RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 15 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Important Questions

I. बहुविकल्पात्मक प्रश्न

Question 1. एक बॉक्स की लम्बाई 20 सेमी., चौड़ाई 10 सेमी. व ऊँचाई 5 सेमी. है। बॉक्स का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल है
(a) 20 x 10 x 5
(b) 2(20 x 10 + 10 x 5 + 5 x 20)
(c) 2(20 + 10 + 5)
(d) 2(20 x 10 x 5)
Answer: (b) 2(20 x 10 + 10 x 5 + 5 x 20)
In simple words: एक बॉक्स की पूरी सतह का क्षेत्रफल पता करने के लिए, आप सूत्र 2(lb + bh + hl) का उपयोग करते हैं। यहाँ पर l, b और h बॉक्स की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई को बताते हैं।

🎯 Exam Tip: घनाभ के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( 2(lb + bh + hl) \) याद रखें, जहाँ \( l \) लम्बाई, \( b \) चौड़ाई और \( h \) ऊँचाई है।

Question 2. एक घन की भुजा 10 मी. है। घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा
(a) 600 मी.\(^{2}\)
(b) 100 मी.\(^{2}\)
(c) 500 मी.\(^{2}\)
(d) 400 मी.\(^{2}\)
Answer: (a) 600 मी.\(^{2}\)
In simple words: घन का पूरा क्षेत्रफल निकालने के लिए, आप उसकी एक भुजा को 6 से गुणा करते हैं, क्योंकि घन में 6 बराबर भुजाएँ होती हैं। अगर एक भुजा 10 मीटर है, तो क्षेत्रफल \( 6 \times 10 \times 10 = 600 \) वर्ग मीटर होगा।

🎯 Exam Tip: घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालने के लिए सूत्र \( 6 \times (\text{भुजा})^2 \) का प्रयोग करें।

Question 3. एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 36 सेमी. है। घन की भुजा है
(a) \( \sqrt{9} \) सेमी.
(b) \( \sqrt{8} \) सेमी.
(c) \( \sqrt{6} \) सेमी.
(d) \( \sqrt{10} \) सेमी.
Answer: (c) \( \sqrt{6} \) सेमी.
In simple words: घन का कुल क्षेत्रफल \( 6a^2 \) होता है, जहाँ a उसकी भुजा है। यदि क्षेत्रफल 36 वर्ग सेमी. है, तो \( 6a^2 = 36 \), जिससे \( a^2 = 6 \) और \( a = \sqrt{6} \) सेमी. होता है।

🎯 Exam Tip: जब सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल दिया हो, तो भुजा ज्ञात करने के लिए क्षेत्रफल को 6 से विभाजित करके वर्गमूल निकालें।

Question 4. एक घनाभ के आधार का क्षेत्रफल 140 मी. तथा ऊँचाई 3 मी. है तो घनाभ का आयतन होगा
(a) 140 x 3 मी.\(^{3}\)
(b) \( \frac{140}{3} \) मी.\(^{3}\)
Answer: (a) 140 x 3 मी.\(^{3}\)
In simple words: घनाभ का आयतन निकालने के लिए, उसके आधार के क्षेत्रफल को उसकी ऊँचाई से गुणा किया जाता है। यहाँ आधार का क्षेत्रफल 140 वर्ग मीटर और ऊँचाई 3 मीटर है, तो आयतन \( 140 \times 3 \) घन मीटर होगा।

🎯 Exam Tip: घनाभ के आयतन का सूत्र 'आधार का क्षेत्रफल \( \times \) ऊँचाई' होता है।

Question 6. बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल है
(a) \( \pi r^{2} h \)
(b) \( 2 \pi r (h+r) \)
(c) \( 2 \pi r h \)
(d) \( 2 \pi r \)
Answer: (c) \( 2 \pi r h \)
In simple words: एक बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल सिर्फ उसके घुमावदार हिस्से का क्षेत्रफल होता है, जिसमें ऊपर और नीचे के वृत्त शामिल नहीं होते हैं। इसे \( 2 \pi r h \) सूत्र से निकाला जाता है।

🎯 Exam Tip: वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल सिर्फ किनारे के घुमावदार हिस्से का क्षेत्रफल होता है, जबकि सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में ऊपर और नीचे के वृत्त भी शामिल होते हैं।

