RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 15 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 15.2

Question 1. एक घनाभ की विमाएँ 60 सेमी. x 54 सेमी. x 30 सेमी. हैं। इस घनाभ के अन्दर 6 सेमी. भुजा वाले कितने घन रखे जा सकते हैं?
Answer: सबसे पहले, घनाभ का आयतन ज्ञात करते हैं। घनाभ की विमाएँ 60 सेमी., 54 सेमी. और 30 सेमी. हैं। इसलिए, घनाभ का आयतन \( = 60 \times 54 \times 30 = 97200 \) घन सेमी.। इसके बाद, 6 सेमी. भुजा वाले एक घन का आयतन निकालते हैं। एक घन का आयतन \( = (\text{भुजा})^3 = (6)^3 = 216 \) घन सेमी.। यह सुनिश्चित करने के लिए कि घन पूरी तरह से घनाभ में फिट हो सके, सभी माप एक ही इकाई में होने चाहिए। घनाभ के अन्दर रखे जा सकने वाले घनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, घनाभ के आयतन को एक घन के आयतन से भाग देते हैं। अभीष्ट घनों की संख्या \( = \frac{\text{घनाभ का आयतन}}{\text{एक घन का आयतन}} = \frac{97200}{216} = 450 \) घन।
In simple words: पहले बड़े बक्से (घनाभ) का आयतन निकालो, फिर छोटे बक्से (घन) का आयतन निकालो. बड़े बक्से के आयतन को छोटे बक्से के आयतन से भाग देने पर पता चलेगा कि कितने छोटे बक्से उसमें समा सकते हैं.

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, हमेशा ध्यान रखें कि सभी विमाएँ (लम्बाई, चौड़ाई, ऊँचाई) एक ही इकाई में हों, जैसे सभी सेमी. में या सभी मीटर में।

Question 2. 3 मीटर लम्बे, 50 सेमी. चौड़े तथा 25 सेमी. ऊँचे लकड़ी के लट्ठ में से 25 सेमी. भुजा वाले घनाकार लकड़ी के कितने गुटके काटे जा सकते हैं?
Answer: सबसे पहले, लकड़ी के लट्ठ की विमाओं को एक ही इकाई में बदलें। लट्ठ की लम्बाई 3 मीटर है, जिसे हम 300 सेमी. में बदलेंगे (क्योंकि 1 मीटर = 100 सेमी.)। चौड़ाई 50 सेमी. और ऊँचाई 25 सेमी. है। तो, लट्ठ का आयतन \( = 300 \times 50 \times 25 = 375000 \) घन सेमी.। अब, 25 सेमी. भुजा वाले एक घनाकार गुटके का आयतन ज्ञात करें। एक गुटके का आयतन \( = (\text{भुजा})^3 = (25)^3 = 15625 \) घन सेमी.। यह सुनिश्चित करने के लिए कि लकड़ी का कोई हिस्सा बर्बाद न हो, हमें सबसे बड़े संभावित आयतन का उपयोग करना चाहिए। काटे जा सकने वाले गुटकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, लट्ठ के आयतन को एक गुटके के आयतन से भाग दें। गुटकों की अभीष्ट संख्या \( = \frac{\text{लट्ठ का आयतन}}{\text{एक गुटके का आयतन}} = \frac{375000}{15625} = 24 \) गुटके।
In simple words: पहले लकड़ी के पूरे लट्ठ का आयतन निकालो, ध्यान रहे सारी मापें सेमी. में हों. फिर एक छोटे गुटके का आयतन निकालो. लट्ठ के आयतन को गुटके के आयतन से भाग देने पर पता चलेगा कि कितने गुटके बन सकते हैं.

