RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 11 एक चर राशि वाले रैखिक समीकरण More Ques

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प्रश्न

Question 1. आओ एक समीकरण के साथ कुछ अभ्यास करके उसके हल को देखें समीकरण \( 3x + 9 = 15 \) हल: \( x = 2 \)
Answer: दिए गए समीकरण \( 3x + 9 = 15 \) का हल \( x = 2 \) है। हम समीकरण पर अलग-अलग संक्रियाएँ करके देखेंगे कि क्या \( x = 2 \) अभी भी हल रहता है। एक चर वाले रैखिक समीकरणों में, समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही संक्रिया करने से हल नहीं बदलता है। यहाँ नीचे दी गई तालिका दिखाती है कि कैसे समीकरण बदलता है और \( x \) का मान वही रहता है।

In simple words: हमें एक समीकरण \( 3x + 9 = 15 \) दिया गया है, जिसका हल \( x = 2 \) है। यदि हम समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम (जोड़ना, घटाना, गुणा करना, भाग देना) करते हैं, तो \( x \) का मान वही रहता है।
🎯 Exam Tip: समीकरणों को हल करते समय, दोनों पक्षों पर हमेशा एक ही संक्रिया (जोड़ना, घटाना, गुणा या भाग) करें, ताकि समीकरण संतुलित रहे और उसका हल न बदले।

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करो और सीखो

प्रश्न

Question 1. निम्न समीकरण हल कीजिए: \( \frac {2x}{x+6} = 1 \)
Answer: दिए गए समीकरण को हल करने के लिए हम वज्रगुणन विधि का प्रयोग करेंगे। इसमें हम समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करते हैं ताकि हर हट जाए।
\( \frac {2x}{x+6} = 1 \)
\( \implies \) \( 2x = 1 \times (x+6) \) (वज्रगुणन द्वारा)
\( \implies \) \( 2x = x+6 \)
\( \implies \) \( 2x - x = 6 \) (यहां \( x \) को दूसरे पक्ष में ले जाने पर, उसका चिह्न बदल जाता है)
\( \implies \) \( x = 6 \)
अतः, समीकरण का हल \( x = 6 \) है। In simple words: समीकरण को हल करने के लिए, हमने \( (x+6) \) को 1 से गुणा किया और फिर \( x \) वाले पदों को एक तरफ और संख्या को दूसरी तरफ ले गए, जिससे हमें \( x \) का मान मिल गया।

🎯 Exam Tip: जब समीकरण में भिन्न (fractions) हों, तो पहले वज्रगुणन (cross-multiplication) का उपयोग करके हर को हटा दें ताकि समीकरण सरल हो जाए।

Question 2. निम्न समीकरण हल कीजिए: \( 10 = x + 3 \)
Answer: दिए गए समीकरण को हल करने के लिए, हम \( x \) का मान ज्ञात करेंगे। हमें \( x \) वाले पद को एक तरफ रखना होता है और संख्याओं को दूसरी तरफ।
\( 10 = x + 3 \)
\( \implies \) \( 10 - 3 = x \) (यहां 3 को दूसरे पक्ष में ले जाने पर, उसका चिह्न बदल जाता है)
\( \implies \) \( 7 = x \)
अतः, समीकरण का हल \( x = 7 \) है। In simple words: हमने 3 को 10 में से घटाया, ताकि \( x \) का मान पता चल जाए। इस तरह, \( x \) का मान 7 मिला।

🎯 Exam Tip: समीकरणों को हल करते समय, अज्ञात पद (जैसे \( x \)) को एक पक्ष में रखें और ज्ञात संख्याओं को दूसरे पक्ष में ले जाएं, याद रखें कि ऐसा करने पर उनके चिह्न बदल जाते हैं।

Question 3. निम्न समीकरण हल कीजिए: \( 16 = 7x - 9 \)
Answer: दिए गए समीकरण में \( x \) का मान ज्ञात करने के लिए, हम \( x \) वाले पद को एक तरफ रखेंगे और संख्याओं को दूसरी तरफ ले जाएंगे।
\( 16 = 7x - 9 \)
\( \implies \) \( 16 + 9 = 7x \) (यहां -9 को दूसरे पक्ष में ले जाने पर, वह +9 हो जाता है)
\( \implies \) \( 25 = 7x \)
\( \implies \) \( 7x = 25 \)
\( \implies \) \( x = \frac {25}{7} \) (अब दोनों पक्षों को 7 से भाग देने पर, \( x \) का मान मिल जाता है)
अतः, समीकरण का हल \( x = \frac {25}{7} \) है। In simple words: हमने -9 को दूसरी तरफ ले जाकर 16 में जोड़ा, जिससे 25 मिला। फिर, \( x \) के साथ वाले 7 से 25 को भाग दिया और \( x \) का मान \( \frac {25}{7} \) पाया।