Question 7. बेलन की त्रिज्या 3 सेमी. व ऊँचाई 10 सेमी. हो तो आयतन होगा
(a) \( \pi (3)^{2} \times (10) \) सेमी.\(^{3}\)
(b) \( 2 \pi (3) (10) \) सेमी.\(^{2}\)
(c) \( 2 \pi (3)^{2} (10) \) सेमी.\(^{3}\)
(d) \( \pi (3)^{2} \) सेमी.
Answer: (a) \( \pi (3)^{2} \times (10) \) सेमी.\(^{3}\)
In simple words: बेलन का आयतन निकालने के लिए, उसके आधार के क्षेत्रफल को ऊँचाई से गुणा करते हैं। आधार का क्षेत्रफल \( \pi r^{2} \) होता है, इसलिए आयतन \( \pi r^{2} h \) होगा। यहाँ \( r = 3 \) और \( h = 10 \)।

🎯 Exam Tip: बेलन के आयतन का सूत्र \( \pi r^{2} h \) है, जहाँ \( r \) त्रिज्या और \( h \) ऊँचाई है।

Question 8. एक घन की भुजा 1 सेमी. है। इस प्रकार के दो घनों को चिपकाने से बनी आकृति का सम्पूर्ण क्षेत्रफल है
(a) 6 वर्ग सेमी.
(b) 10 वर्ग सेमी.
(c) 12 वर्ग सेमी.
(d) 20 वर्ग सेमी.
Answer: (b) 10 वर्ग सेमी.
In simple words: जब दो घनों को चिपकाया जाता है, तो वे एक घनाभ बनाते हैं। घनाभ में, दो घन के चिपके हुए हिस्से का क्षेत्रफल ढक जाता है। इसलिए, एक घन का क्षेत्रफल \( 6 \times 1^2 = 6 \) वर्ग सेमी. होगा, और जब दो घनों को एक साथ चिपकाते हैं, तो उनकी दो फलकें (1 वर्ग सेमी. प्रत्येक) छिप जाती हैं। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( 2 \times 6 - 2 = 10 \) वर्ग सेमी. होगा।

🎯 Exam Tip: दो घनों को चिपकाने पर बनी आकृति का पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालते समय, चिपकी हुई सतहों के क्षेत्रफल को कुल क्षेत्रफल में से घटाना न भूलें।

III. सत्य/असत्य

Question 1. 1 cm\(^{3}\) = 1 mL
Answer: सत्य
In simple words: यह कथन सत्य है। एक घन सेंटीमीटर (cm\(^{3}\)) और एक मिलीलीटर (mL) आयतन की एक ही मात्रा को दर्शाते हैं।

🎯 Exam Tip: आयतन की इकाइयों के बीच संबंध याद रखें: 1 घन सेंटीमीटर (cm\(^{3}\)) हमेशा 1 मिलीलीटर (mL) के बराबर होता है।

Question 2. 1L = 1000 cm\(^{3}\)
Answer: सत्य
In simple words: यह कथन सत्य है। एक लीटर (L) में 1000 घन सेंटीमीटर (cm\(^{3}\)) होते हैं। यह आयतन को मापने की एक मानक इकाई है।

🎯 Exam Tip: यह याद रखें कि 1 लीटर (L) 1000 मिलीलीटर (mL) के बराबर होता है, और क्योंकि 1 mL = 1 cm\(^{3}\), तो 1 L = 1000 cm\(^{3}\) होता है।

Question 3. एक टैंक 6m x 5m x 4m के भाग का \( \frac{2}{3} \) आयतन \( 80 \) मी.\(^{3}\) है।
Answer: सत्य
In simple words: टैंक का कुल आयतन \( 6 \times 5 \times 4 = 120 \) घन मीटर है। इसका दो-तिहाई भाग \( \frac{2}{3} \times 120 = 80 \) घन मीटर होता है। इसलिए, यह कथन सही है।

🎯 Exam Tip: किसी भी घनाभ का आयतन ज्ञात करने के लिए उसकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई को गुणा करें, फिर दिए गए भिन्न से गुणा करके आंशिक आयतन ज्ञात कर सकते हैं।

Question 4. 7 m ऊँचे और 12 cm व्यास आयतन (6)2 x 7 cm³ है।
Answer: असत्य
In simple words: यह कथन गलत है क्योंकि 7 मीटर और 12 सेंटीमीटर व्यास वाले बेलन का आयतन गणितीय रूप से \( (6)^2 \times 7 \) घन सेंटीमीटर नहीं हो सकता। ऊंचाई (7m) को सेंटीमीटर (700cm) में बदलना होगा और आयतन का सूत्र \( \pi r^2 h \) का उपयोग करना होगा।

