RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 11 एक चर राशि वाले रैखिक समीकरण Exercise 11.2

प्रश्न 1. एक परिमेय संख्या का अंश उसके हर से 3 कम है। यदि अंश और हर में पाँच-पाँच जोड़ दिया जाए तो उसका मान \( \frac {3}{4} \) हो जाता है। संख्या बताइए।
Answer: सबसे पहले, हम परिमेय संख्या के हर को 'x' मान लेते हैं। प्रश्न के अनुसार, अंश हर से 3 कम है, तो अंश \( x - 3 \) होगा। इसलिए, हमारी परिमेय संख्या \( \frac {x - 3}{x} \) है। अब, यदि हम अंश और हर दोनों में 5 जोड़ते हैं, तो नया भिन्न \( \frac {x-3+5 }{x+5 } \) बन जाएगा, जिसका मान \( \frac {3}{4} \) हो जाता है। यह हमें एक समीकरण देता है:

\( \frac {x+ 2 }{x+5 } = \frac {3}{4} \)
\( \implies 4(x + 2) = 3(x + 5) \) (अब हम वज्रगुणा करते हैं)
\( \implies 4x + 8 = 3x + 15 \)
\( \implies 4x - 3x = 15 - 8 \)
\( \implies x = 7 \)

तो, हर 7 है। अंश \( 7 - 3 = 4 \) है। इस प्रकार, अभीष्ट परिमेय संख्या \( \frac {4}{7} \) है। समीकरण को हल करते समय, संख्याओं को एक तरफ और चर को दूसरी तरफ ले जाकर संतुलित करना महत्वपूर्ण है।
In simple words: हमने हर को 'x' माना. अंश 'x - 3' हुआ. 5 जोड़ने पर \( \frac{x+2}{x+5} \) बना, जो \( \frac{3}{4} \) के बराबर है. इसे हल करने पर x का मान 7 मिला. इसलिए, संख्या \( \frac{4}{7} \) है.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, भिन्न के अंश और हर को चर के रूप में व्यक्त करना और फिर दी गई शर्तों के अनुसार समीकरण बनाना महत्वपूर्ण है।

प्रश्न 2. भिन्न \( \frac {5}{13} \) के अंश और हर में क्या जोड़ें कि भिन्न का मान \( \frac {3}{5} \) हो जाए?
Answer: मान लीजिए कि हम भिन्न के अंश और हर दोनों में 'x' जोड़ते हैं। तब, नई भिन्न \( \frac {5+x }{13+x } \) बन जाएगी। प्रश्न के अनुसार, इस नई भिन्न का मान \( \frac {3}{5} \) होना चाहिए। यह हमें निम्नलिखित समीकरण देता है:

\( \frac {5+x }{13+x } = \frac { 3 }{5} \)
\( \implies 5(5 + x) = 3(13 + x) \) (यहां हमने समीकरण को हल करने के लिए वज्रगुणा किया है)
\( \implies 25 + 5x = 39 + 3x \)
\( \implies 5x - 3x = 39 - 25 \)
\( \implies 2x = 14 \)
\( \implies x = \frac{14}{2} \)
\( \implies x = 7 \)

इसलिए, भिन्न \( \frac {5}{13} \) के अंश और हर में 7 जोड़ने पर भिन्न का मान \( \frac {3}{5} \) हो जाएगा। यह क्रॉस-गुणा विधि भिन्नों वाले समीकरणों को सरल बनाने में बहुत उपयोगी होती है।
In simple words: हमने 'x' को अंश और हर में जोड़ा. नया भिन्न \( \frac{5+x}{13+x} \) हुआ, जो \( \frac{3}{5} \) के बराबर है. समीकरण को हल करने पर x का मान 7 मिला.

