NCERT Solutions for Class 8 Mathematics: Chapter 02 घन एवं घनमूल
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Practice Class 8 Mathematics Solutions: Chapter 02 घन एवं घनमूल
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Question 1. निम्नलिखित में से कौनसी संख्याएँ पूर्ण घन नहीं हैं
(i) 512
(ii) 243
(iii) 1000
(iv) 100
(v) 2700
Answer:
(i) 512
512 के अभाज्य गुणनखण्ड हैं: \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \)
यहां, दो-दो करके 3 समूह बन जाते हैं (यानी \( 2^3 \times 2^3 \times 2^3 \)).
चूंकि सभी अभाज्य गुणनखण्ड तीन-तीन के समूह में हैं, इसलिए 512 एक पूर्ण घन संख्या है। इसका मतलब है कि 512 को \( 8 \times 8 \times 8 \) के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे यह एक पूर्ण घन बन जाता है.
In simple words: 512 के सभी अभाज्य गुणनखण्ड तीन-तीन के समूह में आते हैं. इसलिए, 512 एक पूर्ण घन संख्या है.
🎯 Exam Tip: किसी भी संख्या के पूर्ण घन होने के लिए, उसके अभाज्य गुणनखण्डों में सभी संख्याएँ तीन-तीन के समूह में होनी चाहिएं. यदि कोई संख्या समूह से बाहर रह जाती है, तो वह पूर्ण घन नहीं होती.
(ii) 243
Answer:
243 के अभाज्य गुणनखण्ड हैं: \( 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)
यहां, 3 का एक तीन का समूह (यानी \( 3^3 \)) बनता है, लेकिन दो 3 बच जाते हैं.
चूंकि सभी अभाज्य गुणनखण्ड तीन-तीन के समूह में नहीं हैं, इसलिए 243 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है। यदि हम इसे 3 से गुणा या भाग करें, तो यह पूर्ण घन बन सकता है.
In simple words: 243 के अभाज्य गुणनखण्डों में 3 के दो अंक बिना समूह के रह जाते हैं. इसलिए, 243 पूर्ण घन संख्या नहीं है.
🎯 Exam Tip: गुणनखण्ड करते समय ध्यान से देखें कि कौन से अंक तीन के समूह में हैं और कौन से नहीं. जो अंक तीन के समूह में नहीं होते, वही बताते हैं कि संख्या पूर्ण घन है या नहीं.
(iii) 1000
Answer:
1000 के अभाज्य गुणनखण्ड हैं: \( 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \)
यहां, 2 का एक तीन का समूह (यानी \( 2^3 \)) और 5 का भी एक तीन का समूह (यानी \( 5^3 \)) बन जाता है.
चूंकि सभी अभाज्य गुणनखण्ड तीन-तीन के समूह में हैं, इसलिए 1000 एक पूर्ण घन संख्या है। इसका घनमूल 10 होता है क्योंकि \( 10 \times 10 \times 10 = 1000 \).
In simple words: 1000 के अभाज्य गुणनखण्डों में 2 और 5 दोनों के तीन-तीन के समूह बन जाते हैं. इसलिए, 1000 एक पूर्ण घन संख्या है.
🎯 Exam Tip: 10, 100, 1000 जैसी संख्याओं के लिए, शून्य की संख्या पर ध्यान दें. यदि शून्य तीन के गुणज में हैं (जैसे 3, 6, 9), तो वह संख्या अक्सर पूर्ण घन होती है.
(iv) 100
Answer:
100 के अभाज्य गुणनखण्ड हैं: \( 2 \times 2 \times 5 \times 5 \)
यहां, न तो 2 का तीन का समूह बन रहा है और न ही 5 का तीन का समूह बन रहा है.
चूंकि 2 और 5 दोनों के तीन-तीन के समूह पूरे नहीं हो पा रहे हैं, इसलिए 100 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है। यह एक पूर्ण वर्ग संख्या है, लेकिन पूर्ण घन नहीं.
In simple words: 100 के अभाज्य गुणनखण्डों में 2 और 5 दोनों के ही तीन-तीन के समूह नहीं बन पाते हैं. इसलिए, 100 पूर्ण घन संख्या नहीं है.