🎯 Exam Tip: बेलन का आयतन ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि सभी इकाइयाँ (त्रिज्या और ऊँचाई) एक समान हों, और सही सूत्र \( \pi r^2 h \) का उपयोग करें।

IV. मिलान/सुमेलन वाले प्रश्न

Question 1. निम्न का मिलान कीजिए:
खण्ड (1)
1. घन के शीर्षों की संख्या
2. घन की कोरों की संख्या
3. बेलन के सिरों की संख्या
4. 216 मी.\(^{3}\) आयतन वाले घन की भुजा
खण्ड (2)
(a) 6 मी.
(b) 2
(c) 12
(d) 8
Answer:
1. घन के शीर्षों की संख्या - (d) 8
2. घन की कोरों की संख्या - (c) 12
3. बेलन के सिरों की संख्या - (b) 2
4. 216 मी.\(^{3}\) आयतन वाले घन की भुजा - (a) 6 मी.
In simple words: घन के 8 कोने होते हैं और उसमें 12 किनारे होते हैं। बेलन के 2 सीधे सिरे होते हैं। यदि किसी घन का आयतन 216 घन मीटर है, तो उसकी एक भुजा 6 मीटर होगी, क्योंकि \( 6 \times 6 \times 6 = 216 \)।

🎯 Exam Tip: घन और बेलन के मूलभूत ज्यामितीय गुणों और आयतन के सूत्रों को याद रखना ऐसे मिलान वाले प्रश्नों को हल करने में मदद करता है।

V. अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. सामने आकृति में दिये गये ठोस को बेलन कहना क्यों गलत है?
Answer: बेलन के दो सिरे होते हैं जो हमेशा एक जैसे (सर्वांगसम) वृत्त होते हैं। इस दी गई आकृति में, सिरे एक जैसे वृत्त नहीं हैं, उनके आकार अलग-अलग हैं। इसीलिए इस आकृति को बेलन कहना गलत है। यह आकृति एक शंकु का छिन्नक (frustum) है।
In simple words: एक असली बेलन के ऊपर और नीचे के गोले बिलकुल एक जैसे होते हैं। इस तस्वीर में, ऊपर और नीचे के गोले अलग-अलग आकार के हैं, इसलिए यह बेलन नहीं है।

🎯 Exam Tip: बेलन की परिभाषा में सर्वांगसम वृत्ताकार सिरे महत्वपूर्ण होते हैं। अगर सिरे सर्वांगसम नहीं हैं, तो आकृति बेलन नहीं हो सकती।

Question 2. दो बेलनाकार खम्भों की त्रिज्याओं में अनुपात 3 : 2 है, जबकि उनकी ऊँचाइयों में अनुपात 2 : 3 है। खम्भों के वक्र-पृष्ठों में अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: माना पहले खम्भे की त्रिज्या \( r_1 \) और ऊँचाई \( h_1 \) है, और दूसरे खम्भे की त्रिज्या \( r_2 \) और ऊँचाई \( h_2 \) है।
हमें दिया गया है:
\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2} \) और \( \frac{h_1}{h_2} = \frac{2}{3} \)
पहले खम्भे का वक्र-पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S_1 = 2 \pi r_1 h_1 \)
दूसरे खम्भे का वक्र-पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S_2 = 2 \pi r_2 h_2 \)
दोनों के वक्र-पृष्ठों का अनुपात होगा:
\( \frac{S_1}{S_2} = \frac{2 \pi r_1 h_1}{2 \pi r_2 h_2} \)
\( \implies \frac{S_1}{S_2} = \frac{r_1}{r_2} \times \frac{h_1}{h_2} \)
दिए गए अनुपातों को इसमें रखने पर:
\( \implies \frac{S_1}{S_2} = \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} \)
\( \implies \frac{S_1}{S_2} = \frac{6}{6} \)
\( \implies \frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{1} \)
अतः, वक्र-पृष्ठों का अनुपात \( 1:1 \) है।
In simple words: दो बेलनों की त्रिज्या और ऊँचाई के अनुपात दिए गए हैं। उनके वक्रपृष्ठों का अनुपात निकालने के लिए, त्रिज्याओं के अनुपात को ऊँचाइयों के अनुपात से गुणा किया जाता है। यहाँ, गुणा करने पर उत्तर 1:1 आता है। इसका मतलब है कि दोनों खम्भों का घुमावदार क्षेत्रफल बराबर है।

