RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 11 एक चर राशि वाले रैखिक समीकरण Important Questions

बहुविकल्पात्मक प्रश्न

Question 1. रैखिक समीकरण की आवश्यक शर्त है –
(a) चर की अधिकतम घात 1 होना
(b) चर की अधिकतम घात 2 होना
(c) चर की अधिकतम घात 3 होना
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) चर की अधिकतम घात 1 होना
In simple words: एक रैखिक समीकरण में, अज्ञात संख्या (जिसे चर कहते हैं) की सबसे बड़ी शक्ति हमेशा 1 होनी चाहिए। यह इसे एक सीधी रेखा वाला समीकरण बनाता है।

🎯 Exam Tip: रैखिक समीकरणों की पहचान उनकी उच्चतम घात (डिग्री) से होती है; यदि चर की घात 1 है, तो वह रैखिक है।

Question 2. पक्षान्तरण करते समय '+' का चिह्न बदलता है –
(a) 'x' में
(b) '÷' में
(c) '-' में
(d) वही रहता है।
Answer: (c) '-' में
In simple words: जब आप किसी समीकरण में एक संख्या या पद को एक तरफ से दूसरी तरफ ले जाते हैं, तो उसका जोड़ या घटाव का चिह्न बदल जाता है। जोड़ का चिह्न घटाव में बदल जाता है।

🎯 Exam Tip: पक्षान्तरण करते समय, जोड़ घटाव में, गुणा भाग में और भाग गुणा में बदल जाता है, जबकि चिह्न (+) और (-) भी बदल जाते हैं।

Question 3. \( 3x = 21 \) में \( x \) का मान होगा –
(a) 7
(b) 24
(c) 18
(d) 63
Answer: (a) 7
In simple words: यदि 3 गुना \( x \) बराबर 21 है, तो \( x \) का मान जानने के लिए 21 को 3 से भाग देना होगा। यह हमें 7 देता है।

🎯 Exam Tip: अज्ञात चर का मान निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों में समान संक्रिया करें ताकि समीकरण संतुलित रहे।

Question 4. रैखिक समीकरण का हल हो सकती है –
(a) कोई भी प्राकृत संख्या
(b) कोई भी परिमेय संख्या
(c) कोई भी वास्तविक संख्या
(d) कोई भी पूर्ण संख्या
Answer: (c) कोई भी वास्तविक संख्या
In simple words: एक रैखिक समीकरण का हल कोई भी ऐसी संख्या हो सकती है जो वास्तविक संख्याओं के समूह में आती है। इसमें प्राकृत, पूर्ण, पूर्णांक और परिमेय संख्याएं सभी शामिल हैं।

🎯 Exam Tip: रैखिक समीकरणों के हल हमेशा वास्तविक संख्याएँ होते हैं, जब तक कि समस्या में विशिष्ट संख्या प्रणाली की शर्त न हो।

Question 6. निम्नलिखित में से रैखिक समीकरण है –
(a) \( \frac { x }{ 4 } = \frac { 4 }{ x } \)
(b) \( \frac { 1 }{ x } + \frac { 1 }{ x - 1 } = 1 \)
(c) \( \frac { x }{ 2 } + \frac { 1 }{ 3 } = \frac { x }{ 4 } \)
(d) \( x^2 + 2x + 3 = 0 \)
Answer: (c) \( \frac { x }{ 2 } + \frac { 1 }{ 3 } = \frac { x }{ 4 } \)
In simple words: रैखिक समीकरण वह होता है जिसमें चर (जैसे \( x \)) की सबसे बड़ी घात 1 हो। विकल्प (c) में \( x \) की सबसे बड़ी घात 1 है, जबकि अन्य विकल्पों में \( x \) या तो हर में है या उसकी घात 2 है।

🎯 Exam Tip: रैखिक समीकरण की पहचान करने के लिए, सभी पदों को सरल करके देखें कि चर की उच्चतम घात 1 से अधिक तो नहीं है।

Question 7. समीकरण \( (x - 1)^2 = x^2 - 3 \) की घात है –
(a) 1
(b) 2
(c) 0
(d) 3
Answer: (a) 1
In simple words: समीकरण को हल करने पर, \( x^2 \) पद दोनों तरफ से कट जाते हैं, जिससे केवल \( x \) वाला पद बचता है जिसकी घात 1 होती है। इसलिए, यह एक रैखिक समीकरण बन जाता है।

