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Question 1. एक समलम्ब चतुर्भुज जिसकी दो समान्तर भुजाओं की माप 10 सेमी. तथा 16 सेमी. तथा उनके बीच की दूरी 8 सेमी. है तो समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम उसकी समान्तर भुजाओं की लम्बाई को जोड़ते हैं, फिर उसे ऊँचाई से गुणा करके 2 से भाग करते हैं। यह सूत्र हमेशा काम आता है जब आपको एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालना हो, चाहे उसकी माप कुछ भी हो।
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \) (समान्तर भुजाओं का योग) \( \times \) ऊँचाई
\( = \frac{1}{2} \times (10 + 16) \times 8 \)
\( = \frac{1}{2} \times 26 \times 8 \)
\( = 13 \times 8 \)
\( = 104 \) वर्ग सेमी.
In simple words: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए, उसकी दोनों समान्तर भुजाओं को जोड़कर, उसे ऊँचाई से गुणा करें और फिर 2 से भाग दें।
🎯 Exam Tip: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालते समय, समान्तर भुजाओं को हमेशा सही ढंग से जोड़ें और ऊँचाई का मान भी सही लें।
Question 2. किसी भवन की छत पर चित्रानुसार डिजाइन लगी है। यदि सभी डिजाइन समान माप की हों तो सम्पूर्ण डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: भवन की छत पर लगी हर डिजाइन एक समलम्ब चतुर्भुज के आकार की है। हमें चित्र से डिजाइन की ऊँचाई और समान्तर भुजाओं की लम्बाई मिलती है। ऐसी जटिल आकृतियों का क्षेत्रफल निकालने के लिए, उन्हें सरल ज्यामितीय आकृतियों में बाँटना एक अच्छी रणनीति होती है।
एक डिजाइन के लिए समान्तर भुजाएँ \( = 6 \) सेमी. और \( 8 \) सेमी.
ऊँचाई \( = 4 \) सेमी.
एक डिजाइन का क्षेत्रफल \( = 2 \times \frac{1}{2} \times \) (समान्तर भुजाओं का योग) \( \times \) ऊँचाई
\( = 2 \times \frac{1}{2} \times (6 + 8) \times 4 \)
\( = 1 \times 14 \times 4 \)
\( = 56 \) वर्ग सेमी.
कुल डिजाइनों की संख्या \( = 4 \)
सम्पूर्ण डिजाइन का क्षेत्रफल \( = 4 \times \) एक डिजाइन का क्षेत्रफल
\( = 4 \times 56 \)
\( = 224 \) वर्ग सेमी.
In simple words: छत पर चार एक जैसी डिजाइनें हैं। हर डिजाइन समलम्ब चतुर्भुज के जैसी है। एक डिजाइन का क्षेत्रफल निकाल कर उसे 4 से गुणा करने पर कुल क्षेत्रफल मिल जाएगा।
🎯 Exam Tip: जब कोई आकृति कई समान छोटे हिस्सों से बनी हो, तो पहले एक छोटे हिस्से का क्षेत्रफल निकालें और फिर उसे कुल हिस्सों की संख्या से गुणा करें।
Question 3. एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 34cm है, और उसकी ऊँचाई 4 cm है। समान्तर भुजाओं में से एक भुजा की लम्बाई 10 cm है। दूसरी समान्तर भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: हम जानते हैं कि समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र \( \frac{1}{2} \times \) (समान्तर भुजाओं का योग) \( \times \) ऊँचाई होता है। हम दूसरी समान्तर भुजा की लम्बाई को 'b' सेमी. मान लेते हैं। इस विधि से हम किसी भी समलम्ब चतुर्भुज की अज्ञात भुजा को खोजने में मदद करते हैं, बशर्ते उसका क्षेत्रफल, ऊँचाई और एक समान्तर भुजा ज्ञात हो।
क्षेत्रफल \( = 34 \) वर्ग सेमी.
ऊँचाई \( = 4 \) सेमी.
एक समान्तर भुजा \( = 10 \) सेमी.
दूसरी समान्तर भुजा \( = b \) सेमी.
