RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 4 दिमागी कसरत Important Questions

I. बहुविकल्पात्मक प्रश्न

Question 1. \( ab \) का मान है -
(a) \( 10a + b \)
(b) \( a \times b \)
(c) \( b \times 4 \)
(d) \( 2 + 10b \)
Answer: (a) \( 10a + b \)
In simple words: किसी भी दो अंकों की संख्या, जैसे \( ab \), को विस्तारित रूप में \( 10 \times a + b \) लिखा जा सकता है, जहाँ \( a \) दहाई का अंक और \( b \) इकाई का अंक होता है।

🎯 Exam Tip: विस्तारित रूप में संख्याओं को लिखना एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। सुनिश्चित करें कि आपको पता हो कि किसी भी संख्या के अंकों को उनके स्थानीय मान के अनुसार कैसे लिखें।

Question 2. संख्या 90 का व्यापक रूप है -
(a) \( 9 \times 10 + 0 \times 1 \)
(b) \( 9 \times 0 + 0 \times 10 \)
(c) \( 9 \times 10 + 0 \times 10 \)
(d) \( 9 \times 1 + 0 \times 1 \)
Answer: (a) \( 9 \times 10 + 0 \times 1 \)
In simple words: संख्या 90 में 9 दहाई के स्थान पर और 0 इकाई के स्थान पर है। इसलिए, इसे \( 9 \times 10 \) और \( 0 \times 1 \) के योग के रूप में लिखा जाता है।

🎯 Exam Tip: व्यापक रूप का अर्थ है संख्या को उसके अंकों के स्थानीय मान के अनुसार दर्शाना। हर अंक को उसके स्थान मान से गुणा करके जोड़ना होता है।

Question 3. यदि \( ab \) दो अंकों की संख्या है तो \( a \) का मान हो सकता है -
(a) 0 से लेकर 9 तक
(b) 1 से लेकर 9 तक
(c) 0 से लेकर 10 तक
(d) 1 से लेकर 10 तक
Answer: (b) 1 से लेकर 9 तक
In simple words: किसी भी दो अंकों की संख्या में पहला अंक (दहाई का अंक) कभी भी शून्य नहीं हो सकता, नहीं तो वह दो अंकों की संख्या नहीं रहेगी।

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि बहु-अंकीय संख्या के पहले अंक का मान हमेशा 0 से बड़ा होना चाहिए, अन्यथा संख्या का वास्तविक मान बदल जाएगा।

Question 4. यदि \( ab \) दो अंकों की संख्या है तो \( b \) का मान हो सकता है -
(a) 0 से लेकर 9 तक
(b) 1 से लेकर 9 तक
Answer: (a) 0 से लेकर 9 तक
In simple words: एक दो अंकों की संख्या में, दूसरा अंक (इकाई का अंक) शून्य भी हो सकता है। यह अंक 0 से लेकर 9 तक कोई भी पूर्णांक हो सकता है।

🎯 Exam Tip: इकाई का अंक किसी भी संख्या में 0 से 9 तक कोई भी मान ले सकता है, भले ही संख्या कितनी भी बड़ी हो।

Question 5. एक तीन अंकों वाली संख्या \( abc \) का व्यापक रूप है -
(a) \( 10a + 10ab + 10c \)
(b) \( a + 100 + 100c \)
(c) \( 100a + 10b + c \)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (c) \( 100a + 10b + c \)
In simple words: एक तीन अंकों की संख्या \( abc \) में, \( a \) सैकड़े का अंक, \( b \) दहाई का अंक और \( c \) इकाई का अंक होता है। इसलिए, इसका व्यापक रूप \( 100 \times a + 10 \times b + 1 \times c \) है।

🎯 Exam Tip: संख्या के प्रत्येक अंक को उसके स्थानीय मान (इकाई, दहाई, सैकड़ा) से गुणा करके जोड़ना ही उसका व्यापक रूप होता है।

Question 6. \( 6 \times 100 + 0 \times 10 + 0 \times 1 \) बराबर है -
(a) 600
(b) 601
(c) 106
(d) 100
Answer: (a) 600
In simple words: यहाँ 6 को 100 से गुणा किया गया है, और बाकी सभी अंकों को 0 से गुणा किया गया है, जिसका परिणाम 0 ही आता है। इसलिए, कुल योग 600 होता है।

🎯 Exam Tip: किसी भी अंक को शून्य से गुणा करने पर परिणाम हमेशा शून्य ही होता है, जो गणनाओं को आसान बनाता है।

Question 7. यदि \( abc \) तीन अंकों से बनी एक बीजीय संख्या है तो शून्येतर बीजीय अंक है।
(a) \( b \)
(b) \( c \)
(c) \( a \)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (c) \( a \)
In simple words: एक तीन अंकों की संख्या \( abc \) में, \( a \) पहला अंक होता है। यदि \( a \) शून्य हो जाए, तो संख्या केवल दो अंकों की रह जाएगी। इसलिए, \( a \) का मान शून्य नहीं हो सकता।

