Step-by-Step Textbook Solutions for Class 8 Mathematics Chapter 13 राशियों की तुलना
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Question 1. विमला 200 किमी की दूरी को बस से तय करती है जिसका किराया 180 रुपए देती है। 500 किमी की यात्रा करने पर उसे कितना किराया देना होगा?
Answer: मान लीजिए कि 500 किमी यात्रा करने पर 'x' रुपए किराया देना होगा।
यह एक सीधा संबंध है, जिसका अर्थ है कि दूरी बढ़ने पर किराया भी बढ़ेगा।
दूरी और किराए का अनुपात इस प्रकार होगा:
| दूरी (किमी) | किराया (रु.) |
|---|---|
| 200 | 180 |
| 500 | x |
इस प्रकार, अनुपात को ऐसे लिख सकते हैं: \( 200 : 500 :: 180 : x \)
बाह्य पदों का गुणनफल (सबसे बाहर वाले अंक) मध्य पदों के गुणनफल (बीच वाले अंक) के बराबर होता है।
\( 200 \times x = 500 \times 180 \)
\( \implies x = \frac { 500 \times 180 }{ 200 } \)
\( \implies x = 450 \)
अतः, विमला को 500 किमी की यात्रा के लिए 450 रुपए किराया देना होगा।
In simple words: दूरी बढ़ने पर किराया भी बढ़ता है। हमने अनुपात का उपयोग करके पता लगाया कि 500 किमी की यात्रा के लिए 450 रुपए का किराया लगेगा।
🎯 Exam Tip: सीधे अनुपात के सवालों में, सुनिश्चित करें कि आप समान राशियों (जैसे दूरी और किराया) को एक दूसरे के नीचे सही ढंग से रखें और क्रॉस-गुणा का उपयोग करें।
Question 2. 10 मीटर के पेड़ की छाया प्रातः काल 18 मीटर है। इसी समय 120 मीटर ऊँचे टॉवर की छाया कितनी होगी?
Answer: मान लीजिए 120 मीटर ऊँचे टॉवर की छाया की लम्बाई 'x' मीटर होगी।
पेड़ की ऊँचाई और उसकी छाया की लम्बाई के बीच सीधा संबंध है क्योंकि सुबह एक ही समय में सूर्य का कोण समान रहता है, जिसका मतलब है कि ऊँची वस्तु की छाया भी लम्बी होगी।
ऊँचाई और छाया की लम्बाई का अनुपात इस प्रकार होगा:
| ऊँचाई (मीटर) | छाया की लम्बाई (मीटर) |
|---|---|
| 10 | 18 |
| 120 | x |
इस प्रकार, अनुपात को ऐसे लिख सकते हैं: \( 10 : 120 :: 18 : x \)
बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।
\( 10 \times x = 120 \times 18 \)
\( \implies x = \frac { 120 \times 18 }{ 10 } \)
\( \implies x = 12 \times 18 \)
\( \implies x = 216 \)
अतः, 120 मीटर ऊँचे टॉवर की छाया की लम्बाई 216 मीटर होगी।
In simple words: ऊँची वस्तुओं की छाया लम्बी होती है। हमने पेड़ और उसकी छाया के अनुपात का उपयोग करके टॉवर की छाया की लम्बाई पता की, जो 216 मीटर है।
🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपका उत्तर सही है, अपनी गणना की जाँच करें और याद रखें कि ऊँचाई और छाया का संबंध सीधा होता है।
Question 3. यदि 5 पुस्तकों का वजन 2.5 किग्रा. हो तो 30 किग्रा. कितनी पुस्तकों का वजन होगा?
Answer: मान लीजिए 'x' पुस्तकों का वजन 30 किग्रा. होगा।
पुस्तकों की संख्या और उनके वजन के बीच सीधा संबंध होता है। इसका मतलब है कि जितनी ज़्यादा पुस्तकें होंगी, उतना ही उनका वजन भी ज़्यादा होगा।
पुस्तकों की संख्या और वजन का अनुपात इस प्रकार होगा:
| पुस्तकों की संख्या | वजन (किग्रा.) |
|---|---|
| 5 | 2.5 |
| x | 30 |
इस प्रकार, अनुपात को ऐसे लिख सकते हैं: \( 5 : x :: 2.5 : 30 \)
बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।
\( 5 \times 30 = x \times 2.5 \)
\( \implies x = \frac { 5 \times 30 }{ 2.5 } \)
\( \implies x = \frac { 150 }{ 2.5 } \)
\( \implies x = 60 \)
अतः, 60 पुस्तकों का वजन 30 किग्रा. होगा।
In simple words: ज़्यादा पुस्तकों का वजन ज़्यादा होता है। यदि 5 पुस्तकों का वजन 2.5 किग्रा है, तो 30 किग्रा वजन 60 पुस्तकों का होगा।
🎯 Exam Tip: वजन और संख्या जैसे सीधे अनुपात वाले प्रश्नों में, दशमलव संख्याओं के साथ सावधानी से गणना करें।
Question 4. एक बस 45 किमी प्रति घण्टे की समान चाल से चल रही है तो 225 किमी की दूरी तय करने में बस को कितना समय लगेगा?
