Official RBSE Solutions for Class 8 Mathematics: Chapter 15 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 15 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन
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पृष्ठ 180
करो और सीखो
Question. यदि \( x \) भुजा वाले तीन घनों को चिपकाकर घनाभ बनाया गया है तो घनाभ की विमाएँ क्या होंगी?
Answer: जब \( x \) भुजा वाले तीन घनों को चिपकाकर एक घनाभ बनाया जाता है, तो घनाभ की विमाएँ इस बात पर निर्भर करती हैं कि उन्हें कैसे चिपकाया गया है। यहाँ दो मुख्य स्थितियाँ दी गई हैं:
स्थिति I: घनों को क्षैतिज रूप से चिपकाने पर (एक पंक्ति में)
इस स्थिति में:
लम्बाई \( = 3x \)
चौड़ाई \( = x \)
ऊँचाई \( = x \)
स्थिति II: घनों को ऊर्ध्वाधर रूप से चिपकाने पर (एक के ऊपर एक)
इस स्थिति में:
लम्बाई \( = x \)
चौड़ाई \( = x \)
ऊँचाई \( = 3x \)
In simple words: जब तीन \( x \) भुजा वाले घनों को जोड़ते हैं, तो उनकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बदल जाती है। अगर उन्हें एक लाइन में जोड़ा जाए तो लंबाई \( 3x \) हो जाती है, बाकी \( x \) रहते हैं। अगर उन्हें एक के ऊपर एक रखा जाए तो ऊंचाई \( 3x \) हो जाती है, बाकी \( x \) रहते हैं।
🎯 Exam Tip: घनाभ की विमाएँ निकालते समय, हमेशा यह ध्यान दें कि घनों को किस दिशा में जोड़ा गया है — लंबाई में, चौड़ाई में या ऊंचाई में।
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करो और सीखो
Question 1. एक 3 सेमी. भुजा वाले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ऐसे 5 घनों का पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना होगा?
Answer:
एक घन की भुजा \( a = 3 \) सेमी.
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है \( 6a^2 \).
इसलिए, 3 सेमी. भुजा वाले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 6 \times (3)^2 = 6 \times 9 = 54 \) वर्ग सेमी.
अब, ऐसे 5 घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालने के लिए, एक घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल को 5 से गुणा करेंगे। यह मानते हुए कि ये 5 घन अलग-अलग रखे गए हैं और चिपकाए नहीं गए हैं।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 54 \times 5 = 270 \) वर्ग सेमी.
In simple words: एक घन के सभी छह फलकों का क्षेत्रफल जोड़कर उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालते हैं। अगर 5 ऐसे घन हों और वे अलग-अलग रखे हों, तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालने के लिए एक घन के क्षेत्रफल को 5 से गुणा कर देते हैं।
🎯 Exam Tip: पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करते समय, इकाई (जैसे वर्ग सेमी.) लिखना न भूलें। यदि प्रश्न में घनों को चिपकाने की बात न कही गई हो, तो उन्हें अलग-अलग ही मानें।
Question 2. 3 सेमी. भुजा वाले 5 घनों का स. पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना होगा? यदि इन्हें एक के बाद एक चिपका दें तो उनके पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितनी कमी हो जाएगी?
Answer:
3 सेमी. भुजा वाले 5 घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (यदि वे अलग-अलग रखे हों) हमने प्रश्न 1 में 270 वर्ग सेमी. निकाला है।
अब, यदि इन 5 घनों को एक के बाद एक चिपका दिया जाए, तो एक घनाभ बनेगा। इस घनाभ की विमाएँ होंगी:
लम्बाई (l) \( = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 \) सेमी.
चौड़ाई (b) \( = 3 \) सेमी.
ऊँचाई (h) \( = 3 \) सेमी.
इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है \( 2(lb + bh + hl) \).
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2 \times ( (15 \times 3) + (3 \times 3) + (3 \times 15) ) \)
\( = 2 \times ( 45 + 9 + 45 ) \)
\( = 2 \times 99 \)
\( = 198 \) वर्ग सेमी.
पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी \( = \) (5 अलग घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल) - (चिपकाए गए घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल)
कमी \( = 270 - 198 = 72 \) वर्ग सेमी.
In simple words: जब 5 घन अलग-अलग होते हैं, तो उनका पूरा बाहर का हिस्सा दिखाई देता है। लेकिन जब उन्हें एक साथ जोड़ देते हैं, तो कुछ अंदरूनी हिस्से छिप जाते हैं, जो अब बाहर नहीं दिखते। इसलिए, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम हो जाता है।
🎯 Exam Tip: जब घनों को चिपकाया जाता है, तो याद रखें कि जुड़ने वाली सतहों का क्षेत्रफल कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल से घटाया जाता है क्योंकि वे अब बाहर नहीं दिखतीं।
Question. दिए गए घनाभ का पाश्र्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए घनाभ की विमाएँ हैं:
लम्बाई (l) \( = 10 \) सेमी.