🎯 Exam Tip: पूर्ण वर्ग संख्या और पूर्ण घन संख्या के बीच का अंतर याद रखें. पूर्ण वर्ग में संख्याएँ दो के समूह में होती हैं, जबकि पूर्ण घन में तीन के समूह में.
(v) 2700
Answer:
2700 के अभाज्य गुणनखण्ड हैं: \( 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \)
यहां, 3 का एक तीन का समूह (यानी \( 3^3 \)) बन जाता है, लेकिन 2 और 5 दोनों के दो-दो अंक बच जाते हैं.
चूंकि 2 और 5 के तीन-तीन के समूह पूरे नहीं हो पा रहे हैं, इसलिए 2700 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है। इसे पूर्ण घन बनाने के लिए इसे \( 2 \times 5 = 10 \) से गुणा करना पड़ेगा.
In simple words: 2700 के अभाज्य गुणनखण्डों में 2 और 5 के तीन-तीन के समूह नहीं बनते हैं. इसलिए, 2700 पूर्ण घन संख्या नहीं है.
🎯 Exam Tip: जब कोई संख्या बड़ी हो, तो उसके अभाज्य गुणनखण्डों को लिखकर जांच करना सबसे आसान तरीका होता है कि वह पूर्ण घन है या नहीं.
Question 2. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे निम्नलिखित संख्याओं को गुणा करने पर पूर्ण घन प्राप्त हो जाए
(i) 108
(ii) 500
(iii) 5400
(iv) 10584
Answer:
(i) 108
108 के अभाज्य गुणनखण्ड: \( 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \)
यहां, 3 का एक तीन का समूह (यानी \( 3^3 \)) बन जाता है, लेकिन 2 के केवल दो अंक हैं. 2 का समूह पूरा करने के लिए एक और 2 की आवश्यकता है.
अतः, 108 को पूर्ण घन बनाने के लिए उसे 2 से गुणा करना होगा। गुणा करने के बाद यह \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \) यानी \( 2^3 \times 3^3 = 6^3 = 216 \) बन जाएगा. सबसे छोटी संख्या 2 है.
In simple words: 108 के गुणनखण्डों में 2 की संख्या कम है. 2 को तीन बार पूरा करने के लिए, हमें इसे एक बार 2 से गुणा करना होगा.
🎯 Exam Tip: किसी संख्या को पूर्ण घन बनाने के लिए, प्रत्येक अभाज्य गुणनखण्ड को तीन के समूह में लाने के लिए जितनी बार उस अंक की कमी हो, उससे गुणा करें.
(ii) 500
Answer:
500 के अभाज्य गुणनखण्ड: \( 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \)
यहां, 5 का एक तीन का समूह (यानी \( 5^3 \)) बन जाता है, लेकिन 2 के केवल दो अंक हैं. 2 का समूह पूरा करने के लिए एक और 2 की आवश्यकता है.
अतः, 500 को पूर्ण घन बनाने के लिए उसे 2 से गुणा करना होगा। गुणा करने के बाद यह \( 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \) यानी \( 2^3 \times 5^3 = 10^3 = 1000 \) बन जाएगा. सबसे छोटी संख्या 2 है.
In simple words: 500 के गुणनखण्डों में 2 की संख्या कम है. 2 को तीन बार पूरा करने के लिए, हमें इसे एक बार 2 से गुणा करना होगा.
🎯 Exam Tip: यह जांचने के लिए कि आपकी संख्या सही है या नहीं, गुणा करने के बाद परिणामी संख्या का घनमूल निकालें. यदि वह एक पूर्ण संख्या आती है, तो आपका उत्तर सही है.
(iii) 5400
Answer:
5400 के अभाज्य गुणनखण्ड: \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \)
यहां, 2 का एक तीन का समूह (यानी \( 2^3 \)) और 3 का एक तीन का समूह (यानी \( 3^3 \)) बन जाता है, लेकिन 5 के केवल दो अंक हैं. 5 का समूह पूरा करने के लिए एक और 5 की आवश्यकता है.
अतः, 5400 को पूर्ण घन बनाने के लिए उसे 5 से गुणा करना होगा। गुणा करने के बाद यह \( 2^3 \times 3^3 \times 5^3 = (2 \times 3 \times 5)^3 = 30^3 = 27000 \) बन जाएगा. सबसे छोटी संख्या 5 है.