🎯 Exam Tip: किसी भी समीकरण की घात निकालने के लिए, पहले उसे सरल करें और फिर अज्ञात चर की सबसे बड़ी घात देखें।

Question 8. समीकरण \( \frac { 5 }{ x } = 2 \) का हल है -
(a) 10
(b) \( \frac { 2 }{ 5 } \)
(c) \( \frac { 5 }{ 2 } \)
(d) \( \frac { 1 }{ 10 } \)
Answer: (c) \( \frac { 5 }{ 2 } \)
In simple words: \( x \) का मान निकालने के लिए, \( x \) को दूसरी तरफ गुणा करें और फिर 2 को 5 से भाग दें। यह हमें \( x = \frac { 5 }{ 2 } \) देता है।

🎯 Exam Tip: भिन्नों वाले समीकरणों को हल करते समय, चर को हर से हटाने के लिए वज्र गुणन (cross-multiplication) का उपयोग करें।

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

Question 1. समीकरणों में सदैव __________ का चिह्न प्रयुक्त होता है।
Answer: समीकरणों में सदैव \( = \) का चिह्न प्रयुक्त होता है। यह दर्शाता है कि दोनों पक्ष बराबर हैं।
In simple words: समीकरणों में हमेशा बराबर का चिह्न होता है।

🎯 Exam Tip: समीकरण की मुख्य पहचान ही 'बराबर' का चिह्न है, जो दो व्यंजकों के बीच समानता बताता है।

Question 2. संख्याओं की भाँति चरों को भी एक पक्ष से दूसरे पक्ष में __________ किया जा सकता है।
Answer: संख्याओं की भाँति चरों को भी एक पक्ष से दूसरे पक्ष में पक्षान्तरण किया जा सकता है। यह हमें समीकरण को सरल करने में मदद करता है।
In simple words: संख्याओं की तरह, हम चर को भी समीकरण में एक तरफ से दूसरी तरफ ले जा सकते हैं।

🎯 Exam Tip: पक्षान्तरण करते समय, पद का चिह्न बदलना न भूलें (उदाहरण के लिए, '+' से '-' और 'x' से '÷')।

Question 3. समीकरण के दोनों पक्षों पर एक जैसी ही गणितीय संक्रियाएँ करते हैं जिससे समीकरण का __________ बना रहता है।
Answer: समीकरण के दोनों पक्षों पर एक जैसी ही गणितीय संक्रियाएँ करते हैं जिससे समीकरण का संतुलन बना रहता है। यह हमें सही हल तक पहुँचाता है।
In simple words: समीकरण के दोनों तरफ एक ही काम करने से समीकरण सही रहता है।

🎯 Exam Tip: संतुलन बनाए रखने के लिए, समीकरण के एक पक्ष में जो भी संक्रिया करें, वही संक्रिया दूसरे पक्ष में भी करनी चाहिए।

Question 4. रैखिक समीकरणों की उपयोगिता उनके विविध __________ में है।
Answer: रैखिक समीकरणों की उपयोगिता उनके विविध क्षेत्रों में है। इनका उपयोग विज्ञान, अर्थशास्त्र और इंजीनियरिंग जैसे कई क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।
In simple words: रैखिक समीकरण बहुत अलग-अलग जगहों पर काम आते हैं।

🎯 Exam Tip: रैखिक समीकरण वास्तविक जीवन की कई समस्याओं, जैसे आयु, दूरी और लागत की गणना में सहायक होते हैं।

Question 5. यदि \( x \) एक विषम संख्या है तो इससे पूर्व की सबसे बड़ी विषम संख्या ________ होगी।
Answer: यदि \( x \) एक विषम संख्या है तो इससे पूर्व की सबसे बड़ी विषम संख्या \( x - 2 \) होगी। जैसे, यदि \( x = 7 \) है, तो इससे पहले की विषम संख्या \( 7 - 2 = 5 \) होगी।
In simple words: अगर \( x \) एक विषम संख्या है, तो उससे ठीक पहले वाली विषम संख्या \( x - 2 \) होती है।

🎯 Exam Tip: क्रमागत विषम या सम संख्याओं के बीच का अंतर हमेशा 2 होता है।

Question 1. \( z + 4 = - 8 \) का मूल 32 है।
Answer: असत्य। समीकरण \( z + 4 = -8 \) को हल करने पर, \( z = -8 - 4 \implies z = -12 \) प्राप्त होता है, जो 32 नहीं है।
In simple words: यह गलत है। \( z \) का सही मान -12 है, 32 नहीं।

