RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 3 घात एवं घातांक More Ques

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Question 1. \( 10^3 \), \( 2^{10} \), \( 5^5 \) को प्रसारित रूप में किस प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है?
Answer: संख्याओं को उनके घात के आधार पर विस्तृत रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ आधार को उतनी ही बार गुणा किया जाता है जितनी घात होती है।
\( 10^3 = 10 \times 10 \times 10 \)
\( 2^{10} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \)
\( 5^5 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \)
In simple words: जब किसी संख्या पर कोई घात होती है, तो इसका मतलब है कि उस संख्या को उतनी ही बार आपस में गुणा करना है जितनी घात है.

🎯 Exam Tip: प्रसारित रूप में लिखते समय, आधार को जितनी बार घात दी गई हो, उतनी बार गुणा करें। यह घातांक के मूल सिद्धांत को दर्शाता है।

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Question 1. \( \left( \frac { 3 }{ 2 } \right)^3 \), \( \left( \frac { -4 }{ 7 } \right)^6 \), \( \left( \frac { -2 }{ 5 } \right)^3 \), \( \left( \frac { 2 }{ 3 } \right)^p \) को विस्तारित कीजिए।
Answer: किसी भिन्न पर घात होने का मतलब है कि उसके अंश और हर दोनों पर वही घात लागू होगी, और इसे उतनी ही बार गुणा करके विस्तारित किया जाता है।
\( \left( \frac { 3 }{ 2 } \right)^3 = \frac { 3 }{ 2 } \times \frac { 3 }{ 2 } \times \frac { 3 }{ 2 } = \frac { 3 \times 3 \times 3 }{ 2 \times 2 \times 2 } = \frac { 3^3 }{ 2^3 } \)
\( \left( \frac { -4 }{ 7 } \right)^6 = \left\{ (-1) \times \left( \frac { 4 }{ 7 } \right) \right\}^6 \)
\( \implies (-1)^6 \times \left( \frac { 4 }{ 7 } \right)^6 \)
\( \implies 1 \times \frac { 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 }{ 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 } \)
\( \implies \frac { 4^6 }{ 7^6 } \)
\( \left( \frac { -2 }{ 5 } \right)^3 = \left\{ (-1) \times \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) \right\}^3 \)
\( \implies (-1)^3 \times \left( \frac { 2 }{ 5 } \right)^3 \)
\( \implies (-1) \times \frac { 2 \times 2 \times 2 }{ 5 \times 5 \times 5 } \)
\( \implies - \frac { 2^3 }{ 5^3 } \)
\( \left( \frac { 2 }{ 3 } \right)^p = \frac { 2 }{ 3 } \times \frac { 2 }{ 3 } \times \frac { 2 }{ 3 } \times \dots p \text{ बार} \)
\( \implies \frac { 2 \times 2 \times 2 \times \dots p \text{ बार} }{ 3 \times 3 \times 3 \times \dots p \text{ बार} } \)
\( \implies \frac { 2^p }{ 3^p } \)
In simple words: जब किसी भिन्न (जैसे 3/2) पर घात होती है, तो इसका मतलब है कि अंश (ऊपर वाली संख्या) और हर (नीचे वाली संख्या) दोनों पर वही घात लगेगी. फिर उन्हें उतनी ही बार गुणा करके पूरा लिखा जाता है.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक आधार वाले भिन्नों में, घात सम होने पर परिणाम धनात्मक और विषम होने पर ऋणात्मक होता है। यह एक महत्वपूर्ण नियम है जिसे हमेशा याद रखना चाहिए।

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Question 1. निम्नलिखित को सरल कीजिए।
Answer: ऋणात्मक घातों को धनात्मक बनाने के लिए आधार का व्युत्क्रम (उल्टा) किया जाता है, जिससे गणना आसान हो जाती है।
\( \left( \frac { 7 }{ 5 } \right)^{-5} = \frac { 7^{-5} }{ 5^{-5} } = \frac { 5^5 }{ 7^5 } \)
\( \left( \frac { 14 }{ 13 } \right)^{-9} = \frac { 14^{-9} }{ 13^{-9} } = \frac { 13^9 }{ 14^9 } = \left( \frac { 13 }{ 14 } \right)^9 \)
\( \left( \frac { 15 }{ 6 } \right)^{-4} = \frac { 15^{-4} }{ 6^{-4} } = \frac { 6^4 }{ 15^4 } = \left( \frac { 6 }{ 15 } \right)^4 \)
\( \left( \frac { 113 }{ 53 } \right)^{-11} = \frac { 113^{-11} }{ 53^{-11} } = \frac { 53^{11} }{ 113^{11} } = \left( \frac { 53 }{ 113 } \right)^{11} \)
\( \left( \frac { 5 }{ 7 } \right)^{-7} = \frac { 5^{-7} }{ 7^{-7} } = \frac { 7^7 }{ 5^7 } = \left( \frac { 7 }{ 5 } \right)^7 \)
In simple words: अगर किसी संख्या या भिन्न पर घटाने वाली घात लगी हो, तो उसे सीधा करने के लिए उस संख्या या भिन्न को पलट देते हैं और घात को जमा (धनात्मक) कर देते हैं.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक घातांक को हल करते समय, हमेशा भिन्न को उल्टा करके घात को धनात्मक बनाएं। यह नियम घातांक के प्रश्नों को सरल करने का एक महत्वपूर्ण चरण है।

