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Detailed Chapter 6 बहुभुज RBSE Solutions for Class 8 Mathematics
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Class 8 Mathematics Chapter 6 बहुभुज RBSE Solutions PDF
Additional Questions
I. बहुविकल्पात्मक प्रश्न
Question 1. चार भुजाओं से घिरी समतलीय आकृति को कहते हैं –
(a) विकर्ण
(b) चतुर्भुज
(c) त्रिभुज
(d) वृत्त
Answer: (b) चतुर्भुज
In simple words: जब चार सीधी रेखाएँ मिलकर एक सपाट आकृति बनाती हैं, तो उसे चतुर्भुज कहते हैं। यह चार किनारों और चार कोनों वाली एक बंद आकृति होती है।
🎯 Exam Tip: ज्यामिति में, एक चतुर्भुज एक समतलीय आकृति होती है जिसमें चार भुजाएँ और चार शीर्ष होते हैं।
Question 2. चतुर्भुज के आमने-सामने के बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा को कहते हैं
(a) विकर्ण
(b) आधार
(c) लम्ब
(d) शंकु
Answer: (a) विकर्ण
In simple words: चतुर्भुज में, जब हम दो ऐसे कोणों को जोड़ते हैं जो एक-दूसरे के ठीक सामने होते हैं, तो उस रेखा को विकर्ण कहते हैं। यह चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बांटता है।
🎯 Exam Tip: विकर्ण हमेशा शीर्षों को जोड़ता है जो एक ही भुजा पर नहीं होते हैं।
Question 3. समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख भुजायें होती हैं –
(a) 2 : 3 के अनुपात में
(b) 3: 6 के अनुपात में
(c) 5:4 के अनुपात में
(d) बराबर
Answer: (d) बराबर
In simple words: एक समान्तर चतुर्भुज में, जो भुजाएँ एक-दूसरे के सामने होती हैं, वे हमेशा बराबर लंबाई की होती हैं। यह इस आकृति की एक खास पहचान है।
🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होने के साथ-साथ समानांतर भी होती हैं।
Question 4. वर्ग में चारों कोणों की माप क्रमशः होती है –
(a) \( 90^\circ \), \( 120^\circ \), \( 120^\circ \), \( 30^\circ \)
(b) \( 90^\circ \), \( 90^\circ \), \( 90^\circ \), \( 90^\circ \)
(c) \( 90^\circ \), \( 50^\circ \), \( 100^\circ \), \( 120^\circ \)
(d) \( 90^\circ \), \( 80^\circ \), \( 70^\circ \), \( 60^\circ \)
Answer: (b) \( 90^\circ \), \( 90^\circ \), \( 90^\circ \), \( 90^\circ \)
In simple words: एक वर्ग एक खास प्रकार का चतुर्भुज होता है जहाँ सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और सभी चार कोने ठीक \( 90^\circ \) के होते हैं। इसलिए, इसके सभी कोण समकोण होते हैं।
🎯 Exam Tip: एक वर्ग में, सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और सभी कोण समकोण होते हैं।
Question 5. किसी उत्तल बहुभुज की भुजाओं को एक ही क्रम में बढ़ाने पर बनने वाले सभी बहिष्कोणों का योग होता है –
(a) \( 360^\circ \)
(b) \( 270^\circ \)
(c) \( 180^\circ \)
(d) \( 90^\circ \)
Answer: (c) \( 180^\circ \)
In simple words: उत्तल बहुभुज में, जब आप सभी भुजाओं को एक ही दिशा में आगे बढ़ाते हैं, तो बाहर की तरफ बनने वाले सभी कोणों का कुल जोड़ \( 180^\circ \) होता है, जैसा कि यहाँ दिए गए उत्तर में दर्शाया गया है।
🎯 Exam Tip: उत्तल बहुभुज में सभी आंतरिक कोण \( 180^\circ \) से कम होते हैं, और बाहरी कोणों का योग एक निश्चित मान होता है।
Question 6. किसी बहुभुज के बाह्य कोणों की मापों का योग होता है –
(a) \( 90^\circ \)
(b) \( 180^\circ \)
(c) \( 240^\circ \)
(d) \( 360^\circ \)
Answer: (d) \( 360^\circ \)
In simple words: चाहे कोई भी बहुभुज हो, उसके सभी बाहरी कोणों को जोड़ने पर हमेशा \( 360^\circ \) ही आता है। यह एक सामान्य गणितीय नियम है।
🎯 Exam Tip: यह नियम सभी उत्तल बहुभुजों के लिए सत्य है, चाहे उसमें कितनी भी भुजाएँ हों।
Question 7. 4 भुजाओं वाले समबहुभुज का नाम है।
(a) आयत
(b) वर्ग
(c) समान्तर चतुर्भुज
(d) समलम्ब चतुर्भुज
Answer: (b) वर्ग
In simple words: एक ऐसा बहुभुज जिसकी चार भुजाएँ बराबर हों और सभी कोण भी बराबर हों, उसे वर्ग कहते हैं।
🎯 Exam Tip: एक समबहुभुज में सभी भुजाएँ और सभी आंतरिक कोण बराबर होते हैं।