🎯 Exam Tip: भिन्न वाले प्रश्नों में हमेशा वज्रगुणा विधि का उपयोग करके समीकरण को सरल बनाएं। यह त्रुटियों से बचने में मदद करता है।

प्रश्न 3. भिन्न \( \frac {15}{19} \) के अंश और हर में से क्या घटाएँ कि भिन्न का मान \( \frac {5}{7} \) हो जाए?
Answer: मान लीजिए कि हम भिन्न के अंश और हर दोनों में से 'x' घटाते हैं। तब, नई भिन्न \( \frac {15-x}{19-x } \) बन जाएगी। प्रश्न की शर्त के अनुसार, इस नई भिन्न का मान \( \frac {5}{7} \) होना चाहिए। यह हमें निम्नलिखित समीकरण देता है:

\( \frac {15-x}{19-x } = \frac {5}{7} \)
\( \implies 7(15 - x) = 5(19 - x) \) (यहां हमने वज्रगुणा किया)
\( \implies 105 - 7x = 95 - 5x \)
\( \implies - 7x + 5x = 95 - 105 \)
\( \implies - 2x = -10 \)
\( \implies x = \frac {-10 }{-2} \)
\( \implies x = 5 \)

तो, भिन्न \( \frac {15}{19} \) के अंश और हर में से 5 घटाने पर भिन्न का मान \( \frac {5}{7} \) हो जाएगा। समीकरण में दोनों तरफ एक ही संक्रिया करने से समीकरण संतुलित रहता है।
In simple words: हमने 'x' को अंश और हर में से घटाया. नया भिन्न \( \frac{15-x}{19-x} \) हुआ, जो \( \frac{5}{7} \) के बराबर है. समीकरण हल करने पर x का मान 5 मिला.

🎯 Exam Tip: जब आप चर वाले पदों को एक तरफ और अचर पदों को दूसरी तरफ ले जाते हैं, तो उनके चिह्न बदलना न भूलें।

प्रश्न 4. रमेश ने अपने धन को आधा पत्नी को, एकतिहाई अपने पुत्र को और शेष 50,000 रुपए अपनी पुत्री को दे दिए तो उसका कुल धन ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए रमेश के पास कुल धन 'x' रुपए है। प्रश्न के अनुसार, उसने अपनी पत्नी को अपने धन का आधा हिस्सा दिया, जो \( \frac {x}{2} \) रुपए है। उसने अपने पुत्र को अपने धन का एक-तिहाई हिस्सा दिया, जो \( \frac {x}{3} \) रुपए है। अपनी पुत्री को उसने शेष धन, जो 50,000 रुपए है, दे दिया। कुल धन को इन सभी हिस्सों के योग के बराबर होना चाहिए:

\( \frac {x}{2}+\frac{x}{3} + 50,000 = x \)
इस समीकरण को हल करने के लिए, हम सभी पदों को 2 और 3 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) यानी 6 से गुणा करते हैं:
\( \implies 3x + 2x + 3,00,000 = 6x \)
\( \implies 5x + 3,00,000 = 6x \)
\( \implies 3,00,000 = 6x - 5x \)
\( \implies 3,00,000 = x \)

इसलिए, रमेश के पास मूलधन 3,00,000 रुपए था। सभी हिस्सों को जोड़ने पर हमें पूरा धन मिलना चाहिए।
In simple words: रमेश के कुल धन को x माना. उसने \( \frac{x}{2} \) पत्नी को, \( \frac{x}{3} \) पुत्र को और 50,000 रुपए पुत्री को दिए. इन सभी को जोड़कर x के बराबर रखने पर x का मान 3,00,000 रुपए मिला.

🎯 Exam Tip: इस तरह के सवालों में, जब भिन्न दिए हों, तो सभी पदों को भिन्नों के हर के LCM से गुणा करके समीकरण को सरल बनाना सबसे अच्छा तरीका है।

प्रश्न 5. एक संख्या ज्ञात कीजिए जिसका पाँच गुना उसके दुगुने से 48 अधिक है।
Answer: मान लीजिए कि वह अज्ञात संख्या 'x' है। प्रश्न की शर्त के अनुसार, इस संख्या का पाँच गुना \( 5x \) है। इसी संख्या का दुगुना \( 2x \) है। प्रश्न में कहा गया है कि संख्या का पाँच गुना उसके दुगुने से 48 अधिक है। इसे एक समीकरण के रूप में इस प्रकार लिख सकते हैं:

