RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 2 घन एवं घनमूल More Ques

Question 1. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।

Answer: इस तालिका में हम 'बड़े घन की एक भुजा' के घन से 'बड़े घन को बनाने में जोड़े गए इकाई घन की संख्या' ज्ञात करते हैं। रिक्त स्थानों को भरने के लिए, हमें 4 और 5 की भुजाओं के घन मानों की गणना करनी होगी। 4 का घन \(4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64\) होता है, और 5 का घन \(5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125\) होता है। इस तरह, पैटर्न को पूरा किया जा सकता है।
In simple words: In this table, we find the number of unit cubes needed to make a larger cube by cubing its side length. For side 4, we need \(4^3 = 64\) cubes, and for side 5, we need \(5^3 = 125\) cubes.

🎯 Exam Tip: घन (cube) का मतलब है संख्या को खुद से तीन बार गुणा करना। यह याद रखने से आपको ऐसे सवाल हल करने में आसानी होगी।

Question 2. रिक्त स्थानों में आने वाली घन संख्याएँ भी ज्ञात कीजिए।

Answer: तालिका में दी गई संख्याओं का घन ज्ञात करने के लिए, हमें प्रत्येक संख्या को आपस में तीन बार गुणा करना होगा। यह प्रक्रिया उनके घन मान को दर्शाती है। रिक्त स्थानों की पूर्ति करने पर, संख्या 5 का घन 125, 6 का घन 216, 7 का घन 343, 8 का घन 512, 9 का घन 729 और 10 का घन 1000 होगा। पूर्ण तालिका इस प्रकार होगी:
In simple words: To find the cube of the numbers in the table, we multiply each number by itself three times. For example, \(5^3 = 125\), \(6^3 = 216\), \(7^3 = 343\), \(8^3 = 512\), \(9^3 = 729\), and \(10^3 = 1000\). The complete table is shown below.

🎯 Exam Tip: छोटी संख्याओं के घन मानों को याद रखना गणनाओं को तेज करने में मदद कर सकता है। अक्सर 1 से 10 तक के घन पूछे जाते हैं।

Question 3. \(2^2 = 4 = 2 \times 2\) के समान, क्या \(2^3 = 2 + 2 + 2\) है अथवा \(2 \times 2 \times 2\)?
Answer: \(2^3\) का सही मान \(2 \times 2 \times 2\) होता है, जो कि 8 के बराबर है। \(2 + 2 + 2\) का मान केवल 6 होता है, इसलिए यह गलत है। घन का मतलब संख्या को खुद से तीन बार गुणा करना होता है, जोड़ना नहीं। यह घात (power) के बुनियादी नियम को दर्शाता है कि आधार को घातांक (exponent) जितनी बार गुणा किया जाता है।
In simple words: The correct way to calculate \(2^3\) is \(2 \times 2 \times 2\), which is 8. Adding \(2+2+2\) gives 6, which is wrong for a cube. A cube means multiplying the number by itself three times, not adding it.

🎯 Exam Tip: घातों (powers) के नियम को याद रखें: \(a^n\) का मतलब है 'a' को 'n' बार आपस में गुणा करना, न कि 'a' को 'n' बार जोड़ना।

करो और सीखो

Question 4. नीचे दी गई संख्याओं की घन संख्याओं के इकाई का अंक बताइए।
(i) 1331
(ii) 4444
(iii) 159
(iv) 1005
Answer: किसी भी संख्या के घन का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए, हमें केवल उस संख्या के इकाई अंक का घन करना होता है और फिर उस घन के इकाई अंक को देखना होता है। यह एक त्वरित विधि है।
(i) 1331: इस संख्या का इकाई का अंक 1 है। \(1^3 = 1\)। अतः, 1331 के घन का इकाई का अंक 1 होगा।
(ii) 4444: इस संख्या का इकाई का अंक 4 है। \(4^3 = 64\)। अतः, 4444 के घन का इकाई का अंक 4 होगा।
(iii) 159: इस संख्या का इकाई का अंक 9 है। \(9^3 = 729\)। अतः, 159 के घन का इकाई का अंक 9 होगा।
(iv) 1005: इस संख्या का इकाई का अंक 5 है। \(5^3 = 125\)। अतः, 1005 के घन का इकाई का अंक 5 होगा।
In simple words: To find the unit digit of a cube, just cube the unit digit of the original number and see what its unit digit is. For 1331, unit digit is 1, so \(1^3 = 1\). For 4444, unit digit is 4, so \(4^3 = 64\), making its cube's unit digit 4. This method works for any number.