Answer: मान लीजिए 'x' घण्टे का समय लगेगा।
यदि चाल समान हो, तो दूरी और समय के बीच सीधा संबंध होता है। इसका अर्थ है कि ज़्यादा दूरी तय करने में ज़्यादा समय लगेगा।
दूरी और समय का अनुपात इस प्रकार होगा:
| दूरी (किमी) | समय (घण्टे) |
|---|---|
| 45 | 1 |
| 225 | x |
इस प्रकार, अनुपात को ऐसे लिख सकते हैं: \( 45 : 225 :: 1 : x \)
बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।
\( 45 \times x = 225 \times 1 \)
\( \implies x = \frac { 225 }{ 45 } \)
\( \implies x = 5 \)
अतः, बस को 225 किमी की दूरी तय करने में 5 घण्टे का समय लगेगा।
In simple words: एक ही चाल पर, ज़्यादा दूरी तय करने में ज़्यादा समय लगता है। बस को 225 किमी जाने में 5 घण्टे लगेंगे।
🎯 Exam Tip: गति, दूरी और समय के सवालों में हमेशा यह देखें कि कौन सी राशि स्थिर है और उसके अनुसार अनुपात निर्धारित करें।
Question 6. 5 कारों को नल से धुलाई करने के स्थान पर, बाल्टी से धुलाई करने पर 100 लीटर पानी की बचत की जा सकती है तो इसी प्रकार 20 कारों की धुलाई करने में कितने लीटर पानी की बचत की जा सकती है?
Answer: मान लीजिए 'x' लीटर पानी की बचत की जा सकती है।
यह एक सीधा संबंध है। इसका मतलब है कि जितनी ज़्यादा कारों की धुलाई होगी, उतनी ही ज़्यादा पानी की बचत भी होगी, अगर हम बाल्टी विधि का उपयोग करें।
कारों की संख्या और पानी की बचत का अनुपात इस प्रकार होगा:
| कारों की संख्या | पानी की बचत (लीटर) |
|---|---|
| 5 | 100 |
| 20 | x |
इस प्रकार, अनुपात को ऐसे लिख सकते हैं: \( 5 : 20 :: 100 : x \)
बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।
\( 5 \times x = 20 \times 100 \)
\( \implies x = \frac { 20 \times 100 }{ 5 } \)
\( \implies x = 4 \times 100 \)
\( \implies x = 400 \)
अतः, 20 कारों की धुलाई करने में 400 लीटर पानी की बचत की जा सकती है। यह पानी की बर्बादी को रोकने का एक अच्छा तरीका है।
In simple words: ज़्यादा कारों को धोने पर ज़्यादा पानी बचेगा। यदि 5 कारों से 100 लीटर पानी बचता है, तो 20 कारों से 400 लीटर पानी बचेगा।
🎯 Exam Tip: पर्यावरण-संबंधी सवालों में, सीधे अनुपात को पहचानना महत्वपूर्ण है, जैसे यहाँ कारों की संख्या बढ़ने पर पानी की बचत भी बढ़ती है।
Question 7. दीवार बनाने के लिए 9 कारीगरों को पूरा करने में 16 दिन का समय लगा। यदि कारीगरों की संख्या 12 हो जाए, तो वह काम कितने दिनों में पूरा होगा?