In simple words: 5400 के गुणनखण्डों में 5 की संख्या कम है. 5 को तीन बार पूरा करने के लिए, हमें इसे एक बार 5 से गुणा करना होगा.
🎯 Exam Tip: बड़ी संख्याओं के लिए अभाज्य गुणनखण्ड विधि का उपयोग करना बहुत उपयोगी होता है, खासकर जब हमें यह जानना हो कि किसी संख्या को पूर्ण घन बनाने के लिए किस सबसे छोटी संख्या से गुणा या भाग करें.
(iv) 10584
Answer:
10584 के अभाज्य गुणनखण्ड: \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 \)
यहां, 2 का एक तीन का समूह (यानी \( 2^3 \)) और 3 का एक तीन का समूह (यानी \( 3^3 \)) बन जाता है, लेकिन 7 के केवल दो अंक हैं. 7 का समूह पूरा करने के लिए एक और 7 की आवश्यकता है.
अतः, 10584 को पूर्ण घन बनाने के लिए उसे 7 से गुणा करना होगा। गुणा करने के बाद यह \( 2^3 \times 3^3 \times 7^3 = (2 \times 3 \times 7)^3 = 42^3 = 74088 \) बन जाएगा. सबसे छोटी संख्या 7 है.
In simple words: 10584 के गुणनखण्डों में 7 की संख्या कम है. 7 को तीन बार पूरा करने के लिए, हमें इसे एक बार 7 से गुणा करना होगा.
🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखण्ड करते समय ध्यान रखें कि सभी छोटे अभाज्य गुणनखण्डों को पहले उपयोग करें और फिर बड़े गुणनखण्डों की ओर बढ़ें, जैसे कि 2, 3, 5, 7, 11, आदि.
Question 3. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे निम्नलिखित संख्याओं को भाग देने पर एक पूर्ण घन प्राप्त होगा।
(i) 24
(ii) 250
(iii) 192
(iv) 135
Answer:
(i) 24
24 के अभाज्य गुणनखण्ड: \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \)
यहां, 2 का एक तीन का समूह (यानी \( 2^3 \)) बन जाता है, लेकिन 3 केवल एक बार है. 3 का कोई समूह नहीं बन रहा है.
अतः, 24 को पूर्ण घन बनाने के लिए उसे 3 से भाग देना होगा ताकि बचा हुआ 3 हट जाए. भाग देने के बाद यह \( 2 \times 2 \times 2 \) यानी \( 2^3 = 8 \) बन जाएगा. सबसे छोटी संख्या 3 है.
In simple words: 24 के गुणनखण्डों में 3 अकेला है. इसे पूर्ण घन बनाने के लिए, हमें 3 को हटाना होगा, इसलिए 3 से भाग देना पड़ेगा.
🎯 Exam Tip: जब भाग देने की बात आती है, तो हमें उन अतिरिक्त अभाज्य गुणनखण्डों को हटाना होता है जो तीन के समूह में नहीं आते. गुणा करने में हम उन गुणनखण्डों को पूरा करते हैं.
(ii) 250
Answer:
250 के अभाज्य गुणनखण्ड: \( 2 \times 5 \times 5 \times 5 \)
यहां, 5 का एक तीन का समूह (यानी \( 5^3 \)) बन जाता है, लेकिन 2 केवल एक बार है. 2 का कोई समूह नहीं बन रहा है.
अतः, 250 को पूर्ण घन बनाने के लिए उसे 2 से भाग देना होगा ताकि बचा हुआ 2 हट जाए. भाग देने के बाद यह \( 5 \times 5 \times 5 \) यानी \( 5^3 = 125 \) बन जाएगा. सबसे छोटी संख्या 2 है.
In simple words: 250 के गुणनखण्डों में 2 अकेला है. इसे पूर्ण घन बनाने के लिए, हमें 2 को हटाना होगा, इसलिए 2 से भाग देना पड़ेगा.
🎯 Exam Tip: किसी संख्या को पूर्ण घन बनाने के लिए भाग देते समय, उन अभाज्य गुणनखण्डों को देखें जो तीन के समूह में नहीं हैं. उन सभी को एक साथ हटाने के लिए उसी संख्या से भाग दें.