🎯 Exam Tip: किसी भी संख्या के घन का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए, केवल उस संख्या के इकाई अंक का घन करें। यह एक त्वरित तरीका है।

Question 5. संख्या 46 का घन सम होगा या विषम?
Answer: संख्या 46 एक सम संख्या है क्योंकि यह 2 से पूरी तरह विभाजित होती है। गणित के नियम के अनुसार, किसी भी सम संख्या का घन हमेशा एक सम संख्या ही होता है। इसलिए, 46 का घन भी एक सम संख्या होगी। यह नियम सभी पूर्णांकों पर लागू होता है।
In simple words: The number 46 is even because it can be divided by 2. When you cube an even number, the result is always another even number. So, the cube of 46 will be even.

🎯 Exam Tip: यह एक सामान्य नियम है: सम संख्या का घन सम होता है, और विषम संख्या का घन विषम होता है। इसे याद रखने से आप ऐसे प्रश्नों का उत्तर तुरंत दे सकते हैं।

Question 6. विषम संख्याओं के निम्न प्रतिरूप को देखिए और बताइए कि योग द्वारा \(10^3\) प्राप्त करने के लिए कितनी क्रमागत विषम संख्याओं की आवश्यकता होगी।
\(1 = 1 = 1^3\)
\(3+5 = 8 = 2^3\)
\(7+9+11 = 27 = 3^3\)
\(13+15+17+19 = 64 = 4^3\)
\(21+23+25+27+29 = 125 = 5^3\)
Answer: दिए गए पैटर्न का अवलोकन करने पर हम पाते हैं कि 'n' के घन (\(n^3\)) को प्राप्त करने के लिए 'n' क्रमागत विषम संख्याओं का योग किया जाता है। जैसे, \(1^3\) के लिए 1 विषम संख्या (1), \(2^3\) के लिए 2 विषम संख्याएँ (3+5) और \(5^3\) के लिए 5 विषम संख्याएँ (21+23+25+27+29) चाहिए। इसी तर्क के आधार पर, \(10^3\) प्राप्त करने के लिए हमें 10 क्रमागत विषम संख्याओं की आवश्यकता होगी। यह पैटर्न संख्याओं के गुणों को समझने में मदद करता है।
In simple words: Looking at the pattern, to get \(n^3\), you need to sum 'n' consecutive odd numbers. For \(1^3\), you need 1 odd number. For \(2^3\), you need 2 odd numbers. So, to get \(10^3\), you will need to add 10 consecutive odd numbers.

🎯 Exam Tip: ऐसे पैटर्न वाले सवालों में, सबसे पहले पैटर्न के नियम को समझें। यहाँ, संख्या 'n' का घन प्राप्त करने के लिए 'n' विषम संख्याएँ जोड़नी होती हैं।

करो और सीखो

Question 7. ऊपर दिए पैटर्न के अनुसार निम्न को विषम संख्याओं के योग के रूप में प्रदर्शित कीजिए।
(i) \(7^3\)
Answer: हमें \(7^3\) को क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में दिखाना है। पैटर्न के अनुसार, \(n^3\) के लिए क्रमागत विषम संख्याओं की श्रृंखला \(n(n-1)+1\) से शुरू होती है। इस प्रकार, \(7^3\) के लिए पहला विषम अंक \(7(7-1)+1 = 7 \times 6 + 1 = 42 + 1 = 43\) होगा। हमें 7 क्रमागत विषम संख्याएँ चाहिए, जो 43 से शुरू होंगी।
\(7^3 = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55\)
यह योग वास्तव में \(343\) के बराबर है। इसी तरह, यदि हम \(8^3\) का भी उदाहरण देखें, तो पहला विषम अंक \(8(8-1)+1 = 8 \times 7 + 1 = 56 + 1 = 57\) होगा। तो 8 क्रमागत विषम संख्याएँ 57 से शुरू होंगी:
\(8^3 = 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71\)
In simple words: To show \(7^3\) as a sum of odd numbers, the first odd number in the sequence is found using the formula \(n(n-1)+1\), which for \(n=7\) gives 43. Then we sum 7 consecutive odd numbers starting from 43: \(43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55\). This sum equals 343. For \(8^3\), the first number is 57, and we sum 8 consecutive odd numbers from there.