🎯 Exam Tip: अनुपात वाले प्रश्नों में, दिए गए अनुपातों को सीधे सूत्रों में रखकर गणना करना अक्सर आसान होता है, और यह सुनिश्चित करता है कि आप सही परिणाम पर पहुँचें।

Question 3. एक घनाभ के तीन संलग्न फलकों के क्षेत्रफल p, q और r हैं। घनाभ का आयतन V है। सिद्ध कीजिए। कि \( V^{2} = pqr \)
Answer: माना घनाभ की विमाएँ लम्बाई \( l \), चौड़ाई \( b \) और ऊँचाई \( h \) हैं।
तब, संलग्न फलकों के क्षेत्रफल इस प्रकार होंगे:
\( p = lb \) (एक फलक का क्षेत्रफल)
\( q = bh \) (दूसरी फलक का क्षेत्रफल)
\( r = hl \) (तीसरी फलक का क्षेत्रफल)
घनाभ का आयतन \( V = lbh \)
अब हमें \( V^{2} = pqr \) सिद्ध करना है।
\( pqr = (lb)(bh)(hl) \)
\( \implies pqr = l^2 b^2 h^2 \)
\( \implies pqr = (lbh)^2 \)
हम जानते हैं कि \( V = lbh \), तो
\( \implies pqr = V^2 \)
अतः, सिद्ध हुआ कि \( V^2 = pqr \)।
In simple words: अगर एक घनाभ की तीन तरफ की सतहों का क्षेत्रफल \( p, q, r \) है और उसका आयतन \( V \) है, तो हम यह दिखा सकते हैं कि \( V \) का वर्ग \( p, q, r \) को गुणा करने के बराबर होता है। यह लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई के बीच के संबंध से आता है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, पहले अज्ञात विमाओं (l, b, h) को परिभाषित करें, फिर दिए गए जानकारी (p, q, r, V) को उन विमाओं के पदों में लिखें और गणितीय रूप से सिद्ध करें।

VI. लघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. यदि विमाओं a, b और c वाले एक घनाभ का आयतन V तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, तो सिद्ध कीजिए कि \( \frac{1}{V} = \frac{2}{S} ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ) \)
Answer: घनाभ की विमाएँ \( a, b \) और \( c \) हैं।
घनाभ का आयतन \( V = abc \)
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S = 2(ab + bc + ca) \)
हमें सिद्ध करना है: \( \frac{1}{V} = \frac{2}{S} ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ) \)
दायां पक्ष (RHS) लेते हैं:
\( \text{RHS} = \frac{2}{S} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \)
भिन्न का योग करने पर:
\( \implies \text{RHS} = \frac{2}{S} \left( \frac{bc + ac + ab}{abc} \right) \)
अब \( S \) और \( V \) के मान प्रतिस्थापित करते हैं:
\( \implies \text{RHS} = \frac{2}{2(ab + bc + ca)} \left( \frac{ab + bc + ca}{V} \right) \)
यहाँ, \( ab + bc + ca \) पद कट जाएँगे:
\( \implies \text{RHS} = \frac{1}{V} \)
यह बायां पक्ष (LHS) है।
अतः, \( \frac{1}{V} = \frac{2}{S} ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ) \) सिद्ध हुआ।
In simple words: हम एक घनाभ के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल के बीच का संबंध दिखा रहे हैं। यदि हम दिए गए सूत्र के सीधे हाथ की तरफ के भाग को हल करें, तो हमें उल्टे हाथ की तरफ का भाग मिल जाता है। यह लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई के संबंध को दिखाता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, किसी एक पक्ष (आमतौर पर अधिक जटिल वाला) को सरल करके दूसरे पक्ष के बराबर लाना सबसे अच्छा तरीका होता है। भिन्नों का योग करते समय लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का सही उपयोग करें।

