RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 13 राशियों की तुलना Exercise 13.3

राशियों की तुलना Ex 13.3

प्रश्न 1. एक शहर में लगे पुस्तक मेले में पहले दिन देखने वालों की संख्या 3000 थी वह अगले दिन बढ़कर 3600 तक पहुंच गई तो मेला देखने वालों की वृद्धि दर ज्ञात कीजिए।
Answer: पहले दिन पुस्तक मेले में देखने वालों की संख्या 3000 थी। अगले दिन यह संख्या बढ़कर 3600 हो गई।
\( \implies \) देखने वालों की संख्या में वृद्धि = \( 3600 - 3000 = 600 \)
\( \implies \) वृद्धि दर = \( \frac{\text{वृद्धि}}{\text{प्रारम्भिक मान}} \times 100\% \)
\( = \frac{600}{3000} \times 100\% \)
\( = \frac{1}{5} \times 100\% \)
\( = 20\% \) इस प्रकार, मेले में देखने वालों की संख्या में 20% की वृद्धि हुई।
In simple words: पहले दिन जितने लोग आए, उन्हें आधार मानकर देखें कि दूसरे दिन कितने ज़्यादा लोग आए। फिर इस बढ़ोतरी को पहले दिन की संख्या के हिसाब से प्रतिशत में बदल दें।

🎯 Exam Tip: वृद्धि दर हमेशा प्रारम्भिक मान (original value) पर ही निकाली जाती है, बढ़े हुए मान पर नहीं।

प्रश्न 2. एक टेलीविजन का मूल्य 30,000 रुपए है। इसके मूल्य में प्रति वर्ष 20% से घटता (अवमूल्यन ) है तो 2 वर्ष बाद वस्तु का मूल्य ज्ञात कीजिए।
Answer: टेलीविजन का प्रारम्भिक मूल्य (P) = Rs 30,000.
अवमूल्यन दर (R) = 20% प्रति वर्ष।
समय (n) = 2 वर्ष।
2 वर्ष बाद टेलीविजन का मूल्य ज्ञात करने के लिए अवमूल्यन का सूत्र उपयोग करेंगे:
\( \text{मूल्य} = P \left(1 - \frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 30,000 \left(1 - \frac{20}{100}\right)^2 \)
\( = 30,000 \left(1 - \frac{1}{5}\right)^2 \)
\( = 30,000 \left(\frac{4}{5}\right)^2 \)
\( = 30,000 \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \)
\( = 30,000 \times \frac{16}{25} \)
\( = 1200 \times 16 \)
\( = 19,200 \) रुपए। इसलिए, 2 वर्ष बाद टेलीविजन का मूल्य Rs 19,200 होगा। अवमूल्यन से वस्तु का मूल्य समय के साथ कम हो जाता है।
In simple words: किसी भी चीज़ का मूल्य जब हर साल घटता है, तो उसे अवमूल्यन कहते हैं। 30,000 रुपये के टीवी का मूल्य 2 साल में 20% की दर से घटते-घटते 19,200 रुपये हो जाएगा।

🎯 Exam Tip: अवमूल्यन के प्रश्नों में सूत्र में \( (1 - \frac{R}{100}) \) का उपयोग करें, जबकि वृद्धि के लिए \( (1 + \frac{R}{100}) \) का उपयोग किया जाता है।

