Step-by-Step Textbook Solutions for Class 8 Mathematics Chapter 02 घन एवं घनमूल
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Question 1. निम्न कथनों में सही/गलत बताइए।
(i) प्रत्येक सम संख्या का घन सम होता है।
(ii) एक पूर्ण घन संख्या दो शून्यों (00) पर समाप्त नहीं होती है।
(iii) ऐसा कोई पूर्ण घन नहीं है जो 8 पर समाप्त होता
(iv) यदि किसी संख्या का वर्ग 5 पर समाप्त होता है। तो उसका घन 25 पर समाप्त होता है।
(v) एक अंक वाली संख्या का घन एक अंक का ही होता है।
(vi) दो अंकों वाली संख्या का घन 4 से 6 अंकों का । होता है।
Answer:
(i) सही: हर सम संख्या का घन भी एक सम संख्या ही होता है।
(ii) सही: कोई भी पूर्ण घन संख्या दो शून्य (जैसे 00) पर खत्म नहीं होती है, बल्कि हमेशा तीन शून्य (जैसे 000) पर खत्म होती है।
(iii) गलत: ऐसी कई पूर्ण घन संख्याएँ हैं जो 8 पर समाप्त होती हैं, जैसे \( 2^3 = 8 \) और \( 12^3 = 1728 \)।
(iv) सही: यदि किसी संख्या का वर्ग 5 पर समाप्त होता है, तो वह संख्या 5 पर ही समाप्त होगी। ऐसी संख्या का घन 25 पर समाप्त होता है।
(v) गलत: एक अंक वाली संख्या का घन एक से ज़्यादा अंकों का भी हो सकता है, जैसे \( 3^3 = 27 \) (दो अंक) और \( 4^3 = 64 \) (दो अंक)।
(vi) सही: दो अंकों वाली संख्याओं का घन हमेशा 4 से 6 अंकों तक का होता है। उदाहरण के लिए, \( 10^3 = 1000 \) (4 अंक) और \( 99^3 = 970299 \) (6 अंक)।
In simple words: आपको बताना है कि दिए गए कथन सही हैं या गलत। इन कथनों में संख्याओं के घन से जुड़ी बातें बताई गई हैं, जैसे सम-विषम होने या कितने अंकों पर खत्म होने के नियम।
🎯 Exam Tip: घन और घनमूल के नियमों को याद रखें, जैसे सम संख्या का घन सम होता है। छोटे उदाहरणों से कथनों की जाँच करें।
Question 2. आकलन विधि एवं अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्नलिखित संख्याओं को घनमूल ज्ञात कीजिए तथा अपने उत्तर की जाँच कीजिए।
(i) 64
(ii) 343
(iii) 5832
(iv) 74088
(v) 3375
(vi) 10648
(vii) 46656
(viii) 91125
Answer:
(i) 64
(a) आकलन विधि द्वारा:
दी गई संख्या 64 है।
चरण 1: दाईं ओर से शुरू करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएँ। हमें एक ही समूह मिलता है: 64।
चरण 2: इस समूह का इकाई का अंक 4 है। केवल 4 के घन (\( 4^3 = 64 \)) का इकाई अंक 4 होता है। इसलिए घनमूल का इकाई अंक 4 होगा। चूंकि केवल एक ही समूह है, इसलिए दहाई का अंक नहीं होगा।
अतः, 64 का घनमूल 4 है। इस प्रकार \( \sqrt[3]{64} = 4 \).
(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा:
| अभाज्य गुणनखण्ड | संख्या |
|---|---|
| 2 | 64 |
| 2 | 32 |
| 2 | 16 |
| 2 | 8 |
| 2 | 4 |
| 2 | 2 |
| 1 |
अतः \( 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \).
घनमूल ज्ञात करने के लिए तीन-तीन के समूह बनाते हैं:
\( 64 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) \)
\( \implies \sqrt[3]{64} = 2 \times 2 = 4 \).
(ii) 343
(a) आकलन विधि द्वारा:
दी गई संख्या 343 है।
चरण 1: दाईं ओर से शुरू करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएँ। हमें एक ही समूह मिलता है: 343।
चरण 2: इस समूह का इकाई का अंक 3 है। केवल 7 के घन (\( 7^3 = 343 \)) का इकाई अंक 3 होता है। इसलिए घनमूल का इकाई अंक 7 होगा।
अतः, 343 का घनमूल 7 है। इस प्रकार \( \sqrt[3]{343} = 7 \).
(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा:
| अभाज्य गुणनखण्ड | संख्या |
|---|---|
| 7 | 343 |
| 7 | 49 |
| 7 | 7 |
| 1 |
अतः \( 343 = 7 \times 7 \times 7 \).
घनमूल ज्ञात करने के लिए तीन-तीन के समूह बनाते हैं:
\( 343 = (7 \times 7 \times 7) \)
\( \implies \sqrt[3]{343} = 7 \).