(iii) 192
Answer:
192 के अभाज्य गुणनखण्ड: \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \)
यहां, 2 के दो तीन के समूह (यानी \( 2^3 \times 2^3 \)) बन जाते हैं, लेकिन 3 केवल एक बार है. 3 का कोई समूह नहीं बन रहा है.
अतः, 192 को पूर्ण घन बनाने के लिए उसे 3 से भाग देना होगा ताकि बचा हुआ 3 हट जाए. भाग देने के बाद यह \( 2^3 \times 2^3 \) यानी \( 4^3 = 64 \) बन जाएगा. सबसे छोटी संख्या 3 है.
In simple words: 192 के गुणनखण्डों में 3 अकेला है. इसे पूर्ण घन बनाने के लिए, हमें 3 को हटाना होगा, इसलिए 3 से भाग देना पड़ेगा.
🎯 Exam Tip: बड़ी संख्याओं को भाग देने की प्रक्रिया में, अभाज्य गुणनखण्ड विधि सबसे सटीक परिणाम देती है क्योंकि यह हमें उन कारकों की पहचान करने में मदद करती है जो पूर्ण घन समूह को बाधित करते हैं.
(iv) 135
Answer:
135 के अभाज्य गुणनखण्ड: \( 3 \times 3 \times 3 \times 5 \)
यहां, 3 का एक तीन का समूह (यानी \( 3^3 \)) बन जाता है, लेकिन 5 केवल एक बार है. 5 का कोई समूह नहीं बन रहा है.
अतः, 135 को पूर्ण घन बनाने के लिए उसे 5 से भाग देना होगा ताकि बचा हुआ 5 हट जाए. भाग देने के बाद यह \( 3 \times 3 \times 3 \) यानी \( 3^3 = 27 \) बन जाएगा. सबसे छोटी संख्या 5 है.
In simple words: 135 के गुणनखण्डों में 5 अकेला है. इसे पूर्ण घन बनाने के लिए, हमें 5 को हटाना होगा, इसलिए 5 से भाग देना पड़ेगा.
🎯 Exam Tip: जब प्रश्न में 'सबसे छोटी संख्या' पूछी जाती है, तो इसका मतलब होता है कि हमें वही अतिरिक्त कारक ढूंढना है जो पूर्ण घन की स्थिति को पूरा नहीं कर रहा है और उसे हटाना या जोड़ना है.
Question 4. रेहान एक साबुन फैक्टी में काम करता है, वह घनाकार साबुन को जमाकर घन बनाकर खेल रहा है। बताइए यदि 216 साबुन जमाने हों तो बनने वाले घन की पहली पंक्ति में कितने साबुन होंगे?
Answer:
कुल साबुनों की संख्या = 216
एक घन बनाने के लिए, हमें यह पता लगाना होगा कि एक पंक्ति में कितने साबुन होंगे. यह संख्या कुल साबुनों की संख्या के घनमूल के बराबर होगी.
216 के अभाज्य गुणनखण्ड: \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \)
इन गुणनखण्डों को तीन-तीन के समूह में लेने पर: \( (2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3 \times 3) \)
यह \( 2^3 \times 3^3 \) के बराबर है.
हम इसे ऐसे भी लिख सकते हैं: \( (2 \times 3)^3 = 6^3 \)
तो, 216 का घनमूल \( \sqrt[3]{216} = 6 \) है.
इसलिए, घन की पहली पंक्ति में 6 साबुन होंगे. यह घन \( 6 \times 6 \times 6 \) साबुनों से बनेगा.
In simple words: रेहान 216 साबुन से एक घन बनाना चाहता है. एक घन की हर लाइन में कितने साबुन होंगे, यह जानने के लिए हमें 216 का घनमूल निकालना होगा. 216 का घनमूल 6 होता है, जिसका मतलब है कि हर लाइन में 6 साबुन होंगे.
🎯 Exam Tip: घनमूल वह संख्या होती है जिसे तीन बार स्वयं से गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है. जब वस्तुएं एक घन आकार में रखी जाती हैं, तो प्रत्येक किनारे पर वस्तुओं की संख्या कुल वस्तुओं के घनमूल के बराबर होती है.
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RBSE Solutions for Class 8 Mathematics Chapter 02 घन एवं घनमूल
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