🎯 Exam Tip: किसी भी बहु-अंकीय संख्या के सबसे पहले अंक को हमेशा शून्येतर (non-zero) होना चाहिए ताकि संख्या अपने अंकों की सही संख्या को बनाए रख सके।

Question 8. यदि कोई संख्या \( N \) है जो विषम है तो \( N \div 2 \) शेषफल देता है -
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (b) 1
In simple words: कोई भी विषम संख्या वह होती है जिसे 2 से भाग देने पर हमेशा 1 शेषफल बचता है। यह विषम संख्याओं की परिभाषा है।

🎯 Exam Tip: सम और विषम संख्याओं की परिभाषाएं स्पष्ट रूप से याद रखें: सम संख्याएँ 2 से पूरी तरह विभाज्य होती हैं, जबकि विषम संख्याएँ 1 शेषफल छोड़ती हैं।

Question 9. कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग विभाज्य है -
(a) 2 से
(b) 11 से
(c) 3 से
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (c) 3 से
In simple words: किसी भी संख्या के 3 से विभाज्य होने का एक आसान नियम यह है कि यदि उसके सभी अंकों को जोड़ने पर जो संख्या मिले, वह भी 3 से पूरी तरह भाग हो जाए।

🎯 Exam Tip: 3 से विभाज्यता का नियम बहुत उपयोगी है। यह नियम 9 से विभाज्यता के नियम से भी संबंधित है, जहाँ अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए।

II. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

Question 1. \( 345 = 3 \times 100 + 4 \times 10 + 5 \times ..... \)
Answer: \( 345 = 3 \times 100 + 4 \times 10 + 5 \times 1 \)
In simple words: संख्या 345 को विस्तारित रूप में लिखने पर, इकाई के अंक 5 को 1 से गुणा करते हैं।

🎯 Exam Tip: विस्तारित रूप लिखते समय, इकाई के अंक को हमेशा 1 से गुणा किया जाता है, दहाई के अंक को 10 से, और सैकड़े के अंक को 100 से।

Question 2. \( 4 \times 100 + 6 \times 10 + 7 \times 1 = ... \)
Answer: \( 4 \times 100 + 6 \times 10 + 7 \times 1 = 467 \)
In simple words: 4 को 100 से गुणा करने पर 400 मिलता है, 6 को 10 से 60 मिलता है, और 7 को 1 से 7 मिलता है। इन सभी को जोड़ने पर 467 आता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, प्रत्येक पद को अलग-अलग हल करें और फिर उन्हें एक साथ जोड़कर अंतिम संख्या प्राप्त करें।

Question 3. \( abc = a \times ..... + b \times 10 + C \times 1 \)
Answer: \( abc = a \times 100 + b \times 10 + C \times 1 \)
In simple words: तीन अंकों की संख्या \( abc \) में, \( a \) सैकड़े के स्थान पर है, इसलिए इसे 100 से गुणा किया जाता है।

🎯 Exam Tip: किसी संख्या के व्यापक रूप में, प्रत्येक अंक को उसके स्थानीय मान (1, 10, 100, आदि) से गुणा किया जाता है।

Question 4. एक सम संख्या .............से विभाज्य होती है।
Answer: एक सम संख्या 2 से विभाज्य होती है।
In simple words: सम संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें 2 से पूरी तरह भाग किया जा सकता है, बिना कोई शेषफल छोड़े।

🎯 Exam Tip: सम संख्या की पहचान उसका इकाई का अंक होता है, जो 0, 2, 4, 6 या 8 होता है।

Question 5. विषम संख्या कभी भी ...... से विभाज्य नहीं होती है।
Answer: विषम संख्या कभी भी 2 से विभाज्य नहीं होती है।
In simple words: विषम संख्या वह होती है जिसे 2 से भाग देने पर हमेशा 1 शेषफल बचता है, यानी वह 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती।

🎯 Exam Tip: विषम संख्या की पहचान उसका इकाई का अंक होता है, जो 1, 3, 5, 7 या 9 होता है।

III. सत्य/असत्य

Question 1. संख्या 123 में सैकड़ा का अंक 1 है।
Answer: सत्य
In simple words: संख्या 123 में, सबसे बाएँ वाला अंक 1 सैकड़े के स्थान पर है।

🎯 Exam Tip: किसी संख्या में अंकों के स्थानीय मान को समझने के लिए, हमेशा दाएँ से बाएँ (इकाई, दहाई, सैकड़ा, आदि) पढ़ना शुरू करें।

Question 2. अंकों की संख्या 9 होती है।
Answer: असत्य
In simple words: अंकों की संख्या 0 से 9 तक कुल 10 होती है।

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्या प्रणाली में 10 मूल अंक होते हैं (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), न कि केवल 9।

Question 3. यदि किसी संख्या में 2 से भाग देने पर शेषफल 0 प्राप्त हो तो वह संख्या सम संख्या कहलाती है।
Answer: सत्य
In simple words: यह सम संख्या की सही परिभाषा है: कोई भी संख्या जो 2 से पूरी तरह विभाज्य हो, वह सम संख्या होती है।