🎯 Exam Tip: जब एक संख्या किसी चर (variable) से गुणा हो, तो उस चर का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को उस संख्या से भाग दें।

Question 4. निम्न समीकरण हल कीजिए: \( \frac {x+5}{x} = 2\frac {2}{3} \)
Answer: इस समीकरण को हल करने के लिए, पहले मिश्रित भिन्न को साधारण भिन्न में बदलेंगे और फिर वज्रगुणन विधि का प्रयोग करेंगे।
\( \frac {x+5}{x} = 2\frac {2}{3} \)
\( \implies \) \( \frac {x+5}{x} = \frac {(2 \times 3) + 2}{3} \) (मिश्रित भिन्न को साधारण भिन्न में बदलें)
\( \implies \) \( \frac {x+5}{x} = \frac {6 + 2}{3} \)
\( \implies \) \( \frac {x+5}{x} = \frac {8}{3} \)
\( \implies \) \( 3(x+5) = 8x \) (वज्रगुणन द्वारा)
\( \implies \) \( 3x + 15 = 8x \) (कोष्ठक खोलें)
\( \implies \) \( 15 = 8x - 3x \) (यहां \( 3x \) को दूसरे पक्ष में ले जाने पर, उसका चिह्न बदल जाता है)
\( \implies \) \( 15 = 5x \)
\( \implies \) \( 5x = 15 \)
\( \implies \) \( x = \frac {15}{5} \) (दोनों पक्षों को 5 से भाग दें)
\( \implies \) \( x = 3 \)
अतः, समीकरण का हल \( x = 3 \) है। In simple words: पहले हमने मिश्रित भिन्न को एक सामान्य भिन्न में बदला। फिर, समीकरण के दोनों तरफ क्रॉस-गुणा किया। इसके बाद, \( x \) वाले पदों को एक साथ लाया और संख्या को दूसरी तरफ, जिससे हमें \( x \) का मान 3 मिला।

🎯 Exam Tip: जब समीकरण में मिश्रित भिन्न (mixed fractions) हों, तो उन्हें हल करने से पहले हमेशा विषम भिन्न (improper fractions) में बदल दें।

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प्रश्न

Question 1. आइए गणितीय वाक्य बनाने का दोहरान करें। कोई संख्या है तो रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए।
Answer: नीचे दिए गए वाक्यों में रिक्त स्थानों की पूर्ति की गई है, जहाँ 'कोई संख्या' को \( x \) से दर्शाया गया है।
संख्या से 5 अधिक = \( x + 5 \)
संख्या से 3 कम = \( x - 3 \)
संख्या का आधा = \( \frac {1}{2}x \)
संख्या के आधे से 7 कम = \( \frac {1}{2}x - 7 \)
संख्या के तिहाई से 4 अधिक = \( \frac {1}{3}x + 4 \)
संख्या के तीन गुने से 6 अधिक = \( 3x + 6 \)
संख्या के 5 गुने से 3 कम = \( 5x - 3 \)
यह समझना महत्वपूर्ण है कि गणितीय वाक्य कैसे बनाए जाते हैं ताकि शब्दों को सही ढंग से समीकरणों में बदला जा सके। In simple words: जब भी हम किसी अनजान संख्या के बारे में बात करते हैं, तो उसे \( x \) मान लेते हैं। फिर, जो भी गणितीय क्रिया (जैसे जोड़ना, घटाना, आधा करना) कही गई हो, उसे \( x \) के साथ लिख देते हैं।

🎯 Exam Tip: गणितीय वाक्यों को बनाते समय, 'अधिक' का मतलब जोड़ना (+), 'कम' का मतलब घटाना (-), 'गुना' का मतलब गुणा (×), और 'आधा/तिहाई' का मतलब भाग (÷) होता है। अज्ञात संख्या को \( x \) या किसी अन्य चर से दर्शाना याद रखें।