RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 2 घन एवं घनमूल Important Questions

I. बहुविकल्पात्मक प्रश्न

 

Question 1. संख्या 64 का घनमूल है।
(a) 4
(b) 8
(c) 16
(d) 32
Answer: (a) 4
In simple words: 64 का घनमूल वह संख्या है जिसे तीन बार स्वयं से गुणा करने पर 64 प्राप्त होता है। 4 को 4 से तीन बार गुणा करने पर 64 आता है।

🎯 Exam Tip: घनमूल ज्ञात करने के लिए संख्या का अभाज्य गुणनखंड करें और प्रत्येक तीन समान गुणनखंडों के समूह में से एक गुणनखंड लें।

 

Question 2. योग \( 10^3 \) प्राप्त करने के लिए कितनी क्रमागत विषम संख्याओं की आवश्यकता होगी?
(a) 5
(b) 8
(c) 10
(d) 100
Answer: (c) 10
In simple words: किसी भी संख्या के घन को लगातार विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है। \( 10^3 \) प्राप्त करने के लिए 10 लगातार विषम संख्याओं की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, \( 2^3 \) के लिए 2 विषम संख्याओं की आवश्यकता होती है (3+5=8)।

🎯 Exam Tip: n के घन को n क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

 

Question 3. 7 का घन है
(a) 49
(b) 243
(c) 343
(d) 21
Answer: (c) 343
In simple words: किसी संख्या का घन ज्ञात करने के लिए उसे संख्या को तीन बार स्वयं से गुणा करें। 7 का घन \( 7 \times 7 \times 7 \) है जो 343 होता है।

🎯 Exam Tip: घन संख्याओं को याद रखने से आपको गणनाओं में समय बचाने में मदद मिलेगी।

 

Question 4. 13824 का घनमूल क्या होगा?
(a) 24
(b) 56
Answer: (a) 24
In simple words: 13824 का घनमूल 24 है क्योंकि 24 को तीन बार गुणा करने पर 13824 मिलता है। यह घनमूल अभाज्य गुणनखंड विधि से पाया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: बड़ी संख्याओं का घनमूल ज्ञात करने के लिए, संख्या के इकाई अंक को देखकर घनमूल के इकाई अंक का अनुमान लगाएँ, और फिर अनुमानित मानों की जाँच करें।

 

Question 6. किसी संख्या की घन संख्या तब प्राप्त होती है। जब उसे संख्या को उसी संख्या से
(a) दो बार
(b) तीन बार
(c) चार बार
(d) पाँच बार गुणा किया जाता है।
Answer: (b) तीन बार
In simple words: एक घन संख्या तब बनती है जब आप एक संख्या को तीन बार स्वयं से गुणा करते हैं। जैसे, \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \) (जो 2 का घन है)।

🎯 Exam Tip: घन और वर्ग के बीच अंतर को याद रखें: वर्ग के लिए दो बार गुणा करते हैं, जबकि घन के लिए तीन बार गुणा करते हैं।

 

Question 7. निम्नलिखित संख्याओं में से पूर्ण घन संख्या है
(a) 125
(b) 60
(c) 24
(d) 36
Answer: (a) 125
In simple words: 125 एक पूर्ण घन संख्या है क्योंकि यह 5 को तीन बार स्वयं से गुणा करने पर प्राप्त होती है (\( 5 \times 5 \times 5 = 125 \))। अन्य संख्याएँ पूर्ण घन नहीं हैं।

🎯 Exam Tip: पूर्ण घन संख्याएँ वे होती हैं जिनके अभाज्य गुणनखंड तीन के समूहों में होते हैं।

 

Question 8. ऐसी सबसे छोटी प्राकृत संख्या कौन-सी है। जिससे 392 को गुणा करने पर गुणनफल एक पूर्ण घन प्राप्त हो जाए?
(a) 2
(b) 3
(c) 5
(d) 7
Answer: (d) 7
In simple words: 392 के अभाज्य गुणनखंड करने पर \( 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 \) मिलता है। इसमें 7 का एक समूह बनाने के लिए एक और 7 की आवश्यकता है, जिससे यह पूर्ण घन बन जाएगा।

