = 180^\circ \)
\( 90^\circ + y^\circ + y^\circ = 180^\circ \)
\( 90^\circ + 2y^\circ = 180^\circ \)
\( 2y^\circ = 180^\circ - 90^\circ \)
\( 2y^\circ = 90^\circ \)
\( \implies y^\circ = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \)
इस प्रकार, \( x = 90^\circ \) और \( y = 45^\circ \). आकृति में \( z \) का मान नहीं दिया गया है।

(ii) यह एक समान्तर चतुर्भुज है।
समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए, \( y = 112^\circ \).
आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
कोण C पर, \( 40^\circ + z^\circ \) कोण D के आसन्न है।
\( (40^\circ + z^\circ) + 112^\circ = 180^\circ \)
\( 152^\circ + z^\circ = 180^\circ \)
\( z^\circ = 180^\circ - 152^\circ \)
\( \implies z^\circ = 28^\circ \)
त्रिभुज ADC में, कोणों का योग 180° होता है।
\( x^\circ + y^\circ + 40^\circ = 180^\circ \)
\( x^\circ + 112^\circ + 40^\circ = 180^\circ \)
\( x^\circ + 152^\circ = 180^\circ \)
\( x^\circ = 180^\circ - 152^\circ \)
\( \implies x^\circ = 28^\circ \)
अतः, \( x = 28^\circ \), \( y = 112^\circ \) और \( z = 28^\circ \).
In simple words: पहले भाग में, विकर्ण 90° पर मिलते हैं, तो x 90° है। त्रिभुज में दो भुजाएँ बराबर हैं, तो उनके सामने के कोण y भी बराबर हैं, इसलिए y 45° है। दूसरे भाग में, यह एक समान्तर चतुर्भुज है, इसलिए y सामने वाले कोण के बराबर यानी 112° है। अगल-बगल के कोण 180° बनाते हैं, जिससे z 28° निकलता है। त्रिभुज के कोणों को जोड़कर हमने x को 28° पाया।
🎯 Exam Tip: जब विकर्ण समकोण पर काटते हैं, तो वह एक समचतुर्भुज होता है। समान्तर चतुर्भुज के गुणों (सम्मुख कोण बराबर, आसन्न कोण सम्पूरक) और त्रिभुज के कोणों के योग (180°) का उपयोग करें।

प्रश्न 4. किसी समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अनुपात 1: 5 है। समान्तर चतुर्भुज के सभी कोणों का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
इसके दो आसन्न कोणों का अनुपात 1:5 है।
इसलिए, मान लीजिए \( \angle A = k \) और \( \angle B = 5k \).
हमें पता है कि समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण सम्पूरक होते हैं (उनका योग 180° होता है)।
\( \angle A + \angle B = 180^\circ \)
\( k + 5k = 180^\circ \)
\( 6k = 180^\circ \)
\( k = \frac{180^\circ}{6} \)
\( \implies k = 30^\circ \)
तो, \( \angle A = 30^\circ \).
और \( \angle B = 5k = 5 \times 30^\circ = 150^\circ \).
समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए, \( \angle C = \angle A = 30^\circ \).
और \( \angle D = \angle B = 150^\circ \).
अतः, समान्तर चतुर्भुज के सभी कोण \( 30^\circ, 150^\circ, 30^\circ \) और \( 150^\circ \) हैं।
In simple words: एक समान्तर चतुर्भुज में, अगल-बगल के कोणों को जोड़ने पर 180° मिलता है। अगर उनका अनुपात 1:5 है, तो एक कोण 30° और दूसरा 150° होगा। सामने वाले कोण बराबर होते हैं, तो बाकी दो कोण भी 30° और 150° होंगे।
🎯 Exam Tip: आसन्न कोणों के अनुपात को हमेशा 'k' के गुणज के रूप में लिखें और फिर उन्हें 180° के बराबर करके 'k' का मान निकालें। फिर सम्मुख कोणों की समानता का उपयोग करें।

प्रश्न 5. निम्न आकृतियाँ RISK और STEW समान्तर चतुर्भुज हैं। x तथा y के मान ज्ञात कीजिए। (लम्बाई सेमी. में है)
(i)
(ii)
Answer:
(i) RISK एक समान्तर चतुर्भुज है।
समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए,
\( 3x = 18 \)
\( x = \frac{18}{3} \)
\( \implies x = 6 \) सेमी.
और
\( 3y - 1 = 26 \)
\( 3y = 26 + 1 \)
\( 3y = 27 \)
\( y = \frac{27}{3} \)
\( \implies y = 9 \) सेमी.
अतः, \( x = 6 \) सेमी और \( y = 9 \) सेमी.

