RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 6 बहुभुज Exercise 6.1

Question 1. नीचे दर्शाई गई आकृतियों में पेन्सिल से विकर्ण बनाइए और बताइए।
(i) किन आकृतियों में विकर्ण अन्दर बनेंगे?
(ii) किन आकृतियों में विकर्ण बाहर बनेंगे?
(iii) उपर्युक्त बहुभुजों के प्रकार बताइए (उत्तल अथवा अवतल)?
Answer:
(i) आकृति (i) और (vi) में विकर्ण अंदर बनेंगे। ये उत्तल बहुभुज हैं।
(ii) आकृति (ii), (iii) और (iv) में विकर्ण बाहर बनेंगे। इन बहुभुजों में कुछ विकर्ण बाहर होते हैं।
(iii) आकृति (i), (v), (vi) उत्तल बहुभुज (Convex Polygon) हैं, क्योंकि उनके सभी विकर्ण अंदर बनते हैं। आकृति (ii), (iii), (iv) अवतल बहुभुज (Concave Polygon) हैं, क्योंकि उनके कुछ विकर्ण बाहर बनते हैं।
In simple words: आपको दिए गए चित्रों में विकर्ण बनाने थे। आकृति (i) और (vi) में सभी विकर्ण अंदर रहते हैं, इसलिए वे उत्तल बहुभुज हैं। आकृति (ii), (iii) और (iv) में कुछ विकर्ण बाहर निकल जाते हैं, इसलिए वे अवतल बहुभुज हैं।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि उत्तल बहुभुज में सभी विकर्ण अंदर होते हैं, जबकि अवतल बहुभुज में कम से कम एक विकर्ण बहुभुज के बाहर होता है।

Question 2. दिए गए बहुभुज ABCDE में
(i) आन्तरिक कोणों के नाम लिखिए।
(ii) बाह्य कोणों के नाम लिखिए।
Answer:
(i) आन्तरिक कोण हैं: \( a, b, c, d, e \)
(ii) बाह्य कोण हैं: \( p, q, r, s, t \)
In simple words: किसी भी बंद आकृति के अंदर के कोणों को 'आन्तरिक कोण' कहते हैं, और जो कोण आकृति के बाहर बनते हैं उन्हें 'बाह्य कोण' कहते हैं।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप आन्तरिक कोणों और बाह्य कोणों को सही ढंग से पहचानते हैं। एक ही शीर्ष पर बनने वाला आन्तरिक और बाह्य कोण हमेशा 180° का योग बनाते हैं।

Question 3. सम बहुभुज किसे कहते हैं? उन समबहुभुजों के नाम बताइए जिनमें
(i) 5 भुजाएँ
(ii) 6 भुजाएँ
(iii) 8 भुजाएँ हों।
Answer:
वह बहुभुज जिसकी सभी भुजाएँ और सभी कोण आपस में बराबर होते हैं, समबहुभुज कहलाता है।
(i) जिस समबहुभुज में 5 भुजाएँ होती हैं, उसे समपंचभुज कहते हैं।
(ii) जिस समबहुभुज में 6 भुजाएँ होती हैं, उसे समषट्भुज कहते हैं।
(iii) जिस समबहुभुज में 8 भुजाएँ होती हैं, उसे समअष्टभुज कहते हैं।
In simple words: समबहुभुज वो आकृति होती है जिसकी सारी भुजाएँ और सारे कोण एक बराबर हों। 5 भुजाओं वाले को पंचभुज, 6 भुजाओं वाले को षट्भुज और 8 भुजाओं वाले को अष्टभुज कहते हैं।

🎯 Exam Tip: समबहुभुजों के नाम याद रखने के लिए भुजाओं की संख्या के आधार पर उनके संस्कृत नामों को समझना आसान होता है, जैसे 'पंच' का अर्थ पाँच, 'षट्' का अर्थ छह।