🎯 Exam Tip: किसी संख्या को पूर्ण घन बनाने के लिए, उसके अभाज्य गुणनखंडों की जाँच करें और उन गुणनखंडों को जोड़ें जो तीन के समूहों में नहीं हैं।

 

Question 9. 1000 को घनमूल है
(a) 1
(b) 10
(c) 100
Answer: (b) 10
In simple words: 1000 का घनमूल 10 है, क्योंकि 10 को तीन बार स्वयं से गुणा करने पर 1000 आता है (\( 10 \times 10 \times 10 = 1000 \))।

🎯 Exam Tip: 10 के गुणकों के घनमूल्‍य निकालना आसान होता है, जैसे \( \sqrt[3]{1000} = 10 \), \( \sqrt[3]{8000} = 20 \) आदि।

 

II. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।

 

Question 1. सम संख्याओं के घन..............होते हैं।
Answer: सम
In simple words: यदि आप किसी सम संख्या का घन करते हैं, तो परिणाम हमेशा एक सम संख्या ही होती है।

🎯 Exam Tip: विषम संख्याओं के घन विषम होते हैं और सम संख्याओं के घन सम होते हैं।

 

Question 2. संख्या 18 के घन का इकाई का अंक........होगा।
Answer: 2
In simple words: किसी संख्या के घन का इकाई का अंक, उसके इकाई के अंक के घन का इकाई का अंक होता है। 18 का इकाई का अंक 8 है, और 8 का घन 512 है, जिसका इकाई का अंक 2 है।

🎯 Exam Tip: इकाई अंक को निर्धारित करने के लिए, केवल मूल संख्या के इकाई अंक का घन करें और उसके परिणाम का इकाई अंक देखें।

 

Question 3. ...........ज्ञात करने की संक्रिया घन ज्ञात करने की संक्रिया की विपरीत प्रक्रिया है।
Answer: घनमूल
In simple words: घनमूल ज्ञात करना किसी संख्या का घन ज्ञात करने का उल्टा काम है। यह किसी संख्या को उसके मूल मान पर वापस लाने जैसा है।

🎯 Exam Tip: घनमूल और घन की अवधारणाओं को स्पष्ट रूप से समझें क्योंकि वे एक-दूसरे के विपरीत होते हैं।

 

Question 4. संकेत.........घनमूल को व्यक्त करता है।
Answer: \( \sqrt[3]{} \)
In simple words: घनमूल दिखाने के लिए गणित में \( \sqrt[3]{} \) का चिन्ह इस्तेमाल किया जाता है, जहाँ 3 यह दिखाता है कि यह एक घनमूल है।

🎯 Exam Tip: वर्गमूल चिन्ह \( \sqrt{} \) से घनमूल चिन्ह \( \sqrt[3]{} \) में अंतर करना याद रखें।

 

Question 5. 857375 का घनमूल...........होगा।
Answer: 95
In simple words: 857375 का घनमूल 95 है, क्योंकि 95 को तीन बार स्वयं से गुणा करने पर 857375 प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: बड़ी संख्याओं का घनमूल ज्ञात करने के लिए अनुमान और अभाज्य गुणनखंड विधि दोनों उपयोगी होती हैं।

 

III. सत्य/असत्य

 

Question 1. किसी भी विषम संख्या का घन सम होता है।
Answer: असत्य
In simple words: विषम संख्या का घन हमेशा विषम होता है (जैसे \( 3^3 = 27 \)), इसलिए यह कथन गलत है।

🎯 Exam Tip: एक विषम संख्या को कितनी भी बार स्वयं से गुणा करने पर हमेशा एक विषम संख्या ही प्राप्त होती है।

 

Question 2. एक पूर्ण घन दो शून्यों पर समाप्त नहीं होता है।
Answer: सत्य
In simple words: एक पूर्ण घन संख्या हमेशा तीन या तीन के गुणज में शून्य के साथ समाप्त होती है (जैसे 1000, 8000), कभी भी सिर्फ दो शून्य के साथ समाप्त नहीं होती है।

🎯 Exam Tip: एक संख्या के अंत में शून्यों की संख्या उसके घन के अंत में शून्यों की संख्या की एक तिहाई होती है।

 