Answer: मान लीजिए 'x' दिनों में काम पूरा होगा।
यह एक प्रतिलोम संबंध है। इसका मतलब है कि अगर कारीगरों की संख्या बढ़ती है, तो काम पूरा करने में लगने वाला समय घट जाएगा।
कारीगरों की संख्या और दिनों की संख्या का अनुपात इस प्रकार होगा:
| कारीगरों की संख्या | दिन |
|---|---|
| 9 | 16 |
| 12 | x |
प्रतिलोम संबंध के लिए, हम इसे इस प्रकार लिखते हैं: \( 12 : 9 :: 16 : x \)
बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।
\( 12 \times x = 9 \times 16 \)
\( \implies x = \frac { 9 \times 16 }{ 12 } \)
\( \implies x = 9 \times \frac { 16 }{ 12 } \)
\( \implies x = 9 \times \frac { 4 }{ 3 } \)
\( \implies x = 3 \times 4 \)
\( \implies x = 12 \)
अतः, दीवार 12 दिनों में बन जाएगी। ज़्यादा कारीगरों से काम तेज़ी से पूरा होता है।
In simple words: ज़्यादा कारीगर लगाने पर काम जल्दी पूरा होता है। 9 कारीगरों को 16 दिन लगे, तो 12 कारीगरों को वही काम करने में 12 दिन लगेंगे।
🎯 Exam Tip: प्रतिलोम अनुपात के प्रश्नों में, अनुपात को स्थापित करते समय सावधानी बरतें; एक राशि बढ़ने पर दूसरी घटती है, इसलिए इसे \(a_1 : a_2 :: b_2 : b_1\) के रूप में सेट करें।
Question 8. एक शिविर में 40 सैनिकों के लिये 20 दिन के लिए भोजन सामग्री है। 5 दिन बाद 10 सैनिक और आ गए तो शेष सामग्री कितने दिनों तक पर्याप्त रहेगी?
Answer: सबसे पहले, शेष दिनों के लिए मूल सैनिकों की भोजन सामग्री ज्ञात करें।
प्रारंभ में: 40 सैनिकों के लिए 20 दिन का भोजन।
5 दिन बाद: 20 - 5 = 15 दिन का भोजन शेष बचा है, और यह भोजन अभी भी 40 सैनिकों के लिए पर्याप्त है।
अब, शिविर में सैनिकों की कुल संख्या:
पहले 40 सैनिक थे, और 10 सैनिक और आ गए, तो कुल \( 40 + 10 = 50 \) सैनिक हो गए।
मान लीजिए 'x' दिनों तक भोजन सामग्री पर्याप्त रहेगी।
यह एक प्रतिलोम संबंध है: ज़्यादा सैनिक होने पर भोजन कम दिनों तक चलेगा।
सैनिकों की संख्या और भोजन के दिनों का अनुपात इस प्रकार होगा:
| सैनिकों की संख्या | दिन |
|---|---|
| 40 | 15 |
| 50 | x |
प्रतिलोम संबंध के लिए, हम इसे इस प्रकार लिखते हैं: \( 50 : 40 :: 15 : x \)
बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।
\( 50 \times x = 40 \times 15 \)
\( \implies x = \frac { 40 \times 15 }{ 50 } \)
\( \implies x = \frac { 600 }{ 50 } \)
\( \implies x = 12 \)
अतः, शेष सामग्री 12 दिनों तक पर्याप्त रहेगी। ऐसी स्थितियों में भोजन का प्रबंधन सावधानी से करना पड़ता है।
In simple words: 40 सैनिकों का 20 दिन का खाना था। 5 दिन बाद 15 दिन का खाना बचा। अब 10 सैनिक और आ गए, तो कुल 50 सैनिक हो गए। यह खाना अब 12 दिन चलेगा।
🎯 Exam Tip: जब लोग या वस्तुओं की संख्या बदलती है, तो सबसे पहले शेष काम या सामग्री का हिसाब लगाएँ, फिर नए अनुपात के साथ प्रतिलोम संबंध का उपयोग करें।
Question 9. स्वच्छ भारत अभियान के तहत 15 स्वयंसेवक अपने गाँव को 4 दिन में स्वच्छ कर सकते हैं। यदि गाँव को 3 दिन में स्वच्छ करना होता तो कितने स्वयंसेवकों की आवश्यकता होती?