\( 5x = 2x + 48 \)
\( \implies 5x - 2x = 48 \) (हम x वाले पदों को एक तरफ ले जाते हैं)
\( \implies 3x = 48 \)
\( \implies x = \frac {48}{3} \)
\( \implies x = 16 \)

इसलिए, अभीष्ट संख्या 16 है। 'अधिक' का अर्थ है कि हमें दूसरे पक्ष में संख्या को जोड़ना होगा ताकि समीकरण संतुलित रहे।
In simple words: हमने संख्या को 'x' माना. प्रश्न के अनुसार, \( 5x \) बराबर है \( 2x + 48 \) के. समीकरण को हल करने पर x का मान 16 मिला.

🎯 Exam Tip: "से अधिक" या "से कम" वाले वाक्यांशों को समीकरण में ध्यान से रूपांतरित करें। "अधिक" के लिए जोड़ना और "कम" के लिए घटाना होता है।

प्रश्न 6. 45 को ऐसे दो भागों में बाँटिए कि एक भाग दूसरे भाग के तीन गुने से 7 कम है।
Answer: मान लीजिए 45 के दो भागों में से एक भाग 'x' है। तो, दूसरा भाग \( 45 - x \) होगा। प्रश्न की शर्त के अनुसार, पहला भाग (x) दूसरे भाग के तीन गुने से 7 कम है। इसे समीकरण के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\( x = 3(45 - x) - 7 \)
\( \implies x = 135 - 3x - 7 \)
\( \implies x = 128 - 3x \)
\( \implies x + 3x = 128 \) (हमने x वाले पदों को एक तरफ एकत्रित किया)
\( \implies 4x = 128 \)
\( \implies x = \frac {128}{4} \)
\( \implies x = 32 \)

तो, एक भाग 32 है। दूसरा भाग \( 45 - 32 = 13 \) होगा। इसलिए, अभीष्ट भाग 32 और 13 हैं। आप अपने उत्तर की जाँच करके देख सकते हैं कि \( 32 = 3 \times 13 - 7 \implies 32 = 39 - 7 \implies 32 = 32 \), जो सही है।
In simple words: हमने एक भाग को 'x' माना, तो दूसरा भाग '45 - x' हुआ. प्रश्न के अनुसार, \( x \) बराबर है \( 3 \) गुणा \( (45 - x) \) घटा 7 के. समीकरण हल करने पर x का मान 32 मिला. तो भाग 32 और 13 हैं.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, हमेशा उत्तर की जाँच करें कि क्या दोनों भाग कुल संख्या के बराबर हैं और दी गई शर्त को पूरा करते हैं।

प्रश्न 7. रानू की आयु सुजल की आयु से तीन गुनी है। 4 वर्ष बाद दोनों की आयु का योग 40 वर्ष हो जाएगा। दोनों की वर्तमान आयु बताइए।
Answer: मान लीजिए सुजल की वर्तमान आयु 'x' वर्ष है। प्रश्न के अनुसार, रानू की आयु सुजल की आयु से तीन गुनी है, तो रानू की वर्तमान आयु \( 3x \) वर्ष होगी।

4 वर्ष बाद, सुजल की आयु \( = (x + 4) \) वर्ष हो जाएगी। रानू की आयु \( = (3x + 4) \) वर्ष हो जाएगी।

प्रश्न में कहा गया है कि 4 वर्ष बाद दोनों की आयु का योग 40 वर्ष हो जाएगा। तो, हम इसे एक समीकरण के रूप में लिख सकते हैं:

\( (x + 4) + (3x + 4) = 40 \)
\( \implies 4x + 8 = 40 \)
\( \implies 4x = 40 - 8 \)
\( \implies 4x = 32 \)
\( \implies x = \frac {32}{4} \)
\( \implies x = 8 \)

इसलिए, सुजल की वर्तमान आयु 8 वर्ष है। और रानू की वर्तमान आयु \( 3 \times 8 = 24 \) वर्ष है। आयु संबंधी प्रश्नों में, भविष्य या अतीत की आयु को सही ढंग से जोड़ना या घटाना महत्वपूर्ण है।
In simple words: हमने सुजल की आयु को 'x' माना, तो रानू की आयु '3x' हुई. 4 साल बाद, उनकी आयु \( (x+4) \) और \( (3x+4) \) हुई. दोनों का योग 40 है. इसे हल करने पर x का मान 8 मिला. तो सुजल 8 और रानू 24 साल की है.

