RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 3 घात एवं घातांक Important Questions

Rajasthan Board RBSE Class 8 Maths Chapter 3 घात एवं घातांक Additional Questions

प्रश्न I. बहुविकल्पात्मक

Question 1. \( 2^5 = 2^2 \) का अर्थ है –
(a) \( 2^{5+2} \)
(b) \( 2^{5-2} \)
(c) \( 2^{5/2} \)
(d) \( (2^5)^2 \)
Answer: (b) \( 2^{5-2} \)
In simple words: जब दो समान आधार वाली संख्याओं को भाग दिया जाता है, तो उनकी घातें (पावर) घट जाती हैं. यहाँ, यदि प्रश्न \( 2^5 \div 2^2 \) होता, तो उसका मान \( 2^{5-2} \) होता.

🎯 Exam Tip: घातों के नियमों को हमेशा याद रखें, जैसे गुणा में घातें जुड़ती हैं और भाग में घटती हैं. यह MCQs में बहुत काम आता है.

Question 2. \( 3^0 \) का मान होता है –
(a) 0
(b) 2
(c) 1
(d) 4
Answer: (c) 1
In simple words: किसी भी संख्या की घात जब शून्य (0) होती है, तो उसका मान हमेशा 1 होता है. यह गणित का एक मूलभूत नियम है.

🎯 Exam Tip: किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात 0 का मान हमेशा 1 होता है, चाहे वह संख्या कितनी भी बड़ी या छोटी क्यों न हो.

Question 3. \( (-\frac {8}{ 3 })^{24} \) में घातांक है –
(a) 3
(b) 8
(c) 24
(d) 12
Answer: (c) 24
In simple words: घातांक किसी संख्या को कितनी बार खुद से गुणा किया गया है, यह दर्शाता है. यहाँ, 24 वह संख्या है जो यह दिखाती है कि आधार को कितनी बार गुणा किया गया है.

🎯 Exam Tip: घातांक हमेशा वह संख्या होती है जो आधार के ऊपर लिखी जाती है और जो यह दर्शाती है कि आधार कितनी बार गुणा हुआ है.

Question 4. \( \frac {1}{{2}^{-2}} \) का मान होगा –
(a) 2
(b) 4
Answer: (b) 4
In simple words: जब कोई संख्या ऋणात्मक घात के साथ हर में होती है, तो उसे धनात्मक घात के साथ अंश में ले जाया जा सकता है. इसका मतलब है कि \( \frac{1}{2^{-2}} \) का मान \( 2^2 \) होगा, जो 4 के बराबर है.

🎯 Exam Tip: किसी भी संख्या की ऋणात्मक घात का अर्थ है उस संख्या का व्युत्क्रम (reciprocal) धनात्मक घात के साथ, जैसे \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).

Question 6. \( (4)^2 \times (4)^2 \) का घातांक रूप है -
(a) \( (4)^2 \)
(b) \( (27) \)
(c) \( (4)^{12} \)
(d) \( (4)^6 \)
Answer: (c) \( (4)^{12} \)
In simple words: जब समान आधार वाली संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो उनकी घातें जुड़ जाती हैं. अगर यहाँ \( 4^2 \times 4^2 \) है, तो यह \( 4^{2+2} = 4^4 \) होगा. हालाँकि, दिए गए विकल्पों में \( (4)^{12} \) को सही उत्तर माना गया है.

🎯 Exam Tip: गुणा के नियम के अनुसार, समान आधार पर घातांक जुड़ जाते हैं (जैसे \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)).

Question 7. \( (3^5 \times 3^3) \div (3)^{14} \) का मान है -
(a) \( \frac{1}{3^3} \)
(b) \( \frac{1}{3^6} \)
(c) \( \frac{1}{3^{14}} \)
(d) \( \frac{1}{3^9} \)
Answer: (b) \( \frac{1}{3^6} \)
In simple words: पहले कोष्ठक के अंदर की घातों को जोड़ें, फिर भाग के नियम का उपयोग करके घातों को घटाएं. \( 3^5 \times 3^3 = 3^{5+3} = 3^8 \). अब \( 3^8 \div 3^{14} = 3^{8-14} = 3^{-6} = \frac{1}{3^6} \).

🎯 Exam Tip: घातांक के नियमों का सही क्रम में प्रयोग करें: पहले गुणा (घातों का योग), फिर भाग (घातों का घटाव).

Question 8. \( (-1)^{101} \) बराबर है –
(a) 1
(b) - 1
(c) 0
(d) 101
Answer: (b) - 1
In simple words: यदि -1 की घात कोई विषम संख्या हो, तो उसका मान हमेशा -1 होता है. यदि घात कोई सम संख्या हो, तो मान 1 होता है. यहाँ 101 एक विषम संख्या है.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक आधार की घातों को हल करते समय, घात की सम या विषम प्रकृति पर ध्यान दें.

Question 9. 2000000 मानक रूप में है –
(a) \( 0.2 \times 10^5 \)
(b) \( 2.0 \times 10^6 \)
Answer: (b) \( 2.0 \times 10^6 \)
In simple words: मानक रूप में, एक संख्या को 1 से 10 के बीच की संख्या और 10 की घात के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है. 2,000,000 में दशमलव को 6 स्थान बाईं ओर खिसकाया जाता है, इसलिए \( 10^6 \) से गुणा करते हैं.

🎯 Exam Tip: मानक रूप में, पहली संख्या (गुणांक) हमेशा 1 और 10 के बीच होनी चाहिए, और उसके बाद 10 की उचित घात होनी चाहिए.

II. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

Question II.1. 500000000 का मानक रूप है ......
Answer: \( 5 \times 10^8 \)
In simple words: इस संख्या को मानक रूप में लिखने के लिए, हम 5 को 10 की घात से गुणा करते हैं, जो बताता है कि दशमलव बिंदु कितने स्थान खिसका है.

🎯 Exam Tip: बड़ी संख्याओं के लिए, दशमलव को बाईं ओर खिसकाने पर 10 की धनात्मक घात आती है.

Question II.2. 128 का घातांक रूप है : ......
Answer: \( 2^7 \)
In simple words: 128 को 2 की घात के रूप में लिखने पर, हमें \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \) मिलता है, जो \( 2^7 \) होता है.

🎯 Exam Tip: घातांक रूप में लिखने के लिए, संख्या के अभाज्य गुणनखंड करें और देखें कि कौन सा अभाज्य गुणनखंड कितनी बार आता है.

Question II.3. 144 का अभाज्य गुणनखण्ड है. ......
Answer: \( 2^4 \times 3^2 \)
In simple words: 144 के अभाज्य गुणनखंडों में 2 चार बार आता है और 3 दो बार आता है.

🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंड करने के लिए, संख्या को सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंड (जैसे 2) से भाग देना शुरू करें और तब तक जारी रखें जब तक शेष 1 न हो जाए.

Question II.4. \( 2^{10} \) और 10 में से बड़ी संख्या ......
Answer: \( 2^{10} \)
In simple words: \( 2^{10} \) का मान \( 1024 \) होता है, जो 10 से बहुत बड़ा है, इसलिए \( 2^{10} \) बड़ी संख्या है.

🎯 Exam Tip: संख्याओं की तुलना करते समय, पहले उनके वास्तविक मानों की गणना करें या उनका अनुमान लगाएं.

Question II.5. \( 20 \times 30 \times 409 \) को मान है.. ......
Answer: 245400
In simple words: इन तीनों संख्याओं को गुणा करने पर, हमें \( 20 \times 30 = 600 \) मिलता है, और फिर \( 600 \times 409 \) का गुणनफल 245400 होता है.

🎯 Exam Tip: गुणा करते समय, पहले छोटी संख्याओं को गुणा करें या शून्य वाली संख्याओं को एक साथ लें, जैसे \( 20 \times 30 \) से शुरू करना आसान होता है.

III. सत्य/असत्य

Question III.1. 100000000000 का मानक रूप \( 1.0 \times 10^{11} \) है।
Answer: सत्य
In simple words: 100000000000 में 1 के बाद 11 शून्य हैं, इसलिए इसे \( 1 \times 10^{11} \) के रूप में लिखा जाता है, जो मानक रूप है.

🎯 Exam Tip: मानक रूप में, दशमलव को पहली गैर-शून्य संख्या के बाद रखा जाता है और 10 की घात से गुणा किया जाता है.

Question III.2. \( (-2a)^3 = 8a^3 \) होता है।
Answer: असत्य
In simple words: \( (-2a)^3 \) का मतलब \( (-2)^3 \times a^3 \) होता है, जो \( -8a^3 \) के बराबर है, न कि \( 8a^3 \).

🎯 Exam Tip: कोष्ठक में ऋणात्मक संख्या की विषम घात का परिणाम ऋणात्मक होता है, जबकि सम घात का परिणाम धनात्मक होता है.

Question III.3. \( (2^0 + 3^0) \times 4^0 \) का मान 2 है।
Answer: सत्य
In simple words: \( 2^0 \) का मान 1 होता है, \( 3^0 \) का मान 1 होता है, और \( 4^0 \) का मान भी 1 होता है. तो \( (1 + 1) \times 1 = 2 \times 1 = 2 \).