Question 4. निम्न आकृतियों में अज्ञात कोणों (w, r, y, z) के मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
(i) चूँकि एक चतुर्भुज के सभी अंत:कोणों का योग \( 360^{\circ} \) होता है, इसलिए
\( x + 120^{\circ} + 130^{\circ} + 50^{\circ} = 360^{\circ} \)
\( \implies x + 300^{\circ} = 360^{\circ} \)
\( \implies x = 360^{\circ} - 300^{\circ} = 60^{\circ} \)
(ii) चूँकि एक चतुर्भुज के सभी अंत:कोणों का योग \( 360^{\circ} \) होता है, इसलिए
\( x + 90^{\circ} + 60^{\circ} + 70^{\circ} = 360^{\circ} \)
\( \implies x + 220^{\circ} = 360^{\circ} \)
\( \implies x = 360^{\circ} - 220^{\circ} = 140^{\circ} \)
(iii) चूँकि एक पंचभुज के सभी अंत:कोणों का योग \( (5 - 2) \times 180^{\circ} \) अर्थात् \( 540^{\circ} \) होता है। इसलिए
\( 30^{\circ} + x + (180^{\circ} - 70^{\circ}) + (180^{\circ} - 60^{\circ}) + x = 540^{\circ} \)
\( \implies 30^{\circ} + x + 110^{\circ} + 120^{\circ} + x = 540^{\circ} \)
\( \implies 2x + 260^{\circ} = 540^{\circ} \)
\( \implies 2x = 540^{\circ} - 260^{\circ} \)
\( \implies 2x = 280^{\circ} \)
\( \implies x = \frac{280^{\circ}}{2} \)
\( \implies x = 140^{\circ} \)
(iv) चूँकि एक त्रिभुज के सभी अंत:कोणों का योग \( 180^{\circ} \) होता है, इसलिए
\( 90^{\circ} + 30^{\circ} + (180^{\circ} - y) = 180^{\circ} \)
\( \implies 120^{\circ} + 180^{\circ} - y = 180^{\circ} \)
\( \implies 300^{\circ} - y = 180^{\circ} \)
\( \implies y = 300^{\circ} - 180^{\circ} \)
\( \implies y = 120^{\circ} \)
(v) आकृति के अज्ञात कोणों के मान इस प्रकार हैं:
\( x = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \) (रैखिक युग्म कोण)
\( y + 80^{\circ} = 180^{\circ} \implies y = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \) (रैखिक युग्म कोण)
\( z + 60^{\circ} = 180^{\circ} \implies z = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \) (रैखिक युग्म कोण)
चूँकि एक चतुर्भुज के सभी अंत:कोणों का योग \( 360^{\circ} \) होता है, इसलिए
\( (180^{\circ} - w) + 120^{\circ} + 80^{\circ} + 60^{\circ} = 360^{\circ} \)
\( \implies 180^{\circ} - w + 260^{\circ} = 360^{\circ} \)
\( \implies 440^{\circ} - w = 360^{\circ} \)
\( \implies w = 440^{\circ} - 360^{\circ} = 80^{\circ} \)
In simple words: किसी भी बहुभुज के अंदर के कोणों को जोड़ने पर एक खास संख्या मिलती है। चतुर्भुज में कुल योग 360 डिग्री होता है और पंचभुज में 540 डिग्री। इन नियमों का इस्तेमाल करके हम missing कोणों का मान निकाल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: बहुभुजों के अंत:कोणों के योग का सूत्र \( (n-2) \times 180^{\circ} \) हमेशा याद रखें, जहाँ \( n \) भुजाओं की संख्या है। यह हर बहुभुज के लिए काम करता है।

Question 5. एक समबहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए जिसके प्रत्येक बाह्य कोण का माप \( 45^{\circ} \) है।
Answer:
माना भुजाओं की संख्या \( n \) है।
बहुभुज के सभी बहिष्कोणों का योग \( = 360^{\circ} \)
प्रत्येक बहिष्कोण का मान \( = \frac{360^{\circ}}{n} \)
प्रश्नानुसार,
\( \frac{360^{\circ}}{n} = 45^{\circ} \)
\( \implies n = \frac{360^{\circ}}{45^{\circ}} \)
\( \implies n = 8 \)
अतः भुजाओं की संख्या 8 है। यह एक समअष्टभुज है।
In simple words: किसी भी बहुभुज के बाहर के सभी कोणों का जोड़ 360 डिग्री होता है। अगर हमें एक बाहर का कोण पता है, तो हम 360 को उस कोण से भाग देकर भुजाओं की संख्या जान सकते हैं।

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण सूत्र है: समबहुभुज की भुजाओं की संख्या \( = \frac{360^{\circ}}{\text{प्रत्येक बाह्य कोण}} \)। इसे अच्छे से याद कर लें।