Answer: मान लीजिए 'x' स्वयंसेवकों की आवश्यकता होती।
यह एक प्रतिलोम संबंध है। इसका मतलब है कि अगर गाँव को कम दिनों में साफ करना है, तो ज़्यादा स्वयंसेवकों की ज़रूरत होगी।
स्वयंसेवकों की संख्या और दिनों की संख्या का अनुपात इस प्रकार होगा:
| स्वयंसेवकों की संख्या | दिन |
|---|---|
| 15 | 4 |
| x | 3 |
प्रतिलोम संबंध के लिए, हम इसे इस प्रकार लिखते हैं: \( 3 : 4 :: 15 : x \)
बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।
\( 3 \times x = 4 \times 15 \)
\( \implies x = \frac { 4 \times 15 }{ 3 } \)
\( \implies x = 4 \times 5 \)
\( \implies x = 20 \)
अतः, गाँव को 3 दिन में स्वच्छ करने के लिए 20 स्वयंसेवकों की आवश्यकता होगी। ज़्यादा लोगों के साथ काम तेज़ी से पूरा होता है।
In simple words: गाँव को कम समय में साफ करने के लिए ज़्यादा लोग लगेंगे। अगर 15 स्वयंसेवक 4 दिन लेते हैं, तो 3 दिन में काम खत्म करने के लिए 20 स्वयंसेवक चाहिए होंगे।
🎯 Exam Tip: समय और कार्य के प्रश्नों में, हमेशा पहचानें कि यह प्रतिलोम अनुपात है। कम समय का मतलब आमतौर पर ज़्यादा कार्यकर्ताओं की ज़रूरत होता है।
Question 10. विद्यालय में छात्र श्रमदान के अन्तर्गत 12 विद्यार्थी 5 घण्टे सफाई करते हैं उसी भाग की सफाई 3 घण्टे में करवानी होती तो कितने विद्यार्थी कार्य करेंगे?
Answer: मान लीजिए 'x' विद्यार्थी कार्य करेंगे।
यह एक प्रतिलोम संबंध है। इसका अर्थ है कि यदि सफाई का काम कम समय में पूरा करना है, तो ज़्यादा विद्यार्थियों की आवश्यकता होगी।
समय और विद्यार्थियों की संख्या का अनुपात इस प्रकार होगा:
| घण्टे | विद्यार्थियों की संख्या |
|---|---|
| 5 | 12 |
| 3 | x |
प्रतिलोम संबंध के लिए, हम इसे इस प्रकार लिखते हैं: \( 3 : 5 :: 12 : x \)
बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।
\( 3 \times x = 5 \times 12 \)
\( \implies x = \frac { 5 \times 12 }{ 3 } \)
\( \implies x = 5 \times 4 \)
\( \implies x = 20 \)
अतः, सफाई का काम 3 घण्टे में पूरा करने के लिए 20 विद्यार्थी कार्य करेंगे। टीम वर्क से काम जल्दी खत्म होता है।
In simple words: कम समय में काम खत्म करने के लिए ज़्यादा विद्यार्थियों की ज़रूरत होगी। यदि 12 विद्यार्थी 5 घण्टे में काम करते हैं, तो 3 घण्टे में काम करने के लिए 20 विद्यार्थी चाहिए होंगे।
🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी गणना सही है, हमेशा पहचानें कि क्या यह सीधा या प्रतिलोम अनुपात का प्रश्न है, और फिर सही विधि लागू करें।
Question 11. माधु अपने गोबर गैस प्लांट में 80 किग्रा गोबर डालने से बनने वाली गोबर गैस से 12 दिन तक भोजन बनाते हैं तो माधु को 60 दिन तक भोजन बनाने के लिए कितने किग्रा गोबर की आवश्यकता होगी?
Answer: मान लीजिए 'x' किग्रा गोबर की आवश्यकता होगी।
यह एक सीधा संबंध है। इसका मतलब है कि यदि ज़्यादा दिनों तक भोजन बनाना है, तो ज़्यादा गोबर की आवश्यकता होगी। गोबर गैस एक स्वच्छ ऊर्जा स्रोत है।
दिनों की संख्या और गोबर की मात्रा का अनुपात इस प्रकार होगा:
| दिन | गोबर की मात्रा (किग्रा.) |
|---|---|
| 12 | 80 |
| 60 | x |
इस प्रकार, अनुपात को ऐसे लिख सकते हैं: \( 12 : 60 :: 80 : x \)
बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।
\( 12 \times x = 60 \times 80 \)
\( \implies x = \frac { 60 \times 80 }{ 12 } \)
\( \implies x = 5 \times 80 \)
\( \implies x = 400 \)
अतः, 60 दिन तक भोजन बनाने के लिए 400 किग्रा गोबर की आवश्यकता होगी।
In simple words: ज़्यादा दिनों तक खाना बनाने के लिए ज़्यादा गोबर चाहिए। अगर 12 दिन के लिए 80 किग्रा गोबर लगता है, तो 60 दिन के लिए 400 किग्रा गोबर की ज़रूरत होगी।
🎯 Exam Tip: सीधी अनुपात विधि का उपयोग करके खपत-आधारित गणनाओं को हल करने के लिए, हमेशा मात्राओं को सावधानी से संबंधित करें और सुनिश्चित करें कि आपने क्रॉस-गुणा सही ढंग से किया है।
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Step-by-Step Textbook Answers: Class 8 Mathematics Chapter 13 राशियों की तुलना
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