🎯 Exam Tip: किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात 0 का मान 1 होता है, इस नियम का उपयोग करके ऐसे प्रश्नों को आसानी से हल किया जा सकता है.

Question III.4. \( 5^{-2} \) का घन घातांक रूप \( \frac {1}{{5}^{-2}} \) है।
Answer: सत्य
In simple words: \( 5^{-2} \) का घन \( (5^{-2})^3 = 5^{-6} \) होता है. और \( \frac{1}{5^{-2}} = 5^2 \) होता है. दिए गए प्रश्न में इसे सत्य बताया गया है, जो गणितीय रूप से असंगत है, लेकिन हम स्रोत के उत्तर का पालन कर रहे हैं.

🎯 Exam Tip: घात की घात को गुणा किया जाता है, जैसे \( (a^m)^n = a^{mn} \). ऋणात्मक घात को धनात्मक बनाने के लिए व्युत्क्रम का उपयोग करें.

Question III.5. \( (\frac {4}{5})^{20} \) में घातांक 50 व आधार \( \frac {4}{5} \) है।
Answer: असत्य
In simple words: यहाँ आधार \( \frac{4}{5} \) सही है, लेकिन घातांक 20 है, 50 नहीं. चूँकि एक कथन गलत है, तो पूरा कथन असत्य हो जाता है.

🎯 Exam Tip: घातांक आधार के ठीक ऊपर लिखी गई संख्या होती है, और यह बताती है कि आधार कितनी बार गुणा किया गया है.

प्रश्न 2. 729 को घातांक रूप में लिखिए।
Answer: \( 729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^6 \). इसे 3 को 6 बार गुणा करके प्राप्त किया जाता है.
In simple words: 729 को 3 की घात के रूप में लिखने पर \( 3^6 \) मिलता है.

🎯 Exam Tip: घातांक रूप में लिखने के लिए, दी गई संख्या के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें.

प्रश्न 3. \( (\frac{2}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5}) \times (\frac{3}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{5}) \) को घातांक रूप में लिखिए।
Answer: \( (\frac{2}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5}) \times (\frac{3}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{5}) = (\frac{2}{5})^3 \times (\frac{3}{5})^3 \). समान घातों के साथ गुणा करने पर आधारों का गुणनफल लेकर घात वही रहती है, इसलिए यह \( (\frac{2}{5} \times \frac{3}{5})^3 = (\frac{6}{25})^3 \) होगा.
In simple words: प्रत्येक भाग को घात 3 के रूप में लिखें, फिर उन्हें एक साथ गुणा करें.

🎯 Exam Tip: जब घातें समान हों तो आधारों को गुणा करके एक ही घात लगा सकते हैं: \( a^m \times b^m = (a \times b)^m \).

प्रश्न 4. \( (\frac{1}{3})^3 \times (\frac{2}{3})^4 \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: \( (\frac{1}{3})^3 \times (\frac{2}{3})^4 = \frac{1^3}{3^3} \times \frac{2^4}{3^4} \)
\( = \frac{1}{27} \times \frac{16}{81} \)
\( = \frac{1 \times 16}{27 \times 81} = \frac{16}{2187} \). भिन्नों का गुणा करते समय अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करते हैं.
In simple words: पहले प्रत्येक भिन्न की घात को हल करें, फिर दोनों भिन्नों को आपस में गुणा करें.

🎯 Exam Tip: भिन्नों की घात हल करते समय, अंश और हर दोनों पर घात लगाएं, जैसे \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \).

प्रश्न 5. \( [(4^3 \times 4^4) \div 4^9 ]^2 \) को घातांक रूप में लिखिए।
Answer: \( [(4^3 \times 4^4) \div 4^9 ]^2 = [4^{3+4} \div 4^9]^2 \)
\( = [4^7 \div 4^9]^2 \)
\( = [4^{7-9}]^2 \)
\( = [4^{-2}]^2 \)
\( = 4^{-2 \times 2} = 4^{-4} \). यहाँ, पहले कोष्ठक के अंदर के नियमों का पालन किया गया और फिर घात की घात के नियम का प्रयोग किया गया.
In simple words: पहले कोष्ठक के अंदर की घातों को जोड़ें, फिर घटाएं, और अंत में बाहर की घात से गुणा करें.

🎯 Exam Tip: घातांक के प्रश्नों को हल करते समय BODMAS (या PEMDAS) नियम का पालन करें, जिसमें कोष्ठक को पहले हल किया जाता है.

प्रश्न 7. यदि \( 2^{a/b} =1 \) तो \( a \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है \( 2^{a/b} = 1 \). हम जानते हैं कि किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात 0 का मान 1 होता है, इसलिए हम 1 को \( 2^0 \) के रूप में लिख सकते हैं.
\( 2^{a/b} = 2^0 \)
चूँकि दोनों पक्षों का आधार समान है, तो उनकी घातें भी समान होनी चाहिए.
\( \frac{a}{b} = 0 \)
\( \implies \) \( a = 0 \times b \)
\( \implies \) \( a = 0 \). इस प्रकार, \( a \) का मान 0 है.
In simple words: किसी भी संख्या को 1 बनाने के लिए उसकी घात को 0 होना चाहिए. इसलिए, \( a/b \) को 0 होना चाहिए, जिसका मतलब है कि \( a \) का मान 0 होगा.

🎯 Exam Tip: जब किसी समीकरण में आधार समान होते हैं, तो हम सीधे उनकी घातों की तुलना कर सकते हैं. याद रखें कि \( x^0 = 1 \) (जहाँ \( x \neq 0 \)).

प्रश्न 8. यदि \( a=2, b=3 \) तो \( (a^b + b^a)^{-1} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए मानों को व्यंजक में रखने पर:
\( (a^b + b^a)^{-1} = (2^3 + 3^2)^{-1} \)
\( = (2 \times 2 \times 2 + 3 \times 3)^{-1} \)
\( = (8 + 9)^{-1} \)
\( = (17)^{-1} \). ऋणात्मक घात का अर्थ व्युत्क्रम होता है.
\( = \frac{1}{17} \). यह व्यंजक का अंतिम मान है.
In simple words: \( a \) और \( b \) के मानों को सूत्र में डालें, घातों को हल करें, जोड़ें, और फिर परिणाम का व्युत्क्रम (उल्टा) करें.

🎯 Exam Tip: चर मानों को व्यंजकों में प्रतिस्थापित करते समय सावधान रहें, और घातों के नियमों का सही ढंग से पालन करें.

प्रश्न 9. मान ज्ञात कीजिए
(i) \( 3^2 \times 3^3 \)
(ii) \( [(\frac{1}{2})^2]^3 \)
Answer:
(i) \( 3^2 \times 3^3 \)
समान आधार होने पर, गुणा करते समय घातें जुड़ जाती हैं.
\( = 3^{2+3} \)
\( = 3^5 \)
\( = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)
\( = 243 \). यह इस भाग का अंतिम उत्तर है.
(ii) \( [(\frac{1}{2})^2]^3 \)
घात की घात होने पर, घातों को गुणा किया जाता है.
\( = (\frac{1}{2})^{2 \times 3} \)
\( = (\frac{1}{2})^6 \)
\( = \frac{1^6}{2^6} \)
\( = \frac{1}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} \)
\( = \frac{1}{64} \). यह दूसरे भाग का मान है.
In simple words: भाग (i) में, आधार समान होने पर घातों को जोड़ें. भाग (ii) में, जब एक घात के ऊपर दूसरी घात हो, तो उन्हें गुणा करें.

🎯 Exam Tip: घातांक के दो मुख्य नियम याद रखें: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) और \( (a^m)^n = a^{mn} \).

V. लघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. \( [(343)^{-2}]^{\frac{1}{3}} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: \( [(343)^{-2}]^{\frac{1}{3}} \)
हम जानते हैं कि \( 343 = 7^3 \) होता है, इसलिए हम इसे प्रतिस्थापित कर सकते हैं.
\( = [(7^3)^{-2}]^{\frac{1}{3}} \)
घात की घात को गुणा किया जाता है.
\( = [7^{3 \times (-2)}]^{\frac{1}{3}} \)
\( = [7^{-6}]^{\frac{1}{3}} \)
पुनः घात की घात को गुणा करें.
\( = 7^{-6 \times \frac{1}{3}} \)
\( = 7^{-2} \). ऋणात्मक घात का अर्थ व्युत्क्रम होता है.
\( = \frac{1}{7^2} \)
\( = \frac{1}{7 \times 7} \)
\( = \frac{1}{49} \). यह इस व्यंजक का अंतिम मान है.
In simple words: पहले 343 को 7 की घात में बदलें. फिर घातों को एक-एक करके गुणा करते जाएं और अंत में ऋणात्मक घात को धनात्मक बनाने के लिए व्युत्क्रम करें.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, बड़ी संख्या को उसके अभाज्य आधार की घात के रूप में व्यक्त करना पहला महत्वपूर्ण कदम होता है.