🎯 Exam Tip: सत्य/असत्य प्रश्नों में, कथन को हल करके सत्यापित करना सबसे सटीक तरीका है।

Question 2. \( 3x = \frac {20}{7} - x \) का मूल \( \frac {5}{7} \) है।
Answer: सत्य।
\( 3x = \frac {20}{7} - x \)
\( \implies 3x + x = \frac {20}{7} \)
\( \implies 4x = \frac {20}{7} \)
\( \implies x = \frac {20}{7 \times 4} \)
\( \implies x = \frac {5}{7} \)
In simple words: यह कथन सही है। समीकरण को हल करने पर \( x \) का मान \( \frac { 5 }{ 7 } \) आता है।

🎯 Exam Tip: समीकरणों को हल करते समय समान पदों को एक साथ लाएँ और फिर चर का मान ज्ञात करें।

Question 3. समीकरण \( 2x + 3 = 2(x - 4) \) का मूल विद्यमान नहीं है।
Answer: सत्य।
\( 2x + 3 = 2(x - 4) \)
\( \implies 2x + 3 = 2x - 8 \)
\( \implies 3 = -8 \)
यह एक असत्य कथन है, इसलिए समीकरण का कोई हल या मूल विद्यमान नहीं है।
In simple words: यह सही है। इस समीकरण को हल करने पर हमें कोई ऐसा मान नहीं मिलता जो इसे सत्य बना सके, इसलिए इसका कोई हल नहीं है।

🎯 Exam Tip: यदि समीकरण को हल करते समय चर समाप्त हो जाता है और एक असत्य कथन प्राप्त होता है, तो उसका कोई हल नहीं होता।

Question 4. तीन क्रमागत संख्याओं में सबसे बड़ी संख्या \( x + 1 \) है। सबसे छोटी संख्या \( x \) होगी।
Answer: असत्य। यदि सबसे बड़ी संख्या \( x + 1 \) है, तो क्रमागत संख्याएँ \( x-1, x, x+1 \) होंगी। इस मामले में सबसे छोटी संख्या \( x-1 \) होगी।
In simple words: यह कथन गलत है। अगर सबसे बड़ी संख्या \( x+1 \) है, तो सबसे छोटी संख्या \( x-1 \) होनी चाहिए, \( x \) नहीं।

🎯 Exam Tip: क्रमागत संख्याओं को हमेशा \( x, x+1, x+2 \) या \( x-1, x, x+1 \) के रूप में लिखें, ताकि छोटी या बड़ी संख्या आसानी से पता चल सके।

मिलान/सुमेलन वाले प्रश्न

Question. निम्नलिखित का मिलान करें:
1. इकाई का अंक 1 तथा दहाई का अंक 2 होने पर बनी दो अंकीय संख्या
2. रैखिक समीकरण की घात
3. रैखिक समीकरण के हलों की अधिकतम संख्या - 1
4. यदि अंश 3 व हर 5 है तो ऐसी भिन्न होगी
खण्ड (2) में विकल्प हैं:
(a) 0
(b) \( \frac { 3 }{ 5 } \)
(c) 21
(d) 1
Answer:
1. इकाई का अंक 1 तथा दहाई का अंक 2 होने पर बनी दो अंकीय संख्या \( \leftrightarrow \) (c) 21
2. रैखिक समीकरण की घात \( \leftrightarrow \) (d) 1
3. रैखिक समीकरण के हलों की अधिकतम संख्या - 1 \( \leftrightarrow \) (a) 0
4. यदि अंश 3 व हर 5 है तो ऐसी भिन्न होगी \( \leftrightarrow \) (b) \( \frac { 3 }{ 5 } \)
In simple words: हमें पहले कॉलम की चीजों को दूसरे कॉलम की सही चीजों से मिलाना है। जैसे, इकाई और दहाई के अंक से बनी संख्या 21 होती है। रैखिक समीकरण की सबसे बड़ी शक्ति 1 होती है। रैखिक समीकरण के हल की अधिकतम संख्या 1 होती है, तो 1 में से 1 घटाने पर 0 मिलता है। और 3 अंश और 5 हर वाली भिन्न \( \frac { 3 }{ 5 } \) है।

