Step-by-Step Textbook Solutions for Class 8 Mathematics Chapter 14 क्षेत्रफल
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Question 1. दी गयी मापों (मीटर में) के आधार पर बहुभुज JKLMN का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: बहुभुज JKLMN का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम इसे पाँच अलग-अलग आकृतियों में बाँटते हैं, जैसे कि त्रिभुज और समलम्ब चतुर्भुज, और फिर प्रत्येक आकृति का क्षेत्रफल निकालकर उन्हें जोड़ते हैं। यह तरीका बड़े और जटिल आकारों का क्षेत्रफल निकालने में मदद करता है।
बहुभुज JKLMN का क्षेत्रफल \( = \) आकृति ① का क्षेत्रफल \( + \) आकृति ② का क्षेत्रफल \( + \) आकृति ③ का क्षेत्रफल \( + \) आकृति ④ का क्षेत्रफल \( + \) आकृति ⑤ का क्षेत्रफल
\( = \frac {1}{2} \times 20 \times 30 + \frac{1}{2} \times (30 + 50) \times (130 - 20) + \frac {1}{2 } \times (200 – 130) \times 50 + \frac { 1}{2} \times (200 - 70) \times 40 + \frac {1}{2 } \times 70 \times 40 \)
\( = 300 + 4400 + 1750 + 2600 + 1400 \)
\( = 10450 \) वर्ग मीटर
In simple words: हमने बहुभुज को छोटे-छोटे टुकड़ों में बांटा और हर टुकड़े का क्षेत्रफल निकाला। फिर उन सभी क्षेत्रफलों को जोड़ दिया, जिससे हमें पूरे बहुभुज का कुल क्षेत्रफल 10450 वर्ग मीटर मिला।
🎯 Exam Tip: जटिल आकृतियों का क्षेत्रफल निकालते समय, उन्हें सरल ज्यामितीय आकृतियों (जैसे त्रिभुज, आयत, समलम्ब) में विभाजित करना और प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल अलग से निकालना हमेशा आसान होता है।
Question 2. एक षट्भुज के आकार का क्षेत्र है जिसकी प्रत्येक भुजा 5 सेमी. है। रिया तथा राइमा इसे दो विभिन्न प्रकारों से ज्ञात करती हैं। दोनों प्रकार से प्राप्त क्षेत्रफलों की तुलना कीजिए।
Answer: षट्भुज के आकार के क्षेत्र ABCDEF का क्षेत्रफल निकालने के लिए रिया और राइमा ने दो अलग-अलग विधियाँ अपनाईं। किसी भी आकृति का क्षेत्रफल निकालने के लिए कई तरीके हो सकते हैं, लेकिन सही गणित का उपयोग करने पर उत्तर हमेशा एक ही आता है।
रिया की विधि:
षट्भुज ABCDEF का क्षेत्रफल \( = \) त्रिभुज AFE का क्षेत्रफल \( + \) आयत AEDB का क्षेत्रफल \( + \) त्रिभुज BCD का क्षेत्रफल
\( = \frac {1}{2} \times 8 \times 3 + 8 \times 5 + \frac{1}{2} \times 8 \times 3 \)
\( = 12 + 40 + 12 \)
\( = 64 \) वर्ग सेमी.
राइमा की विधि:
षट्भुज ABCDEF का क्षेत्रफल \( = \) समलम्ब चतुर्भुज ABCF का क्षेत्रफल \( + \) समलम्ब चतुर्भुज FCD का क्षेत्रफल
\( = \frac {1}{2} \times (5+11) \times 4 + \frac { 1 }{ 2 } \times (5 +11) \times 4 \)
\( = 32 + 32 \)
\( = 64 \) वर्ग सेमी.
हम पाते हैं कि दोनों प्रकार से प्राप्त क्षेत्रफल समान है।
In simple words: रिया और राइमा दोनों ने षट्भुज का क्षेत्रफल निकाला। रिया ने इसे एक आयत और दो त्रिभुजों में बांटा, जबकि राइमा ने इसे दो समलम्ब चतुर्भुजों में बांटा। दोनों के उत्तर 64 वर्ग सेमी. आए, जिसका मतलब है कि दोनों तरीके सही थे और उन्होंने एक ही जवाब दिया।
🎯 Exam Tip: जब एक ही आकृति का क्षेत्रफल निकालने के लिए अलग-अलग विधियाँ पूछी जाएँ, तो प्रत्येक विधि के चरणों को स्पष्ट रूप से दिखाएँ और अंत में परिणामों की तुलना करना न भूलें।
Question 3. रामलाल के खेत के प्रत्येक भाग की माप (मीटर में) दी गयी हो तो 4 रुपए प्रति वर्गमीटर की दर से उसके खेत की जुताई कराने की लागत ज्ञात कीजिए।
Answer: रामलाल के खेत की जुताई की लागत निकालने के लिए, हमें सबसे पहले पूरे खेत का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा और फिर उसे प्रति वर्गमीटर की लागत से गुणा करना होगा। खेत को 6 छोटे-छोटे हिस्सों में बांटा गया है ताकि गणना आसान हो।
खेत का क्षेत्रफल \( = \) आकृति ① का क्षेत्रफल \( + \) आकृति ② का क्षेत्रफल \( + \) आकृति ③ का क्षेत्रफल \( + \) आकृति ④ का क्षेत्रफल \( + \) आकृति ⑤ का क्षेत्रफल \( + \) आकृति ⑥ का क्षेत्रफल
\( = \frac {1}{2} \times 55 \times (250 - 120) + \frac { {1}{2} \times (55+35) \times (120 – 40) + \frac {1}{2 } \times 35 \times 40 + \frac {1}{2} \times (25 + 45) \times 70 + \frac {1}{2 } \times (45+75) \times (180 - 70) + \frac { 1 }{ 2 } \times 75 \times (250 – 180) \)
\( = \frac {1}{2} \times 55 \times 130 + \frac {1}{2 } \times 90 \times 80 + \frac {1}{2} \times 35 \times 40 + \frac {1}{2} \times 70 \times 70 + \frac{1}{2} \times 120 \times 110 + \frac{1}{2} \times 75 \times 70 \)
\( = 3575 + 3600 + 700 + 2450 + 6600 + 2625 \)
\( = 19550 \) वर्ग मीटर
1 वर्गमीटर खेत की जुताई की लागत \( = Rs. 4 \)
कुल जुताई की लागत \( = 19550 \times 4 \)
\( = Rs. 78200 \)
अतः खेत की जुताई करने की अभीष्ट लागत \( = Rs. 78200 \)
In simple words: पहले हमने खेत के सभी छोटे-छोटे हिस्सों का क्षेत्रफल जोड़ा, जिससे खेत का कुल क्षेत्रफल 19550 वर्ग मीटर आया। क्योंकि 1 वर्ग मीटर की जुताई का खर्च Rs. 4 है, तो पूरे खेत की जुताई का कुल खर्च निकालने के लिए 19550 को 4 से गुणा किया, जो Rs. 78200 आया।
🎯 Exam Tip: लागत वाले प्रश्नों में, पहले कुल क्षेत्रफल ज्ञात करें और फिर उसे प्रति इकाई लागत से गुणा करें। ध्यान रखें कि सभी इकाइयाँ (जैसे मीटर और वर्गमीटर) सही हों।
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