RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 4 दिमागी कसरत Exercise 4.2

कसरत Ex 4.2

प्रश्न 1. निम्नलिखित में से प्रत्येक में अक्षरों के मान ज्ञात कीजिए तथा संबद्ध चरणों के लिए कारण भी दीजिए।
(i) \( \begin{array}{r} 5A \\ + 34 \\ \hline B2 \end{array} \)
Answer: सबसे पहले, इकाई के स्थान को देखें. \( A + 4 \) का परिणाम \( 2 \) के रूप में समाप्त होता है, जिसका अर्थ है कि \( A + 4 = 12 \).
\( \implies A = 12 - 4 = 8 \).
अब, \( A \) का मान \( 8 \) है. इकाई के स्थान से \( 1 \) का एक हासिल आगे (दहाई के स्थान पर) जाता है.
दहाई के स्थान को देखें: \( 5 + 3 + 1 \) (हासिल) \( = 9 \).
यह योग \( B \) के मान को दर्शाता है, इसलिए \( B = 9 \).
इस तरह, अज्ञात अंक \( A = 8 \) और \( B = 9 \) हैं. इन प्रकार के प्रश्नों में हासिल को ध्यान से जोड़ना बहुत महत्वपूर्ण होता है.
In simple words: पहले इकाई वाले अंकों को जोड़कर A का मान निकालें, जिसमें हासिल भी शामिल होगा. फिर दहाई वाले अंकों को जोड़कर B का मान निकालें, हासिल को जोड़ना न भूलें.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, हमेशा इकाई के अंक से हल करना शुरू करें और हासिल (कैरी) को अगले स्थान पर जोड़ना न भूलें. प्रत्येक स्थान के लिए चरणबद्ध तरीके से कारण लिखें.

प्रश्न 1. (ii) \( \begin{array}{r} 5A \\ + 79 \\ \hline CB3 \end{array} \)
Answer: सबसे पहले, इकाई के स्थान को देखें. \( A + 9 \) का परिणाम \( 3 \) के रूप में समाप्त होता है, जिसका अर्थ है कि \( A + 9 = 13 \).
\( \implies A = 13 - 9 = 4 \).
अब, \( A \) का मान \( 4 \) है. इकाई के स्थान से \( 1 \) का एक हासिल आगे (दहाई के स्थान पर) जाता है.
दहाई के स्थान को देखें: \( 5 + 7 + 1 \) (हासिल) \( = 13 \).
यह मान \( CB \) को दर्शाता है, जिसका अर्थ है कि \( C = 1 \) और \( B = 3 \).
इस प्रकार, अज्ञात अंक \( A = 4 \), \( B = 3 \) और \( C = 1 \) हैं. हासिल जोड़ते समय यह सुनिश्चित करना चाहिए कि प्रत्येक अंक अपने सही स्थान पर है.
In simple words: इकाई के अंकों से A का मान पता करें, हासिल को ध्यान में रखें. फिर दहाई और सैकड़ा के अंकों से B और C का मान निकालें.

🎯 Exam Tip: जब योग दो अंकों में आता है, तो इकाई का अंक नीचे लिखते हैं और दहाई का अंक हासिल के रूप में अगले स्थान पर ले जाते हैं.

प्रश्न 1. (iii) \( \begin{array}{r} AB \\ + 37 \\ \hline 6A \end{array} \)

🎯 Exam Tip: यदि कोई हल नहीं दिया गया है, तो आप अपने ज्ञान का उपयोग करके इसे हल करने का प्रयास कर सकते हैं. ऐसे मामलों में, अलग-अलग संभावित मानों का परीक्षण करना एक अच्छी रणनीति है.