प्रश्न 3. कपिल ने किसी बैंक से 52,800 रुपए 12% वार्षिक दर से ऋण लिया जबकि ब्याज वार्षिक संयोजित होता है। 1 वर्ष 6 माह बाद कपिल को कुल कितनी राशि चुकानी होगी?
Answer: मूलधन (P) = Rs 52,800
वार्षिक दर (R) = 12%
समय (n) = 1 वर्ष 6 माह
चूंकि ब्याज वार्षिक संयोजित होता है, हम पहले 1 वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करेंगे, और फिर अगले 6 माह (आधा वर्ष) के लिए उस राशि पर साधारण ब्याज ज्ञात करेंगे।
**विधि 1:**
1 वर्ष के बाद राशि (चक्रवृद्धि ब्याज के साथ):
\( A_1 = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^1 \)
\( = 52,800 \left(1 + \frac{12}{100}\right) \)
\( = 52,800 \left(\frac{100+12}{100}\right) \)
\( = 52,800 \times \frac{112}{100} \)
\( = 528 \times 112 \)
\( = 59,136 \) रुपए।
अगले 6 माह (या \( \frac{1}{2} \) वर्ष) के लिए साधारण ब्याज:
यहाँ मूलधन \( P = 59,136 \) रुपए, दर \( R = 12\% \), समय \( T = \frac{1}{2} \) वर्ष।
\( \text{साधारण ब्याज} = \frac{P \times R \times T}{100} \)
\( = \frac{59,136 \times 12 \times \frac{1}{2}}{100} \)
\( = \frac{59,136 \times 6}{100} \)
\( = \frac{354816}{100} \)
\( = 3,548.16 \) रुपए।
कुल भुगतान की जाने वाली राशि = 1 वर्ष बाद की राशि + 6 माह का साधारण ब्याज
\( = 59,136 + 3,548.16 \)
\( = 62,684.16 \) रुपए।
**विधि 2: (यदि ब्याज आंशिक वर्ष के लिए भी चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का उपयोग किया जाए)**
मिश्रधन \( (A) = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^{\text{पूरा समय}} \left(1 + \frac{\text{आंशिक दर} \times \text{आंशिक समय}}{100}\right) \)
यहाँ, पूरा समय \( = 1 \) वर्ष, आंशिक समय \( = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \) वर्ष।
\( A = 52,800 \left(1 + \frac{12}{100}\right)^1 \left(1 + \frac{12 \times \frac{1}{2}}{100}\right) \)
\( = 52,800 \left(1 + \frac{3}{25}\right) \left(1 + \frac{6}{100}\right) \)
\( = 52,800 \left(\frac{28}{25}\right) \left(\frac{106}{100}\right) \)
\( = 52,800 \times \frac{28}{25} \times \frac{106}{100} \)
\( = 211.2 \times 28 \times 106 \)
\( = 62,684.16 \) रुपए। अतः कपिल को 1 वर्ष 6 माह बाद Rs 62,684.16 चुकाने होंगे। यह सवाल चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज दोनों की समझ परखता है।
In simple words: कपिल ने 52,800 रुपये उधार लिए थे। 1 साल 6 महीने बाद उसे कितना लौटाना होगा, यह जानने के लिए पहले 1 साल का ब्याज जोड़ा, फिर बचे हुए 6 महीने का ब्याज अलग से जोड़ा। कुल मिलाकर उसे 62,684.16 रुपये लौटाने होंगे।

🎯 Exam Tip: जब समय पूरा न हो (जैसे 1 वर्ष 6 महीने), तो पूरे साल के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और आंशिक समय के लिए साधारण ब्याज लगाना याद रखें।

प्रश्न 4. यदि 2013 में सड़क दुर्घटनाओं की संख्या 10,000 थी और उसमें प्रति वर्ष 20% की कमी होती है, तो 2 वर्ष बाद (अर्थात 2015 में) सड़क दुर्घटनाओं की संख्या क्या होगी?
Answer: प्रारम्भिक संख्या = 10,000
समय = \( 2015 - 2013 = 2 \) वर्ष
कमी की दर = 20% प्रति वर्ष।
2015 में सड़क दुर्घटनाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए हम कमी के सूत्र का उपयोग करेंगे:
\( \text{अंतिम संख्या} = \text{प्रारम्भिक संख्या} \left(1 - \frac{\text{कमी दर}}{100}\right)^{\text{समय}} \)
\( = 10,000 \left(1 - \frac{20}{100}\right)^2 \)
\( = 10,000 \left(1 - \frac{1}{5}\right)^2 \)
\( = 10,000 \left(\frac{4}{5}\right)^2 \)
\( = 10,000 \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \)
\( = 10,000 \times \frac{16}{25} \)
\( = 400 \times 16 \)
\( = 6,400 \) इसलिए, 2015 में सड़क दुर्घटनाओं की संख्या 6,400 होगी। यह दर्शाता है कि 20% की वार्षिक कमी से संख्या काफी घट जाती है।
In simple words: अगर किसी संख्या में हर साल 20% की कमी होती है, तो 10,000 से शुरू होकर 2 साल बाद वह 6,400 हो जाएगी।

🎯 Exam Tip: कमी वाले प्रश्नों में हमेशा \( (1 - \frac{R}{100}) \) का उपयोग करें और ध्यान से घातांक (power) को लगाएं।

