RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 4 दिमागी कसरत More Ques

Rajasthan Board RBSE Class 8 Maths Chapter 4 दिमागी कसरत In Text Exercise

करो और सीखो।

 

Question 1. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए
(i) 42 = __________ x 10 + 2
(ii) 60 = __________ x 10 + __________
(iii) 99 = __________ X __________ + __________
(iv) __________ = 7 x 100 + 1 x 10 + 8
Answer:
(i) \( 42 = \mathbf{4} \times 10 + 2 \)
(ii) \( 60 = \mathbf{6} \times 10 + \mathbf{0} \)
(iii) \( 99 = \mathbf{9} \times \mathbf{10} + \mathbf{9} \)
(iv) \( \mathbf{718} = 7 \times 100 + 1 \times 10 + 8 \) यहाँ, हमने संख्या को उसके स्थानीय मानों के अनुसार लिखा है।
In simple words: हमें संख्याओं को इस तरह लिखना है कि वे दस और इकाई के अंकों में बँट जाएँ। जैसे, 42 को 4 दस और 2 इकाई लिखा जा सकता है।

🎯 Exam Tip: रिक्त स्थान भरते समय संख्याओं के स्थानीय मान (इकाई, दहाई, सैकड़ा) पर ध्यान दें।

 

Question. जाँच कीजिए कि आप द्वारा सोची गई संख्या निम्नलिखित हो तो क्या परिणाम प्राप्त होते हैं?
(i) 27
(ii) 67
(iii) 94
Answer:
(i) 27
परिणाम 1:
सोची गई संख्या: 27
अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या: 72
दोनों का योग: \( 27 + 72 = 99 \)
प्राप्त संख्या में 11 से भाग देने पर: \( \frac { 99 }{11} = 9 \)
शेषफल शून्य प्राप्त होता है। यह एक संख्यात्मक पैटर्न दिखाता है जहाँ अंकों के योग को 11 से भाग देने पर शेषफल शून्य मिलता है।
परिणाम 2:
सोची गई संख्या: 27
अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या: 72
बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाने पर: \( 72 - 27 = 45 \)
प्राप्त संख्या को 9 से विभाजित करने पर: \( \frac { 45 }{ 9 } = 5 \)
शेषफल शून्य प्राप्त होता है।

(ii) 67
परिणाम 1:
सोची गई संख्या: 67
अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या: 76
दोनों का योग: \( 67 + 76 = 143 \)
प्राप्त संख्या में 11 से भाग देने पर: \( \frac { 143 }{ 11 } = 13 \)
शेषफल शून्य प्राप्त होता है।
परिणाम 2:
सोची गई संख्या: 67
अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या: 76
बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाने पर: \( 76 - 67 = 9 \)
प्राप्त संख्या को 9 से विभाजित करने पर: \( \frac { 9 }{ 9 } = 1 \)
शेषफल शून्य प्राप्त होता है। यह प्रक्रिया दिखाती है कि कैसे अंकों को पलटने से खास विभाज्यता पैटर्न बनते हैं।

(iii) 94
परिणाम 1:
सोची गई संख्या: 94
अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या: 49
दोनों का योग: \( 94 + 49 = 143 \)
प्राप्त संख्या में 11 से भाग देने पर: \( \frac { 143}{11} = 13 \)
शेषफल शून्य प्राप्त होता है।
परिणाम 2:
सोची गई संख्या: 94
अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या: 49
बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाने पर: \( 94 - 49 = 45 \)
प्राप्त संख्या को 9 से विभाजित करने पर: \( \frac {45}{9} = 5 \)
शेषफल शून्य प्राप्त होता है।
In simple words: जब हम किसी दो अंकों की संख्या को उसके पलटे हुए अंकों वाली संख्या से जोड़ते हैं, तो योग हमेशा 11 से पूरा-पूरा भाग होता है। जब हम दोनों संख्याओं को घटाते हैं, तो अंतर हमेशा 9 से पूरा-पूरा भाग होता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, अंकों को पलटने और फिर जोड़ने या घटाने के बाद हमेशा 11 या 9 से भाग करके पैटर्न की जाँच करें।