Question 6. एक समबहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए यदि इसका प्रत्येक अंत:कोण \( 165^{\circ} \) हो।
Answer:
प्रत्येक अंत:कोण \( = 165^{\circ} \)
हम जानते हैं कि अंत:कोण और बहिष्कोण का योग \( 180^{\circ} \) होता है।
इसलिए, प्रत्येक बहिष्कोण \( = 180^{\circ} - 165^{\circ} = 15^{\circ} \)
माना भुजाओं की संख्या \( n \) है।
बहुभुज के सभी बहिष्कोणों का योग \( = 360^{\circ} \)
प्रत्येक बहिष्कोण का मान \( = \frac{360^{\circ}}{n} \)
प्रश्नानुसार,
\( \frac{360^{\circ}}{n} = 15^{\circ} \)
\( \implies n = \frac{360^{\circ}}{15^{\circ}} \)
\( \implies n = 24 \)
अतः भुजाओं की संख्या 24 है।
In simple words: अगर अंदर का कोण 165 डिग्री है, तो बाहर का कोण 180 में से 165 घटाकर मिलेगा, जो कि 15 डिग्री है। फिर, 360 को 15 से भाग देने पर हमें पता चलेगा कि इस बहुभुज की 24 भुजाएँ हैं।

🎯 Exam Tip: जब अंत:कोण दिया हो, तो सबसे पहले बहिष्कोण निकालें। यह अक्सर गणना को सरल बनाता है क्योंकि बहिष्कोणों का योग हमेशा 360° होता है।

Question 7. उस समबहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए जिसका प्रत्येक बाह्य कोण \( 24^{\circ} \) है।
Answer:
माना भुजाओं की संख्या \( n \) है।
बहुभुज के सभी बहिष्कोणों का योग \( = 360^{\circ} \)
प्रत्येक बहिष्कोण का मान \( = \frac{360^{\circ}}{n} \)
प्रश्नानुसार,
\( \frac{360^{\circ}}{n} = 24^{\circ} \)
\( \implies n = \frac{360^{\circ}}{24^{\circ}} \)
\( \implies n = 15 \)
अतः भुजाओं की संख्या 15 है।
In simple words: क्योंकि सभी बाहरी कोणों का कुल जोड़ 360 डिग्री होता है और हमें एक बाहरी कोण का माप 24 डिग्री दिया गया है, तो भुजाओं की संख्या जानने के लिए 360 को 24 से भाग कर दें।

🎯 Exam Tip: यह सीधा प्रश्न है। जब प्रत्येक बाह्य कोण दिया हो, तो भुजाओं की संख्या निकालने का सबसे तेज़ तरीका 360° को उस कोण से विभाजित करना है।

Question 8. उस समबहुभुज के प्रत्येक अंतःकोण का मान ज्ञात कीजिए जिसकी 10 भुजाएँ हों।
Answer:
यहाँ \( n = 10 \)
प्रत्येक अंत:कोण का मान \( = \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n} \)
\( = \frac{(10-2) \times 180^{\circ}}{10} \)
\( = \frac{8 \times 180^{\circ}}{10} \)
\( = 8 \times 18^{\circ} \)
\( = 144^{\circ} \)
अतः समबहुभुज का प्रत्येक अन्त:कोण का मान \( = 144^{\circ} \) होगा।
In simple words: एक 10 भुजाओं वाले बहुभुज के अंदर के हर कोण को पता करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: पहले 10 में से 2 घटाकर 180 से गुणा करें, फिर इसे 10 से भाग दें।

🎯 Exam Tip: जब भुजाओं की संख्या दी हो और प्रत्येक अंत:कोण पूछा जाए, तो आप पहले कुल अंत:कोणों का योग निकाल सकते हैं, फिर उसे भुजाओं की संख्या से भाग दें।

Question 9. एक समबहुभुज के प्रत्येक अंत:कोण का माप \( 115^{\circ} \) है। ज्ञात कीजिए कि क्या यह एक प्राकृतिक संख्या वाली भुजाओं का बहुभुज है?
Answer:
माना भुजाओं की संख्या \( n \) है।
प्रत्येक अंत:कोण \( = \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n} \)
प्रश्नानुसार,
\( \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n} = 115^{\circ} \)
\( \implies (n-2) \times 180 = 115n \)
\( \implies 180n - 360 = 115n \)
\( \implies 180n - 115n = 360 \)
\( \implies 65n = 360 \)
\( \implies n = \frac{360}{65} \)
\( \implies n = \frac{72}{13} \approx 5.53 \)
चूंकि \( n \) एक प्राकृतिक संख्या नहीं है (यह भिन्न में है), इसलिए ऐसा कोई समबहुभुज नहीं हो सकता जिसका प्रत्येक अंत:कोण \( 115^{\circ} \) हो।
अतः दिया गया बहुभुज एक समबहुभुज नहीं होगा।
In simple words: यदि किसी आकृति के अंदर का हर कोण 115 डिग्री हो, तो उसकी भुजाओं की संख्या पूरी-पूरी नहीं आती। इसका मतलब है कि ऐसी कोई सही आकृति नहीं बन सकती।