🎯 Exam Tip: इकाई परिवर्तन करते समय बहुत सावधान रहें (जैसे मीटर को सेमी. में बदलना) क्योंकि एक छोटी गलती पूरे उत्तर को बदल सकती है।

Question 3. नीचे दिए गए चित्रों के बेलन A और बेलन B के आयतन ज्ञात कीजिए और बताइए कि किसका आयतन अधिक है।
Answer: **बेलन A के लिए:** आधार का व्यास 14 सेमी. है, इसलिए त्रिज्या \( (r) = \frac{14}{2} = 7 \) सेमी.। ऊँचाई \( (h) = 7 \) सेमी.। बेलन का आयतन का सूत्र \( = \pi r^2 h \) होता है। तो, बेलन A का आयतन \( = \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 7 = \frac{22}{7} \times 49 \times 7 = 22 \times 49 = 1078 \) घन सेमी.। **बेलन B के लिए:** आधार का व्यास 7 सेमी. है, इसलिए त्रिज्या \( (R) = \frac{7}{2} = 3.5 \) सेमी.। ऊँचाई \( (H) = 14 \) सेमी.। बेलन का आयतन का सूत्र \( = \pi R^2 H \) होता है। तो, बेलन B का आयतन \( = \frac{22}{7} \times \left(\frac{7}{2}\right)^2 \times 14 = \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 14 \)。 यहाँ, 7 से 49 को 7 बार काट सकते हैं और 4 को 22 और 14 से काट सकते हैं। \( = 22 \times \frac{7}{4} \times 14 = 11 \times 7 \times \frac{14}{2} = 11 \times 7 \times 7 = 539 \) घन सेमी.। अतः, बेलन A का आयतन 1078 घन सेमी. है और बेलन B का आयतन 539 घन सेमी. है। बेलन A का आयतन बेलन B के आयतन से अधिक है। अंतर \( = 1078 - 539 = 539 \) घन सेमी.।
In simple words: बेलन A की त्रिज्या 7 सेमी. और ऊँचाई 7 सेमी. है, जिससे उसका आयतन 1078 घन सेमी. आया. बेलन B की त्रिज्या 3.5 सेमी. और ऊँचाई 14 सेमी. है, जिससे उसका आयतन 539 घन सेमी. आया. बेलन A का आयतन बेलन B से ज्यादा है.

🎯 Exam Tip: बेलन के आयतन की गणना करते समय व्यास को त्रिज्या में बदलना न भूलें, क्योंकि सूत्र में त्रिज्या (r) का उपयोग होता है। \( \pi \) का मान आमतौर पर \( \frac{22}{7} \) या 3.14 का उपयोग किया जाता है।

Question 4. त्रिज्या 1.5 मीटर और लम्बाई 7 मीटर वाले बेलनाकार दूध के टैंकर से 1 लीटर वाले कितने पॉलीपैक (थैली) भरी जा सकती हैं? (1 मी. \( ^3 \) = 1000 लीटर)
Answer: दूध के टैंकर के लिए: त्रिज्या \( (r) = 1.5 \) मीटर लम्बाई \( (h) = 7 \) मीटर (यहाँ लम्बाई का अर्थ ऊँचाई से है।) टैंकर का आयतन का सूत्र \( = \pi r^2 h \) है। टैंकर का आयतन \( = \frac{22}{7} \times (1.5) \times (1.5) \times 7 \)। यहाँ, 7 से 7 को काटा जा सकता है। \( = 22 \times 1.5 \times 1.5 = 22 \times 2.25 = 49.5 \) घन मीटर। अब, हमें इस आयतन को लीटर में बदलना होगा। दिया गया है कि 1 घन मीटर = 1000 लीटर। तो, टैंकर का आयतन लीटर में \( = 49.5 \times 1000 = 49500 \) लीटर। चूँकि प्रत्येक पॉलीपैक में 1 लीटर दूध आता है, इसलिए, भरी जा सकने वाली पॉलीपैक की संख्या \( = \frac{\text{टैंकर का कुल आयतन (लीटर में)}}{\text{एक पॉलीपैक की क्षमता (लीटर में)}} = \frac{49500}{1} = 49500 \) पॉलीपैक।
In simple words: पहले दूध के टैंकर का आयतन निकालो. फिर उस आयतन को घन मीटर से लीटर में बदलो. चूंकि हर पैकेट में 1 लीटर दूध आता है, तो जितने लीटर दूध है, उतने ही पैकेट भरे जा सकते हैं.