करो और सीखो।

 

Question. जाँच कीजिए कि यदि छोटू ने निम्नलिखित संख्याएँ सोची हैं, तो क्या परिणाम प्राप्त होता है?
(i) 237
(ii) 19
(iii) 397
(iv) 435
Answer:
(i) 237
परिणाम 1:
सोची गई संख्या: 237
अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या: 732
बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाने पर: \( 732 - 237 = 495 \)
प्राप्त संख्या को 99 से विभाजित करने पर: \( \frac { 495 }{ 99 } = 5 \)
शेषफल शून्य प्राप्त होता है।
परिणाम 2:
सोची गई संख्या: 237
अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या: 732
इकाई के अंक को सैकड़ा पर पहुँचाने पर प्राप्त दूसरी संख्या: 372
तीनों संख्याओं का योग:
\( \quad 237 \)
\( \quad 732 \)
\( + 372 \)
\( \overline{1341} \)
योगफल को 37 से भाग देने पर: \( \frac {1341}{37 } = 36 \)
शेषफल शून्य प्राप्त होता है। यहाँ, संख्या के अंकों के क्रम बदलने और जोड़ने से एक विशेष विभाज्यता का पैटर्न मिलता है।
भागफल \( = 36 = 3 \times 12 = 3 \times (2 + 3 + 7) \)
\( = 3 \times \) (प्रदत्त संख्या में अंकों का योग)

(ii) 119
परिणाम 1:
सोची गई संख्या: 119
अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या: 911
बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाने पर: \( 911 - 119 = 792 \)
प्राप्त संख्या को 99 से विभाजित करने पर: \( \frac { 792 }{ 99} = 8 \)
शेषफल शून्य प्राप्त होता है।
परिणाम 2:
सोची गई संख्या: 119
इस संख्या के इकाई के अंक को सैकड़ा पर पहुँचाने पर प्राप्त दूसरी संख्या: 911
दूसरी संख्या के इकाई के अंक को सैकड़ा पर पहुँचाने पर प्राप्त तीसरी संख्या: 191
इन तीनों संख्याओं का योग:
\( \quad 119 \)
\( \quad 911 \)
\( + 191 \)
\( \overline{1221} \)
योगफल को 37 से भाग देने पर: \( \frac { 1221}{37 } = 33 \)
शेषफल शून्य प्राप्त होता है।
भागफल \( = 33 \)

(iii) 397
परिणाम 1:
सोची गई संख्या: 397
अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या: 793
बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाने पर: \( 793 - 397 = 396 \)
प्राप्त संख्या को 99 से विभाजित करने पर: \( \frac { 396 }{99} = 4 \)
शेषफल शून्य प्राप्त होता है।
परिणाम 2:
सोची गई संख्या: 397
इस संख्या के इकाई के अंक को सैकड़ा पर पहुँचाने पर प्राप्त दूसरी संख्या: 739
दूसरी संख्या के इकाई के अंक को सैकड़ा पर पहुँचाने पर प्राप्त तीसरी संख्या: 973
इन तीनों संख्याओं का योग:
\( \quad 397 \)
\( \quad 739 \)
\( + 973 \)
\( \overline{2109} \)
योगफल को 37 से भाग देने पर: \( \frac {2109}{37 } = 57 \)
शेषफल शून्य प्राप्त होता है।
भागफल \( = 57 = 3 \times 19 \)
\( = 3 \times (3 + 9 + 7) \)
\( = 3 \times \) (प्रदत्त संख्या में अंकों का योग)