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \) (समान्तर भुजाओं का योग) \( \times \) ऊँचाई
\( \implies 34 = \frac{1}{2} \times (10 + b) \times 4 \)
\( \implies 34 \times 2 = (10 + b) \times 4 \)
\( \implies 68 = (10 + b) \times 4 \)
\( \implies 10 + b = \frac{68}{4} \)
\( \implies 10 + b = 17 \)
\( \implies b = 17 - 10 \)
\( \implies b = 7 \)
इसलिए, दूसरी समान्तर भुजा की लम्बाई \( 7 \) सेमी. है।
In simple words: हमें समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल, ऊँचाई और एक भुजा दी गई है। सूत्र का उपयोग करके, हम समीकरण बनाते हैं और अज्ञात दूसरी भुजा का मान निकालते हैं।
🎯 Exam Tip: समीकरण हल करते समय, सभी गणितीय संक्रियाओं (गुणा, भाग, जोड़, घटाव) को सही क्रम में करें ताकि उत्तर ठीक आए।
Question 4. किसी चबूतरे का ऊपरी पृष्ठ चित्रानुसार अष्टभुज के आकार का है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: अष्टभुज आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम उसे तीन सरल आकृतियों में बांटते हैं: एक ऊपरी समलम्ब चतुर्भुज, एक मध्यवर्ती आयत और एक निचला समलम्ब चतुर्भुज। सभी आवश्यक मापों को चित्र से लेकर, हम हर हिस्से का क्षेत्रफल अलग-अलग निकालते हैं और फिर उन्हें जोड़ देते हैं। यह विधि जटिल बहुभुजों का क्षेत्रफल निकालने के लिए बहुत उपयोगी है।
ऊपरी समलम्ब चतुर्भुज की समान्तर भुजाएँ \( = 5 \) मीटर और \( 11 \) मीटर
ऊँचाई \( = 4 \) मीटर
ऊपरी समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (5 + 11) \times 4 \)
\( = \frac{1}{2} \times 16 \times 4 \)
\( = 8 \times 4 = 32 \) वर्ग मीटर
मध्यवर्ती आयत की लम्बाई \( = 11 \) मीटर
मध्यवर्ती आयत की चौड़ाई \( = 5 \) मीटर
मध्यवर्ती आयत का क्षेत्रफल \( = 11 \times 5 = 55 \) वर्ग मीटर
निचले समलम्ब चतुर्भुज की समान्तर भुजाएँ \( = 11 \) मीटर और \( 5 \) मीटर
ऊँचाई \( = 4 \) मीटर
निचले समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (11 + 5) \times 4 \)
\( = \frac{1}{2} \times 16 \times 4 \)
\( = 8 \times 4 = 32 \) वर्ग मीटर
अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल \( = \) ऊपरी समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( + \) मध्यवर्ती आयत का क्षेत्रफल \( + \) निचले समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल
\( = 32 + 55 + 32 \)
\( = 119 \) वर्ग मीटर.
In simple words: अष्टभुज को दो समलम्ब चतुर्भुजों और एक आयत में बांटकर, प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल निकाला जाता है और फिर तीनों को जोड़ दिया जाता है।
🎯 Exam Tip: जटिल आकृतियों को सरल भागों में विभाजित करते समय सभी मापों को ध्यान से पढ़ें और सुनिश्चित करें कि कोई माप छूट न जाए।
Question 5. किसी समचतुर्भुजाकार प्लॉट के सम्मुख शीर्षों के मध्य की दूरियाँ क्रमशः 12.5 मीटर तथा 10.4 मीटर है। इस प्लाट को समतल कराने का व्यय ज्ञात कीजिए यदि प्रति वर्गमीटर समतल कराने का व्यय 180 Rs हो।
Answer: सबसे पहले, हम समचतुर्भुजाकार प्लॉट का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है। यह जानना महत्वपूर्ण है कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, हालांकि क्षेत्रफल के लिए केवल उनकी लम्बाइयों की आवश्यकता होती है। एक बार क्षेत्रफल मिल जाने पर, हम उसे प्रति वर्ग मीटर समतल कराने की लागत से गुणा करके कुल व्यय निकालते हैं।
विकर्ण \( d_1 = 12.5 \) मीटर
विकर्ण \( d_2 = 10.4 \) मीटर
समचतुर्भुजाकार प्लॉट का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \)
\( = \frac{1}{2} \times 12.5 \times 10.4 \)
\( = 12.5 \times 5.2 \)
\( = 65 \) वर्ग मीटर
प्रति वर्गमीटर समतल कराने का व्यय \( = 180 \) Rs
इस प्लॉट को समतल कराने का कुल व्यय \( = \) क्षेत्रफल \( \times \) प्रति वर्गमीटर व्यय
\( = 65 \times 180 \)
\( = 11,700 \) Rs
In simple words: पहले समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालो, जो विकर्णों को गुणा करके 2 से भाग देने पर मिलता है। फिर उस क्षेत्रफल को एक वर्ग मीटर के खर्च से गुणा कर दो, तो कुल खर्च आ जाएगा।
🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र \( \frac{1}{2} d_1 d_2 \) याद रखें और गणना करते समय दशमलव संख्याओं को सावधानी से गुणा करें।
Question 6. दिये गये समचतुर्भुजाकार टाइलों के युग्म का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए समचतुर्भुजाकार टाइलों के जोड़े का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम पहले एक समचतुर्भुज टाइल का क्षेत्रफल निकालते हैं। एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है। टाइलें अक्सर समचतुर्भुज के आकार की होती हैं क्योंकि यह पैटर्न बनाने और सतहों को ढंकने में प्रभावी होता है।
एक टाइल के विकर्ण \( d_1 = 4.5 \) सेमी.
