Official RBSE Solutions for Class 8 Mathematics: Chapter 13 राशियों की तुलना
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 13 राशियों की तुलना
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प्रश्न 1. निम्नलिखित अनुपातों को प्रतिशत में परिवर्तित कीजिए
(i) 1:4
(ii) 3:4
Answer:
(i) 1:4 को प्रतिशत में बदलने के लिए, हम इसे एक भिन्न के रूप में लिखते हैं और फिर 100 से गुणा करते हैं। \( \frac { 1 }{ 4 } = \frac { 1\times25 }{ 4\times25 } = \frac { 25 }{ 100 } = 25\% \). इस प्रकार, 1:4 का मतलब 25% है.
(ii) 3:4 को प्रतिशत में बदलने के लिए भी यही तरीका अपनाते हैं. \( \frac { 3 }{ 4 } = \frac { 3\times25 }{ 4\times25 } = \frac { 75 }{ 100 } = 75\% \). यह दर्शाता है कि 3:4 का अनुपात 75% के बराबर होता है.
In simple words: किसी भी अनुपात को प्रतिशत में बदलने के लिए, उसे पहले भिन्न (fraction) के रूप में लिखें. फिर भिन्न के हर (denominator) को 100 बनाने के लिए गुणा करें, और अंश (numerator) को भी उसी संख्या से गुणा करें. जो अंश आता है, वही प्रतिशत होता है.
🎯 Exam Tip: हमेशा सुनिश्चित करें कि आप प्रतिशत में बदलने के लिए 100 से सही ढंग से गुणा कर रहे हैं और भिन्न को सरलता से हल कर रहे हैं.
प्रश्न 2. मीना ने 240 किमी की यात्रा बस से की तथा 360 किमी की यात्रा रेल से की, तो ज्ञात कीजिए
(i) रेल द्वारा की गई यात्रा व बस द्वारा की गई यात्रा का अनुपात।
(ii) बस द्वारा एवं रेल द्वारा की गई यात्रा का अनुपात।
(iii) रेल द्वारा की गई यात्रा एवं कुल यात्रा का अनुपात।
(iv) बस द्वारा की गई यात्रा तथा कुल यात्रा का अनुपात।
Answer:
बस द्वारा की गई यात्रा = 240 किमी.
रेल द्वारा की गई यात्रा = 360 किमी.
कुल यात्रा = 240 + 360 = 600 किमी.
सबसे पहले, हम रेल द्वारा तय की गई यात्रा और बस द्वारा तय की गई यात्रा का अनुपात निकालते हैं, फिर बाकी भागों को हल करते हैं.
(i) रेल द्वारा की गई यात्रा व बस द्वारा की गई यात्रा का अनुपात:
रेल द्वारा की गई यात्रा : बस द्वारा की गई यात्रा \( = 360 : 240 \)
दोनों संख्याओं को उनके सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड (HCF) 120 से भाग देने पर:
\( = \frac { 360 }{ 120 } : \frac { 240 }{ 120 } \)
\( = 3:2 \)
(ii) बस द्वारा एवं रेल द्वारा की गई यात्रा का अनुपात:
बस द्वारा की गई यात्रा : रेल द्वारा की गई यात्रा \( = 240 : 360 \)
दोनों संख्याओं को उनके सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड (HCF) 120 से भाग देने पर:
\( = \frac { 240 }{ 120 } : \frac { 360 }{ 120 } \)
\( = 2:3 \)
(iii) रेल द्वारा की गई यात्रा एवं कुल यात्रा का अनुपात:
रेल द्वारा की गई यात्रा : कुल यात्रा \( = 360 : 600 \)
दोनों संख्याओं को उनके सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड (HCF) 120 से भाग देने पर:
\( = \frac { 360 }{ 120 } : \frac { 600 }{ 120 } \)
\( = 3:5 \)
(iv) बस द्वारा की गई यात्रा तथा कुल यात्रा का अनुपात:
बस द्वारा की गई यात्रा : कुल यात्रा \( = 240 : 600 \)
दोनों संख्याओं को उनके सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड (HCF) 120 से भाग देने पर:
\( = \frac { 240 }{ 120 } : \frac { 600 }{ 120 } \)
\( = 2:5 \)
In simple words: अनुपात निकालने के लिए, दी गई मात्राओं को एक साथ लिखें और फिर उन्हें सबसे छोटे रूप में बदलने के लिए दोनों संख्याओं को उनके सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड से भाग दें.