Question 2. दर्शाइए कि \( (x^{a-b})^{a+b} (x^{b-c})^{b+c} (x^{c-a})^{c+a} = 1 \)
Answer: हम बायां पक्ष (LHS) लेते हैं:
\( (x^{a-b})^{a+b} (x^{b-c})^{b+c} (x^{c-a})^{c+a} \)
घात की घात के नियम का उपयोग करते हुए, घातों को गुणा करें: \( (P^m)^n = P^{mn} \)
\( = x^{(a-b)(a+b)} x^{(b-c)(b+c)} x^{(c-a)(c+a)} \)
बीजगणितीय सर्वसमिका \( (P-Q)(P+Q) = P^2-Q^2 \) का उपयोग करें.
\( = x^{a^2-b^2} x^{b^2-c^2} x^{c^2-a^2} \)
समान आधार होने पर, गुणा करते समय घातें जुड़ जाती हैं: \( P^m \times P^n \times P^k = P^{m+n+k} \)
\( = x^{a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2} \)
घातों को जोड़ने पर, सभी पद कट जाते हैं.
\( = x^0 \)
\( = 1 \). जो कि दायां पक्ष (RHS) है.
इस प्रकार, \( (x^{a-b})^{a+b} (x^{b-c})^{b+c} (x^{c-a})^{c+a} = 1 \) सिद्ध हुआ.
In simple words: पहले हर कोष्ठक में घातों को गुणा करें (जैसे \( (a-b)(a+b) = a^2-b^2 \)). फिर सभी \( x \) की घातों को जोड़ दें. अंत में, सभी घातें कट कर 0 हो जाएंगी, जिससे \( x^0 = 1 \) मिलेगा.

🎯 Exam Tip: ऐसे "सिद्ध करें" वाले प्रश्नों में, घातांक के नियमों और बीजगणितीय सर्वसमिकाओं (विशेषकर \( (a-b)(a+b) = a^2-b^2 \)) का सही ढंग से प्रयोग करें.

Question 3. निम्न को परिमाण के बढ़ते क्रम में लिखिए \( (3)^{\frac{1}{4}}, (2)^{\frac{1}{3}}, (4)^{\frac{1}{3}} \)
Answer: दिए गए व्यंजक हैं: \( (3)^{\frac{1}{4}}, (2)^{\frac{1}{3}}, (4)^{\frac{1}{3}} \)
घातों के हरों (4, 3, 3) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो 12 है.
अब प्रत्येक व्यंजक को हर में 12 के साथ समान घात के रूप में लिखें:
\( (3)^{\frac{1}{4}} = (3)^{\frac{3}{12}} = (3^3)^{\frac{1}{12}} = (27)^{\frac{1}{12}} \)
\( (2)^{\frac{1}{3}} = (2)^{\frac{4}{12}} = (2^4)^{\frac{1}{12}} = (16)^{\frac{1}{12}} \)
\( (4)^{\frac{1}{3}} = (4)^{\frac{4}{12}} = (4^4)^{\frac{1}{12}} = (256)^{\frac{1}{12}} \)
अब आधारों की तुलना करें क्योंकि सभी की घात \( \frac{1}{12} \) समान है:
\( 16 < 27 < 256 \)
इसलिए, बढ़ते क्रम में लिखने पर:
\( (16)^{\frac{1}{12}} < (27)^{\frac{1}{12}} < (256)^{\frac{1}{12}} \)
इसका अर्थ है मूल संख्याओं के रूप में:
\( (2)^{\frac{1}{3}} < (3)^{\frac{1}{4}} < (4)^{\frac{1}{3}} \). यह संख्याओं का बढ़ता हुआ क्रम है.
In simple words: संख्याओं की तुलना करने के लिए, उनकी घातों के हरों का LCM लें और प्रत्येक संख्या को उस समान हर वाली घात के रूप में बदलें. फिर, जिनके आधार बड़े होते हैं, वे संख्याएं बड़ी होती हैं.

🎯 Exam Tip: विभिन्न घातों वाली संख्याओं की तुलना करने के लिए, सभी घातों को एक समान हर में लाएं, और फिर आधारों की तुलना करके क्रम निर्धारित करें.

Question 4. मान ज्ञात कीजिए \( \frac{2^{28}(2^2+2^1+1)}{2^{29}(2^2+2^1-1)} \)
Answer: दिए गए व्यंजक को हल करें:
\( \frac{2^{28}(2^2+2^1+1)}{2^{29}(2^2+2^1-1)} \)
कोष्ठक के अंदर के मानों की गणना करें:
\( = \frac{2^{28}(4+2+1)}{2^{29}(4+2-1)} \)
\( = \frac{2^{28}(7)}{2^{29}(5)} \)
घातों के भाग के नियम का उपयोग करें: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
\( = \frac{2^{28}}{2^{29}} \times \frac{7}{5} \)
\( = 2^{28-29} \times \frac{7}{5} \)
\( = 2^{-1} \times \frac{7}{5} \). ऋणात्मक घात का अर्थ व्युत्क्रम है.
\( = \frac{1}{2} \times \frac{7}{5} \)
\( = \frac{7}{10} \). यह व्यंजक का अंतिम मान है.
In simple words: पहले कोष्ठक के अंदर की संख्याओं को जोड़ें और घटाएं. फिर समान आधार (2) वाली घातों को घटाएं. अंत में, बची हुई संख्याओं को गुणा करें.

🎯 Exam Tip: ऐसे जटिल व्यंजकों को हल करते समय, पहले कोष्ठक के अंदर के संचालन करें, फिर घातों के नियमों का पालन करें.

Question 5. \( \frac{3^5 \times 10^5 \times 125}{5^{-7} \times 6^{-5}} \) को हल कीजिए।
Answer: दिए गए व्यंजक को हल करें:
\( \frac{3^5 \times 10^5 \times 125}{5^{-7} \times 6^{-5}} \)
सभी संख्याओं को उनके अभाज्य गुणनखंडों की घातों के रूप में लिखें:
\( = \frac{3^5 \times (2 \times 5)^5 \times 5^3}{5^{-7} \times (2 \times 3)^{-5}} \)
घातों को वितरित करें:
\( = \frac{3^5 \times 2^5 \times 5^5 \times 5^3}{5^{-7} \times 2^{-5} \times 3^{-5}} \)
समान आधारों वाली घातों को एक साथ लाएं और नियमों का उपयोग करें (गुणा में घातें जुड़ती हैं, भाग में घटती हैं):
\( = 3^{5-(-5)} \times 2^{5-(-5)} \times 5^{5+3-(-7)} \)
\( = 3^{10} \times 2^{10} \times 5^{15} \)
यह दिए गए प्रश्न का हल है. (यदि स्रोत का उत्तर \( 5^5 \) अपेक्षित हो तो मूल प्रश्न या समाधान के चरणों में विसंगति है, लेकिन गणितीय रूप से यह परिणाम \( 3^{10} \times 2^{10} \times 5^{15} \) है.)
In simple words: सभी संख्याओं को उनके सबसे छोटे गुणनखंडों की घातों में तोड़ें. फिर समान आधारों को एक साथ लाएं और गुणा और भाग के नियमों के अनुसार उनकी घातों को जोड़ें या घटाएं.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, सभी संख्याओं को उनके अभाज्य गुणनखंडों की घातों में व्यक्त करना पहला और सबसे महत्वपूर्ण कदम है. \( 10^5 = (2 \times 5)^5 \) और \( 6^{-5} = (2 \times 3)^{-5} \) जैसे संबंधों को पहचानें.

Question 6. \( p \) का मान ज्ञात कीजिए यदि \( 5^{p-3} \times 3^{2p-8} = 225 \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( 5^{p-3} \times 3^{2p-8} = 225 \)
समीकरण के दाएं पक्ष (RHS) को अभाज्य गुणनखंडों की घातों के रूप में लिखें:
\( 225 = 9 \times 25 = 3^2 \times 5^2 \)
तो समीकरण बन जाता है:
\( 5^{p-3} \times 3^{2p-8} = 5^2 \times 3^2 \)
अब, दोनों पक्षों के आधारों की तुलना करें. चूंकि आधार समान हैं, उनकी घातें भी समान होनी चाहिए.
घातांक 5 के लिए:
\( p-3 = 2 \)
\( \implies \) \( p = 2+3 \)
\( \implies \) \( p = 5 \)
घातांक 3 के लिए:
\( 2p-8 = 2 \)
\( \implies \) \( 2p = 2+8 \)
\( \implies \) \( 2p = 10 \)
\( \implies \) \( p = \frac{10}{2} \)
\( \implies \) \( p = 5 \). दोनों स्थितियों में \( p \) का मान 5 आता है.
इस प्रकार, \( p \) का मान 5 है.
In simple words: पहले 225 को 3 और 5 की घातों में तोड़ें. फिर दोनों पक्षों में समान आधारों की घातों की तुलना करके \( p \) का मान ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, दोनों पक्षों को समान अभाज्य आधारों की घातों के रूप में व्यक्त करना महत्वपूर्ण है, ताकि घातों की तुलना की जा सके.

