RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 14 क्षेत्रफल Important Questions

Rajasthan Board RBSE Class 8 Maths Chapter 14 क्षेत्रफल Additional Questions

I. बहुविकल्पात्मक प्रश्न

 

Question 1. एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 36 वर्ग सेमी. है। एवं आधार 9 सेमी. है तो लम्ब की लम्बाई होगी
(a) 8 सेमी.
(b) 4 सेमी.
(c) 16 सेमी.
(d) 32 सेमी.
Answer: (a) 8 सेमी.
In simple words: समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \) होता है। इस सूत्र में दिए गए मानों को रखकर लम्ब की लम्बाई निकाली जा सकती है।

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र को याद रखना महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह लम्बाई, आधार या क्षेत्रफल में से कोई भी एक अज्ञात मान ज्ञात करने में मदद करता है।

 

Question 2. किसी समलम्ब चतुर्भुज की समान्तर भुजाएँ 32 मी. और 20 मी. हैं तथा इनके मध्य दूरी 15 मी. है तो समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा
(a) 290 वर्ग मीटर
(b) 390 वर्ग मीटर
(c) 390 वर्ग मीटर
(d) 400 वर्ग मीटर
Answer: (b) 390 वर्ग मीटर
In simple words: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उसकी समान्तर भुजाओं के योग को उनकी बीच की दूरी से गुणा करके, फिर उसे 2 से भाग देते हैं। इस तरह, दिए गए मानों का उपयोग करके क्षेत्रफल आसानी से निकाला जा सकता है।

🎯 Exam Tip: समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र को याद रखें: \( \frac{1}{2} \times (\text{समान्तर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई} \)। यह सुनिश्चित करें कि आप समान्तर भुजाओं और ऊँचाई के मानों को सही ढंग से सूत्र में रखें।

 

Question 3. एक समचतुर्भुज के विकर्ण 10 सेमी. एवं 8 सेमी. हों तो इसका क्षेत्रफल होगा
(a) 80 वर्ग सेमी.
(b) 40 वर्ग सेमी.
(c) 9 वर्ग सेमी.
(d) 36 वर्ग सेमी.
Answer: (b) 40 वर्ग सेमी.
In simple words: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों की लम्बाइयों के गुणनफल का आधा होता है। इस सूत्र का उपयोग करके आप दिए गए विकर्णों से क्षेत्रफल निकाल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है: \( \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \), जहाँ \( d_1 \) और \( d_2 \) विकर्णों की लम्बाइयाँ हैं।

 

Question 4. किसी समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 143 सेमी. है। उसकी समान्तर भुजाएँ क्रमशः 15 सेमी. व 11 सेमी. हैं। समान्तर भुजाओं के मध्य लम्बवत् दूरी है
(a) 11 सेमी.
(b) 12 सेमी.
(c) 13 सेमी.
(d) 14 सेमी.
Answer: (a) 11 सेमी.
In simple words: क्षेत्रफल के सूत्र में दिए गए क्षेत्रफल और समान्तर भुजाओं के मानों को रखकर, आप समान्तर भुजाओं के बीच की दूरी (ऊँचाई) को आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: जब क्षेत्रफल और समान्तर भुजाएँ दी गई हों, तो ऊँचाई ज्ञात करने के लिए क्षेत्रफल के सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करना सीखें। यह अज्ञात मानों को खोजने की एक आम विधि है।

 

Question 5. एक त्रिभुजाकार भूखण्ड का क्षेत्रफल 2.5 एअर है। यदि भूखण्ड का आधार 100 मीटर हो तो उसकी ऊँचाई है
(a) 10 सेमी.
(b) 5 सेमी.
(c) 10 मीटर
(d) 5 मीटर
Answer: (d) 5 मीटर
In simple words: पहले एअर को वर्ग मीटर में बदलें, क्योंकि 1 एअर = 100 वर्ग मीटर होता है। फिर त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र में मानों को रखकर ऊँचाई निकालें।

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफलों की इकाइयों को ध्यान से बदलें (जैसे एअर से वर्ग मीटर में) ताकि गणनाएँ सही हों। यह सुनिश्चित करें कि सभी माप एक ही इकाई में हों।

 

