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Detailed Chapter 5 वैदिक गणित RBSE Solutions for Class 8 Mathematics
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Class 8 Mathematics Chapter 5 वैदिक गणित RBSE Solutions PDF
Rajasthan Board RBSE Class 8 Maths Chapter 5 वैदिक गणित Additional Questions
।. बहुविकल्पात्मक प्रश्न
प्रश्न 1. दो अंकीय संख्या के दो अंकीय संख्या से गुणा में समूह बनेंगे
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
Answer: (c) 3
In simple words: जब हम दो अंकों की संख्या को दो अंकों की संख्या से गुणा करते हैं, तो वैदिक गणित की ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् विधि में मुख्य रूप से तीन चरण या समूह बनते हैं। यह हमें गुणा करने में मदद करता है।
🎯 Exam Tip: ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् विधि में गुणा करते समय, समूहों की संख्या को याद रखना चाहिए। दो अंकों के गुणनफल के लिए हमेशा तीन समूह होते हैं.
प्रश्न 2. तीन अंकीय संख्या के तीन अंकीय संख्या से गुणा में समूह बनेंगे
(a) 3
(b) 5
(c) 6
(d) 9
Answer: (b) 5
In simple words: अगर हम तीन अंकों की संख्या को तीन अंकों की संख्या से गुणा करें, तो वैदिक गणित के नियम से पांच मुख्य समूह बनते हैं। यह तरीका हमें जटिल गुणा को आसान चरणों में बाँटने में मदद करता है।
🎯 Exam Tip: जैसे अंकों की संख्या बढ़ती है, ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् विधि में समूहों की संख्या भी बढ़ती जाती है, जिससे गुणनफल को निकालने के लिए अधिक क्रॉस-गुणा की आवश्यकता होती है.
प्रश्न 3. यदि आधार 10 हो तथा उपाधार 30 हो तो उपाधार अंक होगा
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 4
Answer: (a) 3
In simple words: उपाधार अंक निकालने के लिए, हमें उपाधार को आधार से भाग करना होता है। इस मामले में, 30 को 10 से भाग देने पर हमें 3 मिलता है, जो उपाधार अंक है।
🎯 Exam Tip: उपाधार अंक हमेशा उपाधार (सब-बेस) को आधार (बेस) से भाग करके निकाला जाता है। यह गुणा के निखिलम् सूत्र में बाईं ओर के हिस्से को गुणा करने के लिए प्रयोग होता है.
प्रश्न 4. 54 का उपाधार 50 से विचलन है
(a) 4
(b) - 4
(c) - 5
(d) 0
Answer: (a) 4
In simple words: विचलन का मतलब होता है कि कोई संख्या अपने आधार या उपाधार से कितनी ज्यादा या कम है। यहाँ, 54 संख्या 50 उपाधार से 4 ज्यादा है, इसलिए विचलन +4 है।
🎯 Exam Tip: विचलन हमेशा संख्या में से आधार या उपाधार को घटाकर निकाला जाता है। यदि विचलन धनात्मक हो, तो यह दर्शाता है कि संख्या आधार से बड़ी है.
