RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 11 एक चर राशि वाले रैखिक समीकरण Exercise 11.1

प्रश्न – निम्नलिखित समीकरण हल कीजिए -

Question 1. \( 6x + 3 = 4x + 11 \)
Answer:
\( 6x + 3 = 4x + 11 \)
\( \implies 6x - 4x = 11 - 3 \) (यहां, \( 4x \) और \( 3 \) को समीकरण के दूसरी ओर ले गए हैं। जब आप संख्याओं को समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ ले जाते हैं, तो उनके निशान बदल जाते हैं।)
\( \implies 2x = 8 \)
\( \implies \frac {2x}{ 2 } = \frac {8}{2} \) (समीकरण के दोनों पक्षों को \( 2 \) से भाग दिया गया है ताकि \( x \) का मान मिल सके।)
\( \implies x = 4 \)
In simple words: पहले \( x \) वाले पदों को एक तरफ और संख्या वाले पदों को दूसरी तरफ ले जाएँ. फिर समीकरण के दोनों तरफ \( 2 \) से भाग दें ताकि \( x \) का मान निकल जाए.

🎯 Exam Tip: समीकरण हल करते समय, सुनिश्चित करें कि चर (जैसे x) वाले सभी पद एक तरफ हों और स्थिर संख्याएँ दूसरी तरफ हों। पक्षांतर करते समय चिन्हों को ध्यान से बदलें।

Question 2. \( 3(x + 5) = 4x + 9 \)
Answer:
\( 3(x + 5) = 4x + 9 \)
\( \implies 3x + 15 = 4x + 9 \)
\( \implies 3x - 4x = 9 - 15 \) (हमने \( 4x \) और \( 15 \) को उनके विपरीत पक्षों में ले जाकर समीकरण को सरल किया है।)
\( \implies -x = -6 \)
\( \implies \frac {-x}{-1} = \frac {-6}{-1} \) (दोनों पक्षों को \( -1 \) से भाग दिया गया है ताकि \( x \) का धनात्मक मान मिल सके।)
\( \implies x = 6 \)
In simple words: पहले ब्रैकेट खोलें, फिर \( x \) वाले और बिना \( x \) वाले नंबरों को अलग-अलग साइड ले जाएँ. आखिर में, \( x \) का मान पता करने के लिए \( -1 \) से भाग दें.

🎯 Exam Tip: जब समीकरण में कोष्ठक हों, तो उन्हें वितरण नियम का उपयोग करके पहले खोलना महत्वपूर्ण है, फिर समीकरण के नियम लागू करें।

Question 3. \( 3x + 2(x + 3) = 21 \)
Answer:
\( 3x + 2(x + 3) = 21 \)
\( \implies 3x + 2x + 6 = 21 \)
\( \implies 5x + 6 = 21 \) (एक जैसे पदों को जोड़ें, जैसे \( 3x \) और \( 2x \), जिससे समीकरण सरल हो जाता है।)
\( \implies 5x = 21 - 6 \)
\( \implies 5x = 15 \)
\( \implies \frac {5x}{5} = \frac {15}{5} \) (दोनों पक्षों को \( 5 \) से भाग दिया गया है ताकि \( x \) का मान पता चल सके।)
\( \implies x = 3 \)
In simple words: पहले ब्रैकेट खोलें, \( x \) वाले नंबरों को जोड़ें, फिर \( x \) के बिना वाले नंबरों को दूसरी तरफ ले जाएँ. आखिर में, \( x \) का मान निकालने के लिए \( 5 \) से भाग दें.