🎯 Exam Tip: मिलान वाले प्रश्नों में, प्रत्येक आइटम को ध्यान से पढ़ें और सुनिश्चित करें कि आप सही अवधारणा या गणना से मिलान कर रहे हैं।

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. बीजीय समीकरणों में LHS से क्या आशय है?
Answer: बीजीय समीकरणों में LHS से आशय समता के बाईं ओर वाले व्यंजक से है। इसे 'बायाँ पक्ष' भी कहते हैं। समीकरण में, LHS हमेशा RHS (दायाँ पक्ष) के बराबर होता है।
In simple words: LHS का मतलब है 'बायां हाथ वाला पक्ष', यानी बराबर के चिह्न के बाईं ओर जो कुछ लिखा है।

🎯 Exam Tip: हमेशा याद रखें कि LHS और RHS दोनों समीकरण के दो बराबर भागों को दर्शाते हैं।

लघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 3. \( 2x - 3 = 7 \) का हल ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया समीकरण है: \( 2x - 3 = 7 \)
\( \implies 2x = 7 + 3 \) (3 को दाहिने पक्ष में ले जाने पर)
\( \implies 2x = 10 \)
\( \implies x = \frac { 10 }{ 2 } \)
\( \implies x = 5 \)
अतः, समीकरण का हल 5 है।
In simple words: \( x \) का मान निकालने के लिए, पहले 3 को 7 के साथ जोड़ें, फिर उस संख्या को 2 से भाग दें।

🎯 Exam Tip: समीकरण हल करते समय, अज्ञात चर (variable) वाले पदों को एक तरफ और संख्यात्मक पदों को दूसरी तरफ ले जाएँ।

Question 4. हल कीजिए – \( 2x - 3 = x + 2 \)
Answer:
दिया गया समीकरण है: \( 2x - 3 = x + 2 \)
\( \implies 2x - x = 2 + 3 \) (चर पदों को एक तरफ और संख्यात्मक पदों को दूसरी तरफ ले जाने पर)
\( \implies x = 5 \)
अतः, समीकरण का हल 5 है।
In simple words: \( x \) वाले सभी पदों को एक तरफ लाओ और संख्याओं को दूसरी तरफ। फिर उन्हें हल करो ताकि \( x \) का मान मिल जाए।

🎯 Exam Tip: समीकरण में चर पदों को एक पक्ष में और अचर पदों को दूसरे पक्ष में स्थानांतरित करके हल करना सबसे आसान होता है।

Question 1. समीकरण \( 4x -[2 + \{x - (3 - x)\}] = 3x +6 \) को हल कीजिए।
Answer:
दिया गया समीकरण है: \( 4x -[2 + \{x - (3 - x)\}] = 3x + 6 \)
पहले सबसे अंदर वाले कोष्ठक को हल करें:
\( \implies 4x -[2 + \{x - 3 + x\}] = 3x + 6 \)
\( \implies 4x -[2 + \{2x - 3\}] = 3x + 6 \)
अब बीच वाले कोष्ठक को हल करें:
\( \implies 4x -[2 + 2x - 3] = 3x + 6 \)
\( \implies 4x -[2x - 1] = 3x + 6 \)
अब सबसे बाहर वाले कोष्ठक को हल करें:
\( \implies 4x - 2x + 1 = 3x + 6 \)
\( \implies 2x + 1 = 3x + 6 \)
चर पदों को एक तरफ और संख्यात्मक पदों को दूसरी तरफ ले जाएँ:
\( \implies 2x - 3x = 6 - 1 \)
\( \implies -x = 5 \)
दोनों तरफ \( -1 \) से गुणा करें:
\( \implies x = -5 \)
अतः, समीकरण का हल -5 है।
In simple words: इस बड़े समीकरण को हल करने के लिए, सबसे पहले छोटे कोष्ठकों को हल करें, फिर मझले कोष्ठकों को और अंत में बड़े कोष्ठकों को। इसके बाद \( x \) वाले पदों को एक तरफ और संख्याओं को दूसरी तरफ करके \( x \) का मान निकालें।

🎯 Exam Tip: ऐसे समीकरणों को हल करते समय 'BODMAS' या 'PEMDAS' नियम का पालन करें, यानी पहले कोष्ठक (ब्रैकेट) हल करें।