प्रश्न 5. 10,000 रुपए का 2 वर्ष के लिए 8% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए यदि ब्याज वार्षिक संयोजित होता है।
Answer: मूलधन (P) = Rs 10,000
समय (n) = 2 वर्ष
वार्षिक दर (R) = 8%
ब्याज वार्षिक संयोजित होता है।
पहले मिश्रधन (A) ज्ञात करेंगे:
\( A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 10,000 \left(1 + \frac{8}{100}\right)^2 \)
\( = 10,000 \left(1 + \frac{2}{25}\right)^2 \)
\( = 10,000 \left(\frac{25+2}{25}\right)^2 \)
\( = 10,000 \left(\frac{27}{25}\right)^2 \)
\( = 10,000 \times \frac{27}{25} \times \frac{27}{25} \)
\( = 10,000 \times \frac{729}{625} \)
\( = 16 \times 729 \)
\( = 11,664 \) रुपए।
अब चक्रवृद्धि ब्याज (CI) ज्ञात करेंगे:
\( \text{चक्रवृद्धि ब्याज} = A - P \)
\( = 11,664 - 10,000 \)
\( = 1,664 \) रुपए। चक्रवृद्धि ब्याज साधारण ब्याज से अधिक होता है क्योंकि ब्याज पर भी ब्याज लगता है।
In simple words: 10,000 रुपये पर 2 साल के लिए 8% की दर से चक्रवृद्धि ब्याज 1,664 रुपये होगा। चक्रवृद्धि ब्याज में, आपको मूलधन और उस पर लगे ब्याज दोनों पर अगले साल ब्याज मिलता है।

🎯 Exam Tip: चक्रवृद्धि ब्याज में पहले मिश्रधन (A) ज्ञात करें, फिर उसे मूलधन (P) से घटाकर ब्याज (CI) निकालें।

प्रश्न 6. प्रिया एक राष्ट्रीयकृत बैंक से 12,000 रुपए का ऋण लेती है। 2 वर्ष 6 माह बाद 14% वार्षिक दर से उसे कुल कितना धन चुकाना होगा?
Answer: मूलधन (P) = Rs 12,000
ब्याज दर (R) = 14% वार्षिक
समय (n) = 2 वर्ष 6 माह \( = 2 \frac{1}{2} \) वर्ष
ब्याज वार्षिक संयोजित होता है।
**विधि 1:**
पहले 2 पूर्ण वर्षों के लिए मिश्रधन ज्ञात करेंगे:
\( A_2 = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^2 \)
\( = 12,000 \left(1 + \frac{14}{100}\right)^2 \)
\( = 12,000 \left(1 + \frac{7}{50}\right)^2 \)
\( = 12,000 \left(\frac{50+7}{50}\right)^2 \)
\( = 12,000 \left(\frac{57}{50}\right)^2 \)
\( = 12,000 \times \frac{57}{50} \times \frac{57}{50} \)
\( = 12,000 \times \frac{3249}{2500} \)
\( = 4.8 \times 3249 \)
\( = 15,595.20 \) रुपए।
अब अंतिम 6 माह (\( \frac{1}{2} \) वर्ष) के लिए साधारण ब्याज, \( A_2 \) को मूलधन मानकर:
\( \text{साधारण ब्याज} = \frac{P \times R \times T}{100} \)
\( = \frac{15,595.20 \times 14 \times \frac{1}{2}}{100} \)
\( = \frac{15,595.20 \times 7}{100} \)
\( = \frac{109166.4}{100} \)
\( = 1,091.66 \) रुपए (लगभग)।
कुल लौटाई जाने वाली राशि = \( A_2 \) + साधारण ब्याज
\( = 15,595.20 + 1,091.66 \)
\( = 16,686.86 \) रुपए।
**विधि 2: (यदि आंशिक वर्ष के लिए भी चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का उपयोग किया जाए)**
मिश्रधन \( A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^{\text{पूरा समय}} \left(1 + \frac{\text{आंशिक दर} \times \text{आंशिक समय}}{100}\right) \)
यहां, पूरा समय \( = 2 \) वर्ष, आंशिक समय \( = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \) वर्ष।
\( A = 12,000 \left(1 + \frac{14}{100}\right)^2 \left(1 + \frac{14 \times \frac{1}{2}}{100}\right) \)
\( = 12,000 \left(1 + \frac{7}{50}\right)^2 \left(1 + \frac{7}{100}\right) \)
\( = 12,000 \left(\frac{57}{50}\right)^2 \left(\frac{107}{100}\right) \)
\( = 12,000 \times \frac{57 \times 57}{50 \times 50} \times \frac{107}{100} \)
\( = 12,000 \times \frac{3249}{2500} \times \frac{107}{100} \)
\( = 4.8 \times 3.249 \times 107 \)
\( = 16,686.86 \) रुपए। अतः प्रिया को 2 वर्ष 6 माह बाद Rs 16,686.86 चुकाने होंगे। यह गणना समय के साथ धन के बढ़ने को दर्शाती है।
In simple words: प्रिया ने 12,000 रुपये का कर्ज़ लिया। 2 साल 6 महीने बाद 14% ब्याज के साथ उसे कुल 16,686.86 रुपये चुकाने होंगे।