🎯 Exam Tip: अनुपात लिखते समय क्रम का ध्यान रखना बहुत ज़रूरी है; 'A का B से अनुपात' का मतलब A:B होता है, जो 'B का A से अनुपात' से अलग होता है.
प्रश्न 3. कक्षा VIII के 75 विद्यार्थियों में से 68% विद्यार्थियों ने गणित में ग्रेड A प्राप्त की। कितने विद्यार्थी A ग्रेड हैं?
Answer:
कक्षा VIII में कुल विद्यार्थियों की संख्या = 75
ग्रेड A प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों का प्रतिशत = 68%
A ग्रेड प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 75 का 68%
अब इसे गणितीय रूप में लिखते हैं:
\( = 75 \times \frac { 68 }{ 100 } \)
\( = 3 \times \frac { 68 }{ 4 } \)
\( = 3 \times 17 \)
\( = 51 \)
अतः, कक्षा VIII में 51 विद्यार्थियों ने गणित में ग्रेड A प्राप्त की। यह दर्शाता है कि अधिकतर बच्चों ने अच्छा प्रदर्शन किया.
In simple words: कुल विद्यार्थियों की संख्या को A ग्रेड प्राप्त करने वाले प्रतिशत से गुणा करें, फिर उसे 100 से भाग दें. इससे आपको A ग्रेड प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की सही संख्या मिल जाएगी.
🎯 Exam Tip: प्रतिशत से संख्या निकालने के लिए हमेशा कुल मान को प्रतिशत भिन्न से गुणा करें, जैसे \( \frac{\text{प्रतिशत}}{\text{100}} \).
प्रश्न 4. एक विद्यालय की कबड्डी की टीम ने इस वर्ष कुल जितने मैच खेले उनमें से 15 मैच में जीत हासिल की। यदि उनकी जीत का प्रतिशत 75 था तो उस टीम ने कुल कितने मैच खेले ?
Answer:
माना टीम ने कुल \( x \) मैच खेले।
जीते गए मैचों की संख्या = 15
जीते गए मैचों का प्रतिशत = 75%
प्रश्न के अनुसार, जीतने वाले मैचों का प्रतिशत कुल मैचों की संख्या के 75% के बराबर है:
\( \frac { 15 }{ x } \times 100 = 75 \)
अब, \( x \) का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को हल करते हैं:
\( \implies x = \frac { 15 \times 100 }{ 75 } \)
\( \implies x = \frac { 1500 }{ 75 } \)
\( \implies x = 20 \)
अतः, उस टीम ने कुल 20 मैच खेले। यह संख्या टीम के प्रदर्शन को दर्शाती है.
In simple words: अगर आपको जीते हुए मैचों की संख्या और जीतने का प्रतिशत पता है, तो कुल मैच निकालने के लिए जीते हुए मैचों की संख्या को 100 से गुणा करके जीतने के प्रतिशत से भाग दें.
🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में, 'कुल' संख्या को एक चर (variable) मानकर समीकरण बनाएं, और फिर उसे हल करें. हमेशा उत्तर की दोबारा जाँच करें.
प्रश्न 6. प्रधानमंत्री जन धन योजना के अंतर्गत कमली के खाते में जमा राशि में से 75% राशि उसने खर्च कर दी। अब उसके खाते में 600 रुपए शेष हैं। ज्ञात कीजिए कि खाते में कुल कितनी राशि जमा हुई थी?