(iv) 435
परिणाम 1:
सोची गई संख्या: 435
अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या: 534
बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाने पर: \( 534 - 435 = 99 \)
प्राप्त संख्या को 99 से विभाजित करने पर: \( \frac {99}{99} = 1 \)
शेषफल शून्य प्राप्त होता है।
परिणाम 2:
सोची गई संख्या: 435
इकाई के अंक को सैकड़ा पर पहुँचाने पर प्राप्त दूसरी संख्या: 543
दूसरी संख्या के इकाई के अंक को सैकड़ा पर पहुँचाने पर प्राप्त तीसरी संख्या: 354
इन तीनों संख्याओं का योग:
\( \quad 435 \)
\( \quad 543 \)
\( + 354 \)
\( \overline{1332} \)
योगफल को 37 से भाग देने पर: \( \frac { 1332}{37 } = 36 \)
शेषफल शून्य प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि 3-अंकीय संख्याओं में इस तरह के पैटर्न अक्सर 37 से विभाज्य होते हैं।
भागफल \( = 36 = 3 \times 12 \)
\( = 3 \times (4 + 3 + 5) \)
\( = 3 \times \) (प्रदत्त संख्या में अंकों का योग)
In simple words: जब हम तीन अंकों की संख्या के अंकों को पलटते हैं या उन्हें घुमाकर नई संख्याएँ बनाते हैं और फिर उन्हें जोड़ते या घटाते हैं, तो हमें हमेशा कुछ खास संख्याएँ मिलती हैं जो 99 या 37 से पूरी तरह भाग हो जाती हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, तीन अंकों की संख्याओं के साथ दिए गए विभिन्न पैटर्न को ध्यान से देखें और परिणामी विभाज्यता नियमों को याद रखें।

करो और सीखो।

 

Question. 79y, 9 से विभाज्य है तो क्या y के एक से अधिक मान सम्भव हैं?
Answer:
प्रदत्त संख्या: \( 79y \)
अंकों का योग: \( 7 + 9 + y = 16 + y \)
प्रदत्त संख्या के 9 से विभाज्य होने के लिए, अंकों का योग (16 + y) 9 से भाज्य होना चाहिए।
यह केवल तभी सम्भव है जब \( y = 2 \) हो, क्योंकि \( 16 + 2 = 18 \), और 18, 9 से विभाज्य है। 9 के गुणज \( 16 + y \) से बड़े होने पर कोई और एकल अंक y नहीं मिलेगा।
अतः \( y \) के एक से अधिक मान सम्भव नहीं हैं। संख्या 792, 9 से पूरी तरह विभाजित होती है (88 बार)।
In simple words: किसी भी संख्या को 9 से भाग तभी किया जा सकता है जब उसके सभी अंकों को जोड़ने पर जो संख्या आए, वह भी 9 से भाग हो जाए। यहाँ y का केवल एक ही मान हो सकता है ताकि यह नियम सही हो।

🎯 Exam Tip: 9 से विभाज्यता का नियम याद रखें: यदि अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो संख्या भी 9 से विभाज्य होगी।

करो और सीखो।

 

Question. उपर्युक्त की भाँति निम्नांकित योग संक्रियाओं में लुप्त अंकों के मान ज्ञात कीजिए
(i) 3* + 57 + 34 = 127
(ii) 56 + 77 + *3 = 216
(iii) 443 + *57 + 128 = 928
(iv) 82 + 55 + 99 = *36
Answer:
(i) 3* + 57 + 34 = 127
इकाई के अंकों का योगफल \( = * + 7 + 4 = * + 11 \)
योगफल में इकाई का अंक 7 है, जिसका अर्थ है कि \( * + 1 = 7 \)।
\( \implies * = 7 - 1 \)
\( \implies * = 6 \)
अतः लुप्त अंक 6 है। योग में हासिल को समझना महत्वपूर्ण है।

(ii) 56 + 77 + *3 = 216
इकाई के अंकों का योगफल \( = 6 + 7 + 3 = 16 \)
हासिल 1 दहाई का है, जिसे दहाई के स्थान पर आगे बढ़ाया जाएगा।
दहाई के अंकों का योगफल \( = 1 (\text{हासिल}) + 5 + 7 + * = 13 + * \)
योगफल में दहाई का अंक 1 है, जिसका अर्थ है कि \( 13 + * = 21 \) (क्योंकि 1 हासिल आगे गया)।
\( \implies * = 21 - 13 \)
\( \implies * = 8 \)
अतः लुप्त अंक 8 है।

