RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 14 क्षेत्रफल More Ques

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करो और सीखो

Question 1. अजहर के पास समलम्ब चतुर्भुज के आकार का एक खेत है (चित्रानुसार)। वह इसे तीन अलग-अलग भागों में बाँटकर देखता है। यदि खेत के विभिन्न भागों की माप चित्रानुसार दी गई हो तो प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कर दर्शाइए कि समलम्ब चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल = △SPT का क्षेत्रफल + आयत STUR का क्षेत्रफल + ARUQ का क्षेत्रफल होता है। एवं समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \( \frac {1}{2 }(a+b) xh \) में मान रख तुलना कीजिए।
Answer:
(दिए गए चित्र के अनुसार, जहाँ \( a=50 \text{ मीटर} \), \( b=30 \text{ मीटर} \), \( c=12 \text{ मीटर} \), \( d=8 \text{ मीटर} \) और ऊँचाई \( h=20 \text{ मीटर} \) है)

△ SPT का क्षेत्रफल:
\( = \frac { \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} }{ 2 } \)
\( = \frac { 12 \times 20 }{ 2 } \)
\( = \frac { 240 }{ 2 } \)
\( = 120 \text{ मी.}^2 \)

आयत STUR का क्षेत्रफल:
\( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \)
\( = \text{TU} \times \text{TS} \)
\( = 30 \times 20 \)
\( = 600 \text{ मी.}^2 \)

△ RUQ का क्षेत्रफल:
\( = \frac { \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} }{ 2 } \)
\( = \frac { 8 \times 20 }{ 2 } \)
\( = \frac { 160 }{ 2 } \)
\( = 80 \text{ मी.}^2 \)

समलम्ब चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल (तीनों भागों के योग से):
\( = \text{△ SPT का क्षेत्रफल} + \text{आयत STUR का क्षेत्रफल} + \text{△ RUQ का क्षेत्रफल} \)
\( = 120 \text{ मी.}^2 + 600 \text{ मी.}^2 + 80 \text{ मी.}^2 \)
\( = 800 \text{ मी.}^2 \) ....(1)

पुनः, समलम्ब चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल (सूत्र से):
\( = \frac {1}{2}(a + b) \times h \)
\( = \frac {1}{2} [50 + 30] \times 20 \)
\( = \frac {1}{2} [80] \times 20 \)
\( = 40 \times 20 \)
\( = 800 \text{ मी.}^2 \) ..........(2)

(1) और (2) से हम देखते हैं कि दोनों तरीकों से प्राप्त समलम्ब चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल बराबर ही आता है। यह दर्शाता है कि किसी भी जटिल आकार को छोटे-छोटे सरल आकारों में तोड़कर उसका कुल क्षेत्रफल निकाला जा सकता है।
In simple words: हमने खेत के तीनों हिस्सों (दो त्रिभुज और एक आयत) का क्षेत्रफल अलग-अलग निकाला और उन्हें जोड़ दिया. फिर, हमने पूरे समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल सीधे सूत्र से निकाला. दोनों बार जवाब एक ही आया, जिससे यह साबित होता है कि यह तरीका सही है.

🎯 Exam Tip: जब कोई जटिल आकृति दी गई हो, तो उसे हमेशा सरल आकृतियों जैसे त्रिभुज, आयत, या वर्ग में विभाजित करने का प्रयास करें। यह क्षेत्रफल निकालने का एक प्रभावी तरीका है।

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करो और सीखो

Question 2. क्या विभिन्न परिमापों वाले समलम्ब चतुर्भुज, क्षेत्रफल में समान होते हैं? दी गई मापों को देखकर तथ्य को स्थापित कीजिए।
Answer:
दिए गए चित्रों (i), (ii) और (iii) के अनुसार, हम विभिन्न समलम्ब चतुर्भुजों के क्षेत्रफल की गणना करेंगे। यह समझना महत्वपूर्ण है कि आकृति की माप उसकी परिधि और क्षेत्रफल दोनों को प्रभावित करती है।

(i) पहले समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। (चित्रानुसार)
चित्र में QR तथा PT समानांतर हैं और PU \( \perp \) RS है।
PT \( \parallel \) QR तथा PQ \( \parallel \) TR है।
इसलिए, PQRT एक समानांतर चतुर्भुज है।
PT = QR = 9 इकाई तथा TR = PQ = 4 इकाई है।
तो, ST = RS - RT = 8 - 4 = 4 इकाई है।
अब, △PTS में, तीनों भुजाओं की लंबाई SP = 9, ST = 4 और PT = 9 है।
इसका अर्ध-परिमाप (s) है:
\( s = \frac { \text{PT + TS + SP} }{ 2 } \)
\( = \frac { 9 + 4 + 9 }{ 2 } \)
\( = \frac { 22 }{ 2 } \)
\( = 11 \text{ इकाई} \)
अब, △PTS का क्षेत्रफल (हेरोन के सूत्र से):
\( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{11(11-9)(11-4)(11-9)} \)
\( = \sqrt{11 \times 2 \times 7 \times 2} \)
\( = \sqrt{11 \times 4 \times 7} \)
\( = 2\sqrt{77} \)
\( \approx 2 \times 8.775 \)
\( = 17.55 \text{ वर्ग इकाई} \)
पुनः, △PTS का क्षेत्रफल \( = \frac {1}{2 } \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = \frac {1}{2 } \times \text{ST} \times \text{PU} \)
\( 17.55 = \frac {1}{2 } \times 4 \times \text{PU} \)
\( 17.55 = 2 \times \text{PU} \)