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में यूनिट (इकाई) बदलना सबसे ज़रूरी होता है. सुनिश्चित करें कि आपने घन मीटर को लीटर में सही ढंग से बदला है, और सभी माप एक ही प्रणाली में हैं.

Question 5. त्रिज्या 3.5 मीटर और गहराई 3 मीटर वाले एक बेलनाकार कुण्ड को 60 लीटर प्रति मिनट पानी देने वाला नल कितने समय में पूरा भर देगा?
Answer: कुण्ड के लिए: त्रिज्या \( (r) = 3.5 \) मीटर गहराई \( (h) = 3 \) मीटर कुण्ड का आयतन का सूत्र \( = \pi r^2 h \) है। कुण्ड का आयतन \( = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 3 \)। यहाँ, \( 3.5 = \frac{7}{2} \)। आयतन \( = \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 3 = 11 \times \frac{7}{2} \times 3 = \frac{231}{2} = 115.5 \) घन मीटर। अब, इस आयतन को लीटर में बदलना होगा। हम जानते हैं कि 1 घन मीटर = 1000 लीटर। तो, कुण्ड का आयतन लीटर में \( = 115.5 \times 1000 = 115500 \) लीटर। नल द्वारा पानी देने की दर 60 लीटर प्रति मिनट है। कुण्ड को भरने में लगने वाला समय ज्ञात करने के लिए, कुण्ड के कुल आयतन को प्रति मिनट पानी देने की दर से भाग दें। अभीष्ट समय \( = \frac{\text{कुण्ड का आयतन (लीटर में)}}{\text{प्रति मिनट दिए जाने वाले पानी का आयतन (लीटर में)}} = \frac{115500}{60} = 1925 \) मिनट।
In simple words: सबसे पहले, बेलनाकार कुण्ड का पूरा आयतन निकालो. फिर उसे घन मीटर से लीटर में बदलो. कुण्ड में कुल कितने लीटर पानी आएगा, यह पता चलने के बाद, उसे नल की पानी भरने की गति (प्रति मिनट लीटर) से भाग दो. जो जवाब आएगा, वह कुण्ड को भरने में लगने वाला कुल समय (मिनटों में) होगा.

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में गणना के चरणों को स्पष्ट रूप से लिखें, विशेषकर जब इकाइयों को बदल रहे हों (जैसे घन मीटर को लीटर में)। यह गलतियों से बचने में मदद करता है।

Question 6. एक घनाभाकार बर्फ की सिल्ली की विमाएँ 50 सेमी. x 30 सेमी. x 20 सेमी. हैं। इसका वजन किग्रा. में ज्ञात कीजिए। यदि 1000 घन सेमी. बर्फ का तौल 900 ग्राम हो।
Answer: बर्फ की सिल्ली की विमाएँ 50 सेमी., 30 सेमी. और 20 सेमी. हैं। सिल्ली का आयतन \( = 50 \times 30 \times 20 = 30000 \) घन सेमी.। यह दिया गया है कि 1000 घन सेमी. बर्फ का तौल 900 ग्राम है। तो, 1 घन सेमी. बर्फ का तौल \( = \frac{900}{1000} = 0.9 \) ग्राम। अब, बर्फ की सिल्ली का कुल तौल ज्ञात करें। सिल्ली का तौल \( = \text{आयतन} \times \text{प्रति घन सेमी. तौल} = 30000 \times 0.9 = 27000 \) ग्राम। हमें तौल किलोग्राम में ज्ञात करना है। हम जानते हैं कि 1 किलोग्राम = 1000 ग्राम। तो, सिल्ली का तौल किलोग्राम में \( = \frac{27000}{1000} = 27 \) किग्रा.।
In simple words: पहले बर्फ की सिल्ली का आयतन निकालो. फिर यह पता करो कि 1 घन सेमी. बर्फ का वजन कितना है. सिल्ली के कुल आयतन को 1 घन सेमी. के वजन से गुणा करो ताकि कुल वजन ग्राम में मिल सके. आखिर में, इस ग्राम वजन को किलोग्राम में बदलो.