🎯 Exam Tip: क्रमागत विषम संख्याओं के योग से घन प्राप्त करने के लिए, आपको n विषम संख्याएँ जोड़नी होती हैं, जो पिछली श्रृंखला के अंतिम विषम संख्या के बाद वाली विषम संख्या से शुरू होती हैं, या आप पहले विषम संख्या को \(n(n-1)+1\) सूत्र से ज्ञात कर सकते हैं।

Question 8. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।

Answer: तालिका में दिए गए पैटर्न के अनुसार, हमें \(12^3\) का घन और उसके अभाज्य गुणनखंडों को लिखना है। \(12^3\) का मान 1728 होता है। जब हम 12 को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ते हैं, तो यह \(2 \times 2 \times 3\) होता है। इसलिए, \(12^3\) के अभाज्य गुणनखंडों में \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3\) होगा, जिसे \(2^3 \times 2^3 \times 3^3\) के रूप में भी लिखा जा सकता है। यह दर्शाता है कि प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड तीन बार आता है।
In simple words: Following the pattern, we need to find \(12^3\) and its prime factorization. \(12^3\) is 1728. Since 12 is \(2 \times 2 \times 3\), the prime factorization for \(12^3\) will be \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3\), or \(2^3 \times 2^3 \times 3^3\), where each prime factor appears three times.

🎯 Exam Tip: घन संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड करते समय, प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड हमेशा तीन-तीन के समूह में आता है। यदि ऐसा नहीं है, तो वह संख्या पूर्ण घन नहीं है।

करो और सीखो

Question 9. जाँच कीजिए कि निम्नलिखित में से कौनसी संख्याएँ पूर्ण घन हैं।
(i) 2700
(ii) 16000
(iii) 64000
(iv) 900
(v) 125000
(vi) 36000
(vii) 21600
(viii) 10000
(ix) 27000000
(x) 11000
Answer: कोई भी संख्या पूर्ण घन तभी होती है जब उसके अभाज्य गुणनखंडों में प्रत्येक गुणनखंड तीन-तीन के समूह (त्रिक) में आता है। हम प्रत्येक संख्या के लिए अभाज्य गुणनखंड करेंगे और जाँच करेंगे।
(i) 2700 के अभाज्य गुणनखंड \( = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \)
यहाँ, गुणनखंड 3 का एक त्रिक है, लेकिन गुणनखंड 2 और 5 त्रिक में नहीं हैं (ये केवल दो-दो बार आए हैं)। अतः, 2700 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है। अभाज्य गुणनखंड विधि यह निर्धारित करने का एक सीधा तरीका है कि कोई संख्या पूर्ण घन है या नहीं।
In simple words: A number is a perfect cube if all its prime factors appear in groups of three. For 2700, factors 2 and 5 do not appear in groups of three, so it's not a perfect cube.

(ii) 16000 के अभाज्य गुणनखंड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \)
यहाँ, गुणनखंड 5 का एक त्रिक है और गुणनखंड 2 के दो त्रिक हैं, लेकिन एक 2 बच जाता है जो त्रिक में नहीं है। अतः, 16000 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है। पूर्ण घन होने के लिए सभी गुणनखंडों का त्रिक में होना अनिवार्य है।
In simple words: For 16000, prime factor 2 appears seven times, and 5 appears three times. Since one 2 is left over and not part of a triplet, 16000 is not a perfect cube.