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Question 2. निम्नलिखित को सरल कीजिए।
Answer: इन घातांकों को सरल करने के लिए, हमें ऋणात्मक घातों को धनात्मक में बदलना और भाग के नियमों का पालन करना होता है।
(i) \( \left( \frac { 2 }{ 7 } \right)^{-3} = \frac { 2^{-3} }{ 7^{-3} } = \frac { 7^3 }{ 2^3 } = \frac { 7 \times 7 \times 7 }{ 2 \times 2 \times 2 } = \frac { 343 }{ 8 } \)
(ii) \( \left( \frac { 3 }{ 10 } \right)^{-2} = \frac { 3^{-2} }{ 10^{-2} } = \frac { 10^2 }{ 3^2 } = \frac { 10 \times 10 }{ 3 \times 3 } = \frac { 100 }{ 9 } \)
(iii) \( \left( \frac { 5 }{ 12 } \right)^{-3} = \frac { 5^{-3} }{ 12^{-3} } = \frac { 12^3 }{ 5^3 } = \frac { 12 \times 12 \times 12 }{ 5 \times 5 \times 5 } = \frac { 1728 }{ 125 } \)
(iv) \( (3)^2 \div (3)^2 = 3^{2-2} = 3^0 = 1 \)
(v) \( (2)^5 \div (2)^5 = 2^{5-5} = 2^0 = 1 \)
In simple words: जब किसी संख्या की घात 0 होती है, तो उसका मान हमेशा 1 होता है. और जब घात माइनस में होती है, तो संख्या को पलट कर घात को प्लस में बदल देते हैं.

🎯 Exam Tip: घातांक के भाग के नियम को याद रखें: जब आधार समान हों, तो घातें घट जाती हैं, यानी \( a^m \div a^n = a^{m-n} \)। साथ ही, किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात शून्य होने पर उसका मान 1 होता है।

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Question 1. निम्न संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) 20700000
(ii) 0.000000154
(iii) 0.000095
(iv) 28400000
(v) 0.00002459
Answer: मानक रूप में, संख्या को 1 और 10 के बीच की संख्या और 10 की घात के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है।
(i) \( 20700000 = 2.07 \times 10^7 \)
(ii) \( 0.000000154 = \frac{154}{1000000000} = \frac{154}{10^9} = 154 \times 10^{-9} = 1.54 \times 10^{-7} \)
(iii) \( 0.000095 = \frac{95}{1000000} = \frac{95}{10^6} = 9.5 \times 10^{-5} \)
(iv) \( 28400000 = 2.84 \times 10^7 \)
(v) \( 0.00002459 = \frac{2459}{100000000} = \frac{2459}{10^8} = 2.459 \times 10^{-5} \)
In simple words: मानक रूप में लिखने के लिए दशमलव को इस तरह से खिसकाते हैं कि संख्या 1 से 10 के बीच रहे. फिर जितने स्थान दशमलव खिसकाते हैं, उतनी ही 10 की घात लगाते हैं.

🎯 Exam Tip: मानक रूप में, दशमलव को हमेशा पहली गैर-शून्य संख्या के बाद रखा जाता है। यह सुनिश्चित करता है कि संख्या 1 और 10 के बीच हो।

Question 2. निम्न संख्याओं को सामान्य रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) \( 1.5 \times 10^5 \)
(ii) \( 2.78 \times 10^3 \)
(iii) \( 3.9 \times 10^{-5} \)
Answer: सामान्य रूप में व्यक्त करने के लिए, 10 की घात के अनुसार दशमलव को दाईं या बाईं ओर ले जाते हैं।
(i) \( 1.5 \times 10^5 = 15 \times 10000 = 150000 \)
(ii) \( 2.78 \times 10^3 = 278 \times 10 = 2780 \)
(iii) \( 3.9 \times 10^{-5} = \frac{39}{10} \times \frac{1}{10^5} = \frac{39}{1000000} = 0.000039 \)
In simple words: अगर 10 की घात धनात्मक हो तो दशमलव को दाईं ओर खिसकाते हैं और अगर ऋणात्मक हो तो बाईं ओर खिसकाते हैं.

🎯 Exam Tip: सामान्य रूप में बदलते समय, धनात्मक घात के लिए दशमलव को दाईं ओर और ऋणात्मक घात के लिए बाईं ओर खिसकाएं। यह सुनिश्चित करता है कि संख्या अपने विस्तारित रूप में सही हो।