Question 2. एक गाँव की जनसंख्या 2000 है। प्रत्येक नागरिक को प्रतिदिन 150 लीटर पानी की आवश्यकता पड़ती है। कितने दिनों तक 20 मी. x 15 मी. x 6 मी. विमाओं वाला जलाशय गाँव की जनसंख्या की पानी की आवश्यकता पूर्ति करेगा?
Answer: जलाशय की विमाएँ: लम्बाई \( = 20 \) मी., चौड़ाई \( = 15 \) मी., ऊँचाई \( = 6 \) मी.
जलाशय का आयतन \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = 20 \times 15 \times 6 \) मी.\(^{3}\)
\( = 1800 \) मी.\(^{3}\)
हम जानते हैं कि \( 1 \) मी.\(^{3} = 1000 \) लीटर।
इसलिए, जलाशय का आयतन लीटर में \( = 1800 \times 1000 \) लीटर
\( = 18,00,000 \) लीटर।
गाँव की जनसंख्या \( = 2000 \)
प्रत्येक नागरिक को प्रतिदिन पानी की आवश्यकता \( = 150 \) लीटर
गाँव की कुल प्रतिदिन पानी की आवश्यकता \( = 150 \times 2000 \) लीटर
\( = 3,00,000 \) लीटर।
पानी की आवश्यकता पूर्ति करने वाले दिनों की संख्या \( = \frac{\text{जलाशय का कुल आयतन}}{\text{प्रतिदिन की पानी की आवश्यकता}} \)
\( = \frac{18,00,000}{3,00,000} \)
\( = 6 \) दिन।
अतः, जलाशय 6 दिनों तक गाँव की पानी की आवश्यकता पूरी करेगा।
In simple words: पहले, पानी के बड़े टैंक का पूरा आयतन घन मीटर से लीटर में बदलते हैं। फिर, पूरे गाँव को एक दिन में कितना पानी चाहिए, यह पता करते हैं। आखिर में, टैंक के कुल पानी को एक दिन की जरूरत से भाग करके पता चलता है कि टैंक कितने दिन चलेगा।

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में इकाइयों का ध्यान रखना बहुत ज़रूरी है। सभी माप एक ही इकाई (जैसे मीटर या सेंटीमीटर) में हों और आयतन को लीटर में बदलने के लिए सही गुणांक का उपयोग करें (1 मी.\(^{3}\) = 1000 लीटर)।

Question 3. एक ठोस घन को दो समान आयतन वाले घनों में काटा जाता है। तब दिए गए घन और काटे गए एक घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करो।
Answer: माना मूल घन की एक भुजा \( a \) इकाई है।
मूल घन का आयतन \( = a^3 \) घन इकाई।
जब इस घन को दो समान आयतन वाले घनाभों में काटा जाता है, तो प्रत्येक घनाभ का आयतन \( = \frac{a^3}{2} \) घन इकाई होगा।
प्रत्येक घनाभ की विमाएँ इस प्रकार होंगी: लम्बाई \( = a \), चौड़ाई \( = a \), और ऊँचाई \( = \frac{a}{2} \)
मूल घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S = 6a^2 \) वर्ग इकाई।
काटे गए एक घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S_1 = 2(\text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} + \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} + \text{ऊँचाई} \times \text{लम्बाई}) \)
\( S_1 = 2 \left( a \times a + a \times \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \times a \right) \)
\( \implies S_1 = 2 \left( a^2 + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} \right) \)
\( \implies S_1 = 2 (a^2 + a^2) \)
\( \implies S_1 = 2 (2a^2) \)
\( \implies S_1 = 4a^2 \) वर्ग इकाई।
अब मूल घन और काटे गए एक घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करते हैं:
\( S : S_1 = 6a^2 : 4a^2 \)
\( \implies S : S_1 = 6 : 4 \)
\( \implies S : S_1 = 3 : 2 \)
अतः, मूल घन और काटे गए एक घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 3:2 है।
In simple words: एक बड़े घन को बीच से काटकर दो बराबर घनाभों में बदल दिया जाता है। पहले हम बड़े घन का पूरा क्षेत्रफल निकालते हैं। फिर, एक छोटे घनाभ का क्षेत्रफल निकालते हैं। आखिर में, दोनों क्षेत्रफलों का अनुपात निकालते हैं, जो 3:2 आता है।

🎯 Exam Tip: जब एक आकृति को काटा जाता है, तो उसकी नई विमाओं को सही ढंग से समझना महत्वपूर्ण है। यहाँ, एक घन को दो समान घनाभों में काटने पर उसकी एक विमा आधी हो जाती है।