II. लघूत्तरात्मक प्रश्न
प्रश्न 1. निम्न का गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) 98 x 98
(ii) 102 x 102
Answer:
(i) 98 x 98 (निखिलम् विधि द्वारा)
आधार \( = 10 \)
उपाधार \( = 9 \times 10 = 90 \)
उपाधार अंक \( = 90 \div 10 = 9 \)
उपाधार से विचलन \( = 98 - 90 = +8 \)
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 98 | +8 |
| 98 | +8 |
अब, गुणनफल के बाएं हिस्से के लिए, हमें 98 में 8 जोड़ना होगा (या दूसरे 98 में भी 8 जोड़ सकते हैं) और इसे उपाधार अंक (9) से गुणा करना होगा।
दाएं हिस्से के लिए, हम विचलनों (8 और 8) को गुणा करेंगे।
गुणनफल \( = \left( 98 + 8 \right) \times 9 / \left( 8 \times 8 \right) \)
\( = \left( 106 \right) \times 9 / 64 \)
\( = 954 / 64 \)
क्योंकि हमारा आधार 10 है, दाएं हिस्से में केवल एक अंक रहना चाहिए। इसलिए, 64 में से 6 को बाएं हिस्से में जोड़ दिया जाएगा।
\( = 954 + 6 / 4 \)
\( = 960 / 4 \)
\( = 9604 \)
अतः, 98 x 98 का गुणनफल 9604 होगा।
(ii) 102 x 102 (निखिलम् विधि द्वारा)
इस स्थिति में, हम आधार के रूप में 100 का उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि संख्याएँ 100 के करीब हैं।
आधार \( = 100 \)
विचलन \( = 102 - 100 = +2 \)
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 102 | +2 |
| 102 | +2 |
निखिलम् सूत्र के अनुसार, गुणनफल के बाएं हिस्से के लिए, हमें 102 में दूसरे नंबर का विचलन (2) जोड़ना होगा। दाएं हिस्से के लिए, हम विचलनों (2 और 2) को गुणा करेंगे।
गुणनफल \( = \left( 102 + 2 \right) / \left( 2 \times 2 \right) \)
\( = 104 / 4 \)
चूंकि आधार 100 है, दाएं हिस्से में दो अंक होने चाहिए, इसलिए 4 को 04 के रूप में लिखेंगे।
\( = 10404 \)
अतः, 102 x 102 का गुणनफल 10404 होगा।
In simple words: निखिलम् विधि में, हम संख्याओं को आधार के करीब लाते हैं और फिर विचलन का उपयोग करके गुणनफल निकालते हैं। पहले सवाल में 90 उपाधार और दूसरे में 100 आधार का उपयोग किया गया है।
🎯 Exam Tip: निखिलम् विधि का उपयोग करते समय, संख्याओं के करीब के आधार या उपाधार को ध्यान से चुनें। यदि आधार 10 है, तो दाएं हिस्से में एक अंक रखें; यदि आधार 100 है, तो दो अंक रखें.
प्रश्न 2. सूत्र निखिलम् द्वारा 101 x 102 x 103 का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
निखिलम् सूत्र द्वारा गुणा, समान आधार \( = 100 \)
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 101 | + 01 |
| 102 | + 02 |
| 103 | + 03 |
तीन संख्याओं के गुणनफल के लिए, हम इसे तीन भागों में विभाजित करते हैं:
पहला भाग (बायां) \( = \left( \text{पहली संख्या} + \text{दूसरी और तीसरी संख्या का विचलन} \right) \)
\( = \left( 101 + 02 + 03 \right) = 106 \)
दूसरा भाग (मध्य) \( = \left( \text{पहले दो विचलनों का गुणनफल} \right) + \left( \text{दूसरे और तीसरे विचलनों का गुणनफल} \right) + \left( \text{तीसरे और पहले विचलनों का गुणनफल} \right) \)
\( = \left( 01 \times 02 \right) + \left( 02 \times 03 \right) + \left( 03 \times 01 \right) \)
\( = 2 + 6 + 3 = 11 \)
तीसरा भाग (दायां) \( = \left( \text{तीनों विचलनों का गुणनफल} \right) \)
\( = \left( 01 \times 02 \times 03 \right) = 6 \)
चूंकि आधार 100 है, दाएं हिस्से में दो अंक होने चाहिए, इसलिए 6 को 06 लिखेंगे।
अतः, गुणनफल \( = 106 / 11 / 06 \)
\( = 1061106 \)
In simple words: तीन संख्याओं को निखिलम् विधि से गुणा करने के लिए, हम उन्हें तीन हिस्सों में बाँटते हैं: एक संख्या और बाकी विचलनों का योग, विचलनों के जोड़ों का गुणा और फिर सभी विचलनों का गुणा। आधार 100 होने के कारण, हर हिस्से में दो अंक होते हैं।
🎯 Exam Tip: तीन संख्याओं के गुणनफल में, यह सुनिश्चित करें कि आप सभी विचलनों के जोड़ों के गुणनफल को मध्य भाग में सही ढंग से जोड़ते हैं और अंतिम भाग में तीन विचलनों का गुणनफल लिखते हैं.