🎯 Exam Tip: सम संख्याएँ हमेशा 2 का एक गुणज होती हैं और उनका इकाई का अंक हमेशा सम होता है।

Question 4. संख्या 253 में अंक 5 का स्थानीय मान 50 है।
Answer: सत्य
In simple words: संख्या 253 में अंक 5 दहाई के स्थान पर है, इसलिए इसका स्थानीय मान \( 5 \times 10 = 50 \) है।

🎯 Exam Tip: स्थानीय मान ज्ञात करने के लिए, अंक को उसके स्थान के मान (इकाई, दहाई, सैकड़ा, आदि) से गुणा करें।

Question 5. 37 एक विषम संख्या है।
Answer: सत्य
In simple words: संख्या 37 को 2 से भाग देने पर 1 शेषफल बचता है, इसलिए यह एक विषम संख्या है।

🎯 Exam Tip: विषम संख्याओं का इकाई अंक हमेशा 1, 3, 5, 7, या 9 होता है।

V. अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. संख्या 128 की 3 से विभाज्यता की जाँच कीजिए।
Answer:
हल:
अंकों का योग \( = 1 + 2 + 8 = 11 \)
जो 3 से विभाज्य नहीं है।
अतः संख्या 128, 3 से विभाज्य नहीं है।
In simple words: संख्या के सभी अंकों को जोड़ें। यदि यह योग 3 से भाग नहीं होता, तो संख्या भी 3 से विभाज्य नहीं होगी।

🎯 Exam Tip: 3 से विभाज्यता के नियम को लागू करते समय, अंकों के योग को ध्यान से जोड़ें और फिर देखें कि क्या यह योग 3 का गुणज है।

Question 2. संख्या 990 की 3 से विभाज्यता की जाँच कीजिए।
Answer:
हल:
अंकों का योग \( = 9 + 9 + 0 = 18 \)
जो 3 से विभाज्य है।
अतः संख्या 990, 3 से विभाज्य है।
In simple words: संख्या 990 के अंकों (9, 9, 0) को जोड़ने पर 18 मिलता है। क्योंकि 18, 3 से पूरी तरह भाग हो जाता है, इसलिए 990 भी 3 से विभाज्य है।

🎯 Exam Tip: अंकों का योग जितना बड़ा हो, फिर भी अगर वह 3 से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी विभाज्य होगी।

Question 3. \( 3A + 25 = B2 \) में \( A \) और \( B \) के मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
हल:
जोड़ में, इकाई के अंकों का योग है: \( A + 5 \)।
इकाई के अंक 2 को प्राप्त करने के लिए, \( A + 5 \) का मान 12 होना चाहिए। (क्योंकि \( A \) एक अंक है, \( A+5 \) अधिकतम \( 9+5=14 \) हो सकता है)
\( A + 5 = 12 \)
\( A = 12 - 5 \)
\( A = 7 \)
दहाई के अंकों का योग है: \( 3 + 2 + \) (हासिल 1)।
\( 3 + 2 + 1 = 6 \)
इसलिए, \( B = 6 \)।
अतः \( A = 7 \) और \( B = 6 \)।
In simple words: इस जोड़ पहेली में, पहले इकाई के अंकों को जोड़कर \( A \) का मान निकालते हैं। फिर, हासिल को दहाई के अंकों के साथ जोड़कर \( B \) का मान पता करते हैं।

🎯 Exam Tip: इस तरह की समस्याओं में, हमेशा इकाई के अंकों से शुरू करें और हासिल को अगले स्थान पर ले जाना याद रखें। यह चरण-दर-चरण दृष्टिकोण सही उत्तर सुनिश्चित करता है।

Question 4. \( A, B, C \) के मान ज्ञात कीजिए
\( \quad 4 A \)
\( + 9 8 \)
\( \overline{C B 3} \)
Answer:
हल:
इकाई के अंकों का योग: \( A + 8 \)। योग में इकाई का अंक 3 है।
इसलिए, \( A + 8 = 13 \) (चूँकि \( A \) एक अंक है, \( A + 8 \) का मान 13 या 3 हो सकता है, लेकिन 3 से 8 घटाने पर ऋणात्मक मान आता है, इसलिए 13 लेना होगा)।
\( A = 13 - 8 \)
\( A = 5 \)
हासिल 1 है।
दहाई के अंकों का योग: \( 1 \) (हासिल) \( + 4 + 9 \)
\( 1 + 4 + 9 = 14 \)
योग में दहाई का अंक 4 है, और हासिल 1 सैकड़े के स्थान पर जाएगा।
इसलिए, \( B = 4 \)
और \( C = 1 \) (हासिल से)।
अतः \( A = 5, B = 4, C = 1 \)।
In simple words: इस जोड़ पहेली को हल करने के लिए, हम इकाई के अंकों से शुरू करते हैं, \( A \) का मान ढूंढते हैं और हासिल आगे बढ़ाते हैं। फिर, दहाई के अंकों को जोड़कर \( B \) का मान और हासिल से \( C \) का मान प्राप्त करते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार की पहेलियों को हल करते समय, अंकों के मान (0-9) को ध्यान में रखें और हासिल को ठीक से जोड़ना सुनिश्चित करें।