Question 4. 12 मी. लम्बी, 6 डेसीमीटर चौड़ी और 4.5 मी. ऊँची दीवार बनाने के लिए 18 सेमी. x 12 सेमी. x 10 सेमी. माप वाली कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी, यदि \( \frac{1}{10} \) आयतन गारे के द्वारा घेर लिया जाता है।
Answer: दीवार की विमाएँ:
लम्बाई \( = 12 \) मी.
चौड़ाई \( = 6 \) डेसीमीटर \( = 0.6 \) मी. (क्योंकि 1 डेसीमीटर = 0.1 मीटर)
ऊँचाई \( = 4.5 \) मी.
दीवार का कुल आयतन \( = 12 \times 0.6 \times 4.5 \) मी.\(^{3}\)
\( = 32.4 \) मी.\(^{3}\)
गारे (mortar) द्वारा घेरा गया आयतन \( = \frac{1}{10} \times 32.4 \) मी.\(^{3}\)
\( = 3.24 \) मी.\(^{3}\)
ईंटों द्वारा घेरा गया आयतन \( = \) दीवार का कुल आयतन - गारे का आयतन
\( = 32.4 - 3.24 \)
\( = 29.16 \) मी.\(^{3}\)
ईंट की विमाएँ:
लम्बाई \( = 18 \) सेमी.
चौड़ाई \( = 12 \) सेमी.
ऊँचाई \( = 10 \) सेमी.
ईंट का आयतन \( = 18 \times 12 \times 10 \) सेमी.\(^{3}\)
\( = 2160 \) सेमी.\(^{3}\)
अब, ईंटों द्वारा घेरा गया आयतन को सेमी.\(^{3}\) में बदलते हैं:
\( 1 \) मी.\(^{3} = (100 \text{ सेमी.})^3 = 100 \times 100 \times 100 = 10,00,000 \) सेमी.\(^{3}\)
ईंटों द्वारा घेरा गया आयतन \( = 29.16 \times 10,00,000 \) सेमी.\(^{3}\)
\( = 2,91,60,000 \) सेमी.\(^{3}\)
आवश्यक ईंटों की संख्या \( = \frac{\text{ईंटों द्वारा घेरा गया कुल आयतन}}{\text{एक ईंट का आयतन}} \)
\( = \frac{2,91,60,000}{2160} \)
\( = 13,500 \)
अतः, दीवार बनाने के लिए 13,500 ईंटों की आवश्यकता होगी।
In simple words: दीवार का कुल आयतन निकालें, फिर गारे का आयतन घटाकर सिर्फ ईंटों का आयतन ज्ञात करें। सभी मापों को एक ही इकाई (जैसे सेंटीमीटर) में बदल लें। आखिर में, कुल ईंटों के आयतन को एक ईंट के आयतन से भाग देकर आवश्यक ईंटों की संख्या पता करें।

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में सबसे पहले सभी विमाओं को एक ही इकाई में बदलें। फिर, गारे या किसी अन्य सामग्री द्वारा घेरे गए आयतन को घटाकर शुद्ध सामग्री का आयतन ज्ञात करें, और फिर ईंटों की संख्या निकालें।

Question 5. 12 मी. लम्बा, 9 मी. चौड़ा और 4 मीटर गहरा लोहे का एक बंद टैंक बनवाना है। प्रयोग की जाने वाली लोहे की चादर का मूल्य 50 रुपये प्रति मीटर की दर से ज्ञात कीजिए, जबकि चादर 2 मी. चौड़ी है।
Answer: टैंक की विमाएँ:
लम्बाई \( l = 12 \) मी.
चौड़ाई \( b = 9 \) मी.
ऊँचाई \( h = 4 \) मी.
यह एक बंद टैंक है, इसलिए लोहे की चादर का क्षेत्रफल टैंक के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होगा।
टैंक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(lb + bh + hl) \)
\( = 2(12 \times 9 + 9 \times 4 + 4 \times 12) \)
\( = 2(108 + 36 + 48) \)
\( = 2(192) \)
\( = 384 \) मी.\(^{2}\)
लोहे की चादर की चौड़ाई \( = 2 \) मी.
आवश्यक चादर की लम्बाई \( = \frac{\text{चादर का कुल क्षेत्रफल}}{\text{चादर की चौड़ाई}} \)
\( = \frac{384}{2} \)
\( = 192 \) मीटर।
लोहे की चादर का मूल्य \( = \text{चादर की लम्बाई} \times \text{प्रति मीटर मूल्य} \)
\( = 192 \times 50 \)
\( = 9600 \) रुपये।
अतः, लोहे की चादर का कुल मूल्य 9600 रुपये होगा।
In simple words: टैंक का पूरा बाहरी क्षेत्रफल पता करें, क्योंकि यह चादर का क्षेत्रफल होगा। फिर, चादर की चौड़ाई से भाग करके चादर की लम्बाई निकालें। अंत में, इस लम्बाई को प्रति मीटर मूल्य से गुणा करके कुल खर्चा पता चलेगा।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि टैंक बंद है या खुला है, क्योंकि इससे पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में बदलाव आता है। खुले टैंक में एक फलक (आमतौर पर ऊपर वाली) का क्षेत्रफल नहीं जोड़ा जाता है।