Question 8. चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ बराबर हों, लेकिन सभी कोण बराबर नहीं हों, वह चतुर्भुज है –
(a) वर्ग
(b) समचतुर्भुज
(c) आयत
(d) समान्तर चतुर्भुज
Answer: (b) समचतुर्भुज
In simple words: एक आकृति जिसकी सभी चार भुजाएँ समान लंबाई की हों, लेकिन कोण अलग-अलग माप के हों, उसे समचतुर्भुज कहते हैं। इसकी सामने वाली भुजाएँ समानांतर होती हैं।
🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज को अक्सर "हीरे" के आकार में देखा जाता है और इसके विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं।
II. उपयुक्त विकल्प चुनकर रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए
Question 1. ऐसा चतुर्भुज जिसमें आसन्न भुजाओं के दो जोडे समान माप के हों, उसे पतंग कहते हैं।
Answer: पतंग
In simple words: एक विशेष प्रकार का चतुर्भुज जिसमें साथ वाली दो भुजाओं के जोड़े समान लंबाई के होते हैं, पतंग कहलाता है। इसकी आकृति अक्सर वैसी ही होती है जैसे हम पतंग उड़ाते हैं।
🎯 Exam Tip: पतंग में एक विकर्ण दूसरे विकर्ण को समकोण पर समद्विभाजित करता है।
Question 2. वे बहुभुज जिनके सभी विकर्ण अभ्यंतर में होते हैं, उत्तल बहुभुज कहलाते हैं।
Answer: उत्तल
In simple words: अगर किसी बहुभुज के सभी विकर्ण (यानी, दो कोणों को जोड़ने वाली रेखाएँ) उसके अंदर ही रहें, तो उसे उत्तल बहुभुज कहते हैं। यह बाहर की ओर उभरा हुआ होता है।
🎯 Exam Tip: उत्तल बहुभुज में कोई भी आंतरिक कोण \( 180^\circ \) से अधिक नहीं होता है।
Question 3. बहुभुज के सभी बहिष्कोणों का योग \( 360^\circ \) होता है।
Answer: \( 360^\circ \)
In simple words: किसी भी बहुभुज के सभी बाहरी कोणों को जोड़ने पर कुल योग हमेशा \( 360^\circ \) आता है। यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुण है।
🎯 Exam Tip: चाहे बहुभुज की भुजाएँ कितनी भी हों, उसके सभी बाहरी कोणों का योग हमेशा \( 360^\circ \) ही रहता है।
Question 4. समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्बवत् होते हैं।
Answer: समचतुर्भुज
In simple words: एक समचतुर्भुज में, दोनों विकर्ण एक-दूसरे को \( 90^\circ \) के कोण पर काटते हैं। यह समचतुर्भुज की एक खास विशेषता है।
🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
III. सत्य/असत्य
Question 1. सभी आयत वर्ग होते हैं।
Answer: असत्य
In simple words: यह गलत है। एक आयत में सभी कोण \( 90^\circ \) के होते हैं, लेकिन सभी भुजाएँ बराबर नहीं होती हैं। वर्ग में सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर होते हैं, इसलिए सभी आयत वर्ग नहीं हो सकते।
🎯 Exam Tip: एक वर्ग हमेशा एक आयत होता है, लेकिन एक आयत हमेशा एक वर्ग नहीं होता है।
Question 2. सभी समचतुर्भुज समान्तर चतुर्भुज होते हैं।
Answer: सत्य
In simple words: यह सही है। एक समचतुर्भुज की सामने वाली भुजाएँ हमेशा समानांतर होती हैं, जो समान्तर चतुर्भुज की परिभाषा है।
🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज की परिभाषा में सम्मुख भुजाओं का समानांतर होना और बराबर होना शामिल है, जो समचतुर्भुज में मौजूद होता है।
Question 3. सभी वर्ग समचतुर्भुज और आयत भी होते हैं।
Answer: सत्य
In simple words: यह सही है। एक वर्ग में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं (समचतुर्भुज की तरह) और सभी कोण \( 90^\circ \) के होते हैं (आयत की तरह)। इसलिए, वर्ग दोनों होता है।
🎯 Exam Tip: वर्ग एक विशेष प्रकार का समचतुर्भुज है (क्योंकि सभी भुजाएँ बराबर हैं) और एक विशेष प्रकार का आयत भी है (क्योंकि सभी कोण समकोण हैं)।
Question 4. सभी वर्ग समान्तर चतुर्भुज नहीं होते।
Answer: असत्य
In simple words: यह गलत है। एक वर्ग की सामने वाली भुजाएँ हमेशा समानांतर और बराबर होती हैं, जो समान्तर चतुर्भुर्भुज की मुख्य शर्त है। इसलिए, सभी वर्ग समान्तर चतुर्भुज होते हैं।
🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज एक व्यापक श्रेणी है, और वर्ग, आयत, समचतुर्भुज सभी इसके अंतर्गत आते हैं।
V. अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न
Question 1. समान्तर चतुर्भुज में कौनसी भुजायें बराबर होती है?