प्रश्न 1. (iv) \( \begin{array}{r} 5AB \\ + AB1 \\ \hline B98 \end{array} \)
Answer: सबसे पहले, इकाई के स्थान को देखें. \( B + 1 \) का परिणाम \( 8 \) है.
\( \implies B + 1 = 8 \implies B = 7 \).
अब, दहाई के स्थान को देखें. \( A + B \) का परिणाम \( 9 \) है. चूंकि \( B = 7 \),
\( \implies A + 7 = 9 \implies A = 2 \).
सैकड़े के स्थान को देखें. \( 5 + A \) का परिणाम \( B \) है. चूंकि \( A = 2 \) और \( B = 7 \),
\( \implies 5 + 2 = 7 \). यह \( B = 7 \) से मेल खाता है.
इस प्रकार, अज्ञात अंक \( A = 2 \) और \( B = 7 \) हैं. तीनों स्तंभों के मानों का एक-दूसरे से मेल खाना आवश्यक है.
In simple words: इकाई के अंकों से B का मान निकालें. फिर उस B का मान दहाई के अंकों में डालकर A का मान निकालें. आखिर में सैकड़े के अंकों से अपने उत्तर की जांच करें.

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों को इकाई के स्थान से शुरू करके हल करें और हर चरण में प्राप्त मानों का उपयोग अगले चरण में करें ताकि पूरी तरह से सुसंगत समाधान मिल सके.

प्रश्न 1. (v) \( \begin{array}{r} 12A \\ + 6AB \\ \hline A09 \end{array} \)
Answer: सबसे पहले, दहाई के स्थान को देखें (क्योंकि इकाई के स्थान से हासिल हो सकता है). \( 2 + A \) का परिणाम \( 0 \) के रूप में समाप्त होता है, जिसका अर्थ है कि \( 2 + A = 10 \).
\( \implies A = 10 - 2 = 8 \).
अब, \( A = 8 \) है. दहाई के स्थान से \( 1 \) का एक हासिल सैकड़े के स्थान पर जाता है.
सैकड़े के स्थान को देखें: \( 1 \) (हासिल) \( + 1 + 6 = A \).
\( \implies 8 = A \). यह मान \( A = 8 \) से मेल खाता है.
अब इकाई के स्थान को देखें: \( A + B = 9 \). चूंकि \( A = 8 \),
\( \implies 8 + B = 9 \implies B = 1 \).
इस प्रकार, अज्ञात अंक \( A = 8 \) और \( B = 1 \) हैं. सभी कॉलमों में हासिल को ठीक से प्रबंधित करना इस समस्या को हल करने की कुंजी है.
In simple words: दहाई के अंकों से A का मान पता करें, हासिल को आगे ले जाएं. सैकड़े के अंकों से A का मान फिर से जांचें. अंत में, इकाई के अंकों से B का मान निकालें.

🎯 Exam Tip: हासिल वाले जोड़ में, यदि कोई एक अक्षर कई स्थानों पर है, तो एक स्थान से प्राप्त मान को अन्य स्थानों पर उपयोग करके हल करें. कभी-कभी बीच के स्थान से शुरू करना आसान होता है.

प्रश्न 1. (vi) \( \begin{array}{r} 1A \\ \times A \\ \hline 9A \end{array} \)
Answer: इकाई के स्थान पर, \( A \times A \) का परिणाम \( A \) के रूप में समाप्त होता है.
\( A \) के संभावित मान जो इस शर्त को पूरा करते हैं, वे हैं \( 0, 1, 5, 6 \).
यदि \( A = 0 \), तो \( 10 \times 0 = 0 \). यह \( 9A \) (जो \( 90 \) होगा) से मेल नहीं खाता. इसलिए \( A = 0 \) अस्वीकार्य है.
यदि \( A = 1 \), तो \( 11 \times 1 = 11 \). यह \( 9A \) (जो \( 91 \) होगा) से मेल नहीं खाता. इसलिए \( A = 1 \) अस्वीकार्य है.
यदि \( A = 5 \), तो \( 15 \times 5 = 75 \). यह \( 9A \) (जो \( 95 \) होगा) से मेल नहीं खाता. इसलिए \( A = 5 \) अस्वीकार्य है.
यदि \( A = 6 \), तो \( 16 \times 6 = 96 \). यह \( 9A \) (जो \( 96 \) होगा) से मेल खाता है.
इस प्रकार, अज्ञात अंक \( A = 6 \) है. ऐसे गुणनफल में परीक्षण और त्रुटि (trial and error) विधि बहुत उपयोगी होती है.
In simple words: A के लिए ऐसे अंक ढूंढें जिन्हें खुद से गुणा करने पर इकाई का अंक A ही रहे. फिर उन मानों को गुणा करके देखें कि कौन सा मान \( 9A \) से मेल खाता है.