Question 6. एक बेलन जो 3 मी. ऊँचा है, ऊपर की ओर खुला हुआ है। इसके आधार की परिधि 22 मी. है। उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: बेलन की ऊँचाई \( h = 3 \) मी.
आधार की परिधि \( = 22 \) मी.
माना बेलन के आधार की त्रिज्या \( r \) मी. है।
तब, आधार की परिधि का सूत्र \( 2 \pi r \) है।
\( 2 \pi r = 22 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r = 22 \)
\( \implies \frac{44}{7} r = 22 \)
\( \implies r = \frac{22 \times 7}{44} \)
\( \implies r = \frac{7}{2} \) मी.
चूंकि बेलन ऊपर से खुला है, तो उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \) वक्र-पृष्ठीय क्षेत्रफल \( + \) आधार का क्षेत्रफल
\( = 2 \pi r h + \pi r^2 \)
\( = \pi r (2h + r) \)
मान रखने पर:
\( = \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \left( 2 \times 3 + \frac{7}{2} \right) \)
\( = 11 \left( 6 + 3.5 \right) \)
\( = 11 \times 9.5 \)
\( = 104.5 \) मी.\(^{2}\)
अतः, बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 104.5 मी.\(^{2}\) है।
In simple words: पहले बेलन के आधार की परिधि से उसकी त्रिज्या निकालें। फिर, चूंकि बेलन ऊपर से खुला है, तो उसके घुमावदार क्षेत्रफल और सिर्फ निचले आधार के क्षेत्रफल को जोड़ दें। यही उसका पूरा क्षेत्रफल होगा।

🎯 Exam Tip: खुले बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, केवल एक वृत्ताकार आधार (निचला) का क्षेत्रफल जोड़ा जाता है, ऊपरी आधार का नहीं। सूत्र \( 2 \pi r h + \pi r^2 \) का उपयोग करें।

Question 8. एक 4 मीटर ऊँची बेलनाकार टंकी का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल 440 मी.\(^{2}\) है। टंकी का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: बेलनाकार टंकी की ऊँचाई \( h = 4 \) मी.
वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 440 \) मी.\(^{2}\)
बेलन के वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( 2 \pi r h \) है।
\( 2 \pi r h = 440 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 4 = 440 \)
\( \implies \frac{176}{7} r = 440 \)
\( \implies r = \frac{440 \times 7}{176} \)
\( \implies r = \frac{3080}{176} \)
\( \implies r = 17.5 \) मीटर।
अब, टंकी का आयतन ज्ञात करते हैं। बेलन के आयतन का सूत्र \( \pi r^2 h \) है।
\( \text{आयतन} = \frac{22}{7} \times (17.5)^2 \times 4 \)
\( = \frac{22}{7} \times 17.5 \times 17.5 \times 4 \)
\( = 22 \times 2.5 \times 17.5 \times 4 \)
\( = 55 \times 70 \)
\( = 3850 \) मी.\(^{3}\)
अतः, टंकी का आयतन 3850 मी.\(^{3}\) है।
In simple words: पहले बेलनाकार टंकी के वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल और ऊँचाई का उपयोग करके उसकी त्रिज्या निकालें। फिर, इस त्रिज्या और ऊँचाई का उपयोग करके बेलन का आयतन ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: बेलन के वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल से त्रिज्या निकालने के बाद, उसी त्रिज्या का उपयोग आयतन की गणना में करें। चरणों का सही क्रम महत्वपूर्ण है।