(iii) 64000 के अभाज्य गुणनखंड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \)
यहाँ, सभी गुणनखंड (2 के तीन त्रिक और 5 का एक त्रिक) तीन-तीन के समूह में हैं। अतः, 64000 एक पूर्ण घन संख्या है। सभी गुणनखंडों के त्रिक में होने से ही संख्या पूर्ण घन बनती है।
In simple words: For 64000, all prime factors (three groups of 2 and one group of 5) are in groups of three. This means 64000 is a perfect cube.

(iv) 900 के अभाज्य गुणनखंड \( = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \)
यहाँ, कोई भी गुणनखंड तीन-तीन के समूह में नहीं है। सभी गुणनखंड दो-दो बार आए हैं। अतः, 900 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है। यह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि यह संख्या पूर्ण घन के मानदंड को पूरा नहीं करती।
In simple words: For 900, none of the prime factors (2, 3, or 5) appear in groups of three. They all appear in pairs. So, 900 is not a perfect cube.

(v) 125000 के अभाज्य गुणनखंड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \)
यहाँ, गुणनखंड 2 के एक त्रिक और गुणनखंड 5 के दो त्रिक हैं। सभी गुणनखंड तीन-तीन के समूह में हैं। अतः, 125000 एक पूर्ण घन संख्या है। इसका मतलब है कि इसे किसी पूर्णांक के घन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
In simple words: For 125000, all prime factors (one group of 2 and two groups of 5) are in groups of three. So, 125000 is a perfect cube.

(vi) 36000 के अभाज्य गुणनखंड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \)
यहाँ, गुणनखंड 2 (पाँच बार आया है) और 3 (दो बार आया है) तीन-तीन के समूह में नहीं हैं। अतः, 36000 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है। सभी गुणनखंडों का त्रिक में होना पूर्ण घन की कसौटी है।
In simple words: For 36000, the prime factors 2 (appears five times) and 3 (appears two times) are not in groups of three. So, 36000 is not a perfect cube.

(vii) 21600 के अभाज्य गुणनखंड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \)
यहाँ, गुणनखंड 2 (पाँच बार आया है) और 5 (दो बार आया है) तीन-तीन के समूह में नहीं हैं। अतः, 21600 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है। यदि एक भी गुणनखंड त्रिक में न हो तो संख्या पूर्ण घन नहीं मानी जाती।
In simple words: For 21600, the prime factors 2 (appears five times) and 5 (appears two times) are not in groups of three. So, 21600 is not a perfect cube.

(viii) 10000 के अभाज्य गुणनखंड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \)
यहाँ, गुणनखंड 2 (चार बार आया है) और 5 (चार बार आया है) तीन-तीन के समूह में नहीं हैं। अतः, 10000 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है। इस संख्या में कोई भी गुणनखंड त्रिक के रूप में मौजूद नहीं है।
In simple words: For 10000, the prime factors 2 (appears four times) and 5 (appears four times) are not in groups of three. So, 10000 is not a perfect cube.

(ix) 27000000 के अभाज्य गुणनखंड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \)
यहाँ, गुणनखंड 2 (दो त्रिक), 3 (एक त्रिक) और 5 (दो त्रिक) सभी तीन-तीन के समूह में हैं। अतः, 27000000 एक पूर्ण घन संख्या है। सभी गुणनखंडों का त्रिक में होना यह दर्शाता है कि संख्या किसी पूर्णांक का घन है।
In simple words: For 27000000, all prime factors (2, 3, and 5) appear in groups of three. This means 27000000 is a perfect cube.

(x) 11000 के अभाज्य गुणनखंड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 11 \)
यहाँ, गुणनखंड 11 एक त्रिक में नहीं है (यह केवल एक बार आया है)। अतः, 11000 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है। किसी भी अभाज्य गुणनखंड का त्रिक में न होना यह पुष्टि करता है कि संख्या पूर्ण घन नहीं है।
In simple words: For 11000, the prime factor 11 does not appear in a group of three. It only appears once. So, 11000 is not a perfect cube.

🎯 Exam Tip: पूर्ण घन की पहचान करने के लिए अभाज्य गुणनखंड विधि सबसे सटीक है। यदि सभी गुणनखंड तीन-तीन के समूह में आते हैं, तो संख्या पूर्ण घन है; अन्यथा नहीं।