Answer:
माना कमली के खाते में कुल \( x \) रुपए जमा हुए थे।
खर्च की गई राशि = \( x \) का 75%
खर्च की गई राशि = \( x \times \frac { 75 }{ 100 } \) रुपए
सरल करने पर, खर्च की गई राशि \( = \frac { 3x }{ 4 } \)
शेष राशि = कुल राशि - खर्च की गई राशि
शेष राशि = \( x - \frac { 3x }{ 4 } \)
शेष राशि = \( \frac { 4x - 3x }{ 4 } = \frac { x }{ 4 } \) रुपए
प्रश्न के अनुसार, उसके खाते में 600 रुपए शेष हैं।
तो, \( \frac { x }{ 4 } = 600 \)
\( \implies x = 600 \times 4 \)
\( \implies x = 2400 \)
अतः, कमली के खाते में कुल 2400 रुपए जमा हुए थे। यह राशि उसकी प्रारंभिक जमा को दर्शाती है.
In simple words: अगर कुछ प्रतिशत खर्च हो गया है, तो बचा हुआ प्रतिशत निकालें. फिर बची हुई राशि को बचे हुए प्रतिशत से भाग देकर 100 से गुणा करें, जिससे आपको कुल राशि मिल जाएगी.
🎯 Exam Tip: कुल राशि को हमेशा 100% मानें. यदि 75% खर्च हो गया, तो 25% बचा है. फिर बची हुई राशि से कुल राशि आसानी से निकाली जा सकती है.
प्रश्न 7. राजस्थान के पाँच जिलों में से मिड डे मील के अंतर्गत 50 हजार छात्रों के सर्वे के आधार पर 60% छात्र दाल रोटी पसंद करते हैं, 25% छात्र सब्जी-रोटी पसंद करते हैं एवं शेष छात्र खिचड़ी पसंद करते हैं तो, ज्ञात कीजिए कि कितने प्रतिशत छात्र खिचड़ी पसंद करते हैं।
Answer:
कुल छात्रों की संख्या = 50,000
दाल रोटी पसंद करने वाले छात्रों का प्रतिशत = 60%
सब्जी-रोटी पसंद करने वाले छात्रों का प्रतिशत = 25%
कुल प्रतिशत हमेशा 100% होता है।
दाल रोटी और सब्जी-रोटी पसंद करने वाले छात्रों का कुल प्रतिशत = 60% + 25% = 85%
खिचड़ी पसंद करने वाले छात्रों का प्रतिशत = 100% - (दाल रोटी और सब्जी-रोटी पसंद करने वाले छात्रों का कुल प्रतिशत)
खिचड़ी पसंद करने वाले छात्रों का प्रतिशत = 100% - 85% = 15%
अब, खिचड़ी पसंद करने वाले छात्रों की संख्या भी ज्ञात कर सकते हैं, हालांकि यह प्रश्न में नहीं पूछा गया है.
खिचड़ी पसंद करने वाले छात्रों की संख्या = 50,000 का 15%
\( = 50,000 \times \frac { 15 }{ 100 } \)
\( = 500 \times 15 \)
\( = 7,500 \)
अतः, 15% छात्र खिचड़ी पसंद करते हैं, और यह संख्या 7,500 छात्रों के बराबर है.
In simple words: अगर आपको कुछ हिस्सों का प्रतिशत पता है और कुल 100% है, तो बचे हुए हिस्से का प्रतिशत निकालने के लिए 100 में से ज्ञात प्रतिशत को घटा दें.
🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, 'कुल' प्रतिशत को हमेशा 100% मानें और दिए गए प्रतिशत को जोड़कर उसमें से घटा दें, जिससे शेष प्रतिशत मिल जाएगा. संख्या निकालने की आवश्यकता न होने पर भी, यह एक अच्छा अभ्यास है.
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