Question 3. समीकरण \( \frac { 8x + 3 }{ 2x - 4 } = \frac { 4x}{x - 5 } +9 \) को हल कीजिए।
Answer:
दिया गया समीकरण है: \( \frac { 8x + 3 }{ 2x - 4 } = \frac { 4x}{x - 5 } +9 \)
दाहिने पक्ष को सरल करें:
\( \frac { 8x + 3 }{ 2x - 4 } = \frac { 4x + 9(x - 5) }{ x - 5 } \)
\( \implies \frac { 8x + 3 }{ 2x - 4 } = \frac { 4x + 9x - 45 }{ x - 5 } \)
\( \implies \frac { 8x + 3 }{ 2x - 4 } = \frac { 13x - 45 }{ x - 5 } \)
वज्र गुणन करने पर:
\( \implies (8x + 3)(x - 5) = (13x - 45)(2x - 4) \)
पदों को गुणा करें:
\( \implies 8x^2 - 40x + 3x - 15 = 26x^2 - 52x - 90x + 180 \)
\( \implies 8x^2 - 37x - 15 = 26x^2 - 142x + 180 \)
सभी पदों को एक पक्ष में ले जाएँ:
\( \implies 0 = 26x^2 - 8x^2 - 142x + 37x + 180 + 15 \)
\( \implies 0 = 18x^2 - 105x + 195 \)
यह एक द्विघात समीकरण है। यदि मूल रैखिक समीकरण के संदर्भ में हल करना हो (जैसा कि दिए गए हल में है, जहाँ \( x^2 \) पद कट रहे हैं), तो दिए गए हल को फिर से जाँचना होगा।
दिए गए हल की प्रक्रिया में त्रुटि है क्योंकि \( (8x + 3) (x - 5) = 4x (2x - x) \) लिया गया है जो प्रश्न के दूसरे पक्ष \( \frac { 4x}{x - 5 } +9 \) से मेल नहीं खाता। दिए गए हल में प्रश्न के दाहिने पक्ष को गलत तरीके से \( 4x(2x-x) \) माना गया है। सही तरीके से हल करने पर यह एक द्विघात समीकरण बन जाएगा।
दिए गए हल में यह माना गया है कि \( \frac { 8x + 3 }{ 2x - 4 } = \frac { 4x }{ x - 5 } \) (बिना \( +9 \) के) और फिर \( (8x + 3)(x - 5) = 4x(2x - 4) \).
यदि हम दिए गए हल का पालन करें:
\( (8x + 3)(x - 5) = 4x(2x - 4) \)
\( \implies 8x^2 - 40x + 3x - 15 = 8x^2 - 16x \)
\( \implies 8x^2 - 37x - 15 = 8x^2 - 16x \)
\( \implies -37x - 15 = -16x \)
\( \implies -15 = -16x + 37x \)
\( \implies -15 = 21x \)
\( \implies x = \frac { -15 }{ 21 } \)
\( \implies x = \frac { -5 }{ 7 } \)
अतः, इस विधि से \( x \) का मान \( \frac { -5 }{ 7 } \) है। यह दर्शाने के लिए कि \( +9 \) को कैसे शामिल किया जाए, उसे पहले LHS पर ले जाएँ या \( \frac { 4x }{ x - 5 } + 9 \) को एक ही भिन्न में बदलें। ऊपर की पहली विधि सही है।
In simple words: समीकरण को हल करने के लिए, पहले दायीं ओर की भिन्न को एक साथ लाएँ। फिर दोनों तरफ वज्र-गुणा करें। समीकरण को सरल करके \( x \) का मान निकालें।

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक समीकरणों में, अज्ञात चर को हर में होने पर वज्र गुणन विधि का उपयोग करें, और सभी पदों को एक तरफ लाकर सरल करें।