(iv) 82 + 55 + 99 = *36
इकाई के अंकों का योगफल \( = 2 + 5 + 9 = 16 \)
हासिल 1 दहाई का है, जिसे दहाई के स्थान पर आगे बढ़ाया जाएगा।
दहाई के अंकों का योगफल \( = 1 (\text{हासिल}) + 8 + 5 + 9 = 23 \)
योगफल में दहाई का अंक 3 है, और 2 हासिल सैकड़ा के स्थान पर आगे बढ़ाया जाएगा।
सैकड़ा के अंकों का योगफल \( = 2 (\text{हासिल}) \)
अतः लुप्त अंक * का मान 2 है।
In simple words: इन जोड़ के सवालों में, हम इकाई के अंकों से शुरू करते हैं। अगर योग 9 से ज्यादा हो तो हासिल को अगले स्थान पर ले जाते हैं। इसी तरह, हम दहाई और फिर सैकड़ा के अंकों को जोड़ते जाते हैं ताकि छूटे हुए अंक मिल जाएँ।

🎯 Exam Tip: जोड़ या घटाव में लुप्त अंक ज्ञात करते समय, हासिल या उधार लेने के नियम को ध्यान से लागू करें।

 

Question. अग्रलिखित व्यवकलन संक्रियाओं में लुप्त अंकों के मान ज्ञात कीजिए
(i) 76 - 5* = 25
(ii) 54 - 2* = 28
(iii) 84 - *8 = 16
(iv) 803 - 2*6 = 567
(v) 782 - *73 = 209
Answer:
(i) 76 - 5* = 25
इकाई के स्थान पर: \( 6 - * = 5 \)
\( \implies * = 6 - 5 \)
\( \implies * = 1 \)

(ii) 54 - 2* = 28
इकाई के स्थान पर: 4 में से * घटाने पर 8 आता है। इसका मतलब है कि 4, * से छोटा है। हमें दहाई से 1 उधार लेना होगा।
\( (10 + 4) - * = 8 \)
\( 14 - * = 8 \)
\( \implies * = 14 - 8 \)
\( \implies * = 6 \)
अब, दहाई के स्थान पर 5 की जगह 4 बचा है। \( 4 - 2 = 2 \), जो सही है।

(iii) 84 - *8 = 16
इकाई के स्थान पर: 4 में से 8 घटाने पर 6 आता है। दहाई से 1 उधार लेने पर: \( (10 + 4) - 8 = 6 \)
दहाई के स्थान पर: 8 की जगह 7 बचा है। \( 7 - * = 1 \)
\( \implies * = 7 - 1 \)
\( \implies * = 6 \)

(iv) 803 - 2*6 = 567
इकाई के स्थान पर: 3 में से 6 घटाने पर 7 आता है। दहाई से 1 उधार लेने पर: \( (10 + 3) - 6 = 7 \)
दहाई के स्थान पर: 0 में से 1 उधार लिया था, इसलिए 9 बचा। \( 9 - * = 6 \)
\( \implies * = 9 - 6 \)
\( \implies * = 3 \)
सैकड़ा के स्थान पर: 8 में से 1 उधार लिया था, इसलिए 7 बचा। \( 7 - 2 = 5 \)

(v) 782 - *73 = 209
इकाई के स्थान पर: 2 में से 3 घटाने पर 9 आता है। दहाई से 1 उधार लेने पर: \( (10 + 2) - 3 = 9 \)
दहाई के स्थान पर: 8 में से 1 उधार लिया था, इसलिए 7 बचा। \( 7 - 7 = 0 \)
सैकड़ा के स्थान पर: \( 7 - * = 2 \)
\( \implies * = 7 - 2 \)
\( \implies * = 5 \)
In simple words: घटाव के सवालों में, हम इकाई से शुरू करते हैं। अगर ऊपर वाला अंक छोटा हो, तो हम बाईं ओर से उधार लेते हैं। उधार लेने से अगले अंक का मान एक कम हो जाता है। इस तरह, हम छूटे हुए अंकों को एक-एक करके ढूंढते हैं।