Question 6. एक त्रिभुज और आयत एक ही आधार व एक ही समान्तर रेखाओं के मध्य स्थित हैं। त्रिभुज का आधार 9 सेमी. व ऊँचाई 6 सेमी. है। आयत का क्षेत्रफल है
(a) \( \frac{9 \times 6}{2} \) सेमी.\(^{2}\)
(b) \( \frac{9+6}{2} \) सेमी.\(^{2}\)
(c) \( (\frac{9 \times 6}{2}) \times 2 \) सेमी.\(^{2}\)
(d) \( (9 \times 6) \times 2 \) सेमी.\(^{2}\)
Answer: (c) \( (\frac{9 \times 6}{2}) \times 2 \) सेमी.\(^{2}\)
In simple words: जब एक ही आधार और समान्तर रेखाओं के बीच एक त्रिभुज और एक आयत होते हैं, तो आयत का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना होता है।

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय संबंध है: यदि त्रिभुज और आयत का आधार और ऊँचाई समान हो, तो आयत का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना होता है। इस नियम को याद रखें।

II. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

 

Question 1. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
(i) त्रिभुज का क्षेत्रफल = \( \times \) आधार \( \times \) ऊँचाई
(ii) समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times \) समान्तर भुजाओं का योग \( \times \).........
(iii) समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर.........होते हैं।
(iv) समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{4} \times \) ............होता है।।
(v) आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई \( \times \).........
Answer:
(i) \( \frac{1}{2} \)
(ii) ऊँचाई
(iii) लम्बवत्
(iv) विकर्णों का गुणनफल
(v) चौड़ाई
In simple words: इन रिक्त स्थानों में ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल और गुणों के लिए सही सूत्र या शब्द भरने हैं, जो उनके मूल परिभाषाओं पर आधारित हैं।

🎯 Exam Tip: सभी बुनियादी ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल के सूत्रों और उनके गुणों को ठीक से याद रखें। इससे आपको ऐसे प्रश्न हल करने में आसानी होगी।

III. सत्य/असत्य प्रश्न

 

Question 1. निम्नलिखित कथनों में सत्य/असत्य बताइए।
(i) 1 आर = 100 वर्गमीटर होता है।
(ii) 1 हैक्टेयर = 10000 वर्गमीटर होता है।
(iii) किसी समचतुर्भुज के विकर्ण 24 सेमी. व 7 सेमी. हैं, तो समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 168 सेमी.\(^{2}\) होगा।
Answer:
(i) सत्य
(ii) सत्य
(iii) असत्य
In simple words: इन कथनों को सत्यापित करने के लिए, आपको इकाइयों के रूपांतरण और समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करना होगा। एक आर 100 वर्ग मीटर के बराबर होता है और एक हेक्टेयर 10,000 वर्ग मीटर के बराबर होता है, इसलिए पहले दो कथन सत्य हैं। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \) होता है, जो \( \frac{1}{2} \times 24 \times 7 = 84 \) वर्ग सेमी. होगा, इसलिए तीसरा कथन असत्य है।

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल की इकाइयों और ज्यामितीय सूत्रों को लेकर स्पष्ट रहें। यह सुनिश्चित करें कि आप रूपांतरणों को सही ढंग से लागू करें और गणनाएँ सावधानी से करें।

IV. मिलान/सुमेलन वाले प्रश्नखण्ड

 

Question 1. खण्ड (1) का खण्ड (2) से मिलान कीजिए।
खण्ड (1)
(i) समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र
(ii) समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र
(iii) उस वर्ग की भुजा जिसका क्षेत्रफल 1 हैक्टेयर है।
(iv) उस आयत की लम्बाई जिसकी चौड़ाई 5 मीटर है तथा क्षेत्रफल 1 आर है।
खण्ड (2)
(a) \( \frac{1}{2} \times \) विकर्णों का गुणनफल
(b) \( \frac{1}{2} \times \) (समान्तर भुजाओं का योग) \( \times \) ऊँचाई
(c) 20 मीटर
(d) 100 मीटर
Answer:
(i) ↔ (b)
(ii) ↔ (a)
(iii) ↔ (d)
(iv) ↔ (c)
In simple words: यह मिलान ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल के सूत्रों और कुछ विशिष्ट मापों से संबंधित है। प्रत्येक सूत्र या माप को उसके सही विवरण से मिलाना होता है।