Question 4. एक थैली में 2 रुपये व 5 रुपये के कुल 15 सिक्के रखे हुए हैं। सिक्कों का कुल मूल्य 45 रुपये हो तो प्रत्येक प्रकार के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना 2 रुपये के सिक्कों की संख्या \( x \) है।
कुल सिक्के 15 हैं, इसलिए 5 रुपये के सिक्कों की संख्या \( = 15 - x \)
2 रुपये के सिक्कों का कुल मूल्य \( = 2 \times x = 2x \) रुपये
5 रुपये के सिक्कों का कुल मूल्य \( = 5 \times (15 - x) = (75 - 5x) \) रुपये
प्रश्न की शर्त के अनुसार, सिक्कों का कुल मूल्य 45 रुपये है:
\( 2x + (75 - 5x) = 45 \)
\( \implies 2x + 75 - 5x = 45 \)
\( \implies -3x + 75 = 45 \)
\( \implies -3x = 45 - 75 \)
\( \implies -3x = -30 \)
\( \implies x = \frac { -30 }{ -3 } \)
\( \implies x = 10 \)
इसलिए, 2 रुपये के सिक्कों की संख्या 10 है।
और 5 रुपये के सिक्कों की संख्या \( = 15 - x = 15 - 10 = 5 \) है।
जाँच: \( (10 \times 2) + (5 \times 5) = 20 + 25 = 45 \) रुपये। यह सही है।
In simple words: अगर कुल 15 सिक्के हैं और कुछ 2 रुपये के हैं और कुछ 5 रुपये के, और कुल पैसे 45 रुपये हैं, तो हम 2 रुपये के सिक्कों को \( x \) मानकर समीकरण बनाते हैं। इसे हल करने पर हमें 2 रुपये के 10 सिक्के और 5 रुपये के 5 सिक्के मिलते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में हमेशा एक प्रकार के सिक्कों की संख्या को चर मानकर समीकरण बनाएं और फिर दूसरे प्रकार के सिक्कों की संख्या को कुल सिक्कों से घटाकर व्यक्त करें।

Question 6. रमेश के पिता की आयु रमेश से 27 वर्ष अधिक है। 5 वर्ष बाद रमेश की आयु और उसके पिता की आयु का अनुपात 2 : 3 हो जायेगा। दोनों की वर्तमान आयु बताओ।
Answer:
माना रमेश की वर्तमान आयु \( x \) वर्ष है।
रमेश के पिता की वर्तमान आयु \( = x + 27 \) वर्ष।
5 वर्ष बाद रमेश की आयु \( = x + 5 \) वर्ष।
5 वर्ष बाद पिता की आयु \( = (x + 27) + 5 = x + 32 \) वर्ष।
प्रश्न के अनुसार, 5 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 2 : 3 होगा:
\( \frac { x + 5 }{ x + 32 } = \frac { 2 }{ 3 } \)
वज्र गुणन करने पर:
\( 3(x + 5) = 2(x + 32) \)
\( \implies 3x + 15 = 2x + 64 \)
चर पदों को एक तरफ और संख्यात्मक पदों को दूसरी तरफ ले जाएँ:
\( \implies 3x - 2x = 64 - 15 \)
\( \implies x = 49 \)
अतः, रमेश की वर्तमान आयु 49 वर्ष है।
रमेश के पिता की वर्तमान आयु \( = x + 27 = 49 + 27 = 76 \) वर्ष है।
In simple words: रमेश की आयु को \( x \) मानकर, उनके पिता की आयु \( x + 27 \) हो जाती है। 5 साल बाद उनकी आयु का अनुपात 2:3 होगा। समीकरण को हल करने पर रमेश की आयु 49 साल और पिता की आयु 76 साल आती है।

🎯 Exam Tip: आयु संबंधी प्रश्नों में, वर्तमान आयु को चर मानें और भविष्य या अतीत की आयु को तदनुसार समायोजित करें, फिर समीकरण बनाएं।

Question 8. एक परिमेय संख्या का हर उसके अंश से 5 अधिक है। यदि अंश तथा हर में 2 जोड़ दिया जाए तो \( \frac {1}{2} \) हमें प्राप्त होता है। परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना परिमेय संख्या का अंश \( x \) है।
चूंकि हर अंश से 5 अधिक है, इसलिए हर \( = x + 5 \) होगा।
अतः, परिमेय संख्या \( = \frac { x }{ x + 5 } \) है।
अब, यदि अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए:
नया अंश \( = x + 2 \)
नया हर \( = (x + 5) + 2 = x + 7 \)
नई परिमेय संख्या \( = \frac { x + 2 }{ x + 7 } \)
प्रश्न के अनुसार, यह नई संख्या \( \frac { 1 }{ 2 } \) के बराबर है:
\( \frac { x + 2 }{ x + 7 } = \frac { 1 }{ 2 } \)
वज्र गुणन करने पर:
\( 2(x + 2) = 1(x + 7) \)
\( \implies 2x + 4 = x + 7 \)
चर पदों को एक तरफ और संख्यात्मक पदों को दूसरी तरफ ले जाएँ:
\( \implies 2x - x = 7 - 4 \)
\( \implies x = 3 \)
अतः, अंश 3 है।
हर \( = x + 5 = 3 + 5 = 8 \)
इसलिए, अभीष्ट परिमेय संख्या \( = \frac { 3 }{ 8 } \) है।
In simple words: एक भिन्न है जहाँ हर अंश से 5 ज्यादा है। अगर हम अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दें, तो भिन्न \( \frac { 1 }{ 2 } \) बन जाती है। इस जानकारी से हमें भिन्न \( \frac { 3 }{ 8 } \) मिलती है।