Answer: समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख (सामने वाली) भुजाएँ बराबर होती हैं। एक समान्तर चतुर्भुज की दो सम्मुख भुजाएँ हमेशा समान लंबाई और समानांतर होती हैं।
In simple words: समान्तर चतुर्भुज में जो भुजाएँ एक-दूसरे के सामने होती हैं, वे हमेशा बराबर होती हैं।
🎯 Exam Tip: सम्मुख भुजाओं के अलावा, समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं।
Question 2. आयत की परिभाषा लिखिए।
Answer: आयत एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज होता है जिसमें प्रत्येक कोण \( 90^\circ \) का (समकोण) होता है। इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर और समानांतर होती हैं, और सभी चार आंतरिक कोण समकोण होते हैं।
In simple words: आयत एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके सभी कोण \( 90^\circ \) के होते हैं।
🎯 Exam Tip: आयत के विकर्णों की लंबाई भी बराबर होती है और वे एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
Question 3. क्या समचतुर्भुज में विकर्ण कोणों के अर्धक होते हैं?
Answer: हाँ, समचतुर्भुज में विकर्ण कोणों के अर्धक होते हैं। इसका मतलब है कि प्रत्येक विकर्ण उस शीर्ष पर बने कोण को दो बराबर भागों में बांटता है जिससे वह गुजरता है।
In simple words: हाँ, समचतुर्भुज के विकर्ण कोणों को दो बराबर हिस्सों में बांटते हैं।
🎯 Exam Tip: यह गुण समचतुर्भुज को अन्य चतुर्भुजों से अलग बनाता है, जैसे आयत, जहाँ विकर्ण कोणों को समद्विभाजित नहीं करते हैं जब तक कि वह एक वर्ग न हो।
Question 4. आयत में प्रत्येक कोण का मान लिखिए।
Answer: आयत में प्रत्येक कोण का मान \( 90^\circ \) होता है। सभी चार कोण समकोण होते हैं, जिससे यह एक आयताकार आकृति बनाता है।
In simple words: आयत में हर कोण \( 90^\circ \) का होता है।
🎯 Exam Tip: आयत में सभी कोणों का योग \( 4 \times 90^\circ = 360^\circ \) होता है, जो किसी भी चतुर्भुज के कोणों का योग है।
VI. लघूत्तरात्मक प्रश्न
Question 1. स्पष्ट कीजिए कि निम्न आकृति एक समलम्ब चतुर्भुज क्यों है?
Answer: आकृति KLMN में,
\( \angle KLM + \angle NML = 80^\circ + 100^\circ = 180^\circ \).
चूँकि अंतःकोणों का योग \( 180^\circ \) है, इसका अर्थ है कि भुजाएँ KL और NM समानांतर हैं।
\( \implies \) KL || NM
जिस चतुर्भुज में भुजाओं का एक युग्म (जोड़ा) समानांतर होता है, उसे समलम्ब चतुर्भुज कहते हैं।
अतः, आकृति KLMN एक समलम्ब चतुर्भुज है। एक समलम्ब चतुर्भुज में हमेशा कम से कम एक जोड़ी समानांतर भुजाएँ होती हैं।
In simple words: आकृति में, दो कोणों को जोड़ने पर \( 180^\circ \) आता है। इसका मतलब है कि उनकी सामने वाली भुजाएँ समानांतर हैं। जिस आकृति में कम से कम एक जोड़ी समानांतर भुजाएँ होती हैं, उसे समलम्ब चतुर्भुज कहते हैं।
🎯 Exam Tip: समलम्ब चतुर्भुज की पहचान उसके समानांतर भुजाओं के एक युग्म से होती है, जिन्हें आधार कहा जाता है।
Question 2. चतुर्भुज ABCD के कोणों A, B, C और D के माप 2 : 4 : 5 : 7 के अनुपात में हैं। इन कोणों के माप ज्ञात कीजिए। यह कैसा चतुर्भुज है?