Question 7. यदि \( (-2)^{x+1} \times (-2)^3 = (-2)^5 \) हों, तो \( x \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( (-2)^{x+1} \times (-2)^3 = (-2)^5 \)
समान आधारों के गुणनफल के नियम का उपयोग करें: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
\( (-2)^{(x+1)+3} = (-2)^5 \)
\( (-2)^{x+4} = (-2)^5 \)
अब, दोनों पक्षों के आधार समान हैं, तो उनकी घातें भी समान होनी चाहिए.
\( x+4 = 5 \)
\( \implies \) \( x = 5-4 \)
\( \implies \) \( x = 1 \). इस प्रकार, \( x \) का मान 1 है.
In simple words: समान आधार वाली संख्याओं को गुणा करते समय उनकी घातें जुड़ जाती हैं. फिर दोनों पक्षों की घातों की तुलना करके \( x \) का मान निकालें.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक आधारों के साथ काम करते समय, घातों के नियमों को सावधानी से लागू करें, विशेष रूप से जब आधारों को बराबर करने के बाद घातों की तुलना करनी हो.

Question 8. मान ज्ञात कीजिए \( (\frac{81}{16})^{-3/4} \times (\frac{25}{9})^{-3/2} \)
Answer: दिए गए व्यंजक को हल करें:
\( (\frac{81}{16})^{-3/4} \times (\frac{25}{9})^{-3/2} \)
पहले भिन्नों को घातों के रूप में लिखें:
\( 81 = 3^4 \) और \( 16 = 2^4 \), इसलिए \( \frac{81}{16} = (\frac{3}{2})^4 \)
\( 25 = 5^2 \) और \( 9 = 3^2 \), इसलिए \( \frac{25}{9} = (\frac{5}{3})^2 \)
व्यंजक बन जाता है:
\( = [(\frac{3}{2})^4]^{-3/4} \times [(\frac{5}{3})^2]^{-3/2} \)
घात की घात के नियम का उपयोग करें: \( (a^m)^n = a^{mn} \)
\( = (\frac{3}{2})^{4 \times (-3/4)} \times (\frac{5}{3})^{2 \times (-3/2)} \)
\( = (\frac{3}{2})^{-3} \times (\frac{5}{3})^{-3} \)
ऋणात्मक घात को धनात्मक बनाने के लिए व्युत्क्रम करें:
\( = (\frac{2}{3})^3 \times (\frac{3}{5})^3 \)
समान घातों के गुणनफल के नियम का उपयोग करें: \( a^m \times b^m = (a \times b)^m \)
\( = (\frac{2}{3} \times \frac{3}{5})^3 \)
गुणा करें और सरल करें:
\( = (\frac{2 \times 3}{3 \times 5})^3 \)
\( = (\frac{2}{5})^3 \)
\( = \frac{2^3}{5^3} \)
\( = \frac{8}{125} \). यह व्यंजक का अंतिम मान है.
In simple words: पहले भिन्नों को आधारों की घातों के रूप में बदलें. फिर घातों को गुणा करें. ऋणात्मक घातों को धनात्मक बनाने के लिए भिन्नों को उल्टा करें. अंत में, आधारों को गुणा करके एक ही घात लगाएं और हल करें.

🎯 Exam Tip: भिन्नों की घात वाले प्रश्नों में, पहले भिन्न को किसी आधार की घात के रूप में व्यक्त करें (जैसे \( \frac{81}{16} = (\frac{3}{2})^4 \)), इससे गणना आसान हो जाती है.

Question 9. निम्नलिखित संख्याओं को मानक रूप में लिखिए
(1) 10350000
(2) 0.0007305
Answer:
(1) 10350000
दशमलव को बाईं ओर खिसकाएं ताकि संख्या 1 से 10 के बीच हो.
\( 10350000 = 1.035 \times 10000000 \)
\( = 1.035 \times 10^7 \). यह 10350000 का मानक रूप है.
(2) 0.0007305
दशमलव को दाईं ओर खिसकाएं ताकि संख्या 1 से 10 के बीच हो.
\( 0.0007305 = 7.305 \times \frac{1}{10000} \)
\( = 7.305 \times 10^{-4} \). यह 0.0007305 का मानक रूप है.
In simple words: बड़ी संख्याओं के लिए, दशमलव को बाईं ओर खिसकाएं और 10 की धनात्मक घात का उपयोग करें. छोटी संख्याओं के लिए, दशमलव को दाईं ओर खिसकाएं और 10 की ऋणात्मक घात का उपयोग करें.

🎯 Exam Tip: मानक रूप में, पहली संख्या (गुणांक) हमेशा 1 से 10 के बीच होनी चाहिए, और 10 की घात दशमलव के खिसकाव की दिशा और संख्या को दर्शाती है.

Question 10. एक रक्त कोशिका का आकार 0.000007m होता है और एक पादप कोशिका का आकार 0.00001275m है। इनकी तुलना करें।
Answer: रक्त कोशिका का आकार \( = 0.000007 \)m
इसे मानक रूप में लिखने पर: \( 7 \times 10^{-6} \)m
पादप कोशिका का आकार \( = 0.00001275 \)m
इसे मानक रूप में लिखने पर: \( 1.275 \times 10^{-5} \)m
तुलना करने के लिए, हम इनके अनुपात को ज्ञात करते हैं:
\( \frac{\text{रक्त कोशिका का आकार}}{\text{पादप कोशिका का आकार}} = \frac{7 \times 10^{-6}}{1.275 \times 10^{-5}} \)
\( = \frac{7}{1.275} \times 10^{-6 - (-5)} \)
\( = \frac{7}{1.275} \times 10^{-1} \)
\( = \frac{7}{12.75} \)
\( \approx 0.549 \). यह मान लगभग 0.5 है.
अतः रक्त कोशिका का आकार पादप कोशिका के आकार का लगभग आधा होता है. रक्त कोशिका का आकार पादप कोशिका से छोटा है.
In simple words: दोनों आकारों को मानक रूप में बदलें. फिर उन्हें आपस में भाग दें (अनुपात निकालें) यह देखने के लिए कि एक दूसरे से कितना छोटा या बड़ा है.

🎯 Exam Tip: छोटी संख्याओं की तुलना करते समय, उन्हें मानक रूप में व्यक्त करना तुलना को आसान बनाता है. अनुपात ज्ञात करना एक प्रभावी तरीका है.

Question 11. मानक रूप में व्यक्त कीजिए
(i) 15,00,00,000
(ii) 0.0000067
Answer:
(i) 15,00,00,000
दशमलव को बाईं ओर खिसकाएं ताकि संख्या 1 से 10 के बीच हो.
\( 15,00,00,000 = 15 \times 1,00,00,000 \)
\( = 15 \times 10^7 \)
\( = 1.5 \times 10^1 \times 10^7 \)
\( = 1.5 \times 10^{1+7} = 1.5 \times 10^8 \). यह इस संख्या का मानक रूप है.
(ii) 0.0000067
दशमलव को दाईं ओर खिसकाएं ताकि संख्या 1 से 10 के बीच हो.
\( 0.0000067 = \frac{67}{1,00,00,000} \)
\( = \frac{67}{10^7} \)
\( = 67 \times 10^{-7} \)
\( = 6.7 \times 10^1 \times 10^{-7} \)
\( = 6.7 \times 10^{1-7} = 6.7 \times 10^{-6} \). यह इस संख्या का मानक रूप है.
In simple words: बड़ी संख्या में, दशमलव को पहली संख्या के बाद लाएं और गिनें कि कितने स्थान खिसके हैं, वह 10 की धनात्मक घात होगी. छोटी संख्या में, दशमलव को पहली गैर-शून्य संख्या के बाद लाएं और गिनें कि कितने स्थान खिसके हैं, वह 10 की ऋणात्मक घात होगी.

🎯 Exam Tip: मानक रूप में व्यक्त करते समय, हमेशा यह सुनिश्चित करें कि गुणांक 1 और 10 के बीच हो, और 10 की घात सही हो.

Question 12. यदि \( (243)^{x+1} = (243)^{-5} \) हैं, तो \( x \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( (243)^{x+1} = (243)^{-5} \)
चूँकि समीकरण के दोनों पक्षों के आधार समान (243) हैं, तो उनकी घातें (exponent) भी समान होनी चाहिए.
\( x+1 = -5 \)
\( \implies \) \( x = -5-1 \)
\( \implies \) \( x = -6 \). इस प्रकार, \( x \) का मान -6 है.
In simple words: जब दो समान आधार वाली संख्याएं बराबर हों, तो उनकी घातें भी बराबर होनी चाहिए. घातों को बराबर करके, आप \( x \) का मान आसानी से ज्ञात कर सकते हैं.

🎯 Exam Tip: समान आधार वाले समीकरणों को हल करने का सबसे आसान तरीका यह है कि घातों को बराबर करें और चर के लिए हल करें.

Rajasthan Board RBSE Class 8 Maths Chapter 3 घात एवं घातांक Additional Questions

प्रश्न I. बहुविकल्पात्मक

Question 1. \( 2^5 \div 2^2 \) का अर्थ है –
(a) \( 2^{5+2} \)
(b) \( 2^{5-2} \)
(c) \( 2^{5/2} \)
(d) \( (2^5)^2 \)
Answer: (b) \( 2^{5-2} \)
In simple words: जब हम एक ही आधार वाली संख्याओं को भाग देते हैं, तो उनकी घातें घट जाती हैं. इसलिए \( 2^5 \div 2^2 \) का मतलब \( 2 \) की घात \( (5-2) \) है.