🎯 Exam Tip: आंशिक समय के लिए ब्याज की गणना करते समय, पहले पूर्ण वर्षों के लिए मिश्रधन निकालें, फिर उस मिश्रधन को अगले आंशिक समय के लिए मूलधन मानकर साधारण ब्याज ज्ञात करें।

प्रश्न 7. यदि मूलधन 18,000 रुपये है और वार्षिक ब्याज दर 10% है, तो 1.5 वर्ष (1 1/2 वर्ष) का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, जबकि ब्याज अर्द्धवार्षिक संयोजित होता है।
Answer: मूलधन (P) = Rs 18,000
वार्षिक दर = 10%
अर्द्धवार्षिक दर (R) = \( \frac{10}{2}\% = 5\% \)
समय = \( 1 \frac{1}{2} \) वर्ष \( = 1.5 \) वर्ष
चूंकि ब्याज अर्द्धवार्षिक संयोजित होता है, समय को अर्द्धवार्षिक अवधियों में बदलेंगे:
अवधियों की संख्या (n) = \( 1.5 \times 2 = 3 \) अर्द्धवार्षिक अवधि।
मिश्रधन (A) ज्ञात करने का सूत्र:
\( A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 18,000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^3 \)
\( = 18,000 \left(1 + \frac{1}{20}\right)^3 \)
\( = 18,000 \left(\frac{20+1}{20}\right)^3 \)
\( = 18,000 \left(\frac{21}{20}\right)^3 \)
\( = 18,000 \times \frac{21 \times 21 \times 21}{20 \times 20 \times 20} \)
\( = 18,000 \times \frac{9261}{8000} \)
\( = 2.25 \times 9261 \)
\( = 20,837.25 \) रुपए।
चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = मिश्रधन (A) - मूलधन (P)
\( = 20,837.25 - 18,000 \)
\( = 2,837.25 \) रुपए। जब ब्याज अर्द्धवार्षिक संयोजित होता है, तो अवधि दोगुनी और दर आधी हो जाती है।
In simple words: 18,000 रुपये पर 1.5 साल का चक्रवृद्धि ब्याज 2,837.25 रुपये होगा, जब ब्याज हर 6 महीने में जोड़ा जाता है। ऐसे में दर आधी और समय दुगना हो जाता है।

🎯 Exam Tip: अर्द्धवार्षिक संयोजन वाले प्रश्नों में हमेशा वार्षिक दर को आधा करें और समय को दोगुना करके अवधियों की संख्या ज्ञात करें।

