Step-by-Step Textbook Solutions for Class 8 Mathematics Chapter 16 आँकड़ों का प्रबन्धन
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Question 1. निम्नलिखित में से किस प्रकार के आँकड़ों को दर्शाने के लिए आप एक आयत चित्र का प्रयोग करेंगे?
(i) घर में उपलब्ध विभिन्न अनाजों की मात्रा।
(ii) अपने विद्यालय के सभी विद्यार्थियों की ऊँचाई।
(iii) 5 कंपनियों द्वारा निर्मित कारों की संख्या।
(iv) एक व्यस्त चौराहे पर प्रातः 8:00 बजे से दोपहर 2 बजे तक गुजरने वाले वाहनों की संख्या।
(V) आपकी कक्षा के सभी छात्रों के घर से विद्यालय की दूरी। (मीटर में)
Answer: (ii), (iv) और (v) प्रकार के आँकड़ों को दर्शाने के लिए एक आयत चित्र का प्रयोग करेंगे क्योंकि इन सभी परिस्थितियों में आँकड़ों को वर्ग अन्तरालों में विभाजित किया जा सकता है। आयत चित्र का उपयोग तब किया जाता है जब डेटा को समूहों या वर्गों में बाँटा जा सकता है, जैसे कि ऊँचाई या दूरी की सीमाएँ।
In simple words: हम उन आँकड़ों के लिए आयत चित्र का उपयोग करेंगे जिन्हें हम अलग-अलग समूहों या श्रेणियों में बाँट सकते हैं. जैसे कि छात्रों की ऊँचाई, वाहनों की संख्या, या घर से स्कूल की दूरी.
🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक आयत चित्र हमेशा सतत डेटा (जो एक निश्चित सीमा में आता है) के लिए बनता है, जबकि दण्ड आलेख (बार ग्राफ) असतत डेटा (अलग-अलग श्रेणियों) के लिए होता है।
Question 2. राकेश अपने कपड़ों को रंगों के आधार पर अलग करके इस प्रकार अंकित करता है - सफेद (W), लाल (R), काला (B), पीला (Y), अन्य (X)। बनाई गई सूची निम्न रूप में है
RRXWRBYRBWWXXRBYYX
WRBYYBRRXWWRWXXRY
WBYXX
मिलान चिह्नों का प्रयोग करते हुए एक बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए। इसे प्रदर्शित करने के लिये एक दंडे आलेख खींचिए।
Answer: दिए गए रंगों के कपड़ों की सूची को मिलान चिह्नों का उपयोग करके एक बारम्बारता सारणी में बदलना है। इससे हमें पता चलता है कि हर रंग के कितने कपड़े हैं। इस सारणी को देखकर दण्ड आलेख बनाना आसान हो जाता है, जिससे डेटा को समझना आसान हो जाता है।
| रंग | मिलान चिह्न | कपड़ों की संख्या |
|---|---|---|
| W | \( \cancel{||||} ||| \) | 8 |
| R | \( \cancel{||||} \cancel{||||} \) | 10 |
| B | \( \cancel{||||} | \) | 6 |
| Y | \( \cancel{||||} || \) | 7 |
| X | \( \cancel{||||} |||| \) | 9 |
| योग | 40 |
In simple words: पहले हम राकेश के कपड़ों के रंगों को गिनेंगे और मिलान चिह्न का उपयोग करके एक तालिका (टेबल) बनाएँगे. फिर इस तालिका के आधार पर हम एक बार ग्राफ (दण्ड आलेख) बनाएँगे, जहाँ हर रंग की पट्टी की ऊँचाई उसके कपड़ों की संख्या को दर्शाएगी.