Question 3. ऐसा कोई पूर्ण घन नहीं है जो 8 पर समाप्त होता है।
Answer: असत्य
In simple words: यह कथन गलत है क्योंकि 2 का घन 8 होता है (\( 2^3 = 8 \)), जो 8 पर समाप्त होता है। 12 का घन 1728 भी 8 पर समाप्त होता है।

🎯 Exam Tip: घन संख्याओं के इकाई अंकों के पैटर्न को याद रखें; 2 का घन 8 पर समाप्त होता है, और 8 का घन 2 पर समाप्त होता है।

 

Question 4. दो अंकों वाली संख्या का घन तीन अंकों वाली संख्या हो सकती है।
Answer: असत्य
In simple words: दो अंकों की सबसे छोटी संख्या 10 है, और उसका घन \( 10^3 = 1000 \) होता है, जो चार अंकों की संख्या है। इसलिए, दो अंकों की किसी भी संख्या का घन कम से कम चार अंकों का होगा।

🎯 Exam Tip: सबसे छोटी और सबसे बड़ी दो अंकों की संख्याओं का घन करके इस तरह के कथन की पुष्टि करें।

 

IV. मिलान/सुमेलन वाले प्रश्न

 

Question. खण्ड (1) में दिए गए भागों का खण्ड (2) में दिए गए भागों से मिलान कीजिए
खण्ड (1)
(a) हार्डी-रामानुजन संख्या
(b) 343
(c) 100
(d) संख्या 1331 के घनमूल
खण्ड (2)
(A) एक पूर्ण घन
(B) एक पूर्ण घन नहीं
(C) 1
(D) 1729
Answer:
(a) हार्डी-रामानुजन संख्या - (D) 1729
(b) 343 - (A) एक पूर्ण घन
(c) 100 - (B) एक पूर्ण घन नहीं
(d) संख्या 1331 के घनमूल - (C) 11 (विकल्पों में 11 उपलब्ध नहीं है, परन्तु \( \sqrt[3]{1331} = 11 \) होता है।)\( \)
In simple words: हार्डी-रामानुजन संख्या 1729 है। 343 एक पूर्ण घन है (7 का घन)। 100 एक पूर्ण घन नहीं है। 1331 का घनमूल 11 होता है।

🎯 Exam Tip: प्रसिद्ध संख्याओं और उनकी विशेषताओं को याद रखें, जैसे हार्डी-रामानुजन संख्या, और घनमूल्‍य के मूल सिद्धांतों को जानें।

 

V. अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

 

Question 1. निम्नलिखित प्रतिरूप को देखिए
\( 2^3 - 1^3 = 1 + 2 \times 1 \times 3 \)
\( 3^3 - 2^3 = 1 + 3 \times 2 \times 3 \)
\( 4^3 - 3^3 = 1 + 4 \times 3 \times 3 \)
उपर्युक्त प्रतिरूप का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।
(i) \( 7^3 - 6^3 \)
(ii) \( 12^3 - 11^3 \)
(iii) \( 20^3 - 19^3 \)
(iv) \( 51^3 - 50^3 \)
Answer:
दिए हुए प्रतिरूप का प्रयोग करते हुए:
(i) \( 7^3 - 6^3 = 1 + 7 \times 6 \times 3 = 1 + 126 = 127 \)
(ii) \( 12^3 - 11^3 = 1 + 12 \times 11 \times 3 = 1 + 396 = 397 \)
(iii) \( 20^3 - 19^3 = 1 + 20 \times 19 \times 3 = 1 + 1140 = 1141 \)
(iv) \( 51^3 - 50^3 = 1 + 51 \times 50 \times 3 = 1 + 7650 = 7651 \)
In simple words: पैटर्न बताता है कि लगातार दो संख्याओं के घन का अंतर 1 प्लस बड़ी संख्या गुणा छोटी संख्या गुणा 3 के बराबर होता है। इस नियम का पालन करते हुए, हम आसानी से दिए गए घनों के अंतर का पता लगा सकते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे पैटर्न वाले प्रश्नों में, नियम को ध्यान से समझें और उसे प्रत्येक भाग पर सही ढंग से लागू करें।

 