🎯 Exam Tip: हमेशा पहले कोष्ठकों को हल करें और फिर समान पदों को एक साथ जोड़ें। इससे समीकरण को सरल करना आसान हो जाता है।

Question 4. \( \frac {x + 1}{2} + \frac {x + 2 }{ 3 } = \frac { 2x + 5 }{7} +9 \)
Answer:
\( \frac {x + 1}{2} + \frac {x + 2 }{ 3 } = \frac { 2x + 5}{7} +9 \)
\( \implies 21 (x + 1) + 14 (x + 2) = 6(2x + 5) + 9 \times 42 \) (यहाँ, \( 2, 3 \) और \( 7 \) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) \( 42 \) है, इसलिए पूरे समीकरण को \( 42 \) से गुणा करें। ऐसा करने से समीकरण से भिन्न खत्म हो जाती है, जिससे उसे हल करना आसान हो जाता है।)
\( \implies 21x + 21 + 14x + 28 = 12x + 30 + 378 \)
\( \implies 35x + 49 = 12x + 348 \)
\( \implies 35x - 12x = 348 - 49 \) (हमने \( 12x \) और \( 49 \) को उनके विपरीत पक्षों में ले जाकर समान पदों को एक साथ इकट्ठा किया है।)
\( \implies 23x = 299 \)
\( \implies \frac { 23x }{ 23 } = \frac { 299 }{ 23 } \) (दोनों पक्षों को \( 23 \) से भाग दिया गया है ताकि \( x \) का मान मिल सके।)
\( \implies x = 13 \)
In simple words: सबसे पहले, सभी भिन्नों के नीचे के नंबरों का LCM निकालें. फिर पूरे समीकरण को उस LCM से गुणा करें ताकि भिन्न हट जाए. उसके बाद, \( x \) वाले नंबरों को एक तरफ और बाकी नंबरों को दूसरी तरफ ले जाएँ. आखिर में, \( x \) का मान पता करने के लिए \( x \) के साथ वाले नंबर से भाग दें.

🎯 Exam Tip: भिन्न वाले समीकरणों को हल करते समय, सभी हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें और समीकरण के प्रत्येक पद को LCM से गुणा करें। यह भिन्नों को समाप्त कर देता है और गणना को सरल बनाता है।

Question 5. \( \frac {3x-2}{5} - \frac {x+2}{3} = 4 \)
Answer:
\( \frac {3x-2}{5} - \frac {x+2}{3} = 4 \)
\( \implies 3(3x - 2) - 5 (x + 2) = 15 \times 4 \) (यहाँ, \( 5 \) और \( 3 \) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) \( 15 \) है, इसलिए पूरे समीकरण को \( 15 \) से गुणा करें। यह भिन्न को खत्म करने में मदद करता है।)
\( \implies 9x - 6 - 5x - 10 = 60 \)
\( \implies 9x - 5x - 6 - 10 = 60 \)
\( \implies 4x - 16 = 60 \)
\( \implies 4x = 60 + 16 \) (हमने \( -16 \) को दाईं ओर ले जाकर \( x \) वाले पदों को अलग किया है।)
\( \implies 4x = 76 \)
\( \implies \frac {4x}{4} = \frac {76}{4} \) (दोनों पक्षों को \( 4 \) से भाग दिया गया है ताकि \( x \) का मान निकल सके।)
\( \implies x = 19 \)
In simple words: सबसे पहले, भिन्नों के नीचे के नंबरों का LCM निकालें और पूरे समीकरण को उससे गुणा करें. फिर ब्रैकेट खोलें और \( x \) वाले नंबरों को एक साथ और बाकी नंबरों को दूसरी तरफ ले जाएँ. आखिर में, \( x \) का मान पता करने के लिए \( x \) के साथ वाले नंबर से भाग दें.

🎯 Exam Tip: भिन्नों को हल करते समय, हरों का LCM लेकर पूरे समीकरण को गुणा करना एक प्रभावी तरीका है। ऋणात्मक चिन्हों का वितरण करते समय विशेष रूप से सावधान रहें।