🎯 Exam Tip: दण्ड आलेख बनाते समय, ध्यान दें कि सभी पट्टियों की चौड़ाई बराबर हो और उनके बीच की दूरी भी समान हो। X-अक्ष पर रंग और Y-अक्ष पर संख्या को सही ढंग से लेबल करें।
Question 3. खटवाड़ा गाँव के 30 नरेगा मजदूरों का एक सप्ताह के पारिश्रमिक भुगतान रुपयों में निम्नलिखित है।
830, 835, 890, 810, 815, 816, 814, 845,
898, 890, 819, 860, 832, 817, 855, 845
804, 808, 812, 816, 885, 835, 815, 812,
878, 840, 868, 890, 806, 828
मिलान चिह्नों का प्रयोग करते हुए, अंतरालों 800 – 810, 810 – 820 वाली एक बारम्बारता सारणी बनाइए। प्राप्त सारणी के लिए आयत चित्र बनाइए।
Answer: दिए गए मजदूरों के साप्ताहिक पारिश्रमिक (वेतन) डेटा को वर्ग अंतरालों में बाँटने और मिलान चिह्नों का उपयोग करके एक बारम्बारता सारणी बनानी है। इससे हमें पता चलेगा कि कितने मजदूरों को किस वेतन सीमा में भुगतान मिला। फिर इस सारणी का उपयोग करके एक आयत चित्र (हिस्टोग्राम) बनाना है, जिससे डेटा का वितरण आसानी से समझा जा सके।
| पारिश्रमिक (रुपये में) | मिलान चिह्न | मजदूरों की संख्या |
|---|---|---|
| 800-810 | \( ||| \) | 3 |
| 810-820 | \( \cancel{||||} \cancel{||||} || \) | 12 |
| 820-830 | \( | \) | 1 |
| 830-840 | \( |||| \) | 4 |
| 840-850 | \( ||| \) | 3 |
| 850-860 | \( | \) | 1 |
| 860-870 | \( || \) | 2 |
| 870-880 | \( | \) | 1 |
| 880-890 | \( | \) | 1 |
| 890-900 | \( |||| \) | 4 |
| योग | 30 |
In simple words: हम मजदूरों के साप्ताहिक वेतन को अलग-अलग वेतन-सीमाओं (जैसे 800 से 810 रुपये) में बाँटकर गिनेंगे और एक तालिका बनाएँगे. फिर इस तालिका से एक हिस्टोग्राम बनाएँगे, जहाँ हर वेतन-सीमा के लिए एक पट्टी होगी, और उसकी ऊँचाई उस सीमा में आने वाले मजदूरों की संख्या बताएगी.
🎯 Exam Tip: हिस्टोग्राम में, बार्स (पट्टियाँ) एक-दूसरे से सटे होते हैं क्योंकि वे सतत वर्ग अंतरालों को दर्शाते हैं। ध्यान दें कि वर्ग अंतरालों को कैसे परिभाषित किया गया है (जैसे 800-810 में 810 शामिल नहीं है, बल्कि अगले अंतराल 810-820 में शामिल है)।
Question 4. मैसर्स राजा इलेक्ट्रॉनिक्स द्वारा 30 दिनों में बेचे गए मोबाइल की संख्या निम्नानुसार है
222, 228, 238, 215, 225, 219, 217, 230,
218, 237, 214, 210, 235, 222, 220, 214,
212, 220, 237, 212, 238, 218, 210, 216,
217, 234, 233, 237, 219, 239
मिलान चिह्नों का प्रयोग करते हुए, अंतरालों 210 – 215, 215 – 220 वाली एक बारम्बारता सारणी बनाइए। प्राप्त सारणी के लिए आयतं चित्र बनाइए और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए
(i) अन्तराल 215 – 220 में मोबाइल की संख्या सबसे अधिक है।
(ii) 230 या उससे अधिक मोबाइल 3 + 7 = 10 दिन बेचे गए।
(iii) 230 से कम मोबाइल 6 + 8 + 4 + 2 = 20 दिन बिके।