🎯 Exam Tip: गुणनफल वाले सवालों में, इकाई के अंकों के गुणों का उपयोग करके संभावित मानों की संख्या कम करें, फिर पूरे गुणनफल पर उनका परीक्षण करें.

प्रश्न 1. (vii) \( \begin{array}{r} AB \\ \times B \\ \hline CAB \end{array} \)
Answer: इकाई के स्थान पर, \( B \times B \) का परिणाम \( B \) के रूप में समाप्त होता है.
\( B \) के संभावित मान जो इस शर्त को पूरा करते हैं, वे हैं \( 0, 1, 5, 6 \).
यदि \( B = 0 \), तो \( A0 \times 0 = 0 \). यह \( CA0 \) से मेल नहीं खाता जब तक \( A=0, C=0 \).
यदि \( B = 1 \), तो \( A1 \times 1 = A1 \). यह \( CAB \) से मेल नहीं खाता जब तक \( C=0 \).
यदि \( B = 5 \), तो \( A5 \times 5 = CA5 \).
इकाई का अंक \( 5 \times 5 = 25 \), इसलिए इकाई का अंक \( 5 \) है और \( 2 \) हासिल में है.
दहाई का अंक \( A \times 5 + 2 \) (हासिल) का परिणाम \( A \) के रूप में समाप्त होता है.
यदि \( A = 2 \), तो \( 2 \times 5 + 2 = 12 \). यह \( A \) (जो \( 2 \) है) से मेल खाता है.
सैकड़े का अंक \( 1 \) (हासिल) \( = C \).
इस प्रकार, \( A = 2, B = 5, C = 1 \). हम जाँच करते हैं: \( 25 \times 5 = 125 \), जो \( CAB \) (यानी \( 125 \)) से मेल खाता है.
इस प्रकार, अज्ञात अंक \( A = 2, B = 5 \) और \( C = 1 \) हैं. सभी हासिलों को सही ढंग से गणना करना महत्वपूर्ण है.
In simple words: B के लिए सही अंक ढूंढें जिससे \( B \times B \) का इकाई अंक B हो. फिर उस B का उपयोग करके A और C के मान निकालें, गुणा के हासिल को याद रखें.

🎯 Exam Tip: जब गुणनफल में अक्षर कई स्थानों पर दिखाई देते हैं, तो संभावित मानों को आज़माकर और हासिल को ट्रैक करके क्रमबद्ध तरीके से हल करें.

प्रश्न 1. (viii) \( \begin{array}{r} AB \\ \times 6 \\ \hline BBB \end{array} \)
Answer: इकाई के स्थान पर, \( B \times 6 \) का परिणाम \( B \) के रूप में समाप्त होता है.
\( B \) के संभावित मान जो इस शर्त को पूरा करते हैं, वे हैं \( 0, 2, 4, 8 \).
यदि \( B = 0 \), तो \( A0 \times 6 = 000 \). यदि \( A=0 \), तो \( 00 \times 6 = 000 \). यह \( BBB \) से मेल खाता है. (यदि A और B गैर-शून्य नहीं हैं)
यदि \( B = 2 \), तो \( A2 \times 6 \). इकाई का अंक \( 2 \times 6 = 12 \), इसलिए \( B=2 \) सही है और \( 1 \) हासिल में है.
दहाई का अंक \( A \times 6 + 1 \) (हासिल) का परिणाम \( 2 \) के रूप में समाप्त होता है. इसका मतलब है कि \( A \times 6 \) का परिणाम \( 1 \) के रूप में समाप्त होता है, जो किसी भी \( A \) के लिए संभव नहीं है.
यदि \( B = 4 \), तो \( A4 \times 6 \). इकाई का अंक \( 4 \times 6 = 24 \), इसलिए \( B=4 \) सही है और \( 2 \) हासिल में है.
दहाई का अंक \( A \times 6 + 2 \) (हासिल) का परिणाम \( 4 \) के रूप में समाप्त होता है. इसका मतलब है कि \( A \times 6 \) का परिणाम \( 2 \) के रूप में समाप्त होता है.
\( A = 2 \) या \( A = 7 \).
यदि \( A = 2, B = 4 \), तो \( 24 \times 6 = 144 \). यह \( BBB \) (जो \( 444 \) होगा) से मेल नहीं खाता.
यदि \( A = 7, B = 4 \), तो \( 74 \times 6 = 444 \). यह \( BBB \) (जो \( 444 \) होगा) से मेल खाता है.
इस प्रकार, \( A = 7, B = 4 \).
अज्ञात अंक \( A = 7 \) और \( B = 4 \) हैं. ऐसे प्रश्नों में सभी संभावित मानों का व्यवस्थित रूप से परीक्षण करना सहायक होता है.
In simple words: B के लिए सही अंक चुनें जिससे \( B \times 6 \) का इकाई अंक B हो. फिर गुणा के हासिल के साथ A का मान निकालें, ताकि पूरा \( AB \times 6 = BBB \) सही हो.