Answer: चतुर्भुज ABCD के कोणों का अनुपात \( \angle A : \angle B : \angle C : \angle D = 2 : 4 : 5 : 7 \) है।
अनुपातिक योग \( = 2+4+5+7 = 18 \).
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के चारों अंतःकोणों का योग \( 360^\circ \) होता है।
तो, कोणों के माप इस प्रकार होंगे:
\( \angle A = \frac{2}{18} \times 360^\circ = 2 \times 20^\circ = 40^\circ \)
\( \angle B = \frac{4}{18} \times 360^\circ = 4 \times 20^\circ = 80^\circ \)
\( \angle C = \frac{5}{18} \times 360^\circ = 5 \times 20^\circ = 100^\circ \)
\( \angle D = \frac{7}{18} \times 360^\circ = 7 \times 20^\circ = 140^\circ \)
अब, हम समानांतर भुजाओं की जाँच करते हैं:
\( \angle A + \angle D = 40^\circ + 140^\circ = 180^\circ \).
चूँकि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग \( 180^\circ \) है, इसका मतलब है कि भुजा AB, भुजा DC के समानांतर है।
\( \implies \) AB || DC
एक चतुर्भुज जिसमें भुजाओं का एक युग्म (जोड़ा) समानांतर होता है, उसे समलम्ब चतुर्भुज कहते हैं। यह चतुर्भुज एक समलम्ब चतुर्भुज है।
In simple words: हमने कोणों के अनुपात का उपयोग करके उनके मान निकाले। फिर हमने देखा कि \( \angle A \) और \( \angle D \) को जोड़ने पर \( 180^\circ \) आता है, जिसका मतलब है कि भुजा AB और DC समानांतर हैं। जिस आकृति में सिर्फ एक जोड़ी समानांतर भुजाएँ हों, वह समलम्ब चतुर्भुज कहलाती है।
🎯 Exam Tip: चतुर्भुज के कोणों के योग गुण का उपयोग करके कोणों का मान ज्ञात करना और फिर समानांतर भुजाओं के गुणों से चतुर्भुज का प्रकार निर्धारित करना महत्वपूर्ण है।
Question 3. निम्न आकृति में RISK तथा CLUE दोनों समान्तर चतुर्भुज हैं। x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर चतुर्भुज RISK में,
\( \angle RIS = \angle RKS = 120^\circ \) (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।)
\( \implies \angle OIC = 180^\circ - \angle RIS \) (रैखिक युग्म)
\( = 180^\circ - 120^\circ \)
\( = 60^\circ \)
समान्तर चतुर्भुज CLUE में,
\( \angle ICO = \angle CLU = 70^\circ \) (संगत कोण, क्योंकि CL || UE)
अब \( \triangle OIC \) में, त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
\( \angle IOC + \angle OIC + \angle ICO = 180^\circ \)
\( \implies \angle IOC + 60^\circ + 70^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle IOC + 130^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle IOC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \)
अतः, \( x = 50^\circ \). यह समस्या समांतर चतुर्भुजों के कोण गुणों और त्रिभुजों के कोणों के योग के नियम को जोड़ती है।
In simple words: पहले, हमने समान्तर चतुर्भुज RISK के कोणों का उपयोग करके \( \angle OIC \) को \( 60^\circ \) पाया। फिर, समान्तर चतुर्भुज CLUE से \( \angle ICO \) को \( 70^\circ \) पाया (क्योंकि वे संगत कोण हैं)। आखिर में, त्रिभुज IOC में तीनों कोणों को जोड़कर \( 180^\circ \) करके, हमने x का मान \( 50^\circ \) निकाला।
🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज के गुणों (सम्मुख कोण बराबर, संगत कोण) और त्रिभुज के कोण योग गुण (सभी कोणों का योग \( 180^\circ \)) का सही ढंग से प्रयोग करें।
Question 4. △ABC एक समकोण त्रिभूज है और 'O' सम्मुख भुजा का मध्य-बिन्दु है। बताइए कैसे 'O' बिन्दुओं A, B तथा C से समान दूरी पर स्थित है?