🎯 Exam Tip: घटाव में उधार लेने की प्रक्रिया को ठीक से समझें और उसे प्रत्येक स्थान पर सही ढंग से लागू करें।

करो और सीखो।

 

Question. निम्नांकित गुणन-संक्रियाओं में बीजीय व्यंजकों के अंकीय मान ज्ञात कीजिए
(i) \( 56 \times X5 \)
(ii) \( 4X \times 37 \)
(iii) \( 23 \times 3X \)
Answer:
(i) \( 56 \times X5 \)
मान लीजिए \( X5 \) एक दो अंकों की संख्या है, जिसे \( 10X + 5 \) के रूप में लिख सकते हैं।
\( 56 \times (10X + 5) = 560X + 280 \)
यदि उत्पाद 1400 है (जैसा कि उदाहरण से संकेत मिलता है), तो:
\( 560X + 280 = 1400 \)
\( 560X = 1400 - 280 \)
\( 560X = 1120 \)
\( \implies X = \frac{1120}{560} \)
\( \implies X = 2 \)

(ii) \( 4X \times 37 \)
मान लीजिए \( 4X \) एक दो अंकों की संख्या है, जिसे \( 40 + X \) के रूप में लिख सकते हैं।
\( (40 + X) \times 37 = 1480 + 37X \)
यदि उत्पाद 1554 है:
\( 1480 + 37X = 1554 \)
\( 37X = 1554 - 1480 \)
\( 37X = 74 \)
\( \implies X = \frac{74}{37} \)
\( \implies X = 2 \)

(iii) \( 23 \times 3X \)
मान लीजिए \( 3X \) एक दो अंकों की संख्या है, जिसे \( 30 + X \) के रूप में लिख सकते हैं।
\( 23 \times (30 + X) = 690 + 23X \)
यदि उत्पाद 736 है:
\( 690 + 23X = 736 \)
\( 23X = 736 - 690 \)
\( 23X = 46 \)
\( \implies X = \frac{46}{23} \)
\( \implies X = 2 \)
In simple words: गुणा के इन सवालों में, हम x को एक अंक मानकर संख्या को तोड़ते हैं, जैसे x5 को (10x + 5) लिखते हैं। फिर हम गुणा करके एक समीकरण बनाते हैं और x का मान निकालने के लिए उसे हल करते हैं।

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय व्यंजकों में लुप्त अंकों को ज्ञात करने के लिए, अज्ञात अंक (जैसे X) को उसके स्थानीय मान (जैसे 10X या X) के साथ लिखें और समीकरण बनाकर हल करें।

करो और सीखो।

 

Question. निम्नांकित भाग संक्रियाओं में x के अंकीय मान ज्ञात कीजिए
(i) 27) 217 (x (शेषफल 1)
(ii) x6) 100 (6 (शेषफल 4)
(iii) 1x) 120 (9 (शेषफल 3)
Answer:
(i) 27) 217 (x (शेषफल 1)
भाजक \( = 27 \), भाज्य \( = 217 \), भागफल \( = x \), शेषफल \( = 1 \)
भागफल एल्गोरिथम का उपयोग करके: भाज्य = भाजक \( \times \) भागफल + शेषफल
\( 217 = 27 \times x + 1 \)
\( 217 - 1 = 27x \)
\( 216 = 27x \)
\( \implies x = \frac{216}{27} \)
\( \implies x = 8 \)

(ii) x6) 100 (6 (शेषफल 4)
भाजक \( = 10x + 6 \), भाज्य \( = 100 \), भागफल \( = 6 \), शेषफल \( = 4 \)
\( 100 = (10x + 6) \times 6 + 4 \)
\( 100 - 4 = 60x + 36 \)
\( 96 = 60x + 36 \)
\( 96 - 36 = 60x \)
\( 60 = 60x \)
\( \implies x = \frac{60}{60} \)
\( \implies x = 1 \)