Question 5. \( A, B, C \) के मान ज्ञात कीजिए
\( \quad A B \)
\( \times \quad 3 \)
\( \overline{C A B} \)
Answer:
हल:
इकाई के स्थान पर: \( 3 \times B \) का इकाई अंक \( B \) होना चाहिए।
यह तभी संभव है जब \( B = 0 \) या \( B = 5 \)।
यदि \( B = 0 \):
\( \quad A 0 \)
\( \times \quad 3 \)
\( \overline{C A 0} \)
दहाई के स्थान पर: \( 3 \times A \) का इकाई अंक \( A \) होना चाहिए।
यह तभी संभव है जब \( A = 0 \) या \( A = 5 \)।
यदि \( A = 0 \), तो \( AB \) एक अंक की संख्या बन जाएगी (00)। यह संभव नहीं है क्योंकि \( AB \) दो अंकों की संख्या है।
इसलिए, \( A = 5 \)
यदि \( A = 5 \) और \( B = 0 \):
\( \quad 5 0 \)
\( \times \quad 3 \)
\( \overline{1 5 0} \)
यहाँ \( C = 1, A = 5, B = 0 \)। यह शर्त \( \overline{CAB} \) को संतुष्ट करता है।
यदि \( B = 5 \):
\( \quad A 5 \)
\( \times \quad 3 \)
\( \overline{C A 5} \)
इकाई के स्थान पर \( 3 \times 5 = 15 \)। इकाई अंक 5 है (सही), हासिल 1 है।
दहाई के स्थान पर: \( (3 \times A) + 1 \) का इकाई अंक \( A \) होना चाहिए।
यदि \( A = 1 \), \( (3 \times 1) + 1 = 4 \neq 1 \)
यदि \( A = 2 \), \( (3 \times 2) + 1 = 7 \neq 2 \)
यदि \( A = 3 \), \( (3 \times 3) + 1 = 10 \neq 3 \)
यदि \( A = 4 \), \( (3 \times 4) + 1 = 13 \neq 4 \)
यदि \( A = 5 \), \( (3 \times 5) + 1 = 16 \neq 5 \)
यदि \( A = 6 \), \( (3 \times 6) + 1 = 19 \neq 6 \)
यदि \( A = 7 \), \( (3 \times 7) + 1 = 22 \neq 7 \)
यदि \( A = 8 \), \( (3 \times 8) + 1 = 25 \neq 8 \)
यदि \( A = 9 \), \( (3 \times 9) + 1 = 28 \neq 9 \)
इसलिए, \( B = 5 \) संभव नहीं है।
अतः \( A = 5, B = 0, C = 1 \)।
In simple words: गुणा वाली इस पहेली को हल करने के लिए, हम पहले \( B \) के संभव मानों को देखते हैं, जो 0 या 5 हो सकते हैं। फिर, उन मानों का उपयोग करके \( A \) और \( C \) के मानों को जाँचते हैं, ताकि सभी शर्तें पूरी हों।

🎯 Exam Tip: इस तरह की समस्याओं में, इकाई अंक से शुरू करके और सभी संभावित मानों की व्यवस्थित रूप से जाँच करके उत्तर प्राप्त करना सबसे अच्छा तरीका है।

VI. लघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. यदि संख्या \( \_6724 \), 3 से विभाज्य हो, तो खाली स्थान को सबसे छोटे अंक और सबसे बड़े अंक से भरिए।
Answer:
हल:
दी हुई अंकों का योग \( = 6 + 7 + 2 + 4 = 19 \)
मान लीजिए खाली स्थान में अंक \( x \) है। तो संख्या के अंकों का योग \( = x + 19 \)
संख्या 3 से विभाज्य होगी यदि \( x + 19 \) भी 3 से विभाज्य हो।
19 से बड़े 3 के गुणज हैं: 21, 24, 27, 30, ....
यदि \( x + 19 = 21 \implies x = 21 - 19 = 2 \)
यदि \( x + 19 = 24 \implies x = 24 - 19 = 5 \)
यदि \( x + 19 = 27 \implies x = 27 - 19 = 8 \)
यदि \( x + 19 = 30 \implies x = 30 - 19 = 11 \)
चूंकि \( x \) एक अंक होना चाहिए (0-9), इसलिए 11 मान्य नहीं है।
अतः, सबसे छोटा अंक \( = 2 \)
सबसे बड़ा अंक \( = 8 \)
In simple words: किसी संख्या को 3 से विभाज्य बनाने के लिए, उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए। हमें खाली स्थान में ऐसा अंक भरना है जिससे अंकों का कुल योग 3 से भाग हो जाए।