चौड़ाई (b) \( = 4 \) सेमी.
ऊँचाई (h) \( = 4 \) सेमी.
घनाभ का पाश्र्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है \( 2(l + b)h \).
पाश्र्व पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2 \times (10 + 4) \times 4 \)
\( = 2 \times 14 \times 4 \)
\( = 28 \times 4 \)
\( = 112 \) वर्ग सेमी.
यह क्षेत्रफल घनाभ के चारों दीवारों का होता है, इसमें ऊपर और नीचे की सतह शामिल नहीं होती।
In simple words: पाश्र्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का मतलब है किसी घनाभ के चारों तरफ की दीवारों का क्षेत्रफल, यानी ऊपर और नीचे का हिस्सा छोड़कर। इसे निकालने के लिए, लंबाई और चौड़ाई को जोड़कर 2 से गुणा करते हैं, फिर ऊंचाई से गुणा कर देते हैं।
🎯 Exam Tip: पाश्र्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (lateral surface area) और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (total surface area) के सूत्रों में अंतर याद रखें। पाश्र्व क्षेत्रफल में आधार और शीर्ष का क्षेत्रफल शामिल नहीं होता।
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करो और सीखो
Question. निम्नलिखित बेलनों का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
(i)
(ii) Answer:
(i) इस बेलन के लिए:
व्यास \( = 7 \) सेमी., इसलिए त्रिज्या (r) \( = \frac{7}{2} \) सेमी. \( = 3.5 \) सेमी.
ऊँचाई (h) \( = 10 \) सेमी.
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है \( 2\pi r (h + r) \).
क्षेत्रफल \( = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times (10 + \frac{7}{2}) \)
\( = 22 \times (10 + 3.5) \)
\( = 22 \times 13.5 \)
\( = 297 \) वर्ग सेमी.
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और दोनों वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफल का योग होता है।
(ii) इस बेलन के लिए:
व्यास \( = 7 \) सेमी. (चित्र के अनुसार), इसलिए त्रिज्या (r) \( = \frac{7}{2} \) सेमी. \( = 3.5 \) सेमी.
ऊँचाई (h) \( = 10.5 \) सेमी. (जो बेलन की लंबाई है)
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है \( 2\pi r (h + r) \).
क्षेत्रफल \( = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times (10.5 + \frac{7}{2}) \)
\( = 22 \times (10.5 + 3.5) \)
\( = 22 \times 14 \)
\( = 308 \) वर्ग सेमी.
In simple words: बेलन का पूरा बाहरी क्षेत्रफल निकालने के लिए, उसके घुमावदार हिस्से का क्षेत्रफल और ऊपर-नीचे के दोनों गोल हिस्सों का क्षेत्रफल जोड़ते हैं। सूत्र में \( \pi \) का मान \( \frac{22}{7} \) या \( 3.14 \) इस्तेमाल करते हैं। हमेशा ध्यान से देखें कि त्रिज्या और ऊँचाई के मान क्या दिए गए हैं।
🎯 Exam Tip: बेलन के प्रश्नों में यह ध्यान रखें कि 'त्रिज्या' दी गई है या 'व्यास', और उसी के अनुसार सूत्र में मान रखें। 'ऊँचाई' भी सही ढंग से पहचानें।
पृष्ठ 186
करो और सीखो
Question. इकाई लम्बाई वाले कुछ घनों को निम्नानुसार व्यवस्थित कर इससे बने घनाभ का आयतन ज्ञात कीजिए
Answer: इन घनाभों का आयतन उनमें मौजूद इकाई घनों की संख्या के बराबर होगा। यहाँ दी गई तालिका में आयतन की गणना की गई है:
| घनाभ | आयतन (इकाई घन) | लम्बाई (L) | चौड़ाई (b) | ऊँचाई (h) | \( L \times b \times h \) |
|---|---|---|---|---|---|
| (i) | 21 इकाई घन | 7 इकाई | 3 इकाई | 1 इकाई | \( 7 \times 3 \times 1 = 21 \) घन इकाई |
| (ii) | 42 इकाई घन | 7 इकाई | 3 इकाई | 2 इकाई | \( 7 \times 3 \times 2 = 42 \) घन इकाई |
| (iii) | 63 इकाई घन | 7 इकाई | 3 इकाई | 3 इकाई | \( 7 \times 3 \times 3 = 63 \) घन इकाई |
In simple words: घनाभ का आयतन (अंदर की जगह) जानने के लिए, उसमें कितने छोटे इकाई घन फिट हो सकते हैं, यह गिनना होता है। यह उनकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को गुणा करके पता चलता है।
🎯 Exam Tip: घनाभ का आयतन हमेशा घन इकाइयों में व्यक्त किया जाता है (जैसे घन सेमी., घन मीटर) क्योंकि यह त्रि-आयामी स्थान को मापता है।
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करो और सीखो
Question. दिए गए मापों के आधार पर घनाभ का आयतन ज्ञात कीजिए
Answer:
(i) इस घनाभ के लिए:
लम्बाई (l) \( = 8 \) सेमी.