🎯 Exam Tip: आयु वाले प्रश्नों में, हमेशा वर्तमान आयु को चर के रूप में लें, और फिर भविष्य या अतीत की आयु को उसके अनुसार व्यक्त करें।

प्रश्न 8. एक आयत की लम्बाई, चौडाई से 6 मीटर अधिक है। यदि उसका परिमाप 64 मीटर है तो लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए आयत की चौड़ाई 'x' मीटर है। प्रश्न के अनुसार, आयत की लम्बाई चौड़ाई से 6 मीटर अधिक है, इसलिए लम्बाई \( (x + 6) \) मीटर होगी। हम जानते हैं कि आयत का परिमाप का सूत्र 2 \( \times \) (लम्बाई + चौड़ाई) होता है।

आयत का परिमाप \( = 2 \times \{x + (x + 6)\} \)
\( = 2 \times (2x + 6) \) मीटर

प्रश्न में दिया गया है कि आयत का परिमाप 64 मीटर है। तो, हम इसे समीकरण के रूप में लिख सकते हैं:

\( 2(2x + 6) = 64 \)
\( \implies 2x + 6 = \frac { 64 }{ 2 } \)
\( \implies 2x + 6 = 32 \)
\( \implies 2x = 32 - 6 \)
\( \implies 2x = 26 \)
\( \implies x = \frac {26}{2} \)
\( \implies x = 13 \)

तो, आयत की चौड़ाई 13 मीटर है। और आयत की लम्बाई \( (13 + 6) = 19 \) मीटर है। आयत का परिमाप उसकी सभी भुजाओं की लंबाई का योग होता है।
In simple words: हमने चौड़ाई को 'x' माना, तो लंबाई 'x + 6' हुई. परिमाप का सूत्र 2 \( \times \) (लंबाई + चौड़ाई) है. इसे 64 के बराबर रखने पर x का मान 13 मिला. तो चौड़ाई 13 मीटर और लंबाई 19 मीटर है.

🎯 Exam Tip: ज्यामिति के प्रश्नों में, सही सूत्र का उपयोग करें और चर को सही तरीके से परिभाषित करें।

प्रश्न 9. दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 12 है। अंक पलटने पर नई संख्या मूल संख्या से 54 अधिक हो जाती है। मूल संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए दो अंकों की संख्या का इकाई का अंक 'x' है। प्रश्न की शर्त के अनुसार, संख्या के अंकों का योग 12 है, इसलिए दहाई का अंक \( 12 - x \) होगा।

मूल संख्या \( = 10 \times \) (दहाई का अंक) \( + \) (इकाई का अंक)
\( = 10(12 - x) + x \)
\( = 120 - 10x + x \)
\( = 120 - 9x \)

अंक पलटने पर, इकाई का अंक दहाई का अंक बन जाएगा और दहाई का अंक इकाई का अंक बन जाएगा। अंक पलटने पर बनी संख्या में: इकाई का अंक \( = (12 - x) \) था, जो अब दहाई का अंक हो गया. दहाई का अंक \( = x \) था, जो अब इकाई का अंक हो गया.

नई संख्या \( = 10 \times \) (दहाई का अंक) \( + \) (इकाई का अंक)
\( = 10x + (12 - x) \)
\( = 9x + 12 \)

प्रश्न में कहा गया है कि अंक पलटने पर बनी नई संख्या मूल संख्या से 54 अधिक हो जाती है। तो, समीकरण इस प्रकार होगा:

नई संख्या \( = \) मूल संख्या \( + 54 \)
\( \implies 9x + 12 = (120 - 9x) + 54 \)
\( \implies 9x + 12 = 174 - 9x \)
\( \implies 9x + 9x = 174 - 12 \)
\( \implies 18x = 162 \)
\( \implies x = \frac {162}{18} \)
\( \implies x = 9 \)