Answer: दिए गए मोबाइल बिक्री डेटा को वर्ग अंतरालों में वर्गीकृत किया गया है, और मिलान चिह्नों का उपयोग करके एक बारम्बारता सारणी बनाई गई है। यह सारणी दिखाती है कि कितने दिनों तक कितनी संख्या में मोबाइल बेचे गए। इस सारणी के आधार पर एक आयत चित्र बनाया गया है, जो बिक्री के रुझानों को स्पष्ट करता है। प्रश्नों का उत्तर देने के लिए सारणी और आयत चित्र दोनों उपयोगी होते हैं।
| मोबाइल की संख्या | मिलान चिह्न | दिनों की संख्या |
|---|---|---|
| 210-215 | \( \cancel{||||} | \) | 6 |
| 215-220 | \( \cancel{||||} ||| \) | 8 |
| 220-225 | \( |||| \) | 4 |
| 225-230 | \( || \) | 2 |
| 230-235 | \( ||| \) | 3 |
| 235-240 | \( \cancel{||||} || \) | 7 |
| योग | 30 |
(i) अन्तराल 215 – 220 में मोबाइल की संख्या सबसे अधिक है।
(ii) 230 या उससे अधिक मोबाइल \( 3 + 7 = 10 \) दिन बेचे गए।
(iii) 230 से कम मोबाइल \( 6 + 8 + 4 + 2 = 20 \) दिन बिके।
In simple words: हम बेचे गए मोबाइल की संख्याओं को तालिका में दिखाएंगे और फिर एक ग्राफ (आयत चित्र) बनाएंगे. इससे यह पता चलेगा कि किस दिन कितने मोबाइल बिके. फिर हम तालिका और ग्राफ को देखकर दिए गए सवालों के जवाब देंगे, जैसे किस वर्ग में सबसे ज़्यादा मोबाइल बिके या कुल कितने मोबाइल बेचे गए.
🎯 Exam Tip: जब आप हिस्टोग्राम से जुड़े प्रश्नों का उत्तर दे रहे हों, तो ध्यान से वर्ग अंतरालों की सीमाओं को देखें। 'से कम' या 'से अधिक' वाले प्रश्नों के लिए सभी संबंधित अंतरालों की बारम्बारता (संख्या) को जोड़ना सुनिश्चित करें।
Question 5. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए
Answer: दिए गए बार ग्राफ (दण्ड आलेख) में विद्यार्थियों द्वारा प्रतिदिन पढ़ाई में लगाए गए घंटों को दिखाया गया है। हम ग्राफ को देखकर पता लगा सकते हैं कि कितने विद्यार्थियों ने कितने घंटे पढ़ाई की और फिर दिए गए सवालों के जवाब दे सकते हैं। यह हमें छात्रों के पढ़ाई के पैटर्न को समझने में मदद करता है।
(i) अधिकतम विद्यार्थियों ने 4-5 घण्टे तक पढ़ाई की।
(ii) 5 या 5 घंटों से कम समय तक \( 4 + 8 + 20 + 28 = 60 \) विद्यार्थियों ने पढ़ाई की।
(iii) कुल \( 4 + 8 + 20 + 28 + 16 + 24 = 100 \) विद्यार्थियों ने अवकाश के दिनों में पढ़ाई की।
(iv) वर्ग अन्तराल 4 – 5 की बारम्बारता अधिकतम है।
In simple words: हम ग्राफ में सबसे लंबी पट्टी देखकर पता करेंगे कि सबसे ज़्यादा विद्यार्थियों ने कितने घंटे पढ़ाई की. फिर 5 घंटे या उससे कम पढ़ने वाले सभी विद्यार्थियों की संख्या को जोड़ेंगे. कुल विद्यार्थी गिनने के लिए सभी पट्टियों की संख्या जोड़ देंगे. आख़िर में, हम फिर से सबसे लंबी पट्टी देखेंगे ताकि पता चले कि किस वर्ग अंतराल में सबसे ज़्यादा विद्यार्थी आते हैं.
🎯 Exam Tip: जब आप हिस्टोग्राम या बार ग्राफ से डेटा निकालते हैं, तो हमेशा X-अक्ष और Y-अक्ष के लेबल और पैमानों को ध्यान से पढ़ें। 'कुल' या 'अधिकतम' जैसे शब्द अक्सर आपको डेटा को जोड़ने या सबसे ऊँची पट्टी की पहचान करने के लिए कहते हैं।
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