Question 2. परीक्षित प्लास्टिसिने का एक घनाभ बनाना है। जिसकी भुजाएँ 5 सेमी., 2 सेमी. और 5 सेमी. हैं। एक घन बनाने के लिए ऐसे कितने घनाभों की आवश्यकता होगी?
Answer:
घनाभ का आयतन \( = 5 \times 2 \times 5 \)
\( = 2 \times 5 \times 5 \)
हम देखते हैं कि 2 और 5 तीन-तीन के समूह में नहीं आ रहे हैं। 2 केवल 1 बार आ रहा है और 5 केवल 2 बार। अतः घन बनाने के लिए \( 2 \times 2 \times 5 \) से गुणा करना होगा।
इसलिए, \( 2 \times 2 \times 5 = 20 \)
अतः घन बनाने के लिए 20 घनाभों की आवश्यकता होगी।
In simple words: एक घनाभ को घन बनाने के लिए, हमें सभी भुजाओं की लंबाई को तीन के समूहों में लाना होगा। दिए गए घनाभ की भुजाएँ 5, 2, 5 हैं, इसलिए हमें एक 5 और दो 2 की आवश्यकता है ताकि \( 2^3 \) और \( 5^3 \) बन सकें। यह हमें \( 5 \times 2 \times 2 = 20 \) और घनाभों की आवश्यकता होगी।

🎯 Exam Tip: किसी संख्या को पूर्ण घन बनाने के लिए, उसके अभाज्य गुणनखंडों की जाँच करें और सुनिश्चित करें कि प्रत्येक गुणनखंड तीन के समूह में है।

 

Question 4. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य? 'किसी पूर्णांक m के लिए \( m^2 < m^3 \) होता है। क्यों?
Answer:
दिया है \( m^2 < m^3 \)
m = 1 के लिए:
\( m^2 = (1)^2 = 1 \)
\( m^3 = (1)^3 = 1 \)
इस स्थिति में, \( m^2 = m^3 \) है, न कि \( m^2 < m^3 \)।
अतः प्रदत्त कथन असत्य है।
In simple words: यह कथन गलत है। उदाहरण के लिए, यदि m = 1 है, तो \( 1^2 \) और \( 1^3 \) दोनों 1 होते हैं, तो \( m^2 \) \( m^3 \) से छोटा नहीं होता है। यदि m एक ऋणात्मक संख्या है, तो \( m^2 \) \( m^3 \) से बड़ा होगा।

🎯 Exam Tip: ऐसे कथनों की सत्यता की जाँच करने के लिए विभिन्न प्रकार की संख्याओं (धनात्मक, ऋणात्मक, शून्य, 1) का उपयोग करें।

 

Question 5. सिद्ध कीजिए कि यदि किसी संख्या को तिगुना कर दिया जाये तो नई संख्या का घन दी हुई संख्या के घन का 27 गुना हो जाता है।
Answer:
माना कोई संख्या a दी गई है।
इसका घन \( = a^3 \)
यदि संख्या को तिगुना किया जाए, तो नई संख्या \( = 3a \)
नई संख्या का घन \( = (3a)^3 \)
\( = 3^3 \times a^3 \)
\( = 27a^3 \)
इस प्रकार, नई संख्या का घन दी हुई संख्या के घन का 27 गुना हो जाता है।
In simple words: यदि आप किसी संख्या को तीन गुना करते हैं और फिर उसका घन निकालते हैं, तो परिणाम मूल संख्या के घन से 27 गुना बड़ा होगा। यह इसलिए होता है क्योंकि \( (3 \times \text{संख्या})^3 = 3^3 \times \text{संख्या}^3 = 27 \times \text{संख्या}^3 \)।

🎯 Exam Tip: जब कोई संख्या k गुना बढ़ जाती है, तो उसका घन \( k^3 \) गुना बढ़ जाता है।

 