🎯 Exam Tip: सभी ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल के सूत्रों को कंठस्थ कर लें। साथ ही, क्षेत्रफल की विभिन्न इकाइयों (जैसे हैक्टेयर और आर) के बीच के रूपांतरणों को भी याद रखें।

V. अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

 

Question 2. निम्न चित्र में एक खेत ABCD समलम्ब चतुर्भुज के आकार का है। AB II DC, DC = 25 सेमी., CE = 12 सेमी. तथा EB = 10 सेमी. है। चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer: समलम्ब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल को दो भागों में विभाजित करके ज्ञात किया जा सकता है: आयत AECD का क्षेत्रफल और समकोण त्रिभुज CEB का क्षेत्रफल। आयत AECD का क्षेत्रफल \( = \text{DC} \times \text{CE} = 25 \times 12 = 300 \) वर्ग सेमी.
समकोण त्रिभुज CEB का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{EB} \times \text{CE} = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60 \) वर्ग सेमी.
इसलिए, कुल क्षेत्रफल \( = 300 + 60 = 360 \) वर्ग सेमी. है। त्रिभुज CEB में, CE ऊँचाई है और EB आधार है, जबकि AECD एक आयत है क्योंकि AB और DC समान्तर हैं।
In simple words: इस खेत का क्षेत्रफल निकालने के लिए, हमने इसे एक आयत और एक त्रिभुज में बाँटा। फिर हमने दोनों आकृतियों का क्षेत्रफल अलग-अलग निकाला और उन्हें जोड़ दिया।

🎯 Exam Tip: जटिल आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, उन्हें सरल ज्यामितीय आकृतियों (जैसे आयत, त्रिभुज, वर्ग) में विभाजित करना एक प्रभावी रणनीति है।

 

Question 3. एक समचतुर्भुज का परिमाप 52 सेमी. है। उसकी दो समान्तर भुजाओं के मध्य लम्बवत् दूरी 12 सेमी. है। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: समचतुर्भुज का परिमाप \( = 52 \) सेमी.
समचतुर्भुज की एक भुजा \( = \frac{52}{4} = 13 \) सेमी.
समचतुर्भुज की ऊँचाई \( = 12 \) सेमी.
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = 13 \times 12 = 156 \) वर्ग सेमी. है। समचतुर्भुज में सभी भुजाएँ समान होती हैं, इसलिए परिमाप से भुजा की लम्बाई ज्ञात करना आसान होता है।
In simple words: पहले समचतुर्भुज की एक भुजा की लम्बाई ज्ञात की। फिर, भुजा और दी गई ऊँचाई को गुणा करके समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निकाला।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज की विशेषताओं को याद रखें (जैसे सभी भुजाएँ समान होती हैं) ताकि आप परिमाप से भुजा की लम्बाई आसानी से ज्ञात कर सकें। क्षेत्रफल के लिए आधार \( \times \) ऊँचाई सूत्र का उपयोग करें।

 

Question 1. AD = 8 cm. तथा CD = 7 cm. है, तो समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है \( \frac{1}{2} \times \) (समान्तर भुजाओं का योग) \( \times \) समान्तर भुजाओं के बीच की दूरी (ऊँचाई).
यहाँ, समान्तर भुजाएँ \( \text{CD} = 7 \) सेमी. और \( \text{AB} = 13 \) सेमी. हैं। ऊँचाई \( = \text{AD} = 8 \) सेमी. (जैसा कि चित्र में एक लम्ब के रूप में दिख रहा है).
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (7 + 13) \times 8 \)
\( = \frac{1}{2} \times 20 \times 8 \)
\( = 10 \times 8 = 80 \) वर्ग सेमी.
इसलिए, समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( 80 \) वर्ग सेमी. है। यह एक समकोण समलम्ब चतुर्भुज है जहाँ AD भुजा AB पर लंब है।
In simple words: हमने समलम्ब चतुर्भुज की दो समान्तर भुजाओं को जोड़ा और फिर उसे ऊँचाई से गुणा किया, अंत में 2 से भाग देकर क्षेत्रफल निकाला।

🎯 Exam Tip: समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र को लागू करते समय, यह सुनिश्चित करें कि आप सही भुजाओं को समान्तर भुजाओं के रूप में और उनके बीच की लम्बवत् दूरी को ऊँचाई के रूप में पहचानें।