(iii) 5832
(a) आकलन विधि द्वारा:
दी गई संख्या 5832 है।
चरण 1: दाईं ओर से शुरू करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएँ: \( 5 \) और \( 832 \).
चरण 2: पहला समूह \( 832 \) है। इसका इकाई का अंक 2 है। हम जानते हैं कि 8 के घन (\( 8^3 = 512 \)) का इकाई अंक 2 होता है। इसलिए घनमूल का इकाई अंक 8 होगा।
चरण 3: दूसरा समूह \( 5 \) है। हम जानते हैं कि \( 1^3 = 1 \) और \( 2^3 = 8 \). चूंकि \( 1 < 5 < 8 \), तो दहाई का अंक 1 होगा।
अतः, 5832 का घनमूल 18 होगा। इस प्रकार \( \sqrt[3]{5832} = 18 \).
(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा:
| अभाज्य गुणनखण्ड | संख्या |
|---|---|
| 2 | 5832 |
| 2 | 2916 |
| 2 | 1458 |
| 3 | 729 |
| 3 | 243 |
| 3 | 81 |
| 3 | 27 |
| 3 | 9 |
| 3 | 3 |
| 1 |
अतः \( 5832 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \).
घनमूल ज्ञात करने के लिए तीन-तीन के समूह बनाते हैं:
\( 5832 = (2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3 \times 3) \times (3 \times 3 \times 3) \)
\( \implies \sqrt[3]{5832} = 2 \times 3 \times 3 = 18 \).
(iv) 74088
(a) आकलन विधि द्वारा:
दी गई संख्या 74088 है।
चरण 1: दाईं ओर से शुरू करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएँ: \( 74 \) और \( 088 \).
चरण 2: पहला समूह \( 088 \) है। इसका इकाई का अंक 8 है। हम जानते हैं कि 2 के घन (\( 2^3 = 8 \)) का इकाई अंक 8 होता है। इसलिए घनमूल का इकाई अंक 2 होगा।
चरण 3: दूसरा समूह \( 74 \) है। हम जानते हैं कि \( 4^3 = 64 \) और \( 5^3 = 125 \). चूंकि \( 64 < 74 < 125 \), तो दहाई का अंक 4 होगा।
अतः, 74088 का घनमूल 42 होगा। इस प्रकार \( \sqrt[3]{74088} = 42 \).
(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा:
| अभाज्य गुणनखण्ड | संख्या |
|---|---|
| 2 | 74088 |
| 2 | 37044 |
| 2 | 18522 |
| 3 | 9261 |
| 3 | 3087 |
| 3 | 1029 |
| 7 | 343 |
| 7 | 49 |
| 7 | 7 |
| 1 |
अतः \( 74088 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 \times 7 \).
घनमूल ज्ञात करने के लिए तीन-तीन के समूह बनाते हैं:
\( 74088 = (2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3 \times 3) \times (7 \times 7 \times 7) \)
\( \implies \sqrt[3]{74088} = 2 \times 3 \times 7 = 42 \).
(v) 3375
(a) आकलन विधि द्वारा:
दी गई संख्या 3375 है।
चरण 1: दाईं ओर से शुरू करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएँ: \( 3 \) और \( 375 \).
चरण 2: पहला समूह \( 375 \) है। इसका इकाई का अंक 5 है। हम जानते हैं कि 5 के घन (\( 5^3 = 125 \)) का इकाई अंक 5 होता है। इसलिए घनमूल का इकाई अंक 5 होगा।
चरण 3: दूसरा समूह \( 3 \) है। हम जानते हैं कि \( 1^3 = 1 \) और \( 2^3 = 8 \). चूंकि \( 1 < 3 < 8 \), तो दहाई का अंक 1 होगा।
अतः, 3375 का घनमूल 15 होगा। इस प्रकार \( \sqrt[3]{3375} = 15 \).
(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा:
| अभाज्य गुणनखण्ड | संख्या |
|---|---|
| 3 | 3375 |
| 3 | 1125 |
| 3 | 375 |
| 5 | 125 |
| 5 | 25 |
| 5 | 5 |
| 1 |
अतः \( 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \).
घनमूल ज्ञात करने के लिए तीन-तीन के समूह बनाते हैं:
\( 3375 = (3 \times 3 \times 3) \times (5 \times 5 \times 5) \)
\( \implies \sqrt[3]{3375} = 3 \times 5 = 15 \).
(vi) 10648
(a) आकलन विधि द्वारा:
दी गई संख्या 10648 है।
चरण 1: दाईं ओर से शुरू करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएँ: \( 10 \) और \( 648 \).