(iii) 1x) 120 (9 (शेषफल 3)
भाजक \( = 10 + x \), भाज्य \( = 120 \), भागफल \( = 9 \), शेषफल \( = 3 \)
\( 120 = (10 + x) \times 9 + 3 \)
\( 120 - 3 = 90 + 9x \)
\( 117 = 90 + 9x \)
\( 117 - 90 = 9x \)
\( 27 = 9x \)
\( \implies x = \frac{27}{9} \)
\( \implies x = 3 \)
In simple words: भाग के इन सवालों में, हम भाग के नियम (भाज्य = भाजक गुणा भागफल जमा शेषफल) का उपयोग करते हैं। फिर हम एक समीकरण बनाते हैं और उसमें से x का मान निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: भाग के नियमों का उपयोग करके लुप्त अंकों को ज्ञात करते समय, भाजक, भाज्य, भागफल और शेषफल के बीच संबंध को सटीक रूप से लिखें।

वर्ग पहेली

 

[A] आओ कुछ वर्ग पहेलियों पर विचार करते हैं। पहले हम 3 x 3 की एक वर्ग पहेली लेते हैं। इनमें 1 से 9 तक के अंकों को भरा गया है।

 

Question. इसमें ऊध्ध्वाधर (खड़ी) व क्षैतिज (आड़ी) वर्गों में अंकों का योग कितना है? क्या यह मान समान आता है? इनमें अंकों को किस प्रकार भरा जाता है?

Answer:
हाँ, ऊर्ध्वाधर (खड़ी) व क्षैतिज (आड़ी) वर्गों और विकर्णों में अंकों का योग समान आता है। सभी का योग 15 है। ऐसे वर्ग को 'मैजिक स्क्वायर' कहते हैं। इसमें अंकों को इस तरह भरा जाता है कि सभी पंक्तियों, स्तंभों और मुख्य विकर्णों का योग एक ही संख्या हो। यह एक संतुलित व्यवस्था का उदाहरण है।
In simple words: इस पहेली में, अगर आप किसी भी लाइन (खड़ी, आड़ी, या तिरछी) के अंकों को जोड़ेंगे, तो उत्तर हमेशा 15 ही आएगा। इसे 'जादुई वर्ग' कहते हैं।

🎯 Exam Tip: मैजिक स्क्वायर की जाँच करते समय, सभी पंक्तियों, स्तंभों और दोनों मुख्य विकर्णों का योग करना न भूलें।

 

Question. से तथा को विकर्णानुसार बदलते हैं तो ऊर्ध्वाधर एवं क्षैतिज वर्गों का योग कितना आयेगा? पता करें कि 4 x 4 की वर्ग पहेली है।

Answer:
जब 4x4 के वर्ग में विकर्णानुसार अंकों को बदला जाता है, तो ऊर्ध्वाधर एवं क्षैतिज वर्गों का योग 34 आयेगा। यह एक 4 x 4 का मैजिक स्क्वायर है। मैजिक स्क्वायर में, सभी पंक्तियों, स्तंभों और मुख्य विकर्णों का योग एक समान संख्या होती है।
यहां परिवर्तित वर्ग है:
In simple words: इस 4x4 वर्ग में, जब कुछ खास अंकों की जगह बदल दी जाती है, तो हर लाइन (खड़ी, आड़ी और तिरछी) का जोड़ 34 हो जाता है। यह भी एक जादुई वर्ग है।

🎯 Exam Tip: 4x4 मैजिक स्क्वायर का मानक योग (1 से 16 तक के अंकों के लिए) 34 होता है। यह एक महत्वपूर्ण पैटर्न है जिसे याद रखा जा सकता है।

 