प्रश्न 4. निखिलम सूत्र का उपयोग कर गुणा कीजिए – 22 x 23
Answer:
आधार \( = 10 \)
उपाधार \( = 2 \times 10 = 20 \)
उपाधार अंक \( = 20 \div 10 = 2 \)
उपाधार से विचलन:
22 का विचलन \( = 22 - 20 = +2 \)
23 का विचलन \( = 23 - 20 = +3 \)
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 22 | +2 |
| 23 | +3 |
गुणनफल के बाएं हिस्से के लिए, हमें 22 में 3 जोड़ना होगा (या 23 में 2 जोड़ना होगा) और इसे उपाधार अंक (2) से गुणा करना होगा।
दाएं हिस्से के लिए, हम विचलनों (2 और 3) को गुणा करेंगे।
गुणनफल \( = \left( 22 + 3 \right) \times 2 / \left( 2 \times 3 \right) \)
\( = \left( 25 \right) \times 2 / 6 \)
\( = 50 / 6 \)
चूंकि आधार 10 है, दाएं हिस्से में केवल एक अंक होना चाहिए। इस स्थिति में, 6 एक ही अंक है, इसलिए कोई बदलाव नहीं होगा।
\( = 506 \)
अतः, 22 x 23 का गुणनफल 506 होगा।
In simple words: निखिलम् सूत्र में उपाधार विधि का उपयोग करके, हम विचलन और उपाधार अंक की मदद से गुणनफल आसानी से प्राप्त कर सकते हैं। पहले संख्या में विचलन जोड़ते हैं और उपाधार अंक से गुणा करते हैं, फिर विचलनों को गुणा करते हैं।
🎯 Exam Tip: उपाधार विधि का उपयोग करते समय, सही उपाधार और उपाधार अंक चुनना महत्वपूर्ण है। आधार के अनुसार दाएं हिस्से में अंकों की संख्या का ध्यान रखें, जैसे आधार 10 के लिए एक अंक.
प्रश्न 6. ध्वजांक विधि का उपयोग कर भाग कीजिए 18542 ÷ 52
Answer:
ध्वजांक विधि द्वारा भाग:
भाजक \( = 52 \)
ध्वजांक \( = 2 \) (इकाई का अंक)
मुख्यांक \( = 5 \) (दहाई का अंक)
| 2 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 5 | 4 | 2 | ||
| मुख्यांक | 5 | 3 | 4 | |||
| भागफल | 356 | |||||
| शेषफल | 30 | |||||
भाग की प्रक्रिया इस प्रकार है:
(i) हम 18 को 5 से भाग नहीं दे सकते, इसलिए 185 को 5 से भाग देंगे। \( 18 \div 5 = 3 \) (भागफल का पहला अंक), शेषफल \( = 3 \)।
नया भाज्य \( = 35 \)।
(ii) संशोधित भाज्य \( = \text{नया भाज्य} - (\text{पहला भागफल अंक} \times \text{ध्वजांक}) \)
\( = 35 - (3 \times 2) = 35 - 6 = 29 \)।
अब, 29 को मुख्यांक 5 से भाग देंगे। \( 29 \div 5 = 5 \) (भागफल का दूसरा अंक), शेषफल \( = 4 \)।
नया भाज्य \( = 44 \)।
(iii) संशोधित भाज्य \( = \text{नया भाज्य} - (\text{दूसरा भागफल अंक} \times \text{ध्वजांक}) \)
\( = 44 - (5 \times 2) = 44 - 10 = 34 \)।
अब, 34 को मुख्यांक 5 से भाग देंगे। \( 34 \div 5 = 6 \) (भागफल का तीसरा अंक), शेषफल \( = 4 \)।
नया भाज्य \( = 42 \)।
(iv) संशोधित भाज्य (अंतिम शेषफल) \( = \text{नया भाज्य} - (\text{तीसरा भागफल अंक} \times \text{ध्वजांक}) \)
\( = 42 - (6 \times 2) = 42 - 12 = 30 \)।
अतः, भागफल \( = 356 \) तथा शेषफल \( = 30 \) होगा।
In simple words: ध्वजांक विधि में, हम भाजक को एक मुख्य अंक और एक ध्वजांक में बाँटते हैं। फिर, हम मुख्य अंक से भाग करते हैं और ध्वजांक का उपयोग करके भाज्य को संशोधित करते जाते हैं। इससे भाग करना आसान हो जाता है।
🎯 Exam Tip: ध्वजांक विधि में संशोधित भाज्य की गणना करते समय बहुत सावधान रहें। प्रत्येक चरण में पिछले भागफल अंक को ध्वजांक से गुणा करके घटाना न भूलें.