🎯 Exam Tip: जब खाली स्थान भरने की बात आती है, तो सभी संभावित अंकों (0-9) पर विचार करें जो विभाज्यता के नियम को पूरा करते हों, और फिर सबसे छोटे और सबसे बड़े अंक का चयन करें।

Question 2. यदि संख्या \( 476\_2 \), 3 से विभाज्य हो, तो खाली स्थान को सबसे छोटे और सबसे बड़े अंक से भरिए।
Answer:
हल:
दी हुई अंकों का योग \( = 4 + 7 + 6 + 2 = 19 \)
मान लीजिए खाली स्थान में अंक \( x \) है। तो संख्या के अंकों का योग \( = 19 + x \)
संख्या 3 से विभाज्य होगी यदि \( 19 + x \) भी 3 से विभाज्य हो।
19 से बड़े 3 के गुणज हैं: 21, 24, 27, 30, ....
यदि \( 19 + x = 21 \implies x = 21 - 19 = 2 \)
यदि \( 19 + x = 24 \implies x = 24 - 19 = 5 \)
यदि \( 19 + x = 27 \implies x = 27 - 19 = 8 \)
यदि \( 19 + x = 30 \implies x = 30 - 19 = 11 \)
चूंकि \( x \) एक अंक होना चाहिए (0-9), इसलिए 11 मान्य नहीं है।
अतः, सबसे छोटा अंक \( = 2 \)
सबसे बड़ा अंक \( = 8 \)
In simple words: खाली स्थान में ऐसा अंक भरना है जिससे संख्या के अंकों का कुल योग 3 से विभाज्य हो जाए। सभी संभव अंकों की जाँच करके सबसे छोटा और सबसे बड़ा अंक ज्ञात किया जाता है।

🎯 Exam Tip: खाली स्थान के प्रश्नों में, हमेशा अंकों के योग पर ध्यान केंद्रित करें और 3 के गुणजों को ध्यान में रखते हुए 0-9 के बीच के मानों का पता लगाएं।

Question 3. यदि संख्या \( 4765\_ \), 3 से विभाज्य हो, तो खाली स्थान को सबसे छोटे और सबसे बड़े अंक से भरिए।
Answer:
हल:
दी हुई अंकों का योग \( = 4 + 7 + 6 + 5 = 22 \)
मान लीजिए खाली स्थान में अंक \( x \) है। तो संख्या के अंकों का योग \( = 22 + x \)
संख्या 3 से विभाज्य होगी यदि \( 22 + x \) भी 3 से विभाज्य हो।
22 से बड़े 3 के गुणज हैं: 24, 27, 30, 33, 36, ....
यदि \( 22 + x = 24 \implies x = 24 - 22 = 2 \)
यदि \( 22 + x = 27 \implies x = 27 - 22 = 5 \)
यदि \( 22 + x = 30 \implies x = 30 - 22 = 8 \)
यदि \( 22 + x = 33 \implies x = 33 - 22 = 11 \)
चूंकि \( x \) एक अंक होना चाहिए (0-9), इसलिए 11 मान्य नहीं है।
अतः, सबसे छोटा अंक \( = 2 \)
सबसे बड़ा अभीष्ट अंक \( = 8 \)
In simple words: 3 से विभाज्यता के नियम का उपयोग करके, हम खाली स्थान में एक ऐसा अंक ढूंढते हैं जिससे संख्या के अंकों का कुल योग 3 से भाग हो सके।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, पहले दिए गए अंकों का योग करें, फिर खाली स्थान के लिए संभावित मानों (0-9) को जाँचें जो योग को 3 का गुणज बनाते हैं।

Question 4. यदि संख्या 985 और अन्य दो संख्याओं, जो संख्या 985 के अंकों को चक्रीय क्रम में व्यवस्थित करने पर प्राप्त होती है, के योग को 111 से विभाजित किया जाए तो भागफल प्राप्त होगा?
Answer:
हल:
प्रदत्त संख्या = 985
इस संख्या के अंकों को चक्रीय क्रम में व्यवस्थित करने पर प्राप्त संख्याएँ हैं - 859 और 598
इनका योग \( = 985 + 859 + 598 \)
\( = 2442 \)
अब \( 2442 \div 111 = 22 \)
In simple words: पहले दी गई संख्या और उसके अंकों को बदलकर बनी अन्य दो संख्याओं को जोड़ते हैं। फिर इस कुल योग को 111 से भाग देकर भागफल निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: चक्रीय क्रम में अंकों को व्यवस्थित करने का अर्थ है कि अंक एक के बाद एक स्थान बदलते रहते हैं, जैसे \( abc \) से \( bca \) और \( cab \)। इस पैटर्न को ध्यान से पहचानें।