Question 2. 4 x 4 की वर्ग पहेली में 2 से 17 तक के अंक भरते हैं तो योग कितना आयेगा?
Answer:
यदि 4 x 4 की वर्ग पहेली में 2 से 17 तक के अंक भरते हैं, तो मैजिक स्क्वायर का योग 38 आएगा। मैजिक स्क्वायर का योग ज्ञात करने के लिए, हम सबसे छोटे और सबसे बड़े अंक को जोड़कर उसे पंक्तियों की संख्या से गुणा करके 2 से भाग देते हैं। इस मामले में \( (2 + 17) \times 4 / 2 = 19 \times 2 = 38 \).
In simple words: अगर हम 2 से 17 तक के अंकों का उपयोग करके 4x4 का जादुई वर्ग बनाते हैं, तो हर लाइन का जोड़ 38 आएगा।

🎯 Exam Tip: n x n मैजिक स्क्वायर में n पंक्तियों के साथ, यदि संख्याएँ a से b तक लगातार हैं, तो मैजिक योग \( \frac{(a+b) \times n}{2} \) होता है।

करो और सीखो।

 

Question 1. 3 x 3 के वर्ग में संख्याओं को इस प्रकार भरो कि इनके आड़े, खड़े एवं तिरछे खानों का योग समनि हो जाएँ
1. 2 से 10 तक
2. 5 से 13 तक
3. 11 से 19 तक
Answer:
1. 2 से 10 तक (मैजिक योग \( = (2+10) \times 3 / 2 = 18 \))

2. 5 से 13 तक (मैजिक योग \( = (5+13) \times 3 / 2 = 27 \))

3. 11 से 19 तक (मैजिक योग \( = (11+19) \times 3 / 2 = 45 \))
इन मैजिक वर्गों को बनाते समय, प्रत्येक पंक्ति, स्तंभ और दोनों मुख्य विकर्णों का योग समान होता है।
In simple words: हमें 3x3 के ऐसे डब्बे भरने हैं जिनमें अंक इस तरह से रखे जाएँ कि हर सीधी, आड़ी और तिरछी लाइन का जोड़ हमेशा एक जैसा हो। यह जोड़ उस अंकों के समूह पर निर्भर करता है जो हम उपयोग कर रहे हैं।

🎯 Exam Tip: एक 3x3 मैजिक स्क्वायर के लिए, केंद्रीय सेल हमेशा मैजिक योग का एक तिहाई होता है (यदि संख्याएँ अंकगणितीय प्रगति में हों)। विषम क्रम के मैजिक स्क्वायर बनाने के लिए 'सियार विधि' (Siamese method) जैसी तकनीकों का अभ्यास करें।

 

प्रश्न 2. 4 x 4 के वर्ग को इस प्रकार खड़े और तिरछे खानों का योग समान हो जाए
1. 11 से 26 तक
2. 5 से 20 तक
3. 2 से 17
Answer:
1. 11 से 26 तक: इस श्रेणी के लिए जादुई वर्ग के उदाहरण में संख्याओं को इस तरह से व्यवस्थित किया जाता है कि प्रत्येक पंक्ति, स्तंभ और विकर्ण का योग समान हो।
2. 5 से 20 तक:

यह वर्ग 5 से 20 तक की संख्याओं का उपयोग करता है और प्रत्येक पंक्ति, स्तंभ और विकर्ण का योग 50 है, जिससे यह एक पूर्ण जादुई वर्ग बनता है।
3. 2 से 17 तक:
यह जादुई वर्ग 2 से 17 तक की संख्याओं का उपयोग करता है, और इसमें सभी दिशाओं में योग 38 है।
In simple words: आपको 4x4 ग्रिडों में संख्याओं को इस तरह से भरना था कि उनकी सभी पंक्तियों, स्तंभों और तिरछे विकर्णों का कुल जोड़ बराबर हो।

🎯 Exam Tip: जादुई वर्ग बनाने के लिए संख्याओं के पैटर्न और संतुलन को समझना महत्वपूर्ण है, ताकि सभी पंक्तियों, स्तंभों और विकर्णों का योग समान आए।