🎯 Exam Tip: भुजाओं की संख्या हमेशा एक प्राकृतिक संख्या (1, 2, 3...) होनी चाहिए। यदि आपकी गणना में \( n \) एक पूर्णांक नहीं आता, तो ऐसा बहुभुज संभव नहीं है।

Question 10. एक षट्भुज का एक अंतः कोण \( 165^{\circ} \) है और शेष प्रत्येक अंतः कोण का माप \( x^{\circ} \) है तो शेष सभी कोणों की माप बताइए।
Answer:
षट्भुज में 6 भुजाएँ होती हैं, इसलिए \( n=6 \)।
षट्भुज के अंत:कोणों का कुल योग \( = (6 - 2) \times 180^{\circ} = 4 \times 180^{\circ} = 720^{\circ} \)
प्रश्नानुसार, एक कोण \( 165^{\circ} \) है और शेष 5 कोणों में से प्रत्येक \( x^{\circ} \) है।
इसलिए,
\( 165^{\circ} + x^{\circ} + x^{\circ} + x^{\circ} + x^{\circ} + x^{\circ} = 720^{\circ} \)
\( \implies 165^{\circ} + 5x^{\circ} = 720^{\circ} \)
\( \implies 5x^{\circ} = 720^{\circ} - 165^{\circ} \)
\( \implies 5x^{\circ} = 555^{\circ} \)
\( \implies x = \frac{555}{5} \)
\( \implies x = 111 \)
अतः शेष सभी कोणों की माप \( 111^{\circ} \) है।
In simple words: एक 6 भुजाओं वाली आकृति के अंदर के सभी कोणों का जोड़ 720 डिग्री होता है। अगर एक कोण 165 डिग्री है, तो बचे हुए 5 कोणों को जोड़कर जो मिलेगा वो 720 में से 165 घटाकर मिलेगा। फिर उस संख्या को 5 से भाग देने पर हर बचे हुए कोण का माप पता चल जाएगा।

🎯 Exam Tip: जब बहुभुज में कुछ कोण दिए हों और शेष अज्ञात हों, तो पहले बहुभुज के सभी अंत:कोणों का कुल योग ज्ञात करें। फिर दिए गए कोणों को घटाकर अज्ञात कोणों के योग को प्राप्त करें।

Question 11. एक त्रिभुज की भुजाओं को एक ही क्रम में बढ़ाने से प्राप्त बहिष्कोण क्रमशः \( 110^{\circ}, 115^{\circ} \) व \( x^{\circ} \) का हो तो \( x \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
हम जानते हैं कि किसी भी बहुभुज के सभी बहिष्कोणों का योग \( 360^{\circ} \) होता है।
त्रिभुज में 3 बहिष्कोण होते हैं।
इसलिए,
\( 110^{\circ} + 115^{\circ} + x^{\circ} = 360^{\circ} \)
\( \implies 225^{\circ} + x^{\circ} = 360^{\circ} \)
\( \implies x^{\circ} = 360^{\circ} - 225^{\circ} \)
\( \implies x^{\circ} = 135^{\circ} \)
अतः \( x \) का मान \( 135^{\circ} \) है।
In simple words: एक त्रिभुज के बाहर के तीनों कोणों का जोड़ हमेशा 360 डिग्री होता है। हमें दो कोण दिए गए हैं, इसलिए तीसरे कोण को जानने के लिए हम 360 में से दिए गए दोनों कोणों को जोड़कर घटा देंगे।

🎯 Exam Tip: यह एक सार्वभौमिक नियम है कि किसी भी उत्तल बहुभुज के सभी बहिष्कोणों का योग हमेशा 360° होता है, चाहे उसमें कितनी भी भुजाएँ हों।

Question 12. एक समसप्तभुज के सभी अंत:कोणों का योगफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
समसप्तभुज में 7 भुजाएँ होती हैं, इसलिए \( n = 7 \)
सभी अंत:कोणों का योगफल \( = (n - 2) \times 180^{\circ} \)
\( = (7 - 2) \times 180^{\circ} \)
\( = 5 \times 180^{\circ} \)
\( = 900^{\circ} \)
अतः एक समसप्तभुज के सभी अंत:कोणों का योगफल \( 900^{\circ} \) है।
In simple words: एक सप्तभुज में 7 भुजाएँ होती हैं। इसके सभी अंदरूनी कोणों का जोड़ निकालने के लिए, हम 7 में से 2 घटाकर 180 से गुणा करते हैं।

🎯 Exam Tip: 'समसप्तभुज' का अर्थ है एक नियमित 7-भुजाओं वाला बहुभुज। 'नियमित' शब्द यह दर्शाता है कि सभी भुजाएँ और कोण समान हैं।