Question 5. भागफल ज्ञात कीजिए जबकि 985 और 958 के अंतर को 9 से विभाजित किया जाता है।
Answer:
हल:
यहाँ \( 985 > 958 \)
इनका अंतर \( = 985 - 958 \)
\( = 27 \)
अब \( 27 \div 9 = 3 \)
In simple words: पहले बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाकर अंतर निकालते हैं, फिर उस अंतर को 9 से भाग देकर भागफल पता करते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, सुनिश्चित करें कि आप पहले सही गणितीय संक्रिया (घटाव) करें और फिर अगले चरण (भाग) पर बढ़ें।

Question 6. तीन अंकों की संख्या \( 4y2 \), 3 का एक गुणज है तो \( y \) के सम्भावित सभी मान ज्ञात कीजिए, जहाँ \( y \) एक अंक है।
Answer:
हल:
तीन अंकों की संख्या \( = 4y2 \)
अंकों का योग \( = 4 + y + 2 = 6 + y \)
यदि प्रदत्त संख्या 3 का गुणज है, तो \( 6 + y \), 3 से भाज्य होना चाहिए।
चूँकि 6 पहले से ही 3 से भाज्य है, इसलिए \( y \) को भी 3 से भाज्य होना चाहिए।
\( y \) के संभावित मान (0-9 तक) जो 3 से भाज्य हैं: 0, 3, 6, 9
अतः, \( y = 0, 3, 6, 9 \)
In simple words: एक संख्या 3 से तभी भाग होती है जब उसके अंकों का योग भी 3 से भाग हो। इसलिए, \( 4y2 \) के अंकों का योग \( (6+y) \) को 3 से भाग होने के लिए, \( y \) को 0, 3, 6 या 9 होना होगा।

🎯 Exam Tip: विभाज्यता के नियमों का उपयोग करें। यदि अंकों का योग \( (6+y) \) 3 का गुणज होना चाहिए और 6 पहले से ही 3 का गुणज है, तो \( y \) को भी 3 का गुणज होना चाहिए।

Question 7. (i) एक ऐसी दो अंकों की संख्या ज्ञात कीजिए जो 2 से विभाज्य हो लेकिन 4 से नहीं।
Answer:
हल:
2 के गुणज जो 1 अंकीय हैं: 2, 4, 6, 8।
2 का अगला गुणज 10 है, जो दो अंकों का है।
संख्या 10, 2 से विभाज्य है लेकिन 4 से नहीं।
अतः अभीष्ट संख्या 10 है।
In simple words: हमें 2 का एक ऐसा गुणज खोजना था जो दो अंकों का हो लेकिन 4 से भाग न होता हो। 10, 2 से भाग होता है पर 4 से नहीं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, दी गई शर्तों के अनुसार संख्याओं की सूची बनाना और फिर उन्हें एक-एक करके जांचना सबसे आसान तरीका है।

Question 7. (ii) एक ऐसी दो अंकों की संख्या ज्ञात कीजिए जो 3 से विभाज्य हो लेकिन 6 से नहीं।
Answer:
हल:
3 के गुणज जो 1 अंकीय हैं: 3, 6, 9।
3 का अगला गुणज 12 है, जो दो अंकों का है।
संख्या 12, 6 से विभाज्य है।
3 का अगला गुणज 15 है, जो दो अंकों का है।
संख्या 15, 3 से विभाज्य है लेकिन 6 से नहीं।
अतः अभीष्ट संख्या 15 है।
In simple words: हमें 3 का एक ऐसा गुणज ढूंढना था जो दो अंकों का हो लेकिन 6 से भाग न होता हो। 15, 3 से भाग होता है पर 6 से नहीं।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक संख्या जो 6 से विभाज्य होती है, वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए। इस तर्क का उपयोग करके आप सही संख्या को आसानी से पहचान सकते हैं।

Question 7. (iii) एक ऐसी दो अंकों की संख्या ज्ञात कीजिए जो 4 से विभाज्य हो लेकिन 8 से नहीं।
Answer:
हल:
4 के गुणज जो 1 अंकीय हैं: 4, 8।
4 का अगला गुणज 12 है, जो दो अंकों का है।
संख्या 12, 4 से विभाज्य है लेकिन 8 से नहीं।
अतः अभीष्ट संख्या 12 है।
In simple words: हमें 4 का एक ऐसा गुणज खोजना था जो दो अंकों का हो लेकिन 8 से भाग न होता हो। 12, 4 से भाग होता है पर 8 से नहीं।

🎯 Exam Tip: संख्याओं के गुणज लिखते समय ध्यान दें कि कौन सी संख्याएँ दो अंकों वाली हैं और फिर उन्हें अतिरिक्त शर्तों (जैसे 8 से विभाज्यता) के लिए जाँचें।