इसलिए, इकाई का अंक 9 है। दहाई का अंक \( 12 - 9 = 3 \) है। अतः, मूल संख्या 39 है। दो अंकों वाली संख्या को हमेशा \( 10 \times \) दहाई का अंक \( + \) इकाई का अंक के रूप में व्यक्त किया जाता है।
In simple words: हमने इकाई अंक को 'x' माना, तो दहाई अंक '12 - x' हुआ. मूल संख्या \( 120 - 9x \) है. अंक पलटने पर नई संख्या \( 9x + 12 \) बनती है. नई संख्या, मूल संख्या से 54 अधिक है. समीकरण हल करने पर x का मान 9 मिला. तो मूल संख्या 39 है.

🎯 Exam Tip: दो अंकों की संख्या वाले प्रश्नों में, इकाई और दहाई के अंकों को सही ढंग से चर के रूप में व्यक्त करना और मूल संख्या तथा पलटने पर बनी संख्या का समीकरण बनाना महत्वपूर्ण है।

प्रश्न 10. दो अंकों की एक संख्या में एक अंक दूसरे अंक से चार गुना है। अंक पलटने पर बनी संख्या को इसमें जोड़ने पर 110 प्राप्त होता है। संख्या बताइए।
Answer: मान लीजिए दो अंकों की संख्या का इकाई का अंक 'x' है। प्रश्न की शर्त के अनुसार, एक अंक दूसरे अंक से चार गुना है, तो दहाई का अंक \( 4x \) होगा।

मूल संख्या \( = 10 \times \) (दहाई का अंक) \( + \) (इकाई का अंक)
\( = 10 \times (4x) + x \)
\( = 40x + x \)
\( = 41x \)

अब, यदि हम अंकों को पलट देते हैं, तो इकाई का अंक \( 4x \) हो जाएगा और दहाई का अंक \( x \) हो जाएगा। अंक पलटने पर बनी संख्या \( = 10 \times \) (दहाई का अंक) \( + \) (इकाई का अंक)
\( = 10 \times x + 4x \)
\( = 10x + 4x \)
\( = 14x \)

प्रश्न में दिया गया है कि मूल संख्या और अंक पलटने पर बनी संख्या का योग 110 है। तो, समीकरण इस प्रकार होगा:

मूल संख्या \( + \) नई संख्या \( = 110 \)
\( \implies 41x + 14x = 110 \)
\( \implies 55x = 110 \)
\( \implies x = \frac {110}{55} \)
\( \implies x = 2 \)

इसलिए, इकाई का अंक 2 है। दहाई का अंक \( 4 \times 2 = 8 \) है। अतः, संख्या 82 है।

हालांकि, यह भी संभव है कि दहाई का अंक 'x' हो और इकाई का अंक '4x' हो। इस स्थिति में, मूल संख्या \( = 10x + 4x = 14x \) होगी। अंक पलटने पर बनी संख्या \( = 10(4x) + x = 40x + x = 41x \) होगी। इनका योग \( 14x + 41x = 55x \)। \( 55x = 110 \implies x = 2 \)। तो, दहाई का अंक 2 और इकाई का अंक \( 4 \times 2 = 8 \) होगा। इस स्थिति में संख्या 28 होगी। इसलिए, अभीष्ट संख्या 82 या 28 है। इस प्रकार के सवालों में दोनों संभावनाओं पर विचार करना चाहिए।
In simple words: हमने इकाई अंक को 'x' माना, तो दहाई अंक '4x' हुआ. मूल संख्या \( 41x \) बनी और अंक पलटने पर \( 14x \) बनी. दोनों का योग 110 है. इसे हल करने पर x का मान 2 मिला. तो संख्या 82 है. दूसरी संभावना पर विचार करने पर संख्या 28 भी हो सकती है.

🎯 Exam Tip: जब प्रश्न में "एक अंक दूसरे से गुना" हो, तो दोनों संभावनाओं (इकाई अंक x और दहाई अंक 4x, या इसके विपरीत) पर विचार करें, क्योंकि दोनों ही वैध उत्तर हो सकते हैं।