🎯 Exam Tip: घातों के नियमों को याद रखें, जैसे गुणा करने पर घातें जुड़ती हैं और भाग देने पर घटती हैं. \( a^m \div a^n = a^{m-n} \).

Question 2. \( 3^0 \) का मान होता है –
(a) 0
(b) 2
(c) 1
(d) 4
Answer: (c) 1
In simple words: किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात अगर शून्य हो, तो उसका मान हमेशा 1 होता है. यह एक बुनियादी घातांक नियम है.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि \( 0^0 \) अपरिभाषित होता है, लेकिन किसी भी अन्य संख्या \( a \ne 0 \) के लिए \( a^0 = 1 \) होता है.

Question 3. \( (-\frac {8}{ 3 })^{24} \) में घातांक है –
(a) 3
(b) 8
(c) 24
(d) 12
Answer: (c) 24
In simple words: एक घातांक वह संख्या होती है जो दर्शाती है कि आधार को कितनी बार खुद से गुणा किया गया है. इस अभिव्यक्ति में, 24 ही घातांक है.

🎯 Exam Tip: घातांक हमेशा वह संख्या होती है जो आधार के ऊपर छोटी लिखी होती है. आधार वह संख्या होती है जिसका घातांक होता है.

Question 4. \( (\frac {1}{{2}^{-2}}) \) का मान होगा
(a) 2
(b) 4
Answer: (b) 4
In simple words: जब किसी संख्या की घात ऋणात्मक होती है, तो उसे धनात्मक बनाने के लिए संख्या को पलट देते हैं. यहां \( 2^{-2} \) का मतलब \( \frac{1}{2^2} \) है. इसलिए, \( \frac{1}{{2}^{-2}} \) का मतलब \( 2^2 \) होगा, जो कि 4 है.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक घातांक नियम को ध्यान में रखें: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \). यह नियम भिन्नों के लिए भी लागू होता है.

Question 6. \( (4)^2 x (4)^2 \) का घातांक रूप है -
(a) \( (4)^2 \)
(b) (27)
(c) \( (4)^{12} \)
(d) \( (4)^6 \)
(e) None of the options
Answer: (e) None of the options
In simple words: जब एक ही आधार वाली दो संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो उनकी घातें जुड़ जाती हैं. यहां आधार 4 है, और घातें 2 और 2 हैं. इसलिए, \( (4)^2 \times (4)^2 = 4^{(2+2)} = 4^4 \). दिए गए विकल्पों में से कोई भी \( 4^4 \) के बराबर नहीं है.

🎯 Exam Tip: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) नियम को हमेशा याद रखें. यह घातांकों को गुणा करने का एक महत्वपूर्ण नियम है.

Question 7. \( (3^5 \times 3^3) \div (3)^{14} \) का मान है -
(a) \( \frac{1}{3^3} \)
(b) \( \frac{1}{3^6} \)
(c) \( \frac{1}{3^{14}} \)
(d) \( \frac{1}{3^5} \)
Answer: (b) \( \frac{1}{3^6} \)
In simple words: पहले कोष्ठक में गुणा करें, जहां घातें जुड़ जाती हैं, जिससे \( 3^8 \) मिलेगा. फिर इसे \( 3^{14} \) से भाग दें, जिससे घातें घट जाएंगी. \( 3^{8-14} = 3^{-6} \), जिसका मतलब \( \frac{1}{3^6} \) है.

🎯 Exam Tip: घातांक के नियमों का सही क्रम में पालन करें: पहले गुणा (घातें जोड़ें), फिर भाग (घातें घटाएँ). सुनिश्चित करें कि आप ऋणात्मक घातांक को सही ढंग से धनात्मक भिन्न में बदलते हैं.

Question 8. \( (-1)^{101} \) बराबर है –
(a) 1
(b) - 1
(c) 0
(d) 101
Answer: (b) - 1
In simple words: जब -1 को एक विषम संख्या (जैसे 101) की घात पर उठाया जाता है, तो परिणाम हमेशा -1 ही होता है. अगर घात सम संख्या होती, तो परिणाम +1 होता.

🎯 Exam Tip: \( (-1)^n \) नियम को याद रखें: यदि n सम है, तो \( (-1)^n = 1 \); यदि n विषम है, तो \( (-1)^n = -1 \). यह छोटी संख्याओं के साथ जल्दी से जाँच की जा सकती है.

Question 9. 2000000 मानक रूप में है –
(a) \( 0.2 \times 10^5 \)
(b) \( 2.0 \times 10^6 \)
Answer: (b) \( 2.0 \times 10^6 \)
In simple words: मानक रूप में, संख्या को 1 और 10 के बीच होना चाहिए, और फिर उसे 10 की घात से गुणा करना चाहिए. 2000000 में दशमलव बिंदु को 6 स्थान बाईं ओर खिसकाने पर 2.0 बनता है, इसलिए घात 6 होगी.

🎯 Exam Tip: मानक रूप लिखते समय दशमलव बिंदु को हमेशा पहली गैर-शून्य संख्या के बाद रखें. दशमलव बिंदु को जितने स्थान खिसकाते हैं, वही 10 की घात होती है (दाएं खिसकाने पर ऋणात्मक, बाएं खिसकाने पर धनात्मक).

II. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

Question 1. 500000000 का मानक रूप है ........
Answer: \( 5 \times 10^8 \)
In simple words: संख्या 500000000 को मानक रूप में लिखने के लिए, हम दशमलव को 5 के बाद रखते हैं. दशमलव को 8 स्थान बाईं ओर खिसकाया जाता है, इसलिए 10 की घात 8 होगी.

🎯 Exam Tip: मानक रूप में बड़ी संख्याओं को छोटा करके लिखना आसान हो जाता है. हमेशा 1 से 10 के बीच की संख्या और 10 की घात के रूप में लिखें.

Question 2. 128 का घातांक रूप है : ........
Answer: \( 2^7 \)
In simple words: 128 को 2 की घात के रूप में लिखने के लिए, हम 2 को लगातार गुणा करते हैं: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. यह 7 बार गुणा करने पर मिलता है, इसलिए \( 2^7 \) सही है.

🎯 Exam Tip: घातांक रूप लिखने के लिए, अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करें. 128 के अभाज्य गुणनखंड करने पर, आपको 7 बार 2 मिलेगा.

Question 3. 144 का अभाज्य गुणनखण्ड है. ........
Answer: \( 2^4 \times 3^2 \)
In simple words: 144 के अभाज्य गुणनखंड निकालने पर, हमें चार बार 2 (2 \times 2 \times 2 \times 2) और दो बार 3 (3 \times 3) मिलते हैं.

🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंड करते समय, हमेशा सबसे छोटी अभाज्य संख्या (जैसे 2, 3, 5, 7) से शुरू करें और तब तक भाग दें जब तक आप अभाज्य संख्या तक न पहुँच जाएँ.

Question 4. 210 और 10 में से बड़ी संख्या ....... है।
Answer: 210
In simple words: 210 और 10 के बीच सीधी तुलना करने पर, 210 स्पष्ट रूप से 10 से बड़ा है.

🎯 Exam Tip: संख्याओं की तुलना करते समय, पहले उनके अंकों की संख्या देखें. यदि अंकों की संख्या समान है, तो सबसे बाईं ओर के अंक से तुलना शुरू करें.

Question 5. 20 x 30 x 409 को मान है.. ........
Answer: 245400
In simple words: पहले 20 और 30 को गुणा करें, जिससे 600 मिलेगा. फिर इस 600 को 409 से गुणा करने पर 245400 प्राप्त होता है.

🎯 Exam Tip: गुणा करते समय, पहले शून्य वाले अंकों को एक साथ गुणा करें (जैसे 20 x 30 = 600) और फिर बाकी संख्याओं से गुणा करें ताकि गणना आसान हो जाए.

III. सत्य/असत्य

Question 1. 100000000000 का मानक रूप \( 1.0 \times 10^{11} \) है।
Answer: सत्य
In simple words: 100 अरब को मानक रूप में लिखने के लिए, दशमलव को 1 के बाद रखा जाता है. ऐसा करने के लिए हमें दशमलव को 11 स्थान बाईं ओर खिसकाना पड़ता है, इसलिए \( 1.0 \times 10^{11} \) सही है.

🎯 Exam Tip: मानक रूप में हमेशा दशमलव के पहले एक ही गैर-शून्य अंक होना चाहिए. अंकों की संख्या गिनने में सावधानी बरतें.

Question 2. \( (-2a)^3 = 8a^3 \) होता है।
Answer: असत्य
In simple words: \( (-2a)^3 \) का मतलब \( (-2)^3 \) और \( a^3 \) को गुणा करना है. \( (-2)^3 \) का मान \( -8 \) होता है, इसलिए \( (-2a)^3 = -8a^3 \) होगा, न कि \( 8a^3 \).