Question 7. (iv) एक ऐसी संख्या ज्ञात कीजिए जो 4 और 8 से विभाज्य हो, परन्तु 32 से नहीं, और संख्या 32 से बड़ी होनी चाहिए।
Answer:
हल:
वह संख्या जो 4 और 8 दोनों से विभाज्य हो, वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से भी विभाज्य होगी। 4 और 8 का LCM 8 है।
तो, हमें एक ऐसी संख्या चाहिए जो 8 से विभाज्य हो, 32 से बड़ी हो, लेकिन 32 से विभाज्य न हो।
8 के गुणज: ..., 24, 32, 40, 48, ...
संख्या 32, 32 से विभाज्य है (इसलिए यह शर्त को पूरा नहीं करती)।
अगला गुणज 40 है। 40, 4 और 8 दोनों से विभाज्य है, लेकिन 32 से विभाज्य नहीं है। (40 > 32)
अगला गुणज 48 है। 48, 4 और 8 दोनों से विभाज्य है, लेकिन 32 से विभाज्य नहीं है। (48 > 32)
अतः, अभीष्ट संख्या 40 या 48 हो सकती है। दिए गए हल के अनुसार, हम 48 का चयन करते हैं।
In simple words: हमें ऐसी संख्या चाहिए जो 8 से भाग हो, 32 से बड़ी हो, लेकिन 32 से भाग न हो। हम 8 के गुणजों को देखते हैं और 48 पाते हैं जो इन सभी शर्तों को पूरा करता है।

🎯 Exam Tip: "4 और 8 दोनों से विभाज्य" का अर्थ है कि संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिए (क्योंकि 8, 4 का गुणज है)। फिर, 32 से विभाज्य न होने की शर्त पर ध्यान दें।

Question 8. \( x \) का मान ज्ञात कीजिए यदि \( 9x \times 25 = 2425 \)।
Answer:
हल:
यहाँ \( 9x \) एक दो अंकों की संख्या है जिसका मतलब \( 90 + x \) है।
\( (90 + x) \times 25 = 2425 \)
दोनों पक्षों को 25 से भाग दें:
\( 90 + x = \frac{2425}{25} \)
\( 90 + x = 97 \)
\( x = 97 - 90 \)
\( x = 7 \)
In simple words: समीकरण को हल करने के लिए, पहले \( 9x \) को \( (90+x) \) में बदलते हैं। फिर, समीकरण को सामान्य बीजगणितीय तरीके से हल करके \( x \) का मान निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, \( 9x \) जैसे संकेतन को सही ढंग से एक दो अंकों की संख्या \( (90+x) \) के रूप में समझना महत्वपूर्ण है, न कि \( 9 \times x \)।

Question 9. अंक \( A, B \) व \( C \) निकालिए जबकि संख्या \( \overline{AB} \times \overline{AB} = \overline{ACB} \)।
Answer:
हल:
दिया गया है: \( \overline{AB} \times \overline{AB} = \overline{ACB} \)...(1)
अर्थात्, एक दो अंकों की संख्या का वर्ग एक तीन अंकों वाली संख्या है।
इकाई का अंक \( B \times B \) का इकाई अंक \( B \) है। यह तभी संभव है जब \( B = 1 \) या \( B = 6 \)।
यदि \( B = 1 \):
\( \overline{A1} \times \overline{A1} = \overline{AC1} \)
हम जानते हैं कि \( 11 \times 11 = 121 \)।
यहाँ \( A = 1, B = 1, C = 2 \)। यह समीकरण (1) को संतुष्ट करता है।
यदि \( B = 6 \):
\( \overline{A6} \times \overline{A6} = \overline{AC6} \)
उदाहरण के लिए, \( 16 \times 16 = 256 \)। यहाँ \( A = 1, B = 6, C = 5 \)।
इस मामले में, \( A = 1 \) और \( C = 5 \)।
लेकिन \( \overline{AB} \) का मान \( A \) के 1 से 3 तक ही संभव है, क्योंकि \( 40 \times 40 = 1600 \) जो चार अंकों की संख्या हो जाती है।
\( 21 \times 21 = 441 \implies A=2, B=1, C=4 \). यह भी एक हल हो सकता है।
\( 26 \times 26 = 676 \implies A=2, B=6, C=7 \).
\( 31 \times 31 = 961 \implies A=3, B=1, C=6 \).
यदि \( B=1 \):
\( 11 \times 11 = 121 \implies A=1, B=1, C=2 \)
\( 21 \times 21 = 441 \implies A=2, B=1, C=4 \)
\( 31 \times 31 = 961 \implies A=3, B=1, C=6 \)
यदि \( B=6 \):
\( 16 \times 16 = 256 \implies A=1, B=6, C=5 \)
\( 26 \times 26 = 676 \implies A=2, B=6, C=7 \)
तो, कई संभावित समाधान हो सकते हैं। दिए गए हल में \( A = 1, B = 1 \) और \( C = 2 \) को दर्शाया गया है।
In simple words: इस संख्या पहेली को हल करने के लिए, हम पहले \( B \) के संभावित मानों को पहचानते हैं, फिर \( A \) और \( C \) के मानों को निर्धारित करने के लिए संख्याओं के वर्गों को जाँचते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, इकाई के अंक से शुरू करके संभावित मानों को सूचीबद्ध करें। फिर, उन मानों के लिए शर्तों को पूरा करने वाले अंकों को खोजने के लिए परीक्षण और त्रुटि (trial and error) विधि का उपयोग करें।