Answer: मान लीजिए △ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका \( \angle ABC = 90^\circ \) है, और O, AC का मध्य-बिंदु है।
हम BO को D तक इस प्रकार बढ़ाते हैं कि BO = OD हो।
फिर, AD और AC को मिलाइए।
चूँकि चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को O पर समद्विभाजित करते हैं (क्योंकि O, AC का मध्य-बिंदु है और BO = OD), इसलिए ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
हम जानते हैं कि यदि किसी समान्तर चतुर्भुज का एक कोण \( 90^\circ \) हो, तो वह एक आयत होता है।
यहाँ, \( \angle ABC = 90^\circ \).
\( \implies \) समान्तर चतुर्भुज ABCD एक आयत है।
आयत के विकर्ण बराबर होते हैं और वे एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
\( \implies \) BD = AC
अब, चूँकि O, AC और BD दोनों का मध्य-बिंदु है,
\( OA = OC = \frac{1}{2} AC \)
और \( OB = OD = \frac{1}{2} BD \)
क्योंकि \( AC = BD \), तो \( \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD \).
\( \implies OA = OB = OC \).
अतः, O बिन्दुओं A, B और C से समान दूरी पर स्थित है। यह समकोण त्रिभुज के परिकेंद्र का एक महत्वपूर्ण गुण है।
In simple words: O बिंदु समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा (कर्ण) का बीच का बिंदु होता है। हम एक आयत बनाकर यह दिखा सकते हैं कि यह O बिंदु त्रिभुज के तीनों कोनों से बराबर दूरी पर होता है। यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय नियम है।
🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज में, कर्ण का मध्य-बिंदु (परिकेंद्र) त्रिभुज के तीनों शीर्षों से समान दूरी पर होता है।
Question 5. दिये गये समान्तर चतुर्भुज ABCD में x तथा y का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर चतुर्भुज ABCD में, सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
अतः, \( BC = AD \)
\( 3x + 1 = 16 \)
\( \implies 3x = 16 - 1 \)
\( \implies 3x = 15 \)
\( \implies x = \frac{15}{3} \)
\( \implies x = 5 \) सेमी.
और \( CD = AB \)
\( 5y - 6 = 24 \)
\( \implies 5y = 24 + 6 \)
\( \implies 5y = 30 \)
\( \implies y = \frac{30}{5} \)
\( \implies y = 6 \) सेमी.
इसलिए, x का मान 5 सेमी और y का मान 6 सेमी है। यह समानांतर चतुर्भुज की आधारभूत भुजा-लंबाई गुणों का एक सीधा अनुप्रयोग है।
In simple words: समान्तर चतुर्भुज में, सामने वाली भुजाएँ बराबर होती हैं। इसी नियम का उपयोग करके, हमने x और y के मान निकाले। x का मान 5 सेमी और y का मान 6 सेमी है।
🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ और सम्मुख कोण बराबर होते हैं, जबकि आसन्न कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
Question 6. दिए गए समान्तर चतुर्भुज PQRS में कोण x एवं y के मान ज्ञात कीजिए। कोणों का मान ज्ञात करने में प्रयोग किए गए कोई दो गुणधर्म (Properties) भी लिखिए।
Answer: दिए गए चित्र के अनुसार, हम निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं:
\( 40^\circ + x^\circ = 70^\circ \)
\( \implies x^\circ = 70^\circ - 40^\circ \)
\( \implies x^\circ = 30^\circ \)
प्रयुक्त दो गुणधर्म:
(i) एकान्तर कोण समान होते हैं। (यदि कोई अंतः कोण \( 40^\circ \) है और एकान्तर कोण \( 40^\circ \) है।)
(ii) संगत कोण समान होते हैं। (यदि कोई कोण \( 70^\circ \) है और संगत कोण \( 70^\circ \) है।)
चूंकि y का मान समाधान में नहीं दिया गया है, इसलिए इसे यहाँ निर्धारित नहीं किया जा सकता है। यह दर्शाता है कि ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय विभिन्न कोण संबंधों का उपयोग कैसे किया जाता है।
In simple words: दिए गए कोणों के संबंध से, हमने x का मान \( 30^\circ \) निकाला। इसे हल करने के लिए हमने एकान्तर कोण और संगत कोण के नियमों का इस्तेमाल किया। y का मान दी गई जानकारी से नहीं निकाला जा सकता।
🎯 Exam Tip: ज्यामितीय समस्याओं में, आकृतियों के गुणों (जैसे समान्तर चतुर्भुज के कोण संबंध) और रेखाओं के गुणों (जैसे एकान्तर और संगत कोण) को पहचानना महत्वपूर्ण है।
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