चरण 2: पहला समूह \( 648 \) है। इसका इकाई का अंक 8 है। हम जानते हैं कि 2 के घन (\( 2^3 = 8 \)) का इकाई अंक 8 होता है। इसलिए घनमूल का इकाई अंक 2 होगा।
चरण 3: दूसरा समूह \( 10 \) है। हम जानते हैं कि \( 2^3 = 8 \) और \( 3^3 = 27 \). चूंकि \( 8 < 10 < 27 \), तो दहाई का अंक 2 होगा।
अतः, 10648 का घनमूल 22 होगा। इस प्रकार \( \sqrt[3]{10648} = 22 \).
(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा:
| अभाज्य गुणनखण्ड | संख्या |
|---|---|
| 2 | 10648 |
| 2 | 5324 |
| 2 | 2662 |
| 11 | 1331 |
| 11 | 121 |
| 11 | 11 |
| 1 |
अतः \( 10648 = 2 \times 2 \times 2 \times 11 \times 11 \times 11 \).
घनमूल ज्ञात करने के लिए तीन-तीन के समूह बनाते हैं:
\( 10648 = (2 \times 2 \times 2) \times (11 \times 11 \times 11) \)
\( \implies \sqrt[3]{10648} = 2 \times 11 = 22 \).
(vii) 46656
(a) आकलन विधि द्वारा:
दी गई संख्या 46656 है।
चरण 1: दाईं ओर से शुरू करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएँ: \( 46 \) और \( 656 \).
चरण 2: पहला समूह \( 656 \) है। इसका इकाई का अंक 6 है। हम जानते हैं कि 6 के घन (\( 6^3 = 216 \)) का इकाई अंक 6 होता है। इसलिए घनमूल का इकाई अंक 6 होगा।
चरण 3: दूसरा समूह \( 46 \) है। हम जानते हैं कि \( 3^3 = 27 \) और \( 4^3 = 64 \). चूंकि \( 27 < 46 < 64 \), तो दहाई का अंक 3 होगा।
अतः, 46656 का घनमूल 36 होगा। इस प्रकार \( \sqrt[3]{46656} = 36 \).
(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा:
| अभाज्य गुणनखण्ड | संख्या |
|---|---|
| 2 | 46656 |
| 2 | 23328 |
| 2 | 11664 |
| 2 | 5832 |
| 2 | 2916 |
| 2 | 1458 |
| 3 | 729 |
| 3 | 243 |
| 3 | 81 |
| 3 | 27 |
| 3 | 9 |
| 3 | 3 |
| 1 |
अतः \( 46656 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \).
घनमूल ज्ञात करने के लिए तीन-तीन के समूह बनाते हैं:
\( 46656 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3 \times 3) \times (3 \times 3 \times 3) \)
\( \implies \sqrt[3]{46656} = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36 \).
(viii) 91125
(a) आकलन विधि द्वारा:
दी गई संख्या 91125 है।
चरण 1: दाईं ओर से शुरू करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएँ: \( 91 \) और \( 125 \).
चरण 2: पहला समूह \( 125 \) है। इसका इकाई का अंक 5 है। हम जानते हैं कि 5 के घन (\( 5^3 = 125 \)) का इकाई अंक 5 होता है। इसलिए घनमूल का इकाई अंक 5 होगा।
चरण 3: दूसरा समूह \( 91 \) है। हम जानते हैं कि \( 4^3 = 64 \) और \( 5^3 = 125 \). चूंकि \( 64 < 91 < 125 \), तो दहाई का अंक 4 होगा।
अतः, 91125 का घनमूल 45 होगा। इस प्रकार \( \sqrt[3]{91125} = 45 \).
(b) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा:
| अभाज्य गुणनखण्ड | संख्या |
|---|---|
| 3 | 91125 |
| 3 | 30375 |
| 3 | 10125 |
| 3 | 3375 |
| 3 | 1125 |
| 3 | 375 |
| 5 | 125 |
| 5 | 25 |
| 5 | 5 |
| 1 |
अतः \( 91125 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \).
घनमूल ज्ञात करने के लिए तीन-तीन के समूह बनाते हैं:
\( 91125 = (3 \times 3 \times 3) \times (3 \times 3 \times 3) \times (5 \times 5 \times 5) \)
\( \implies \sqrt[3]{91125} = 3 \times 3 \times 5 = 45 \).
In simple words: किसी भी संख्या का घनमूल निकालने के लिए, आप उसे अभाज्य संख्याओं में तोड़ सकते हैं और फिर तीन-तीन के जोड़े बनाकर एक संख्या बाहर निकाल सकते हैं। आकलन विधि में, आप संख्या के अंतिम अंक और समूहों को देखकर घनमूल का अनुमान लगाते हैं।
🎯 Exam Tip: आकलन विधि में इकाई अंक के पैटर्न को याद रखें (जैसे 1 का घन 1 पर, 2 का घन 8 पर, 3 का घन 7 पर समाप्त होता है)। अभाज्य गुणनखण्ड विधि में, सभी अभाज्य गुणनखण्डों को सही ढंग से लिखें और फिर तीन-तीन के समूह बनाना न भूलें।
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