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक आधारों की घातों को हल करते समय ध्यान रखें: यदि ऋणात्मक आधार की घात विषम है, तो परिणाम ऋणात्मक होगा; यदि सम है, तो परिणाम धनात्मक होगा.

Question 3. \( (2^0 + 3^0) \times 4^0 \) का मान 2 है।
Answer: सत्य
In simple words: किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात शून्य होने पर उसका मान 1 होता है. इसलिए \( (1 + 1) \times 1 = 2 \times 1 = 2 \). यह कथन सही है.

🎯 Exam Tip: \( a^0 = 1 \) नियम घातांक के सवालों में बहुत उपयोगी है. इसे कोष्ठकों में संख्याओं पर भी लागू किया जा सकता है.

Question 4. \( 5^{-2} \) का घन घातांक रूप \( \frac {1}{{5}^{-2}} \) है।
Answer: असत्य
In simple words: \( 5^{-2} \) का घन \( (5^{-2})^3 = 5^{-6} \) होता है. जबकि \( \frac{1}{{5}^{-2}} = 5^2 \) होता है. ये दोनों मान अलग-अलग हैं, इसलिए कथन असत्य है.

🎯 Exam Tip: घातांक नियमों को भ्रमित न करें: \( (a^m)^n = a^{mn} \) और \( \frac{1}{a^{-n}} = a^n \). इन दोनों के बीच के अंतर को समझना महत्वपूर्ण है.

Question 5. \( (\frac {4}{5})^{20} \) में घातांक 50 व आधार \( \frac {4}{5} \) है।
Answer: असत्य
In simple words: अभिव्यक्ति \( (\frac {4}{5})^{20} \) में, आधार \( \frac{4}{5} \) है जो सही है, लेकिन घातांक 20 है, न कि 50. चूंकि कथन में घातांक 50 बताया गया है, इसलिए पूरा कथन असत्य है.

🎯 Exam Tip: आधार और घातांक को सही ढंग से पहचानना घातांक वाले सवालों को हल करने का पहला कदम है. आधार बड़ी संख्या होती है और घातांक उसके ऊपर छोटी संख्या.

IV. लघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 2. 729 को घातांक रूप में लिखिए।
Answer:
\( 729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^6 \)
In simple words: 729 को 3 की घात के रूप में लिखने के लिए, हम 3 को तब तक गुणा करते हैं जब तक हमें 729 न मिल जाए. 3 को 6 बार गुणा करने पर 729 आता है, इसलिए इसे \( 3^6 \) लिखा जाता है.

🎯 Exam Tip: घातांक रूप में बदलने के लिए, संख्या के अभाज्य गुणनखंड करें. फिर समान अभाज्य गुणनखंडों को उनकी गिनती के अनुसार घात में लिखें.

Question 3. \( (\frac{2}{5})^3 \times (\frac{5}{3})^2 \times (\frac{3}{5})^3 \) को घातांक रूप में लिखिए।
Answer:
\( (\frac{2}{5})^3 \times (\frac{5}{3})^2 \times (\frac{3}{5})^3 \)
\( = (\frac{2}{5})^3 \times (\frac{3}{5})^3 \times (\frac{5}{3})^2 \) (पदों को पुनः व्यवस्थित करने पर)
\( = (\frac{2 \times 3}{5 \times 5})^3 \times (\frac{5}{3})^2 \) (क्योंकि \( a^m \times b^m = (ab)^m \))
\( = (\frac{6}{25})^3 \times (\frac{5}{3})^2 \)
\( = \frac{6^3}{25^3} \times \frac{5^2}{3^2} \)
\( = \frac{(2 \times 3)^3}{(5^2)^3} \times \frac{5^2}{3^2} \)
\( = \frac{2^3 \times 3^3}{5^6} \times \frac{5^2}{3^2} \)
\( = \frac{2^3 \times 3^{(3-2)}}{5^{(6-2)}} \)
\( = \frac{2^3 \times 3^1}{5^4} \)
In simple words: इस व्यंजक को हल करने के लिए, पहले समान घात वाले पदों को एक साथ समूहबद्ध करें. फिर गुणा और भाग के नियमों का उपयोग करके घातांकों को सरल करें, और अंत में इसे सरलतम घातांक रूप में लिखें.

🎯 Exam Tip: घातांक के नियमों का उपयोग करते समय, सुनिश्चित करें कि आप आधारों को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ते हैं ताकि गणना आसान हो. \( (\frac{a}{b})^m = \frac{a^m}{b^m} \) और \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) जैसे नियम याद रखें.

Question 4. \( (\frac{2}{3})^3 \times (\frac{2}{3})^4 \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
\( (\frac{2}{3})^3 \times (\frac{2}{3})^4 \)
\( = (\frac{2}{3})^{(3+4)} \) (क्योंकि \( a^m \times a^n = a^{m+n} \))
\( = (\frac{2}{3})^7 \)
\( = \frac{2^7}{3^7} \)
\( = \frac{128}{2187} \)
In simple words: जब एक ही आधार वाली संख्याओं को गुणा करते हैं, तो उनकी घातें जुड़ जाती हैं. यहां आधार \( \frac{2}{3} \) है, इसलिए घातें 3 और 4 जुड़कर 7 हो जाएंगी. फिर 2 को 7 बार और 3 को 7 बार गुणा करके अंतिम मान प्राप्त करें.

🎯 Exam Tip: भिन्न वाली संख्याओं के घातांक हल करते समय, घात को अंश और हर दोनों पर लागू करें. फिर अंश और हर का मान अलग-अलग ज्ञात करें.

Question 5. \( [(4^3 \times 4^4) \div 4^9 ]^2 \) को घातांक रूप में लिखिए।
Answer:
\( [(4^3 \times 4^4) \div 4^9 ]^2 \)
\( = [4^{(3+4)} \div 4^9 ]^2 \) (क्योंकि \( a^m \times a^n = a^{m+n} \))
\( = [4^7 \div 4^9 ]^2 \)
\( = [4^{(7-9)}]^2 \) (क्योंकि \( a^m \div a^n = a^{m-n} \))
\( = [4^{-2}]^2 \)
\( = 4^{(-2 \times 2)} \) (क्योंकि \( (a^m)^n = a^{mn} \))
\( = 4^{-4} \)
In simple words: पहले कोष्ठक के अंदर के संचालन को हल करें. पहले गुणा करें (घातों को जोड़ें), फिर भाग करें (घातों को घटाएं). अंत में, पूरी अभिव्यक्ति की घात 2 को अंदर की घात से गुणा करें.

🎯 Exam Tip: कोष्ठक के नियमों का पालन करें (BODMAS/PEMDAS). घातांक के नियमों को सही क्रम में लागू करें, विशेष रूप से जब घातों की घातें हों. ऋणात्मक घातांक को \( \frac{1}{4^4} \) के रूप में भी लिखा जा सकता है.

Question 7. यदि \( 2^{a/b} = 1 \) तो a का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
\( 2^{a/b} = 1 \)
\( 2^{a/b} = 2^0 \) (क्योंकि किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात 0 होने पर उसका मान 1 होता है)
\( \implies a/b = 0 \) (जब आधार समान होते हैं, तो घातांक भी समान होने चाहिए)
\( \implies a = 0 \)
In simple words: चूंकि किसी भी संख्या की घात 0 होने पर मान 1 होता है, इसलिए हमने 1 को \( 2^0 \) के रूप में लिखा. फिर दोनों पक्षों के आधार समान होने पर, हमने घातों को बराबर कर दिया और \( a \) का मान 0 प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: इस तरह के समीकरणों को हल करने के लिए, दोनों पक्षों को एक ही आधार की घात के रूप में व्यक्त करना महत्वपूर्ण है. \( a^0 = 1 \) का नियम बहुत उपयोगी है.

Question 8. यदि \( a = 2, b = 3 \) तो \( (a^b + b^a)^{-1} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए मान \( a = 2 \) और \( b = 3 \) को व्यंजक में रखने पर:
\( (a^b + b^a)^{-1} \)
\( = (2^3 + 3^2)^{-1} \)
\( = (8 + 9)^{-1} \)
\( = (17)^{-1} \)
\( = \frac{1}{17} \)
In simple words: पहले \( a \) और \( b \) के मानों को व्यंजक में रखें. फिर अंदर की घातों को हल करें, उन्हें जोड़ें, और अंत में पूरी संख्या को ऋणात्मक घात के नियम का उपयोग करके सरल करें.

🎯 Exam Tip: गणना के क्रम (PEMDAS/BODMAS) का सही ढंग से पालन करें. पहले घातों को हल करें, फिर जोड़ें, और अंत में ऋणात्मक घातांक को भिन्न में बदलें.

Question 9. मान ज्ञात कीजिए
(i) \( 3^2 \times 3^3 \)
(ii) \( [(\frac{1}{2})^2]^3 \)
Answer:
(i) \( 3^2 \times 3^3 = 3^{(2+3)} = 3^5 = 243 \)
(ii) \( [(\frac{1}{2})^2]^3 = (\frac{1}{2})^{(2 \times 3)} = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64} \)
In simple words: (i) गुणा करते समय समान आधार की घातें जुड़ जाती हैं. (ii) घात की घात होने पर घातें गुणा हो जाती हैं, और फिर अंश और हर दोनों पर घात लागू होती है.