चौड़ाई (b) \( = 3 \) सेमी.
ऊँचाई (h) \( = 1 \) सेमी.
घनाभ का आयतन का सूत्र है \( l \times b \times h \).
आयतन \( = 8 \times 3 \times 1 = 24 \) घन सेमी.
आयतन वह जगह है जो कोई त्रि-आयामी वस्तु घेरती है।
(ii) इस घनाभ के लिए:
लम्बाई (l) \( = 1 \) सेमी.
चौड़ाई (b) \( = 1 \) सेमी.
ऊँचाई (h) \( = 7 \) सेमी.
घनाभ का आयतन का सूत्र है \( l \times b \times h \).
आयतन \( = 1 \times 1 \times 7 = 7 \) घन सेमी.
In simple words: घनाभ का आयतन ज्ञात करने के लिए उसकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई को आपस में गुणा करते हैं। यह हमें बताता है कि उस आकार के अंदर कितनी जगह है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि सभी माप एक ही इकाई में हों (जैसे सभी सेमी. में या सभी मीटर में) आयतन की गणना करने से पहले।
Question. दिए गए घनों के लिए इकाई घनों की संख्या और आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए चित्रों के आधार पर, यहाँ घनों के लिए इकाई घनों की संख्या और उनके आयतन की गणना की गई है। एक घन का आयतन उसकी भुजा का घन (तीन बार गुणा) होता है:
| घन | इकाई घनों की संख्या | भुजा (Side) | \( \text{भुजा} \times \text{भुजा} \times \text{भुजा} \) | \( (\text{भुजा})^3 \) |
|---|---|---|---|---|
| (i) | 8 | 2 इकाई | \( 2 \times 2 \times 2 \) इकाई | 8 घन इकाई |
| (ii) | 27 | 3 इकाई | \( 3 \times 3 \times 3 \) इकाई | 27 घन इकाई |
| (iii) | 64 | 4 इकाई | \( 4 \times 4 \times 4 \) इकाई | 64 घन इकाई |
In simple words: किसी भी घन का आयतन निकालने के लिए, उसकी एक भुजा की लंबाई को तीन बार आपस में गुणा किया जाता है। इससे पता चलता है कि घन के अंदर कितनी जगह है या उसमें कितने छोटे इकाई घन समा सकते हैं।
🎯 Exam Tip: घन का आयतन हमेशा उसकी भुजा का घन (power of 3) होता है। यदि भुजा 'a' है, तो आयतन \( a^3 \) होगा।
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करो और सीखो
Question. निम्नलिखित भुजा वाले घनों का आयतन ज्ञात कीजिए
(i) 1.5 cm
(ii) 4 m
Answer:
(i) घन की भुजा (a) \( = 1.5 \) सेमी.
घन का आयतन का सूत्र है \( a^3 \).
आयतन \( = (1.5)^3 \)
\( = 1.5 \times 1.5 \times 1.5 \)
\( = 3.375 \) घन सेमी.
जब एक दशमलव संख्या का घन करते हैं, तो परिणाम में दशमलव स्थानों की संख्या मूल संख्या के दशमलव स्थानों की संख्या का तीन गुना होती है।
(ii) घन की भुजा (a) \( = 4 \) मीटर.
घन का आयतन का सूत्र है \( a^3 \).
आयतन \( = (4)^3 \)
\( = 4 \times 4 \times 4 \)
\( = 64 \) घन मीटर.
In simple words: किसी भी घन का आयतन उसकी एक भुजा की माप को तीन बार गुणा करके निकाला जाता है। यदि भुजा सेमी. में है तो आयतन घन सेमी. में होगा, और यदि भुजा मीटर में है तो आयतन घन मीटर में होगा।
🎯 Exam Tip: आयतन की इकाई हमेशा घन में होती है (जैसे \( \text{सेमी.}^3 \) या \( \text{मीटर}^3 \)). दशमलव वाली संख्याओं का घन करते समय दशमलव स्थानों का ध्यान रखें।
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