Question 9. एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी. तथा ऊँचाई 10 सेमी. है। बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: बेलन की त्रिज्या \( r = 7 \) सेमी.
बेलन की ऊँचाई \( h = 10 \) सेमी.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2 \pi r h \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 10 \)
\( = 2 \times 22 \times 10 \)
\( = 440 \) सेमी.\(^{2}\)
बेलन का आयतन \( = \pi r^2 h \)
\( = \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 10 \)
\( = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 10 \)
\( = 22 \times 7 \times 10 \)
\( = 1540 \) सेमी.\(^{3}\)
अतः, बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 440 सेमी.\(^{2}\) और आयतन 1540 सेमी.\(^{3}\) है।
In simple words: बेलन का घुमावदार क्षेत्रफल निकालने के लिए \( 2 \pi r h \) का उपयोग करें। बेलन में कितना सामान आ सकता है, यह जानने के लिए आयतन \( \pi r^2 h \) का उपयोग करें। इन दोनों सूत्रों में त्रिज्या और ऊँचाई के मान सीधे रख दें।

🎯 Exam Tip: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के सूत्रों को याद रखें। गणना करते समय \( \pi \) का मान \( \frac{22}{7} \) लेना सुनिश्चित करें, खासकर जब त्रिज्या 7 का गुणज हो, ताकि गणना आसान हो।

Question 10. एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 880 वर्ग मीटर है, जिसकी ऊँचाई 10 मीटर है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए। ( \( \pi = \frac{22}{7} \) उपयोग करें)
Answer: बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 880 \) वर्ग मीटर
बेलन की ऊँचाई \( h = 10 \) मीटर
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( 2 \pi r h \) है।
\( 2 \pi r h = 880 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 10 = 880 \)
\( \implies \frac{440}{7} r = 880 \)
\( \implies r = \frac{880 \times 7}{440} \)
\( \implies r = 2 \times 7 \)
\( \implies r = 14 \) मीटर।
अब, बेलन का आयतन ज्ञात करते हैं। बेलन के आयतन का सूत्र \( \pi r^2 h \) है।
\( \text{आयतन} = \frac{22}{7} \times (14)^2 \times 10 \)
\( = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 10 \)
\( = 22 \times 2 \times 14 \times 10 \)
\( = 44 \times 140 \)
\( = 6160 \) मी.\(^{3}\)
अतः, बेलन का आयतन 6160 मी.\(^{3}\) है।
In simple words: पहले बेलन के घुमावदार क्षेत्रफल और ऊँचाई का उपयोग करके उसकी त्रिज्या निकालें। फिर, इस त्रिज्या और ऊँचाई के साथ बेलन का आयतन ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, पहले दिए गए क्षेत्रफल से अज्ञात विमा (जैसे त्रिज्या) निकालें, और फिर उसका उपयोग करके आवश्यक आयतन या अन्य क्षेत्रफल की गणना करें।

Question 11. एक घन की भुजा ज्ञात कीजिए, जिसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1014 वर्ग सेमी. है। इसका आयतन भी ज्ञात कीजिए।
Answer: माना घन की एक भुजा \( a \) सेमी. है।
घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( = 6a^2 \)
प्रश्न के अनुसार, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 1014 \) वर्ग सेमी.
तो, \( 6a^2 = 1014 \)
\( \implies a^2 = \frac{1014}{6} \)
\( \implies a^2 = 169 \)
\( \implies a = \sqrt{169} \)
\( \implies a = 13 \) सेमी.
अतः, घन की भुजा 13 सेमी. है।
अब, घन का आयतन ज्ञात करते हैं। घन के आयतन का सूत्र \( = (\text{भुजा})^3 \)
\( = (13)^3 \)
\( = 13 \times 13 \times 13 \)
\( = 169 \times 13 \)
\( = 2197 \) सेमी.\(^{3}\)
अतः, घन का आयतन 2197 सेमी.\(^{3}\) है।
In simple words: पहले घन के पूरे बाहरी क्षेत्रफल का उपयोग करके उसकी एक भुजा की लम्बाई पता करें। फिर, उस भुजा की लम्बाई को तीन बार गुणा करके घन में कितना सामान आ सकता है (आयतन) वह निकालें।

🎯 Exam Tip: घन के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र \( 6a^2 \) और आयतन के सूत्र \( a^3 \) को याद रखें। वर्गमूल और घनमूल की गणना में सावधानी बरतें।