🎯 Exam Tip: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) और \( (a^m)^n = a^{mn} \) जैसे बुनियादी घातांक नियमों में महारत हासिल करें. गणना करते समय छोटे-छोटे चरणों में आगे बढ़ें.

V. लघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. \( [(343)^{-2}]^{1/3} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
\( [(343)^{-2}]^{1/3} \)
\( = [(7^3)^{-2}]^{1/3} \) (क्योंकि \( 343 = 7 \times 7 \times 7 = 7^3 \))
\( = [7^{(3 \times -2)}]^{1/3} \) (क्योंकि \( (a^m)^n = a^{mn} \))
\( = [7^{-6}]^{1/3} \)
\( = 7^{(-6 \times 1/3)} \) (क्योंकि \( (a^m)^n = a^{mn} \))
\( = 7^{-2} \)
\( = \frac{1}{7^2} \)
\( = \frac{1}{49} \)
In simple words: पहले 343 को 7 की घात के रूप में लिखें. फिर घातों की घातों को गुणा करें. फिर प्राप्त घातांक को \( 1/3 \) से गुणा करें. अंत में, ऋणात्मक घातांक को भिन्न में बदलकर अंतिम मान ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंडों को पहचानना (जैसे \( 343 = 7^3 \)) ऐसे सवालों को हल करने में पहला महत्वपूर्ण कदम है. घातांक के सभी नियमों को सही क्रम में लागू करें.

Question 2. दर्शाइए कि \( (x^{a-b})^{a+b} (x^{b-c})^{b+c} (x^{c-a})^{c+a} = 1 \)
Answer:
बायाँ पक्ष (LHS): \( (x^{a-b})^{a+b} (x^{b-c})^{b+c} (x^{c-a})^{c+a} \)
\( = x^{(a-b)(a+b)} \times x^{(b-c)(b+c)} \times x^{(c-a)(c+a)} \) (क्योंकि \( (a^m)^n = a^{mn} \))
\( = x^{(a^2-b^2)} \times x^{(b^2-c^2)} \times x^{(c^2-a^2)} \) (क्योंकि \( (a-b)(a+b) = a^2-b^2 \))
\( = x^{(a^2-b^2 + b^2-c^2 + c^2-a^2)} \) (क्योंकि \( a^m \times a^n \times a^p = a^{(m+n+p)} \))
\( = x^0 \)
\( = 1 \) (क्योंकि \( x^0 = 1 \))
यह दायाँ पक्ष (RHS) है।
इसलिए, \( (x^{a-b})^{a+b} (x^{b-c})^{b+c} (x^{c-a})^{c+a} = 1 \). यह दर्शाया गया है।
In simple words: पहले प्रत्येक पद में घात की घात के नियम का उपयोग करें, जिससे घातें गुणा हो जाएंगी. फिर \( (a-b)(a+b) \) जैसे सूत्र का उपयोग करके घातों को सरल करें. अंत में, सभी पदों के आधार समान होने पर, घातों को जोड़ें, जिससे कुल घात शून्य हो जाएगी, और \( x^0 \) का मान 1 होता है.

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय सूत्रों (जैसे \( (a-b)(a+b) = a^2-b^2 \)) और घातांक नियमों (जैसे \( (a^m)^n = a^{mn} \) और \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)) का सही ढंग से उपयोग करना महत्वपूर्ण है. ध्यान दें कि सभी पद कट जाते हैं, जिससे कुल घात शून्य हो जाती है.

Question 3. निम्न को परिमाण के बढ़ते क्रम में लिखिए \( (3)^{1/4}, (2)^{1/3}, (4)^{1/3} \)
Answer:
दी गई संख्याएँ हैं: \( 3^{1/4}, 2^{1/3}, 4^{1/3} \)
घातों के हर (denominators) हैं 4, 3, 3। इनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 12 है।
अब प्रत्येक संख्या की घात को 12 के हर के रूप में लिखें:
\( 3^{1/4} = 3^{3/12} = (3^3)^{1/12} = (27)^{1/12} \)
\( 2^{1/3} = 2^{4/12} = (2^4)^{1/12} = (16)^{1/12} \)
\( 4^{1/3} = 4^{4/12} = (4^4)^{1/12} = (256)^{1/12} \)
अब, आधारों की तुलना करें:
\( 16 < 27 < 256 \)
इसलिए,
\( (16)^{1/12} < (27)^{1/12} < (256)^{1/12} \)
\( \implies (2)^{1/3} < (3)^{1/4} < (4)^{1/3} \)
अतः अभीष्ट बढ़ता हुआ क्रम है:
\( 2^{1/3}, 3^{1/4}, 4^{1/3} \)
In simple words: इन संख्याओं को बढ़ते क्रम में लिखने के लिए, सबसे पहले सभी घातों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें. फिर प्रत्येक संख्या की घात को इस LCM के हर के साथ एक समतुल्य घात में बदलें. जब सभी घातों का हर समान हो जाए, तो केवल आधारों की तुलना करें और उन्हें बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करें.

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक घातांक वाली संख्याओं की तुलना करते समय, घातों के हरों का LCM लेना और उन्हें समान बनाना सबसे प्रभावी तरीका है. फिर घातों के अंदर की संख्याओं (आधारों) की तुलना करें.

Question 4. मान ज्ञात कीजिए \( \frac{2^{28}(2^2+2^1+1)}{2^{29}(2^2+2^1-1)} \)
Answer:
\( \frac{2^{28}(2^2+2^1+1)}{2^{29}(2^2+2^1-1)} \)
\( = \frac{2^{28}(4+2+1)}{2^{29}(4+2-1)} \)
\( = \frac{2^{28}(7)}{2^{29}(5)} \)
\( = \frac{7}{5 \times 2^{(29-28)}} \)
\( = \frac{7}{5 \times 2^1} \)
\( = \frac{7}{10} \)
In simple words: पहले कोष्ठकों के अंदर के मानों को जोड़कर सरल करें. फिर \( 2^{28} \) और \( 2^{29} \) को भाग देने के लिए घातांक के नियमों का उपयोग करें. अंत में, बची हुई संख्याओं को गुणा और भाग करके अंतिम मान प्राप्त करें.

🎯 Exam Tip: जटिल व्यंजकों को हल करते समय, उन्हें छोटे, प्रबंधनीय भागों में तोड़ें. घातांक के नियमों (जैसे \( a^m/a^n = a^{m-n} \)) का उपयोग करके घातों को सरल करना याद रखें.

Question 5. \( \frac{3^5 \times 10^5 \times 125}{5^{-7} \times 6^{-5}} \) को हल कीजिए।
Answer:
\( \frac{3^5 \times 10^5 \times 125}{5^{-7} \times 6^{-5}} \)
\( = \frac{3^5 \times (2 \times 5)^5 \times 5^3}{5^{-7} \times (2 \times 3)^{-5}} \) (क्योंकि \( 10 = 2 \times 5 \) और \( 125 = 5^3 \) और \( 6 = 2 \times 3 \))
\( = \frac{3^5 \times 2^5 \times 5^5 \times 5^3}{5^{-7} \times 2^{-5} \times 3^{-5}} \) (क्योंकि \( (ab)^m = a^m b^m \))
\( = 3^{(5 - (-5))} \times 2^{(5 - (-5))} \times 5^{(5+3 - (-7))} \) (क्योंकि \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \))
\( = 3^{(5+5)} \times 2^{(5+5)} \times 5^{(8+7)} \)
\( = 3^{10} \times 2^{10} \times 5^{15} \)
In simple words: पहले सभी संख्याओं को उनके अभाज्य गुणनखंडों की घातों के रूप में लिखें. फिर आधारों को एक साथ समूहबद्ध करें और गुणा तथा भाग के घातांक नियमों का उपयोग करके उनकी घातों को सरल करें.

🎯 Exam Tip: संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों (जैसे 10 को \( 2 \times 5 \) और 125 को \( 5^3 \)) में तोड़ना ऐसे सवालों को हल करने का एक प्रभावी तरीका है. ऋणात्मक घातांकों को घटाते समय चिह्नों का ध्यान रखें.

Question 6. \( p \) का मान ज्ञात कीजिए यदि \( 5^{p-3} \times 3^{2p-8} = 225 \)
Answer:
\( 5^{p-3} \times 3^{2p-8} = 225 \)
पहले 225 को उसके अभाज्य गुणनखंडों की घातों के रूप में लिखें:
\( 225 = 5 \times 45 = 5 \times 5 \times 9 = 5 \times 5 \times 3 \times 3 = 5^2 \times 3^2 \)
अब समीकरण को इस प्रकार लिखें:
\( 5^{p-3} \times 3^{2p-8} = 5^2 \times 3^2 \)
दोनों पक्षों के समान आधारों की घातों की तुलना करने पर:
\( p-3 = 2 \)
\( \implies p = 2 + 3 \)
\( \implies p = 5 \)
और
\( 2p-8 = 2 \)
\( \implies 2p = 2 + 8 \)
\( \implies 2p = 10 \)
\( \implies p = \frac{10}{2} \)
\( \implies p = 5 \)
दोनों समीकरणों से \( p \) का मान 5 प्राप्त होता है।
इसलिए, \( p = 5 \).
In simple words: पहले समीकरण के दाहिने पक्ष (225) को अभाज्य गुणनखंडों की घातों के रूप में बदलें. फिर दोनों पक्षों के समान आधारों की घातों की तुलना करें. इससे आपको \( p \) के लिए दो समीकरण मिलेंगे, जिन्हें हल करने पर \( p \) का मान 5 प्राप्त होगा.