प्रश्न 8. विष्णु ने 14% वार्षिक दर पर 80,000 रुपए का निवेश किया। यदि ब्याज अर्द्धवार्षिक संयोजित होता है तो ज्ञात कीजिए कि उसे कुल कितनी राशि प्राप्त होगी? यदि समय (i) 6 माह हो (ii) 1 वर्ष हो।
Answer: मूलधन (P) = Rs 80,000
वार्षिक दर = 14%
अर्द्धवार्षिक दर (R) = \( \frac{14}{2}\% = 7\% \)
ब्याज अर्द्धवार्षिक संयोजित होता है।
**(i) जब समय = 6 माह:**
अवधियों की संख्या (n) = \( \frac{6}{12} \) वर्ष \( = \frac{1}{2} \) वर्ष। अर्द्धवार्षिक अवधि में \( = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \) अवधि।
मिश्रधन (A) = \( P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 80,000 \left(1 + \frac{7}{100}\right)^1 \)
\( = 80,000 \left(\frac{100+7}{100}\right) \)
\( = 80,000 \times \frac{107}{100} \)
\( = 800 \times 107 \)
\( = 85,600 \) रुपए।
**(ii) जब समय = 1 वर्ष:**
अवधियों की संख्या (n) = \( 1 \) वर्ष। अर्द्धवार्षिक अवधि में \( = 1 \times 2 = 2 \) अवधि।
मिश्रधन (A) = \( P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 80,000 \left(1 + \frac{7}{100}\right)^2 \)
\( = 80,000 \left(\frac{107}{100}\right)^2 \)
\( = 80,000 \times \frac{107}{100} \times \frac{107}{100} \)
\( = 8 \times 107 \times 107 \)
\( = 8 \times 11449 \)
\( = 91,592 \) रुपए। ब्याज अर्द्धवार्षिक होने पर, निवेश पर अधिक लाभ मिलता है क्योंकि ब्याज जल्दी-जल्दी जुड़ता है।
In simple words: विष्णु ने 80,000 रुपये लगाए। अगर ब्याज हर 6 महीने में जुड़ता है (14% वार्षिक दर पर), तो 6 महीने बाद उसे 85,600 रुपये मिलेंगे और 1 साल बाद उसे 91,592 रुपये मिलेंगे।

🎯 Exam Tip: अर्द्धवार्षिक ब्याज के लिए दर को आधा करें और समय को अर्द्धवार्षिक अवधियों की संख्या में बदलें, भले ही समय 6 माह जितना कम हो।

प्रश्न 9. खुशवंत ने 12,500 रुपए 3 वर्ष के लिए 5% वार्षिक दर से साधारण ब्याज पर उधार लिया। यदि यही राशि 5% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर उधार ली हो, तो खुशवंत को कुल कितनी अधिक राशि का भुगतान करना पड़ेगा?
Answer: मूलधन (P) = Rs 12,500
समय (T) = 3 वर्ष
वार्षिक दर (R) = 5%
**1. साधारण ब्याज (SI) की गणना:**
\( SI = \frac{P \times R \times T}{100} \)
\( = \frac{12,500 \times 5 \times 3}{100} \)
\( = 125 \times 15 \)
\( = 1,875 \) रुपए।
**2. चक्रवृद्धि ब्याज (CI) की गणना:**
पहले मिश्रधन (A) ज्ञात करेंगे:
\( A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \)
\( = 12,500 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^3 \)
\( = 12,500 \left(1 + \frac{1}{20}\right)^3 \)
\( = 12,500 \left(\frac{20+1}{20}\right)^3 \)
\( = 12,500 \left(\frac{21}{20}\right)^3 \)
\( = 12,500 \times \frac{21 \times 21 \times 21}{20 \times 20 \times 20} \)
\( = 12,500 \times \frac{9261}{8000} \)
\( = 1.5625 \times 9261 \)
\( = 14,470.3125 \) रुपए।
चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन (A) - मूलधन (P)
\( = 14,470.3125 - 12,500 \)
\( = 1,970.3125 \) रुपए।
**3. अतिरिक्त भुगतान राशि:**
अतिरिक्त भुगतान राशि = चक्रवृद्धि ब्याज - साधारण ब्याज
\( = 1,970.3125 - 1,875 \)
\( = 95.3125 \) रुपए। अतः खुशवंत को चक्रवृद्धि ब्याज पर उधार लेने पर साधारण ब्याज की तुलना में Rs 95.31 अधिक चुकाने होंगे। यह अंतर ब्याज पर ब्याज लगने के कारण होता है।
In simple words: खुशवंत ने 12,500 रुपये 3 साल के लिए लिए थे। साधारण ब्याज पर उसे 1,875 रुपये देने पड़ते, लेकिन चक्रवृद्धि ब्याज पर 1,970.31 रुपये देने पड़े। तो, चक्रवृद्धि ब्याज में उसे 95.31 रुपये ज़्यादा देने पड़ेंगे।

🎯 Exam Tip: साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज के अंतर वाले प्रश्नों में, दोनों विधियों से ब्याज की गणना अलग-अलग करें और फिर उनका अंतर ज्ञात करें।