RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 15 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 15.1

Question 1. दिए गए मापों के आधार पर-घनाकार लकड़ी की गिट्टी, घनाभकार ईंट व सन्दूक को पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
(i) लकड़ी की गिट्टी (घन) के लिए, भुजा (a) = 8 सेमी.
पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 6a^2 = 6 \times (8)^2 = 6 \times 64 = 384 \) वर्ग सेमी.
(ii) ईंट (घनाभ) के लिए, लम्बाई (l) = 9 सेमी, चौड़ाई (b) = 5 सेमी, ऊँचाई (h) = 3 सेमी.
पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(lb + bh + hl) = 2(9 \times 5 + 5 \times 3 + 3 \times 9) \)
\( = 2(45 + 15 + 27) = 2(87) = 174 \) वर्ग सेमी.
(iii) सन्दूक (घनाभ) के लिए, लम्बाई (l) = 150 सेमी, चौड़ाई (b) = 70 सेमी, ऊँचाई (h) = 40 सेमी.
पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(lb + bh + hl) = 2(150 \times 70 + 70 \times 40 + 40 \times 150) \)
\( = 2(10500 + 2800 + 6000) = 2(19300) = 38600 \) वर्ग सेमी.
In simple words: हमने तीन अलग-अलग आकृतियों के माप का उपयोग करके उनके बाहरी सतह का कुल क्षेत्रफल निकाला है। हर आकृति के लिए एक खास सूत्र होता है, जिसका उपयोग करके यह क्षेत्रफल आसानी से पता किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करते समय सभी तीन जोड़ी सतहों (लंबाई-चौड़ाई, चौड़ाई-ऊंचाई, ऊंचाई-लंबाई) के क्षेत्रफलों को जोड़कर दो से गुणा करना याद रखें।

Question 2. ऐसे घन की भुजा ज्ञात कीजिए, जिसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 600 वर्ग सेमी. है।
Answer: मान लीजिए कि घन की भुजा \( a \) सेमी. है।
घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( 6a^2 \) होता है।
प्रश्न के अनुसार, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 600 वर्ग सेमी.
इसलिए, \( 6a^2 = 600 \)
\( \implies a^2 = \frac{600}{6} \)
\( \implies a^2 = 100 \)
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर,
\( \implies a = \sqrt{100} \)
\( \implies a = 10 \) सेमी.
अतः, घन की भुजा 10 सेमी. है। एक घन की सभी भुजाएँ समान होती हैं, जिससे गणना आसान हो जाती है।
In simple words: हमें एक ऐसे घन की भुजा पता करनी थी जिसका कुल बाहरी क्षेत्रफल 600 वर्ग सेमी. है। हमने सूत्र का इस्तेमाल करके पाया कि उस घन की हर भुजा 10 सेमी. लंबी होगी।

🎯 Exam Tip: घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( 6a^2 \) होता है और आयतन \( a^3 \) होता है। दोनों सूत्रों को याद रखना महत्वपूर्ण है।

Question 3. चित्र में दिखाई गई आकृतियों में से किस आकृति का पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है। (\( \pi = \frac { 22 }{7} \))
Answer:
पहली आकृति (बेलन) के लिए:
व्यास = 7 मीटर, तो त्रिज्या \( r = \frac{7}{2} \) मीटर
ऊँचाई \( h = 7 \) मीटर
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi r(h+r) \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} (7 + \frac{7}{2}) \)
\( = 22 (\frac{14+7}{2}) \)
\( = 22 \times \frac{21}{2} \)
\( = 11 \times 21 = 231 \) वर्ग मीटर.

दूसरी आकृति (घन) के लिए:
भुजा \( a = 7 \) मीटर
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 6a^2 \)
\( = 6 \times (7)^2 \)
\( = 6 \times 49 = 294 \) वर्ग मीटर.
चूंकि 294 वर्ग मीटर (घन का क्षेत्रफल) 231 वर्ग मीटर (बेलन का क्षेत्रफल) से अधिक है, अतः दूसरी आकृति (घन) का पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है।
In simple words: हमारे पास एक बेलन और एक घन है, जिनके माप दिए गए हैं। हमने दोनों का बाहरी क्षेत्रफल निकाला और देखा कि घन का क्षेत्रफल बेलन के क्षेत्रफल से ज्यादा है।

🎯 Exam Tip: बेलन और घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करते समय, दी गई इकाइयों (जैसे मीटर या सेमी) का ध्यान रखें और सुनिश्चित करें कि सभी माप एक ही इकाई में हों।

Question 5. 8 वर्ग मीटर धातु की एक चादर से 1 मीटर ऊँची और 140 सेमी. व्यास वाली एक बन्द बेलनाकार टंकी बनाई जाती है। टंकी बनने के पश्चात् कितनी चादर शेष बचेगी?
Answer:
बेलनाकार टंकी के लिए:
ऊँचाई \( H = 1 \) मीटर \( = 100 \) सेमी.
व्यास \( = 140 \) सेमी., तो त्रिज्या \( R = \frac{140}{2} = 70 \) सेमी.
बन्द बेलनाकार टंकी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi R(H+R) \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 70 (100 + 70) \)
\( = 2 \times 22 \times 10 (170) \)
\( = 440 \times 170 = 74800 \) वर्ग सेमी.
अब, इस क्षेत्रफल को वर्ग मीटर में बदलते हैं: \( 74800 \) वर्ग सेमी \( = \frac{74800}{10000} = 7.48 \) वर्ग मीटर.
धातु की कुल चादर का क्षेत्रफल = 8 वर्ग मीटर.
शेष बची हुई चादर का क्षेत्रफल = (धातु की कुल चादर का क्षेत्रफल) - (टंकी का पृष्ठीय क्षेत्रफल)
\( = 8 - 7.48 = 0.52 \) वर्ग मीटर.
In simple words: हमने एक बेलनाकार टंकी बनाने के लिए इस्तेमाल की गई धातु की चादर का क्षेत्रफल निकाला। फिर, कुल उपलब्ध चादर में से इसे घटाकर पता किया कि 0.52 वर्ग मीटर चादर बच जाएगी।