Question 6. तीन विभिन्न उदाहरण लेकर निम्नलिखित कथन को सत्यापित कीजिए यदि n विषम है, तो \( n^3 \) भी विषम है।
Answer:
(1) n = 11 लीजिए
\( n^3 = 11 \times 11 \times 11 = 1331 \) जो विषम है।
(2) n = 37 लीजिए ।
\( n^3 = 37 \times 37 \times 37 = 50653 \) जो विषम है।
(3) n = 49 लीजिए।
\( n^3 = 49 \times 49 \times 49 = 117649 \) जो विषम है।
अतः प्रदत्त कथन सत्यापित हुआ।
In simple words: किसी विषम संख्या को तीन बार स्वयं से गुणा करने पर हमेशा एक विषम संख्या ही आती है। हमने तीन उदाहरणों से इसे देखा, जहाँ विषम संख्याओं 11, 37 और 49 के घन भी विषम ही आए हैं।

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण गुण है कि विषम संख्या का घन हमेशा विषम होता है और सम संख्या का घन हमेशा सम होता है।

 

Question 7. उस घन का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी एक सतह का क्षेत्रफल 625 मी² है।
Answer:
माना घन की भुजा a मी. है।
तब एक सतह का क्षेत्रफल \( = a \times a = a^2 \) मी\(^2\)
प्रश्नानुसार \( a^2 = 625 \)
\( \implies a = \sqrt{625} \)
\( \implies a = \sqrt{25 \times 25} \)
\( \implies a = 25 \) मी.
घन का आयतन \( = a^3 \)
\( = (25)^3 \)
\( = 25 \times 25 \times 25 \)
\( = 15625 \) मी\(^3\).
In simple words: घन की एक सतह का क्षेत्रफल उसकी भुजा के वर्ग के बराबर होता है। यदि क्षेत्रफल 625 वर्ग मीटर है, तो भुजा 25 मीटर होगी। घन का आयतन ज्ञात करने के लिए भुजा को तीन बार गुणा करते हैं, जिससे 15625 घन मीटर उत्तर आता है।

🎯 Exam Tip: घन के क्षेत्रफल और आयतन के सूत्रों को ध्यान में रखें: क्षेत्रफल \( a^2 \) और आयतन \( a^3 \) होता है।

 

VI. लघूत्तरात्मक प्रश्न

 

Question 1. तीन संख्याएँ 2 : 3 : 4 के अनुपात में हैं। उनके घनों का योग 33957 है। सबसे बड़ी संख्या को ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना तीन संख्याएँ \( 2x, 3x \) और \( 4x \) हैं।
प्रश्नानुसार
\( (2x)^3 + (3x)^3 + (4x)^3 = 33957 \)
\( \implies 8x^3 + 27x^3 + 64x^3 = 33957 \)
\( \implies 99x^3 = 33957 \)
\( \implies x^3 = \frac{33957}{99} \)
\( \implies x^3 = 343 \)
\( \implies x^3 = 7 \times 7 \times 7 \) | 343 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर
\( \implies x^3 = (7)^3 \)
\( \implies x = \sqrt[3]{(7^3)} \)
\( \implies x = 7 \)
सबसे बड़ी संख्या \( = 4x = 4 \times 7 = 28 \)
In simple words: हमने संख्याओं को उनके अनुपात के अनुसार \( 2x, 3x, 4x \) माना। उनके घनों को जोड़कर दिए गए योग के बराबर रखा, जिससे हमें x का मान 7 मिला। सबसे बड़ी संख्या \( 4x \) थी, इसलिए \( 4 \times 7 = 28 \) सबसे बड़ी संख्या है।

🎯 Exam Tip: अनुपात वाले प्रश्नों में, संख्याओं को एक चर के साथ व्यक्त करें और दिए गए संबंधों का उपयोग करके समीकरण को हल करें।

 

Question 2. एक घन का आयतन 9261000 मी\(^3\) है। घन की भुजा ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना घन की भुजा a मी. है।
आयतन \( = a^3 \) मी\(^3\) .
दिया गया है कि आयतन \( = 9261000 \) मी\(^3\)
\( \implies a^3 = 9261000 \)
\( \implies a = \sqrt[3]{9261000} \)
9261000 के अभाज्य गुणनखंड:

अतः \( 9261000 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 \)
\( \implies a = \sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7} \)
\( = \sqrt[3]{2^3 \times 3^3 \times 5^3 \times 7^3} \)
\( = \sqrt[3]{2^3} \times \sqrt[3]{3^3} \times \sqrt[3]{5^3} \times \sqrt[3]{7^3} \)
\( = 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210 \) मी.
अतः घन की भुजा 210 मी. है।
In simple words: एक घन की भुजा ज्ञात करने के लिए उसके आयतन का घनमूल निकालते हैं। 9261000 का घनमूल ज्ञात करने के लिए, हमने उसके अभाज्य गुणनखंड किए और प्रत्येक गुणनखंड के तीन के समूह बनाए। अंत में, सभी गुणनखंडों के एक-एक समूह को गुणा करने पर भुजा की लंबाई 210 मीटर मिलती है।

🎯 Exam Tip: घनमूल ज्ञात करने के लिए अभाज्य गुणनखंड विधि बहुत प्रभावी होती है, खासकर बड़ी संख्याओं के लिए। प्रत्येक गुणनखंड को तीन के समूहों में बांटना सुनिश्चित करें।

 

Question 3. निम्न प्रतिरूप
\( 1^3 = 1 \)
\( 1^3 + 2^3 = (1 + 2)^3 \)
\( 1^3 + 2^3 + 3^3 = (1 + 2 + 3)^3 \)
अगली तीन पंक्तियों को लिखिए और उपर्युक्त प्रतिरूप के आधार पर \( 1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + 10^3 \) का मान परिकलित कीजिए।
Answer:
अगली तीन पंक्तियाँ निम्नानुसार हैं:
\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = (1 + 2 + 3 + 4)^3 \)
\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)^3 \)
\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)^3 \)
आगे,
\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 +..... + 10^3 \)
\( = (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 10)^3 \)
पहले 1 से 10 तक की संख्याओं का योग ज्ञात करें:
\( 1 + 2 + ... + 10 = \frac{10 \times (10+1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 5 \times 11 = 55 \)
अब इस योग का घन करें:
\( = (55)^3 \)
\( = 55 \times 55 \times 55 \)
\( = 3025 \times 55 \)
\( = 166375 \)
In simple words: दिए गए पैटर्न से पता चलता है कि पहली n संख्याओं के घनों का योग पहली n संख्याओं के योग के घन के बराबर होता है। इस नियम का उपयोग करके, हमने पहले 1 से 10 तक की संख्याओं का योग निकाला, जो 55 था। फिर हमने इस 55 का घन किया, जिससे 166375 उत्तर आया।

🎯 Exam Tip: इस तरह के पैटर्न वाले प्रश्नों में, पहले पैटर्न को समझें और फिर बड़ी गणना के लिए उसका उपयोग करें। संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र \( \frac{n(n+1)}{2} \) का उपयोग करें।

 

Question 4. \( \sqrt[1331]{ 4096 } \) का घनमूल ज्ञात कीजिए।
Answer:
सबसे पहले, हम 1331 का घनमूल ज्ञात करेंगे:

\( \implies 1331 = 11 \times 11 \times 11 \)
\( \implies \sqrt[3]{1331} = 11 \) .....(2)

अब, हम 4096 का घनमूल ज्ञात करेंगे:

\( \implies 4096 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \)
\( = 2^3 \times 2^3 \times 2^3 \times 2^3 \)
\( = (2 \times 2 \times 2 \times 2)^3 \)
\( = (16)^3 \)
\( \implies \sqrt[3]{4096} = 16 \) .....(3)

(2) और (3) से, दिए गए प्रश्न को \( \frac{\sqrt[3]{1331}}{\sqrt[3]{4096}} \) के रूप में समझा जा सकता है:
\( \frac{\sqrt[3]{1331}}{\sqrt[3]{4096}} = \frac{11}{16} \)
In simple words: इस सवाल में हमें 1331 और 4096 दोनों का घनमूल ज्ञात करके फिर उन्हें एक भिन्न के रूप में लिखना है। 1331 का घनमूल 11 है और 4096 का घनमूल 16 है। इसलिए, उत्तर \( \frac{11}{16} \) है।

🎯 Exam Tip: यदि प्रश्न में किसी भिन्न के घनमूल की आवश्यकता है, तो आप अंश और हर दोनों का अलग-अलग घनमूल ज्ञात कर सकते हैं।