 

Question 4. बहुभुज ABCDE को विभिन्न भागों में बाँटा गया है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि AD = 8 सेमी., AH = 6 सेमी., AG = 4 सेमी., AF =3 सेमी. और BF = 2 सेमी., CH = 3 सेमी., EG = 2.5 सेमी. तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer: बहुभुज ABCDE का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इसे विभिन्न सरल ज्यामितीय आकृतियों में विभाजित किया गया है:
1. समकोण \( \triangle AFB \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times AF \times BF = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 \) वर्ग सेमी.
2. समलम्ब चतुर्भुज BFHC का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (BF + CH) \times FH \)
जहाँ, \( FH = AH - AF = 6 - 3 = 3 \) सेमी.
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (2 + 3) \times 3 = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 = 7.5 \) वर्ग सेमी.
3. समकोण \( \triangle CHD \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times HD \times CH \)
जहाँ, \( HD = AD - AH = 8 - 6 = 2 \) सेमी.
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \) वर्ग सेमी.
4. समकोण \( \triangle EGD \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times GD \times EG \)
जहाँ, \( GD = AD - AG = 8 - 4 = 4 \) सेमी.
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times 4 \times 2.5 = 5 \) वर्ग सेमी.
5. समकोण \( \triangle AGE \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times AG \times EG = \frac{1}{2} \times 4 \times 2.5 = 5 \) वर्ग सेमी.
कुल क्षेत्रफल \( = 3 + 7.5 + 3 + 5 + 5 = 23.5 \) वर्ग सेमी.
इस प्रकार, एक जटिल आकृति को छोटे, परिचित टुकड़ों में तोड़ना उसका क्षेत्रफल ज्ञात करने का एक सरल तरीका है।
In simple words: हमने बड़ी आकृति को छोटे-छोटे त्रिभुजों और समलम्ब चतुर्भुजों में बाँट दिया। फिर प्रत्येक छोटे हिस्से का क्षेत्रफल निकाला और सभी को एक साथ जोड़ दिया ताकि कुल क्षेत्रफल मिल सके।

🎯 Exam Tip: जब कोई जटिल बहुभुज दिया गया हो, तो उसे मानक आकृतियों (जैसे त्रिभुज, आयत, समलम्ब चतुर्भुज) में विभाजित करके उसका क्षेत्रफल ज्ञात करें। प्रत्येक उप-आकृति के आयामों को ध्यान से नोट करें।

 

Question 5. MP = 9 सेमी., MD = 7 सेमी., MC = 6 सेमी., MB = 4 सेमी., MA = 2 सेमी. तो बहुभुज MNOPQR का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। NA, OC, QD एवं RB विकर्ण MP पर खींचे गये लम्ब हैं।

Answer: बहुभुज MNOPQR का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इसे छोटे-छोटे त्रिभुजों और समलम्ब चतुर्भुजों में विभाजित किया गया है:
1. \( \triangle MAN \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times AM \times NA = \frac{1}{2} \times 2 \times 2.5 = 2.5 \) वर्ग सेमी.
2. समलम्ब चतुर्भुज NAOC का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (NA + OC) \times AC \)
जहाँ, \( AC = MC - MA = 6 - 2 = 4 \) सेमी.
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (2.5 + 3) \times 4 = \frac{1}{2} \times 5.5 \times 4 = 11 \) वर्ग सेमी.
3. \( \triangle OCP \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times CP \times OC \)
जहाँ, \( CP = MP - MC = 9 - 6 = 3 \) सेमी.
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5 \) वर्ग सेमी.
4. \( \triangle QDP \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times DP \times QD \)
जहाँ, \( DP = MP - MD = 9 - 7 = 2 \) सेमी.
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \) वर्ग सेमी.
5. समलम्ब चतुर्भुज DBRQ का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (BR + DQ) \times BD \)
जहाँ, \( BD = MD - MB = 7 - 4 = 3 \) सेमी.
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (2.5 + 2) \times 3 = \frac{1}{2} \times 4.5 \times 3 = 6.75 \) वर्ग सेमी.
6. \( \triangle RBM \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times MB \times BR = \frac{1}{2} \times 4 \times 2.5 = 5 \) वर्ग सेमी.
कुल क्षेत्रफल \( = 2.5 + 11 + 4.5 + 2 + 6.75 + 5 = 31.75 \) वर्ग सेमी.
एक जटिल बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उसे छोटे, परिचित भागों में तोड़ना एक मानक विधि है।
In simple words: हमने बहुभुज को कई छोटे त्रिभुजों और समलम्ब चतुर्भुजों में विभाजित किया। फिर प्रत्येक छोटे हिस्से का क्षेत्रफल निकाला और सभी को जोड़कर पूरे बहुभुज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: जटिल बहुभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, उन्हें विकर्णों से छोटे-छोटे त्रिभुजों या समलम्ब चतुर्भुजों में बाँटना एक प्रभावी तरीका है। प्रत्येक भाग के आयामों को ध्यान से मापें और सूत्रों को सही ढंग से लागू करें।