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल की गणना करते समय सभी इकाइयों (जैसे सेमी और मीटर) को एक जैसा रखना बहुत ज़रूरी है ताकि आपका उत्तर सही आए।

Question 7. एक भवन में 25 बेलनाकार खम्भे हैं। प्रत्येक खम्भे की त्रिज्या 28 सेमी. और ऊँचाई 4 मी. है। 8 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से सभी खम्भों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल पर पेन्ट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer:
एक बेलनाकार खम्भे के लिए:
त्रिज्या \( r = 28 \) सेमी.
ऊँचाई \( h = 4 \) मीटर \( = 4 \times 100 = 400 \) सेमी.
एक खम्भे का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi rh \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 28 \times 400 \)
\( = 2 \times 22 \times 4 \times 400 \)
\( = 44 \times 1600 = 70400 \) वर्ग सेमी.
इस क्षेत्रफल को वर्ग मीटर में बदलने पर:
\( 70400 \) वर्ग सेमी \( = \frac{70400}{10000} = 7.04 \) वर्ग मीटर.
अब, 25 बेलनाकार खम्भों का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 25 \times 7.04 \)
\( = 176 \) वर्ग मीटर.
पेन्ट कराने का व्यय 8 रुपये प्रति वर्ग मीटर है।
25 बेलनाकार खम्भों पर पेन्ट कराने का कुल व्यय \( = 176 \times 8 \)
\( = 1408 \) रुपये.
In simple words: हमने एक खंभे के साइड का क्षेत्रफल निकाला, फिर उसे मीटर में बदला। ऐसे 25 खंभों का कुल क्षेत्रफल जोड़कर, पेन्ट के दाम से गुणा किया ताकि कुल खर्च पता चले।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप सभी त्रिज्या और ऊँचाई मानों को गणना से पहले एक ही इकाई (जैसे सभी सेंटीमीटर या सभी मीटर) में बदल लें ताकि कोई गलती न हो।

Question 9. किसी सडक को एक बार में समतल करने के लिए एक रोलर को 750 चक्कर लगाने पड़ते हैं। यदि रोलर का व्यास 84 सेमी और लम्बाई 1 मीटर है तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
रोलर के लिए:
व्यास \( = 84 \) सेमी., तो त्रिज्या \( r = \frac{84}{2} = 42 \) सेमी.
लम्बाई (जो बेलन की ऊँचाई है) \( h = 1 \) मीटर \( = 100 \) सेमी.
एक चक्कर में रोलर द्वारा समतल किया गया क्षेत्रफल, रोलर के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होगा।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi rh \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 42 \times 100 \)
\( = 2 \times 22 \times 6 \times 100 \)
\( = 44 \times 600 = 26400 \) वर्ग सेमी.
इस क्षेत्रफल को वर्ग मीटर में बदलने पर: \( 26400 \) वर्ग सेमी \( = \frac{26400}{10000} = 2.64 \) वर्ग मीटर.
रोलर को सड़क को समतल करने के लिए 750 चक्कर लगाने पड़ते हैं।
सड़क का कुल क्षेत्रफल \( = (\text{एक चक्कर में समतल किया गया क्षेत्रफल}) \times (\text{चक्करों की संख्या}) \)
\( = 2.64 \times 750 = 1980 \) वर्ग मीटर.
In simple words: हमने पहले पता किया कि रोलर एक बार घूमने पर कितना इलाका बराबर करता है। फिर, इस क्षेत्र को रोलर के कुल चक्करों से गुणा करके पूरी सड़क का क्षेत्रफल पता किया।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालना ज़रूरी होता है, क्योंकि यही वह हिस्सा है जो ज़मीन को छूता है। यह एक चक्कर में तय किया गया क्षेत्रफल भी बताता है।

Question 10. 1 सेमी. भुजा वाले 64 घनों को जमाकर एक घन बनाया गया है, इस प्रकार बने घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
छोटे घन की भुजा \( a = 1 \) सेमी.
एक छोटे घन का आयतन \( = a^3 = (1)^3 = 1 \) घन सेमी.
64 छोटे घनों का कुल आयतन \( = 64 \times 1 = 64 \) घन सेमी.
इन 64 छोटे घनों को मिलाकर एक बड़ा घन बनाया गया है।
बड़े घन का आयतन = 64 घन सेमी.
माना बड़े घन की भुजा \( x \) सेमी. है।
बड़े घन का आयतन \( = x^3 \)
तो, \( x^3 = 64 \)
\( \implies x = 4 \) सेमी. (क्योंकि \( 4 \times 4 \times 4 = 64 \))
अब, इस बड़े घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 6x^2 \)
\( = 6 \times (4)^2 \)
\( = 6 \times 16 = 96 \) वर्ग सेमी.
इस तरह से, छोटे घनों को जोड़कर एक नया, बड़ा आकार बनता है।
In simple words: 1 सेमी. भुजा वाले 64 छोटे घनों को जोड़कर एक बड़ा घन बनाया गया। हमने बड़े घन की भुजा निकाली, जो 4 सेमी. निकली। फिर, उस बड़े घन का कुल बाहरी क्षेत्रफल 96 वर्ग सेमी. आया।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि जब छोटे घनों को जोड़कर एक बड़ा घन बनाया जाता है, तो आयतन समान रहता है, लेकिन पृष्ठीय क्षेत्रफल बदल जाता है।