Official RBSE Solutions for Class 8 Mathematics: Chapter 04 दिमागी कसरत
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 04 दिमागी कसरत
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Question 1. यदि तीन अंकों की एक संख्या \( 24r \), 9 से विभाजित होती है, तो \( r \) का मान बताइये, जहाँ \( r \) एक अंक है।
Answer: दी गई संख्या \( 24r \) है। इस संख्या के अंकों का योग \( = 2 + 4 + r = 6 + r \) है। चूँकि संख्या 9 से विभाज्य है, इसलिए अंकों का योग \( (6+r) \) भी 9 से विभाज्य होना चाहिए। यदि \( r \) का मान 3 हो, तो \( 6+3 = 9 \) जो कि 9 से विभाज्य है। 9 से विभाज्यता का नियम कहता है कि यदि अंकों का योग 9 से विभाज्य हो, तो संख्या भी 9 से विभाज्य होती है।
In simple words: संख्या \( 24r \) के अंकों को जोड़ने पर \( 6+r \) मिलता है। क्योंकि संख्या 9 से भाग हो जाती है, इसलिए \( 6+r \) को भी 9 से भाग होना चाहिए। ऐसा तभी होगा जब \( r \) का मान 3 हो।
🎯 Exam Tip: 9 से विभाज्यता के प्रश्नों में हमेशा अंकों का योग करके, उसे 9 से विभाजित होने वाली संख्या के बराबर या गुणज के रूप में लिखें।
Question 2. यदि तीन अंकों की संख्या \( 89y \), 9 से विभाजित होती है तो \( y \) के क्या-क्या मान हो सकते हैं, ज्ञात कीजिये।
Answer: दी गई संख्या \( 89y \) है। इस संख्या के अंकों का योग \( = 8 + 9 + y = 17 + y \) है। क्योंकि संख्या 9 से विभाजित होती है, इसलिए अंकों का योग \( (17+y) \) को भी 9 से विभाज्य होना चाहिए। 9 से विभाज्य होने वाली सबसे पास की संख्या 18 है। इसलिए, यदि \( 17+y = 18 \) हो, तो \( y = 18 - 17 = 1 \) होगा। 9 से विभाज्यता के लिए अंकों का योग 9, 18, 27 आदि होना चाहिए। यदि \( 17+y = 9 \), तो \( y = -8 \) जो कि संभव नहीं है क्योंकि \( y \) एक अंक है। यदि \( 17+y = 27 \), तो \( y = 10 \) जो कि संभव नहीं है क्योंकि \( y \) एक अंक होना चाहिए (0-9)।
In simple words: संख्या \( 89y \) के अंकों का जोड़ \( 17+y \) है। क्योंकि संख्या 9 से भाग होती है, तो \( 17+y \) भी 9 से भाग होना चाहिए। इसलिए, \( y \) का मान 1 होगा ताकि कुल जोड़ 18 हो जाए, जो 9 से भाग होता है।
🎯 Exam Tip: किसी अंक का मान निकालते समय, यह ज़रूर जाँचें कि क्या वह मान 0 से 9 के बीच आता है, क्योंकि अंक एक ही संख्या होता है।
Question 3. \( 31M5 \), 9 का एक गुणज है जहाँ \( M \) एक अंक है, तो \( M \) के दो मान आते हैं। ऐसा क्यों?
Answer: दी गई संख्या \( 31M5 \) है। इस संख्या के अंकों का योग \( = 3 + 1 + M + 5 = 9 + M \) है। चूंकि संख्या 9 का गुणज है, इसलिए अंकों का योग \( (9+M) \) को भी 9 से विभाज्य होना चाहिए। यदि \( M = 0 \) रखते हैं, तो \( 9+0 = 9 \) जो 9 से विभाज्य है। यदि \( M = 9 \) रखते हैं, तो \( 9+9 = 18 \) जो भी 9 से विभाज्य है। किसी संख्या के अंकों का योग 9 का गुणज होना चाहिए, जैसे 9, 18, 27 आदि। यहाँ \( M \) एक अंक है, इसलिए यह 0 से 9 के बीच ही हो सकता है। \( 9+M \) के लिए 9 या 18 ही संभव हैं।
In simple words: संख्या \( 31M5 \) के अंकों को जोड़ने पर \( 9+M \) मिलता है। क्योंकि यह संख्या 9 से भाग होती है, तो \( 9+M \) को भी 9 से भाग होना चाहिए। यह तभी होगा जब \( M \) का मान 0 हो (क्योंकि \( 9+0=9 \)) या \( M \) का मान 9 हो (क्योंकि \( 9+9=18 \))। ये दोनों मान 9 से भाग होते हैं, इसलिए \( M \) के दो मान 0 और 9 आते हैं।
🎯 Exam Tip: जब भी 9 से विभाज्यता का प्रश्न हो और कोई अज्ञात अंक हो, तो सभी संभावित मानों को जाँचें जो 0 से 9 के बीच हों और योग को 9 का गुणज बनाते हों।
Question 4. तीन अंकों की संख्या \( 24y \), 3 का एक गुणज है, तो \( y \) के क्या-क्या मान होंगे?