 

Question 6. एक नहर का अनुप्रस्थ काट समलम्ब चतुर्भुजाकार है। नहर ऊपर से 10 मीटर चौड़ी हो एवं पैंदे से 6 मीटर चौड़ी हो एवं अनुप्रस्थ काट को क्षेत्रफल 72 वर्ग मीटर हो, तो इसकी गहराई ज्ञात कीजिए।
Answer: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (\text{समान्तर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई} \)
दिए गए मान:
ऊपरी चौड़ाई (एक समान्तर भुजा) \( = 10 \) मीटर
निचली चौड़ाई (दूसरी समान्तर भुजा) \( = 6 \) मीटर
क्षेत्रफल \( = 72 \) वर्ग मीटर
ऊँचाई (गहराई) \( = h \) मीटर
सूत्र में मान रखने पर:
\( 72 = \frac{1}{2} \times (10 + 6) \times h \)
\( 72 = \frac{1}{2} \times 16 \times h \)
\( 72 = 8 \times h \)
\( h = \frac{72}{8} \)
\( h = 9 \) मीटर
अतः, नहर की गहराई \( 9 \) मीटर है। यह एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र का व्यावहारिक अनुप्रयोग है।
In simple words: हमने समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके नहर की गहराई निकाली। क्षेत्रफल, ऊपरी और निचली चौड़ाई के मानों को सूत्र में रखा और अज्ञात गहराई को हल किया।

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल के सूत्रों को अज्ञात मानों (जैसे ऊँचाई या भुजा की लम्बाई) को ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करना सीखें। वास्तविक जीवन की समस्याओं में यह कौशल बहुत उपयोगी होता है।

 

Question 7. एक समचतुर्भुज के विकर्ण 15 सेमी. एवं 36 सेमी. हैं। इसका परिमाप एवं क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \) विकर्णों का गुणनफल
\( = \frac{1}{2} \times 15 \times 36 \)
\( = 15 \times 18 = 270 \) वर्ग सेमी.
हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
माना विकर्ण \( AC = 36 \) सेमी. और \( BD = 15 \) सेमी.।
\( \implies OA = OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 36 = 18 \) सेमी.
\( \implies OB = OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \times 15 = 7.5 \) सेमी.
समकोण त्रिभुज AOB में, पाइथागोरस प्रमेय से एक भुजा (\( AB \)) ज्ञात करें:
\( AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} \)
\( AB = \sqrt{(18)^2 + (7.5)^2} \)
\( AB = \sqrt{324 + 56.25} \)
\( AB = \sqrt{380.25} \)
\( AB \approx 19.5 \) सेमी.
समचतुर्भुज का परिमाप \( = 4 \times AB \)
\( = 4 \times 19.5 = 78 \) सेमी.
इसलिए, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( 270 \) वर्ग सेमी. और परिमाप \( 78 \) सेमी. है। विकर्णों का उपयोग करके भुजा की लम्बाई निकालना पाइथागोरस प्रमेय का एक अच्छा उदाहरण है।
In simple words: पहले हमने विकर्णों का उपयोग करके क्षेत्रफल निकाला। फिर हमने पाइथागोरस प्रमेय से समचतुर्भुज की एक भुजा की लम्बाई ज्ञात की, क्योंकि विकर्ण एक-दूसरे को 90 डिग्री पर आधा करते हैं। अंत में, भुजा को 4 से गुणा करके परिमाप निकाला।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज के विकर्णों के गुणों (समकोण पर समद्विभाजित करना) को याद रखें, क्योंकि यह भुजा की लम्बाई ज्ञात करने में मदद करता है। पाइथागोरस प्रमेय ऐसे प्रश्नों में महत्वपूर्ण है।