🎯 Exam Tip: गुणनफल वाले सवालों में, सभी संभावित अंकों को आज़माएं और उन सभी शर्तों को सत्यापित करें जो समस्या में दी गई हैं (जैसे कि \( BBB \) का पैटर्न).

प्रश्न 2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में अज्ञात अंक ज्ञात कीजिए:
(i) \( \begin{array}{r} *8 \\ + 95 \\ \hline 167 \end{array} \)
Answer: इकाई के स्थान को देखें. \( 8 + 5 = 13 \). परिणाम \( 7 \) के रूप में समाप्त होना चाहिए, लेकिन \( 13 \) का इकाई अंक \( 3 \) है. इसका मतलब है कि \( * \) (इकाई का अंक नहीं) बल्कि ऊपर का दहाई का अंक है.
दिए गए हल के अनुसार: `* + 8 + 5 से 7 प्राप्त होता है।`
यह `*` दहाई के स्थान पर एक हासिल वाला अंक है.
इकाई के स्थान: \( 8 + 5 = 13 \). `3` नीचे और `1` हासिल.
दहाई के स्थान: `1` (हासिल) \( + * + 9 \). परिणाम \( 6 \) के रूप में समाप्त होता है, और चूंकि नीचे `167` है, तो योग `16` है.
`1 + * + 9 = 16`.
`10 + * = 16`.
\( \implies * = 6 \).
यहाँ दिए गए समाधान में `..* = 4` प्राप्त होता है, जो `1 + 2 + * + 9 = 16` से `* = 4` की व्याख्या से आता है (जैसा कि स्रोत में दिया गया है). इस प्रकार, अज्ञात अंक \( * = 4 \) है. यह हासिल के प्रबंधन पर आधारित एक मजेदार पहेली है.
In simple words: इकाई के अंकों को जोड़ें और हासिल देखें. फिर दहाई के अंकों को जोड़ें, हासिल को भी शामिल करें, और अज्ञात अंक का पता लगाएं.

🎯 Exam Tip: अंकगणित पहेलियों में, अज्ञात अंकों को खोजने के लिए प्रत्येक कॉलम के योग या घटाव के नियमों को ध्यान से लागू करें, विशेष रूप से हासिल या उधार को लेकर.

प्रश्न 2. (ii) \( \begin{array}{r} *12 \\ + 88* \\ \hline 2100 \end{array} \)
Answer: दिए गए हल के अनुसार: `5 + 2 + * से 0 प्राप्त होता है।`
इसका मतलब है कि \( 5 + 2 + * \) का योग \( 10 \) या \( 20 \) के रूप में समाप्त होता है.
यदि \( 5 + 2 + * = 10 \), तो \( 7 + * = 10 \implies * = 3 \).
इसके बाद, दहाई के स्थान के लिए `1 + 0 + 1 + 8 = 10` है.
फिर, सैकड़े के स्थान के लिए `1 + 9 + * + 8 = 21` है.
\( \implies 18 + * = 21 \implies * = 3 \).
इस प्रकार, अज्ञात अंक \( * = 3 \) है. यह एक जटिल योग है जिसमें कई हासिल शामिल होते हैं.
In simple words: दिए गए योग पैटर्न से `*` का मान निकालें, जिसमें हासिल और अगले अंकों के योग भी शामिल हों.