🎯 Exam Tip: घनत्व (प्रति इकाई आयतन वजन) से संबंधित प्रश्नों में, हमेशा ध्यान रखें कि सभी इकाइयाँ संगत हों। यहाँ, आयतन घन सेमी. में और वजन ग्राम में दिया गया था, इसलिए पहले प्रति घन सेमी. वजन ग्राम में निकाला गया।

Question 7. यदि किसी घन की भुजा को दुगुना कर दिया जाए तो
(i) इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने गुना वृद्धि हो जाएगी?
(ii) इसके आयतन में कितने गुना वृद्धि होगी?
Answer:
(i) माना घन की मूल भुजा \( a \) सेमी. है। तब, मूल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S_1 = 6a^2 \) सेमी. \( ^2 \)। अब, यदि भुजा को दुगुना कर दिया जाए, तो नई भुजा \( = 2a \) सेमी.। नया पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S_2 = 6(2a)^2 = 6(4a^2) = 24a^2 \) सेमी. \( ^2 \)। पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि का अनुपात \( = \frac{S_2}{S_1} = \frac{24a^2}{6a^2} = 4 \)। अतः, पृष्ठीय क्षेत्रफल में 4 गुना वृद्धि हो जाएगी।
(ii) मूल आयतन \( V_1 = a^3 \) सेमी. \( ^3 \)। नई भुजा \( = 2a \) सेमी.। नया आयतन \( V_2 = (2a)^3 = 8a^3 \) सेमी. \( ^3 \)। आयतन में वृद्धि का अनुपात \( = \frac{V_2}{V_1} = \frac{8a^3}{a^3} = 8 \)। अतः, आयतन में 8 गुना वृद्धि हो जाएगी।
In simple words: अगर किसी घन की भुजा को दुगुना कर दें, तो उसका पूरा बाहर का क्षेत्रफल 4 गुना बढ़ जाता है. लेकिन उसका अंदर का आयतन (जितनी जगह वो घेरता है) 8 गुना बढ़ जाता है.

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि जब किसी आकृति की विमाएँ \( x \) गुना बढ़ती हैं, तो उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल \( x^2 \) गुना बढ़ता है और उसका आयतन \( x^3 \) गुना बढ़ता है।

**Question. एक बेलनाकार टंकी का आयतन 770 घन मीटर है। यदि उसकी त्रिज्या \( \frac{7}{2} \) मीटर हो, तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।**
Answer: माना बेलनाकार टंकी की ऊँचाई \( h \) मीटर है। टंकी का आयतन \( = \pi r^2 h \) होता है। हमें दिया गया है कि टंकी का आयतन 770 घन मीटर है और त्रिज्या \( r = \frac{7}{2} \) मीटर है। इसलिए, हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं: \( \pi \left(\frac{7}{2}\right)^2 h = 770 \) \( \implies \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times h = 770 \) \( \implies \frac{11 \times 7}{2} \times h = 770 \) \( \implies \frac{77}{2} h = 770 \) दोनों तरफ 2 से गुणा करें: \( \implies 77 h = 770 \times 2 \) \( \implies 77 h = 1540 \) अब, \( h \) का मान ज्ञात करने के लिए 77 से भाग दें: \( \implies h = \frac{1540}{77} \) \( \implies h = 20 \) अतः, टंकी की ऊँचाई 20 मीटर है।
In simple words: टंकी के आयतन के सूत्र में दी गई त्रिज्या और आयतन का मान रखो. फिर गुणा-भाग करके टंकी की ऊँचाई निकालो.

🎯 Exam Tip: आयतन के सवालों में, \( \pi \) के मान का सही उपयोग करें और दशमलव संख्याओं के साथ गुणा करते समय सावधानी बरतें। भिन्नों को सरल करना गणना को आसान बना सकता है।