 

Question 8. एक खेत जिसका आकार चित्र में दर्शाये गये बहुभुज ABCDEF के समान है। चित्र में दी गई सभी माप मीटर में हैं। बहुभुज ABCDEF का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer: बहुभुज ABCDEF का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इसे आकृति में दर्शाए गए 5 भागों में विभाजित किया गया है:
1. आकृति ① (त्रिभुज) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times 20 \times 30 = 300 \) वर्ग मीटर.
2. आकृति ② (समलम्ब चतुर्भुज) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (30 + 50) \times (130 - 20) = \frac{1}{2} \times 80 \times 110 = 4400 \) वर्ग मीटर.
3. आकृति ③ (त्रिभुज) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (200 - 130) \times 50 = \frac{1}{2} \times 70 \times 50 = 1750 \) वर्ग मीटर.
4. आकृति ④ (त्रिभुज) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (200 - 70) \times 40 = \frac{1}{2} \times 130 \times 40 = 2600 \) वर्ग मीटर.
5. आकृति ⑤ (आयत) का क्षेत्रफल \( = 70 \times 40 = 2800 \) वर्ग मीटर.
कुल क्षेत्रफल \( = 300 + 4400 + 1750 + 2600 + 2800 = 11850 \) वर्ग मीटर.
जटिल आकृतियों का क्षेत्रफल निकालने के लिए उन्हें सरल, मानक ज्यामितीय आकृतियों में विभाजित करना एक प्रभावी विधि है।
In simple words: हमने खेत को छोटे-छोटे त्रिभुजों, समलम्ब चतुर्भुज और आयत में बाँटा। फिर हर छोटे हिस्से का क्षेत्रफल निकाला और सभी को एक साथ जोड़कर खेत का कुल क्षेत्रफल ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: किसी भी अनियमित आकार के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, उसे पहले पहचाने जाने वाले ज्यामितीय आकृतियों में विभाजित करें। प्रत्येक आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें और सभी को जोड़ दें।

 

Question 9. दिए गए खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। सभी माप मीटर में हैं।

Answer: बहुभुज ABCDEA का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इसे विभिन्न सरल आकृतियों में विभाजित किया गया है:
बहुभुज ABCDEA का क्षेत्रफल \( = \triangle ADE \) का क्षेत्रफल \( + \triangle DEC \) का क्षेत्रफल \( + \) समलम्ब चतुर्भुज ABFC का क्षेत्रफल
दिए गए मानों और विभाजन से:
\( \triangle ADE \) का क्षेत्रफल \( = 1800 \) वर्ग मीटर
\( \triangle DEC \) का क्षेत्रफल \( = 900 \) वर्ग मीटर
समलम्ब चतुर्भुज ABFC का क्षेत्रफल \( = 675 \) वर्ग मीटर
कुल क्षेत्रफल \( = 1800 + 900 + 675 = 3375 \) मीटर\(^{2}\)
यह जटिल बहुभुज का क्षेत्रफल विभिन्न सरल आकृतियों के क्षेत्रफलों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
In simple words: हमने बड़ी बहुभुज आकृति को छोटे-छोटे हिस्सों (त्रिभुजों और एक समलम्ब चतुर्भुज) में बाँटा। फिर हर हिस्से का क्षेत्रफल निकालकर सभी को एक साथ जोड़कर पूरा क्षेत्रफल ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: जटिल बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना करते समय, उसे ठीक से विभाजित करना और प्रत्येक उप-आकृति के आयामों को सही ढंग से पहचानना महत्वपूर्ण है।

 