प्रश्न 7. ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र का उपयोग करते हुए 415 x 132 का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
हम ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र का उपयोग करके 415 को 132 से गुणा करेंगे। इस विधि में, हम संख्याओं को स्तंभों में लिखते हैं और लंबवत और तिरछे गुणा करते हैं।
गुण्य \( = 415 \)
गुणक \( = 132 \)
तीन अंकों की संख्या के लिए 5 समूह बनेंगे:
| V | IV | III | II | I |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 41 | 415 | 15 | 5 |
| 1 | 13 | 132 | 32 | 2 |
अब हम प्रत्येक समूह के अनुसार गुणनफल निकालेंगे:
I. (दायां एक अंक) \( = 5 \times 2 = 10 \)
II. (दाएं दो अंक, तिरछा गुणा) \( = \left( 1 \times 2 \right) + \left( 5 \times 3 \right) = 2 + 15 = 17 \)
III. (तीनों अंक, तिरछा और लंबवत गुणा) \( = \left( 4 \times 2 \right) + \left( 1 \times 3 \right) + \left( 5 \times 1 \right) = 8 + 3 + 5 = 16 \)
IV. (बाएं दो अंक, तिरछा गुणा) \( = \left( 4 \times 3 \right) + \left( 1 \times 1 \right) = 12 + 1 = 13 \)
V. (बायां एक अंक) \( = 4 \times 1 = 4 \)
तो हमें प्राप्त होता है: \( 4 / 13 / 16 / 17 / 10 \)
अब, हम दाएं से बाएं ओर के अंकों को समायोजित करेंगे (हर भाग में केवल एक अंक रखेंगे और बाकी को आगे बढ़ाएंगे, क्योंकि आधार 10 होता है):
\( 4 / 13 / 16 / 17 / 10 \)
दाएं से शुरू करें:
10 में से 0 रहेगा, 1 आगे जाएगा: \( 4 / 13 / 16 / (17+1) / 0 = 4 / 13 / 16 / 18 / 0 \)
18 में से 8 रहेगा, 1 आगे जाएगा: \( 4 / 13 / (16+1) / 8 / 0 = 4 / 13 / 17 / 8 / 0 \)
17 में से 7 रहेगा, 1 आगे जाएगा: \( 4 / (13+1) / 7 / 8 / 0 = 4 / 14 / 7 / 8 / 0 \)
14 में से 4 रहेगा, 1 आगे जाएगा: \( (4+1) / 4 / 7 / 8 / 0 = 5 / 4 / 7 / 8 / 0 \)
अतः, गुणनफल \( = 54780 \)
In simple words: ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् विधि संख्याओं को गुणा करने का एक तरीका है जहाँ हम अंकों को लंबवत और तिरछे गुणा करते हैं। हम इसे छोटे-छोटे हिस्सों में बाँटते हैं और फिर उन्हें जोड़ते हैं, जिससे बड़े गुणनफल भी आसानी से मिल जाते हैं।
🎯 Exam Tip: ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र में तिरछी गुणा करते समय सभी संभावित संयोजनों को शामिल करना महत्वपूर्ण है। प्रत्येक भाग से कैरी ओवर को अगले भाग में सही ढंग से जोड़ना सुनिश्चित करें.
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