🎯 Exam Tip: भिन्न से संबंधित समस्याओं में, अंश को \( x \) मानकर समीकरण बनाएं, फिर दिए गए संबंधों का उपयोग करके हर को \( x \) के पदों में व्यक्त करें।

Question 9. एक आयत की लम्बाई, चौड़ाई से 3 मीटर अधिक है। यदि उसका परिमाप 54 मीटर है तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना आयत की चौड़ाई \( y \) मीटर है।
प्रश्न के अनुसार, लम्बाई चौड़ाई से 3 मीटर अधिक है, इसलिए लम्बाई \( = y + 3 \) मीटर होगी।
आयत का परिमाप का सूत्र है: \( \text{परिमाप} = 2 \times (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}) \)
दिया गया परिमाप 54 मीटर है।
\( 54 = 2 \times ((y + 3) + y) \)
\( 54 = 2 \times (2y + 3) \)
दोनों तरफ 2 से भाग देने पर:
\( \frac { 54 }{ 2 } = 2y + 3 \)
\( 27 = 2y + 3 \)
\( 2y = 27 - 3 \)
\( 2y = 24 \)
\( y = \frac { 24 }{ 2 } \)
\( y = 12 \)
अतः, आयत की चौड़ाई 12 मीटर है।
आयत की लम्बाई \( = y + 3 = 12 + 3 = 15 \) मीटर है।
In simple words: एक आयत की लम्बाई उसकी चौड़ाई से 3 मीटर ज्यादा है। अगर उसका पूरा घेरा (परिमाप) 54 मीटर है, तो आयत की चौड़ाई 12 मीटर और लम्बाई 15 मीटर होगी।

🎯 Exam Tip: ज्यामिति समस्याओं में, पहले ज्ञात और अज्ञात राशियों के लिए चर परिभाषित करें, फिर दिए गए सूत्रों (जैसे परिमाप, क्षेत्रफल) का उपयोग करके समीकरण बनाएं।

Question 10. यदि 11 के तीन लगातार गुणजों का योग 363 है, तो उन्हें ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना 11 के तीन लगातार गुणज संख्याएँ हैं:
पहला गुणज \( = 11x \)
दूसरा गुणज \( = 11(x + 1) \)
तीसरा गुणज \( = 11(x + 2) \)
प्रश्न के अनुसार, इन तीनों गुणजों का योग 363 है:
\( 11x + 11(x + 1) + 11(x + 2) = 363 \)
सभी पदों में से 11 को उभयनिष्ठ (कॉमन) लें:
\( 11 [x + (x + 1) + (x + 2)] = 363 \)
\( 11 [x + x + 1 + x + 2] = 363 \)
\( 11 [3x + 3] = 363 \)
दोनों तरफ 11 से भाग दें:
\( 3x + 3 = \frac { 363 }{ 11 } \)
\( 3x + 3 = 33 \)
\( 3x = 33 - 3 \)
\( 3x = 30 \)
\( x = \frac { 30 }{ 3 } \)
\( x = 10 \)
अब \( x \) का मान उपयोग करके तीनों गुणज ज्ञात करें:
पहला गुणज \( = 11x = 11 \times 10 = 110 \)
दूसरा गुणज \( = 11(x + 1) = 11(10 + 1) = 11 \times 11 = 121 \)
तीसरा गुणज \( = 11(x + 2) = 11(10 + 2) = 11 \times 12 = 132 \)
अतः, 11 के तीन लगातार गुणज 110, 121 और 132 हैं।
In simple words: 11 के तीन लगातार ऐसे गुणज ढूंढने हैं जिनका कुल जोड़ 363 हो। \( x \) का मान निकालने पर हमें 10 मिलता है, जिससे वे गुणज 110, 121 और 132 होते हैं।

🎯 Exam Tip: लगातार गुणज के प्रश्नों में, \( nx, n(x+1), n(x+2) \) जैसे चर मानकर समीकरण बनाना सबसे प्रभावी तरीका है।