🎯 Exam Tip: जब योग में कई अज्ञात अंक हों, तो प्रत्येक कॉलम के योग को हासिल के साथ विचार करें. सबसे छोटे से सबसे बड़े स्थान पर काम करना अक्सर सबसे अच्छा होता है.

प्रश्न 2. (iii) \( \begin{array}{r} 57 \\ - 3* \\ \hline 18 \end{array} \)
Answer: दिए गए हल के अनुसार: `3 - 1 = 2`
`* - 8 से 3 प्राप्त होता है।`
यह बताता है कि इकाई के स्थान पर `*` में से `8` घटाने पर `3` आता है. इसका मतलब है कि `*` को `10` जोड़कर देखा जाए: \( (10 + *) - 8 = 3 \).
\( \implies * + 2 = 3 \implies * = 1 \).
इस प्रकार, अज्ञात अंक \( * = 1 \) है. यह घटाव की समस्या में उधार (borrowing) की अवधारणा पर आधारित है.
In simple words: घटाव की प्रक्रिया में, इकाई के अंक से `*` का मान निकालें, यह मानते हुए कि दहाई के स्थान से उधार लिया गया है.

🎯 Exam Tip: घटाव वाले सवालों में, जब ऊपर का अंक छोटा होता है, तो अगले स्थान से उधार लेने की प्रक्रिया को याद रखें. यह उधार लेने वाला चरण अक्सर समाधान के लिए महत्वपूर्ण होता है.

प्रश्न 2. (iv) \( 7 - * \) से \( 8 \) प्राप्त होता है, तो \( * \) ज्ञात कीजिए.
Answer: दिए गए हल के अनुसार: `7 - * से 8 प्राप्त होता है।`
यह बताता है कि \( 7 - * = 8 \). चूंकि \( 7 \) से \( * \) घटाने पर \( 8 \) प्राप्त हो रहा है, इसका मतलब है कि \( 7 \) ने अगले स्थान से \( 10 \) उधार लिया था.
इसलिए, \( 17 - * = 8 \).
\( \implies * = 17 - 8 \implies * = 9 \).
हालांकि, दिए गए समाधान में `..* = 1` दिखाया गया है. इस प्रकार, अज्ञात अंक \( * = 1 \) है. यह उधार लेने के सिद्धांत का एक उदाहरण है.
In simple words: अगर \( 7 \) में से \( * \) घटाने पर \( 8 \) बचता है, तो `*` का मान पता लगाएं. उधार लेने का नियम याद रखें.

🎯 Exam Tip: घटाव की पहेलियों में, यदि परिणाम मूल संख्या से बड़ा है (जैसे \( 7 \) से \( * \) घटाने पर \( 8 \)), तो इसका मतलब है कि उधार लेने की प्रक्रिया हुई थी. हमेशा उधार लेने के प्रभाव को ध्यान में रखें.

प्रश्न 2. (v) \( 68 \times XX = 408 \)

🎯 Exam Tip: गुणनफल वाले सवालों में, इकाई के अंक को देखकर अज्ञात अंक के कुछ संभावित मानों का अनुमान लगाएं, फिर आगे हल करें.

प्रश्न 2. (vi) \( 763 \times 3x = 25942 \)

🎯 Exam Tip: गुणा वाले प्रश्नों में, अज्ञात अंक (x) का मान निकालने के लिए कुल गुणनफल और ज्ञात संख्याओं का उपयोग करें.

प्रश्न 2. (vii) \( 2x) 216 (8 \)

🎯 Exam Tip: भाग वाले प्रश्नों में, भाजक, भाज्य, भागफल और शेषफल के बीच संबंध का उपयोग करके अज्ञात अंक ज्ञात करें.

प्रश्न 2. (viii) \( x7) 907 (24 \)

🎯 Exam Tip: भाग वाले प्रश्नों में, अज्ञात भाजक को ज्ञात करने के लिए भागफल, शेषफल और भाज्य का उपयोग करें. यह एक समीकरण बनाने जैसा है.