(ii) STEW एक समान्तर चतुर्भुज है।
समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए,
\( SO = OE \implies y + 7 = 20 \)
\( y = 20 - 7 \)
\( \implies y = 13 \) सेमी.
और
\( WO = OT \implies x + y = 16 \)
समीकरण (1) में \( y = 13 \) रखने पर,
\( x + 13 = 16 \)
\( x = 16 - 13 \)
\( \implies x = 3 \) सेमी.
अतः, \( x = 3 \) सेमी और \( y = 13 \) सेमी.
In simple words: पहले भाग में, समान्तर चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए, \( 3x = 18 \) से \( x=6 \) और \( 3y-1 = 26 \) से \( y=9 \) मिलता है। दूसरे भाग में, समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को बीच से काटते हैं। इसलिए \( y+7=20 \) से \( y=13 \) और फिर \( x+y=16 \) में \( y \) का मान रखने पर \( x=3 \) मिलता है।
🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज के दो मुख्य गुण याद रखें: सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, और विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इन गुणों का उपयोग करके आप अज्ञात मान ज्ञात कर सकते हैं।

प्रश्न 7. PEAR एक समचतुर्भुज है। x, y व z के मान ज्ञात कीजिए और कारण भी लिखिए।
Answer: दिया है कि PEAR एक समचतुर्भुज है।
समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए, \( \angle POE = 90^\circ \).
त्रिभुज \( \triangle POE \) एक समकोण त्रिभुज है।
समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए \( PE = 13 \) सेमी.
विकर्ण का एक भाग \( PO = 5 \) सेमी.
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके,
\( PO^2 + OE^2 = PE^2 \)
\( 5^2 + y^2 = 13^2 \)
\( 25 + y^2 = 169 \)
\( y^2 = 169 - 25 \)
\( y^2 = 144 \)
\( \implies y = \sqrt{144} = 12 \) सेमी.
चूंकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए \( RO = OE \).
अतः, \( x = y = 12 \) सेमी.
आकृति में \( z \) का मान स्पष्ट रूप से दर्शाया नहीं गया है। यदि \( z \) समचतुर्भुज की भुजा को दर्शाता है, तो \( z = 13 \) सेमी.
In simple words: PEAR एक समचतुर्भुज है। इसके विकर्ण 90° पर एक-दूसरे को आधा-आधा काटते हैं। हमें एक भुजा (13 सेमी) और विकर्ण का एक टुकड़ा (5 सेमी) पता है। पाइथागोरस के नियम से, हमने विकर्ण के दूसरे टुकड़े (y) को 12 सेमी पाया। क्योंकि विकर्ण एक-दूसरे को काटते हैं, तो x भी 12 सेमी होगा। z का मान आकृति में नहीं है, लेकिन अगर यह भुजा की लंबाई है, तो वह 13 सेमी होगी।
🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज के लिए, याद रखें कि सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग विकर्णों के खंडों की लंबाई ज्ञात करने के लिए अक्सर किया जाता है।

प्रश्न 8. समलम्ब चतुर्भुज PQRS में PQ || SR, x और y के मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है कि PQRS एक समलम्ब चतुर्भुज है, जहाँ \( PQ || SR \).
समान्तर भुजाओं के बीच के आसन्न आंतरिक कोण सम्पूरक होते हैं।
इसलिए, \( \angle P + \angle S = 180^\circ \)
\( x + 90^\circ = 180^\circ \)
\( x = 180^\circ - 90^\circ \)
\( \implies x = 90^\circ \)
हमें पता है कि किसी चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 360° होता है।
\( \angle P + \angle Q + \angle R + \angle S = 360^\circ \)
\( x + y + 130^\circ + 90^\circ = 360^\circ \)
\( 90^\circ + y + 130^\circ + 90^\circ = 360^\circ \)
\( y + 310^\circ = 360^\circ \)
\( y = 360^\circ - 310^\circ \)
\( \implies y = 50^\circ \)
अतः, \( x = 90^\circ \) और \( y = 50^\circ \).
In simple words: समलम्ब चतुर्भुज में, समानांतर लाइनों के बीच के कोणों का जोड़ 180° होता है। इसलिए, S के साथ x को जोड़ने पर 180° मिलेगा, जिससे x 90° हो जाता है। किसी भी चतुर्भुज के चारों कोणों को जोड़ने पर 360° मिलता है। हमने P, R, S के कोणों को रखा और y को घटाकर 50° पाया।
🎯 Exam Tip: समलम्ब चतुर्भुज में, समानांतर भुजाओं के बीच के तिर्यक रेखा पर बने कोणों (consecutive interior angles) का योग 180° होता है। साथ ही, चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 360° होता है।