\( \implies \text{PU} = \frac { 17.55 }{ 2 } \)
\( = 8.775 \text{ इकाई} \)
अतः समलम्ब चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल:
\( = \frac {1}{2 } \times (\text{PQ} + \text{RS}) \times \text{PU} \)
\( = \frac {1}{2 } \times (4 + 8) \times 8.775 \)
\( = \frac {1}{2 } \times 12 \times 8.775 \)
\( = 6 \times 8.775 \)
\( = 52.65 \text{ वर्ग इकाई} \)

(ii) दूसरे समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल (चित्रानुसार):
समानांतर भुजाओं की लंबाई 6 और 10 इकाई है, और ऊँचाई 6 इकाई है।
\( = \frac {1}{2 } \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई} \)
\( = \frac {1}{2 } \times (6 + 10) \times 6 \)
\( = \frac {1}{2 } \times 16 \times 6 \)
\( = 8 \times 6 \)
\( = 48 \text{ वर्ग इकाई} \)

(iii) तीसरे समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। (चित्रानुसार)
Q'N' \( \parallel \) S'P' तथा Q'M' \( \perp \) S'R' खींचते हैं।
Q'N' \( \parallel \) S'P' \( \implies \) P'Q' \( \parallel \) S'R' \( \implies \) P'Q' \( \parallel \) S'N'
इसलिए, P'Q'N'S' एक समानांतर चतुर्भुज है।
Q'N' = P'S' = 5 इकाई तथा S'N' = P'Q' = 10 इकाई है।
तो, R'N' = S'R' - S'N' = 14 - 10 = 4 इकाई है।
अब △Q'R'N' में, भुजाओं की लंबाई a = 4, b = 5, c = 4 इकाई है।
इसका अर्ध-परिमाप (s) है:
\( s = \frac { a+b+c }{ 2 } \)
\( = \frac { 4+5+4 }{ 2 } \)
\( = \frac { 13 }{ 2 } \)
\( = 6.5 \text{ इकाई} \)
अब, △Q'R'N' का क्षेत्रफल (हेरोन के सूत्र से):
\( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{\frac{13}{2}(\frac{13}{2}-4)(\frac{13}{2}-5)(\frac{13}{2}-4)} \)
\( = \sqrt{\frac{13}{2}(\frac{13-8}{2})(\frac{13-10}{2})(\frac{13-8}{2})} \)
\( = \sqrt{\frac{13}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{5}{2}} \)
\( = \frac{5}{4}\sqrt{39} \)
\( \approx \frac{5}{4} \times 6.24 \)
\( = 5 \times 1.56 \)
\( = 7.80 \text{ वर्ग इकाई} \)
पुनः, △Q'R'N' का क्षेत्रफल \( = \frac {1}{2 } \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = \frac {1}{2 } \times \text{N'R'} \times \text{Q'M'} \)
\( 7.80 = \frac {1}{2 } \times 4 \times \text{Q'M'} \)
\( 7.80 = 2 \times \text{Q'M'} \)

\( \implies \text{Q'M'} = \frac { 7.80 }{ 2 } \)
\( = 3.9 \text{ इकाई} \)
अतः समलम्ब चतुर्भुज P'Q'R'S' का क्षेत्रफल:
\( = \frac {1}{2 } \times (\text{P'Q'} + \text{R'S'}) \times \text{Q'M'} \)
\( = \frac {1}{2 } \times (10 + 14) \times 3.9 \)
\( = \frac {1}{2 } \times 24 \times 3.9 \)
\( = 12 \times 3.9 \)
\( = 46.8 \text{ वर्ग इकाई} \)

(i), (ii) और (iii) के परिणामों से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि विभिन्न परिमापों वाले समलम्ब चतुर्भुजों के क्षेत्रफल अलग-अलग होते हैं। हालांकि आकृतियां एक ही श्रेणी की हैं, उनकी विशिष्ट मापें उनके क्षेत्रफल को बदल देती हैं।
In simple words: हमने तीन अलग-अलग समलम्ब चतुर्भुजों का क्षेत्रफल निकाला. पहले का क्षेत्रफल 52.65 वर्ग इकाई था, दूसरे का 48 वर्ग इकाई और तीसरे का 46.8 वर्ग इकाई. इससे पता चलता है कि अगर समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं की मापें अलग-अलग हों, तो उनका क्षेत्रफल भी अलग-अलग होगा, भले ही वे सभी समलम्ब चतुर्भुज हों.

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल की गणना करते समय, हमेशा ध्यान दें कि क्या आप दिए गए सीधे सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या यदि आपको जटिल आकृति को सरल भागों में तोड़ने की आवश्यकता है (जैसे त्रिभुज और आयत)। हेरोन का सूत्र तब उपयोगी होता है जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ ज्ञात हों।