Question 10. एक समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 264 वर्ग सेमी. है। यदि इसका एक विकर्ण AC = 24 सेमी. है तो विकर्ण BD की माप बताइए।
Answer: हम जानते हैं कि समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \) विकर्णों का गुणनफल होता है।
दिए गए मान:
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = 264 \) वर्ग सेमी.
एक विकर्ण \( AC = 24 \) सेमी.
माना दूसरा विकर्ण \( BD = d_2 \) सेमी.।
सूत्र में मान रखने पर:
\( 264 = \frac{1}{2} \times 24 \times d_2 \)
\( 264 = 12 \times d_2 \)
\( d_2 = \frac{264}{12} \)
\( d_2 = 22 \) सेमी.
अतः, विकर्ण BD की माप \( 22 \) सेमी. है। क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके अज्ञात विकर्ण की लम्बाई ज्ञात करना एक मानक विधि है।
In simple words: हमने समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग किया। दिए गए क्षेत्रफल और एक विकर्ण की लम्बाई को सूत्र में रखकर, हमने दूसरे विकर्ण की लम्बाई निकाली।

🎯 Exam Tip: जब समचतुर्भुज का क्षेत्रफल और एक विकर्ण दिया गया हो, तो दूसरे विकर्ण को ज्ञात करने के लिए क्षेत्रफल के सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें। यह अज्ञात मानों को खोजने की एक आम प्रक्रिया है।

 

Question 11. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 360 वर्ग सेमी. है एवं विकर्णों में से एक विकर्ण की लम्बाई 20 सेमी. है, तो दूसरे विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \) विकर्णों का गुणनफल
दिए गए मान:
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = 360 \) वर्ग सेमी.
एक विकर्ण \( = 20 \) सेमी.
माना दूसरा विकर्ण \( = d_2 \) सेमी.।
सूत्र में मान रखने पर:
\( 360 = \frac{1}{2} \times 20 \times d_2 \)
\( 360 = 10 \times d_2 \)
\( d_2 = \frac{360}{10} \)
\( d_2 = 36 \) सेमी.
अतः, दूसरे विकर्ण की लम्बाई \( 36 \) सेमी. है। यह प्रश्न पिछले प्रश्न के समान है, जहाँ क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके एक अज्ञात विकर्ण को ज्ञात किया गया है।
In simple words: हमने क्षेत्रफल के सूत्र में दिए गए क्षेत्रफल और एक विकर्ण की लम्बाई डाली। फिर हमने समीकरण को हल करके दूसरे विकर्ण की लम्बाई ज्ञात की।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में सूत्र \( \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \) का सही उपयोग महत्वपूर्ण है। अज्ञात विकर्ण को खोजने के लिए बीजगणितीय हेरफेर का अभ्यास करें।

 

Question 12. दिए गए चित्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। सभी माप मीटर में हैं।

Answer: आकृति का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इसे विभिन्न सरल ज्यामितीय आकृतियों में विभाजित किया गया है:
1. \( \triangle PEJ \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 10 \times 20 = 100 \) वर्ग मीटर.
2. समलम्ब चतुर्भुज JPRI का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (\text{समान्तर भुजाओं का योग}) \times \text{बीच की दूरी} = \frac{1}{2} \times (10 + 8) \times (60 - 20) = \frac{1}{2} \times 18 \times 40 = 360 \) वर्ग मीटर.
3. \( \triangle IRH \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 8 \times (75 - 60) = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60 \) वर्ग मीटर.
4. समलम्ब चतुर्भुज FGHQ का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (\text{समान्तर भुजाओं का योग}) \times \text{बीच की दूरी} = \frac{1}{2} \times (10 + 12) \times (75 - 50) = \frac{1}{2} \times 22 \times 25 = 275 \) वर्ग मीटर.
5. \( \triangle EQF \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 12 \times 50 = 300 \) वर्ग मीटर.
आकृति का कुल क्षेत्रफल \( = (100 + 360 + 60 + 275 + 300) = 1095 \) वर्ग मीटर.
इस जटिल बहुभुज का क्षेत्रफल विभिन्न सरल आकृतियों के क्षेत्रफलों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
In simple words: हमने इस जटिल आकृति को छोटे-छोटे त्रिभुजों और समलम्ब चतुर्भुजों में तोड़ा। फिर हर एक हिस्से का क्षेत्रफल निकाला और सभी को जोड़ दिया ताकि पूरे क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल मिल जाए।

🎯 Exam Tip: जटिल आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना करते समय, आकृतियों को छोटे, प्रबंधनीय खंडों में विभाजित करने की रणनीति का उपयोग करें। प्रत्येक खंड के आयामों को ध्यान से पढ़ें और उपयुक्त सूत्र लागू करें।