Question 10. निम्नलिखित संख्याओं की 3 और 9 से विभाज्यता की जाँच कीजिए।
(i) 1839
(ii) 236637
Answer:
(i) 1839
(a) 3 से भाजकता:
अंकों का योग \( = 1 + 8 + 3 + 9 = 21 \)
जो 3 से विभाज्य है।
अतः 1839, 3 से विभाज्य है।
(b) 9 से भाजकता:
अंकों का योग \( = 1 + 8 + 3 + 9 = 21 \)
जो 9 से विभाज्य नहीं है।
अतः 1839, 9 से विभाज्य नहीं है।
(ii) 236637
(a) 3 से भाजकता:
अंकों का योग \( = 2 + 3 + 6 + 6 + 3 + 7 = 27 \)
जो 3 से विभाज्य है।
अतः 236637, 3 से विभाज्य है।
(b) 9 से भाजकता:
अंकों का योग \( = 2 + 3 + 6 + 6 + 3 + 7 = 27 \)
जो 9 से विभाज्य है।
अतः 236637 भी 9 से विभाज्य संख्या है।
In simple words: किसी संख्या की 3 और 9 से विभाज्यता की जाँच करने के लिए, उसके सभी अंकों को जोड़ते हैं। यदि अंकों का योग 3 से विभाज्य हो तो संख्या 3 से विभाज्य होती है, और यदि योग 9 से विभाज्य हो तो संख्या 9 से विभाज्य होती है।

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि यदि कोई संख्या 9 से विभाज्य है, तो वह निश्चित रूप से 3 से भी विभाज्य होगी, लेकिन इसका उलटा हमेशा सत्य नहीं होता (जैसे 21, 3 से विभाज्य है लेकिन 9 से नहीं)।

Question 11. \( A \) तथा \( B \) का मान बताइए। जहाँ \( A \) तथा \( B \) एक अंक हैं।
\( \quad A 2 \)
\( + 6 3 7 \)
\( \overline{B 2 A} \)
Answer:
हल:
इकाई के अंकों का योग: \( 2 + 7 = 9 \)
योग के इकाई का अंक \( A \) है, इसलिए \( A = 9 \)।
दहाई के अंकों का योग: \( A + 3 \)
चूंकि \( A = 9 \), तो \( 9 + 3 = 12 \)।
योग के दहाई का अंक 2 है, और 1 हासिल सैकड़े के स्थान पर जाएगा।
सैकड़े के अंकों का योग: \( 1 \) (हासिल) \( + 6 \)
\( 1 + 6 = 7 \)
योग के सैकड़े का अंक \( B \) है, इसलिए \( B = 7 \)।
अतः \( A = 9 \) और \( B = 7 \)।
In simple words: इस जोड़ पहेली को हल करने के लिए, हम इकाई के अंकों से शुरू करते हैं, फिर दहाई और सैकड़े के अंकों को जोड़ते जाते हैं, हासिल को आगे बढ़ाते हुए \( A \) और \( B \) के मान पता करते हैं।

🎯 Exam Tip: इस तरह की समस्याओं में, अज्ञात अंकों को खोजने के लिए हमेशा इकाई के स्थान से शुरू करें, और हासिल को अगले कॉलम में सही ढंग से जोड़ना याद रखें।

Question 12. यदि चार अंकों की एक संख्या \( 72x6 \), 3 से विभाज्य है, तो \( x \) के सभी मान ज्ञात कीजिए जहाँ \( x \) एक अंक है।
Answer:
हल:
दी गई संख्या 72x6 है।
अंकों का योग \( = 7 + 2 + x + 6 \)
\( = 15 + x \)
चूंकि संख्या 3 से विभाज्य है, तो \( 15 + x \) भी 3 से विभाज्य होना चाहिए।
यह तभी संभव है जब \( 15 + x \) के मान 15, 18, 21, 24 हों (क्योंकि \( x \) एक अंक है, \( x \) का अधिकतम मान 9 हो सकता है, तो \( 15+x \) का अधिकतम मान \( 15+9=24 \) होगा)।
यदि \( 15 + x = 15 \implies x = 15 - 15 = 0 \)
यदि \( 15 + x = 18 \implies x = 18 - 15 = 3 \)
यदि \( 15 + x = 21 \implies x = 21 - 15 = 6 \)
यदि \( 15 + x = 24 \implies x = 24 - 15 = 9 \)
अतः \( x \) के मान 0, 3, 6, 9 होंगे।
In simple words: 3 से विभाज्यता का नियम कहता है कि यदि संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य हो, तो संख्या भी 3 से विभाज्य होती है। इसलिए, हम \( x \) के उन मानों को ढूंढते हैं जिनसे अंकों का योग 3 का गुणज बन जाए।

🎯 Exam Tip: \( x \) के संभावित मानों को निर्धारित करते समय, यह सुनिश्चित करने के लिए कि योग 3 का गुणज है, \( x \) के लिए 0 से 9 तक के सभी अंकों का परीक्षण करें।