Answer: दी गई संख्या \( 24y \) है। इस संख्या के अंकों का योग \( = 2 + 4 + y = 6 + y \) है। क्योंकि संख्या 3 का गुणज है, इसलिए अंकों का योग \( (6+y) \) को भी 3 से विभाज्य होना चाहिए। 3 से विभाज्यता का नियम यह है कि यदि अंकों का योग 3 से विभाज्य हो, तो संख्या भी 3 से विभाज्य होती है। यदि \( y=0 \), तो \( 6+0=6 \) (जो 3 से विभाज्य है)। यदि \( y=3 \), तो \( 6+3=9 \) (जो 3 से विभाज्य है)। यदि \( y=6 \), तो \( 6+6=12 \) (जो 3 से विभाज्य है)। यदि \( y=9 \), तो \( 6+9=15 \) (जो 3 से विभाज्य है)। \( y \) के अन्य कोई भी एक अंक के मान \( (0-9) \) अंकों के योग को 3 से विभाज्य नहीं बनाएँगे।
In simple words: संख्या \( 24y \) के अंकों का जोड़ \( 6+y \) है। क्योंकि यह संख्या 3 से भाग होती है, तो \( 6+y \) भी 3 से भाग होना चाहिए। ऐसा तब होगा जब \( y \) का मान 0, 3, 6, या 9 हो।
🎯 Exam Tip: 3 से विभाज्यता के लिए, अंकों का योग हमेशा 3 का गुणज होना चाहिए। 0 से 9 तक के सभी अंकों को रखकर जाँच करें।
Question 6. यदि संख्या \( 31R1 \) में \( R = 4 \) हो, तो भाजकता नियम से ज्ञात कीजिये यह 11 से विभाज्य है या नहीं?
Answer: संख्या \( 31R1 \) में \( R \) का मान 4 रखने पर संख्या \( 3141 \) बनती है। अब हम 11 से विभाज्यता के नियम की जाँच करेंगे। 11 से विभाज्यता के लिए, हम संख्या के विषम स्थानों के अंकों के योग (दाएं से) और सम स्थानों के अंकों के योग (दाएं से) का अंतर निकालते हैं। यदि यह अंतर 0 हो या 11 से विभाज्य हो, तो संख्या भी 11 से विभाज्य होती है। संख्या \( 3141 \) के लिए:
विषम स्थानों के अंकों का योग (इकाई और सैकड़ा) \( = 1 + 1 = 2 \)
सम स्थानों के अंकों का योग (दहाई और हज़ार) \( = 4 + 3 = 7 \)
अंतर \( = 2 - 7 = -5 \)
चूंकि \( -5 \) न तो 0 है और न ही 11 से विभाज्य है, इसलिए संख्या \( 3141 \) भी 11 से विभाज्य नहीं है।
In simple words: \( R=4 \) रखने पर संख्या \( 3141 \) बनती है। 11 से भाग होने का नियम कहता है कि दाईं ओर से एक छोड़कर अंकों को जोड़ो, फिर बाकि बचे अंकों को जोड़ो और दोनों जोड़ का अंतर निकालो। अगर अंतर 0 या 11 से भाग हो, तो संख्या भी भाग होगी। \( 3141 \) के लिए अंतर \( -5 \) आता है, जो 11 से भाग नहीं होता। इसलिए \( 3141 \) भी 11 से भाग नहीं होगा।
🎯 Exam Tip: 11 से विभाज्यता नियम में, विषम और सम स्थानों के अंकों का योग हमेशा दाईं ओर से शुरू करके गिनना चाहिए, ताकि सही अंतर प्राप्त हो।
Question 7. यदि \( 31P5 \), 3 का गुणज है, जहाँ \( P \) एक अंक है, तो \( P \) के मान क्या हो सकते हैं?
Answer: दी गई संख्या \( 31P5 \) है। इस संख्या के अंकों का योग \( = 3 + 1 + P + 5 = 9 + P \) है। चूंकि संख्या 3 का गुणज है, इसलिए अंकों का योग \( (9+P) \) को भी 3 से विभाज्य होना चाहिए। 3 से विभाज्यता का नियम है कि यदि अंकों का योग 3 से विभाज्य हो, तो संख्या भी 3 से विभाज्य होती है। यहाँ, \( 9 \) पहले से ही 3 से विभाज्य है। तो, \( P \) को भी 3 से विभाज्य होना चाहिए। \( P \) के संभावित मान जो एक अंक हैं और 3 से विभाज्य हैं, वे हैं 0, 3, 6, और 9। ये सभी मान 0 से 9 के बीच हैं और 3 से पूरी तरह विभाजित होते हैं।
In simple words: संख्या \( 31P5 \) के अंकों को जोड़ने पर \( 9+P \) मिलता है। क्योंकि यह संख्या 3 से भाग होती है, तो \( 9+P \) भी 3 से भाग होना चाहिए। \( P \) के ऐसे मान जो इसे 3 से भाग कर सकें, वे 0, 3, 6 और 9 हैं।
🎯 Exam Tip: 3 से विभाज्यता में, यदि अंकों का योग पहले से ही 3 का गुणज है, तो अज्ञात अंक को भी 3 का गुणज होना चाहिए।
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Mathematics Class 8 Curriculum Solutions: Chapter 04 दिमागी कसरत
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