एक टाइल के विकर्ण \( d_2 = 9 \) सेमी.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \)
\( = \frac{1}{2} \times 4.5 \times 9 \)
\( = \frac{40.5}{2} = 20.25 \) वर्ग सेमी.
चूंकि हमें टाइलों के युग्म (जोड़े) का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, इसलिए:
युग्म का क्षेत्रफल \( = 2 \times \) एक टाइल का क्षेत्रफल
\( = 2 \times 20.25 \)
\( = 40.5 \) वर्ग सेमी.
In simple words: एक समचतुर्भुज टाइल के विकर्णों को गुणा करके आधा करें, तो एक टाइल का क्षेत्रफल मिलेगा। फिर उस क्षेत्रफल को दो से गुणा करके दो टाइलों का कुल क्षेत्रफल प्राप्त करें।
🎯 Exam Tip: "युग्म" शब्द का अर्थ 'जोड़ा' या 'दो' होता है। इसलिए, हमेशा सुनिश्चित करें कि आप एक वस्तु का क्षेत्रफल निकाल कर उसे सही संख्या से गुणा कर रहे हैं।
Question 7. कल्याण का खेत चतुर्भुजाकार है। इस खेत का एक विकर्ण 220 मीटर है तथा इस विकर्ण पर शेष दोनों शीर्षों से डाले गये लम्बों की लम्बाइयाँ क्रमशः 80 मीटर एवं 130 मीटर हो तो खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: कल्याण के चतुर्भुजाकार खेत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम एक विशेष सूत्र का उपयोग करते हैं जो एक विकर्ण और उस पर डाले गए लम्बों की लम्बाइयों पर आधारित होता है। यह विधि किसी भी अनियमित चतुर्भुज के लिए प्रभावी है जिसे दो त्रिभुजों में बांटा जा सकता है, एक सामान्य आधार (विकर्ण) के साथ।
विकर्ण \( d = 220 \) मीटर
लम्ब \( h_1 = 80 \) मीटर
लम्ब \( h_2 = 130 \) मीटर
चतुर्भुजाकार खेत का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times d \times (h_1 + h_2) \)
\( = \frac{1}{2} \times 220 \times (80 + 130) \)
\( = 110 \times 210 \)
\( = 23,100 \) वर्ग मीटर
In simple words: एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए, विकर्ण को दोनों लम्बों के जोड़ से गुणा करके उसका आधा कर देते हैं।
🎯 Exam Tip: चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालते समय, विकर्ण और उस पर डाले गए लम्बों को सही ढंग से पहचानें ताकि सूत्र में सही मान रखे जा सकें।
Question 8. रिक्त स्थानों की पूर्ति करो
(i) समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णो के गुणनफल का .......... होता है।
(ii) विषमबाहु चतुर्भुज के दोनों विकर्ण सदैव .......... माप के होते हैं।
(iii) सूत्र \( = \frac{1}{2} \times \) (समान्तर भुजाओं का योग) \( \times \) ऊँचाई द्वारा .......... चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है।
(iv) वह चतुर्भुज जिसके दो असमान विकर्ण परस्पर लम्ब समद्विभाजित होते हैं, .......... कहलाता है।
Answer: इन रिक्त स्थानों को भरने के लिए, हमें विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों और उनके गुणों के बारे में जानना चाहिए। ज्यामिति में, आकृतियों के गुणों को समझना उन्हें पहचानने और उनके क्षेत्रफल या परिधि की गणना करने के लिए आवश्यक होता है।
(i) समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।
(ii) विषमबाहु चतुर्भुज के दोनों विकर्ण सदैव असमान माप के होते हैं।
(iii) सूत्र \( = \frac{1}{2} \times \) (समान्तर भुजाओं का योग) \( \times \) ऊँचाई द्वारा समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है।
(iv) वह चतुर्भुज जिसके दो असमान विकर्ण परस्पर लम्ब समद्विभाजित होते हैं, समचतुर्भुज कहलाता है।
In simple words: खाली जगहों को भरने के लिए, हमें अलग-अलग आकृतियों के खास गुणों और उनके क्षेत्रफल के सूत्रों को जानना होता है।
🎯 Exam Tip: ज्यामितीय आकृतियों के गुणों और उनके सूत्रों को अच्छी तरह से याद रखें, खासकर समचतुर्भुज, समलम्ब चतुर्भुज और विषमबाहु चतुर्भुज जैसे सामान्य बहुभुजों के लिए।
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