🎯 Exam Tip: जब घातांक समीकरणों को हल करते हैं, तो लक्ष्य दोनों पक्षों को एक ही आधार की घातों के रूप में व्यक्त करना होता है. यदि आधार समान हैं, तो घातें भी समान होनी चाहिए. हमेशा दोनों घातांकों से \( p \) के मान की पुष्टि करें.

Question 8. यदि \( (-2)^{x+1} \times (-2)^3 = (-2)^5 \) हो तो \( x \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
\( (-2)^{x+1} \times (-2)^3 = (-2)^5 \)
समान आधारों को गुणा करते समय घातें जुड़ जाती हैं:
\( (-2)^{(x+1)+3} = (-2)^5 \)
\( (-2)^{(x+4)} = (-2)^5 \)
जब आधार समान होते हैं, तो उनकी घातें भी समान होनी चाहिए:
\( x+4 = 5 \)
\( \implies x = 5 - 4 \)
\( \implies x = 1 \)
In simple words: समीकरण के बाएं पक्ष में, \( -2 \) समान आधार है, इसलिए इसकी घातों को जोड़ दें. फिर दोनों पक्षों के आधार \( -2 \) समान होने पर, घातों को बराबर करके \( x \) का मान ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) नियम को सही ढंग से लागू करें. समीकरण हल करते समय, यदि \( a^x = a^y \) है, तो \( x = y \) होता है (जब \( a \ne 0, 1, -1 \) हो).

Question 8. \( (\frac{81}{16})^{-3/4} \times (\frac{25}{9})^{-3/2} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
\( (\frac{81}{16})^{-3/4} \times (\frac{25}{9})^{-3/2} \)
पहले संख्याओं को घातों के रूप में लिखें:
\( 81 = 3^4 \), \( 16 = 2^4 \), \( 25 = 5^2 \), \( 9 = 3^2 \)
\( = (\frac{3^4}{2^4})^{-3/4} \times (\frac{5^2}{3^2})^{-3/2} \)
\( = ((\frac{3}{2})^4)^{-3/4} \times ((\frac{5}{3})^2)^{-3/2} \)
\( = (\frac{3}{2})^{(4 \times -3/4)} \times (\frac{5}{3})^{(2 \times -3/2)} \) (क्योंकि \( (a^m)^n = a^{mn} \))
\( = (\frac{3}{2})^{-3} \times (\frac{5}{3})^{-3} \)
ऋणात्मक घातांक को धनात्मक बनाने के लिए भिन्न को पलट दें:
\( = (\frac{2}{3})^3 \times (\frac{3}{5})^3 \)
अब घात समान होने पर आधारों को गुणा करें:
\( = (\frac{2}{3} \times \frac{3}{5})^3 \)
\( = (\frac{2 \times 3}{3 \times 5})^3 \)
\( = (\frac{2}{5})^3 \)
\( = \frac{2^3}{5^3} \)
\( = \frac{8}{125} \)
In simple words: पहले प्रत्येक भिन्न को उसके अभाज्य गुणनखंडों की घातों के रूप में बदलें. फिर घात की घात के नियम का उपयोग करके सरल करें. ऋणात्मक घातों को धनात्मक बनाने के लिए भिन्नों को पलट दें. अंत में, समान घात वाले पदों को गुणा करें और अंतिम मान ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: भिन्नों और ऋणात्मक घातांकों वाले ऐसे सवालों में, संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों की घातों के रूप में लिखना पहला महत्वपूर्ण कदम है. फिर घात के सभी नियमों, विशेषकर \( (a/b)^{-n} = (b/a)^n \) का सही ढंग से पालन करें.

Question 9. निम्नलिखित संख्याओं को मानक रूप में लिखिए
(1) 10350000
(2) 0.0007305
Answer:
(1) \( 10350000 \)
दशमलव को पहली गैर-शून्य संख्या (1) के बाद लाने के लिए, इसे 7 स्थान बाईं ओर खिसकाया जाता है।
इसलिए, \( 10350000 = 1.035 \times 10^7 \)
(2) \( 0.0007305 \)
दशमलव को पहली गैर-शून्य संख्या (7) के बाद लाने के लिए, इसे 4 स्थान दाईं ओर खिसकाया जाता है।
इसलिए, \( 0.0007305 = 7.305 \times 10^{-4} \)
In simple words: मानक रूप में लिखने के लिए, दशमलव बिंदु को पहली गैर-शून्य संख्या के ठीक बाद ले जाएँ. यदि दशमलव को बाईं ओर खिसकाते हैं, तो 10 की घात धनात्मक होगी, और यदि दाईं ओर खिसकाते हैं, तो 10 की घात ऋणात्मक होगी.

🎯 Exam Tip: मानक रूप में, संख्या हमेशा 1 और 10 के बीच होनी चाहिए (1 सहित, 10 को छोड़कर). 10 की घात वह संख्या होती है जितने स्थान दशमलव को खिसकाया जाता है.

Question 10. एक रक्त कोशिका का आकार \( 0.000007m \) होता है और एक पादप कोशिका का आकार \( 0.00001275m \) है। इनकी तुलना करें।
Answer:
रक्त कोशिका का आकार \( = 0.000007m \)
मानक रूप में: \( 7 \times 10^{-6} m \)
पादप कोशिका का आकार \( = 0.00001275m \)
मानक रूप में: \( 1.275 \times 10^{-5} m \)
तुलना करने के लिए, हम दोनों के आकार का अनुपात ज्ञात करते हैं:
\( \frac{\text{रक्त कोशिका का आकार}}{\text{पादप कोशिका का आकार}} = \frac{7 \times 10^{-6}}{1.275 \times 10^{-5}} \)
\( = \frac{7}{1.275} \times 10^{(-6 - (-5))} \)
\( = \frac{7}{1.275} \times 10^{(-6+5)} \)
\( = \frac{7}{1.275} \times 10^{-1} \)
\( \approx 5.49 \times 10^{-1} \)
\( \approx 0.549 \)
अतः, रक्त कोशिका का आकार पादप कोशिका के आकार का लगभग आधा है।
In simple words: पहले दोनों कोशिकाओं के आकार को मानक रूप में बदलें. फिर उनकी तुलना करने के लिए एक का आकार दूसरे के आकार से विभाजित करें. इससे हमें पता चलता है कि रक्त कोशिका का आकार पादप कोशिका के आकार का लगभग 0.549 गुना है, जो आधे के करीब है.

🎯 Exam Tip: वैज्ञानिक नोटेशन (मानक रूप) में संख्याओं की तुलना करना और अनुपात ज्ञात करना बड़े और छोटे मानों को समझने का सबसे अच्छा तरीका है. हमेशा घातों के नियमों का सही ढंग से पालन करें.

Question 11. मानक रूप में व्यक्त कीजिए
(i) 15,00,00,000
(ii) 0.0000067
Answer:
(i) \( 15,00,00,000 \)
दशमलव को 1 के बाद लाने के लिए, इसे 8 स्थान बाईं ओर खिसकाया जाता है।
\( 15,00,00,000 = 1.5 \times 10^8 \)
(ii) \( 0.0000067 \)
दशमलव को 6 के बाद लाने के लिए, इसे 6 स्थान दाईं ओर खिसकाया जाता है।
\( 0.0000067 = 6.7 \times 10^{-6} \)
In simple words: बड़ी संख्याओं के लिए, दशमलव को बाईं ओर खिसकाएं और 10 की घात धनात्मक होगी. छोटी संख्याओं के लिए, दशमलव को दाईं ओर खिसकाएं और 10 की घात ऋणात्मक होगी.

🎯 Exam Tip: मानक रूप में संख्या को हमेशा \( a \times 10^n \) के रूप में लिखें, जहाँ \( 1 \le a < 10 \) और \( n \) एक पूर्णांक है.

Question 12. यदि \( (243)^{x+1} = (243)^{-5} \) हैं, तो \( x \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
\( (243)^{x+1} = (243)^{-5} \)
जब आधार समान होते हैं, तो घातांक भी समान होने चाहिए:
\( x+1 = -5 \)
अब \( x \) के लिए हल करें:
\( x = -5 - 1 \)
\( x = -6 \)
In simple words: चूंकि समीकरण के दोनों पक्षों में आधार (243) समान हैं, तो उनकी घातें भी बराबर होनी चाहिए. घातों को बराबर सेट करके \( x \) का मान आसानी से ज्ञात किया जा सकता है.

🎯 Exam Tip: घातांक समीकरणों में, यदि \( a^m = a^n \) है, तो \( m = n \) होता है. यह नियम समान आधार वाले समीकरणों को सरल बनाने के लिए महत्वपूर्ण है.