Question 6. \( \frac {x+2}{2} + \frac {x+4}{3} = \frac {x+6}{4} + \frac {x+8}{5} \)
Answer:
\( \frac {x+2}{2} + \frac {x+4}{3} = \frac {x+6}{4} + \frac {x+8}{5} \)
\( \implies 30(x + 2) + 20(x+4) = 15(x + 6) + 12(x + 8) \) (यहाँ \( 2, 3, 4 \) और \( 5 \) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) \( 60 \) है। इसलिए पूरे समीकरण को \( 60 \) से गुणा किया गया है, ताकि भिन्नों को हटाया जा सके।)
\( \implies 30x + 60 + 20x + 80 = 15x + 90 + 12x + 96 \)
\( \implies 50x + 140 = 27x + 186 \) (समीकरण के दोनों पक्षों पर समान पदों को जोड़ा गया है, जिससे समीकरण सरल हो जाता है।)
\( \implies 50x - 27x = 186 - 140 \) (\( 27x \) और \( 140 \) का पक्षांतरण किया गया है, ताकि \( x \) वाले पद एक तरफ और संख्याएँ दूसरी तरफ आ जाएँ।)
\( \implies 23x = 46 \)
\( \implies \frac { 23x }{ 23 } = \frac { 46 }{ 23 } \) (दोनों पक्षों को \( 23 \) से भाग दिया गया है ताकि \( x \) का मान पता चल सके।)
\( \implies x = 2 \)
In simple words: सबसे पहले, सभी भिन्नों के नीचे के नंबरों का LCM निकालें (यहाँ \( 60 \)). फिर पूरे समीकरण को \( 60 \) से गुणा करें. इसके बाद, \( x \) वाले नंबरों को एक तरफ और बाकी नंबरों को दूसरी तरफ ले जाएँ. आखिर में, \( x \) का मान निकालने के लिए \( x \) के साथ वाले नंबर से भाग दें.

🎯 Exam Tip: जब कई भिन्न हों, तो सभी हरों का LCM निकालना और उससे गुणा करना समीकरण को एक रैखिक रूप में बदलने का सबसे अच्छा तरीका है। यह त्रुटियों की संभावना को कम करता है।

Question 7. \( 0.6x + 0.25x = 0.45x + 1.2 \)
Answer:
\( 0.6x + 0.25x = 0.45x + 1.2 \)
\( \implies \frac {6}{10} x + \frac {25}{100} x = \frac {45}{100} x + \frac {12}{10} \) (हमने दशमलव भिन्नों को सरल भिन्नों में बदला है ताकि गणना आसान हो।)
\( \implies 60x + 25x = 45x + 120 \) (यहाँ \( 10 \) और \( 100 \) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) \( 100 \) है, इसलिए पूरे समीकरण को \( 100 \) से गुणा करें।)
\( \implies 85x = 45x + 120 \)
\( \implies 85x - 45x = 120 \) (हमने \( 45x \) का पक्षांतरण किया है ताकि \( x \) वाले पद एक तरफ आ जाएँ।)
\( \implies 40x = 120 \)
\( \implies \frac { 40x }{ 40 } = \frac { 120 }{ 40 } \) (दोनों पक्षों को \( 40 \) से भाग दिया गया है ताकि \( x \) का मान निकल सके।)
\( \implies x = 3 \)
In simple words: पहले दशमलव संख्याओं को भिन्न में बदलें. फिर सभी भिन्नों के नीचे के नंबरों का LCM निकालें और पूरे समीकरण को उससे गुणा करें. \( x \) वाले नंबरों को एक तरफ और बाकी नंबरों को दूसरी तरफ ले जाएँ. आखिर में, \( x \) का मान पता करने के लिए \( x \) के साथ वाले नंबर से भाग दें.

🎯 Exam Tip: दशमलव वाले समीकरणों को भिन्नों में बदलना एक अच्छा तरीका है, खासकर जब अलग-अलग हर हों। इससे LCM ढूंढना और गुणा करना आसान हो जाता है।

Question 8. \( 2.5x - 7 = 0.5x + 13 \)
Answer:
\( 2.5x - 7 = 0.5x + 13 \)
\( \implies 2.5x - 0.5x = 13 + 7 \) (हमने \( 0.5x \) और \( 7 \) का पक्षांतरण किया है, जिससे \( x \) वाले पद एक तरफ और संख्याएँ दूसरी तरफ आ जाएँ।)
\( \implies 2x = 20 \)
\( \implies \frac {2x}{2} = \frac {20}{2} \) (दोनों पक्षों को \( 2 \) से भाग दिया गया है ताकि \( x \) का मान निकल सके।)
\( \implies x = 10 \)
In simple words: \( x \) वाले सभी नंबरों को समीकरण के एक तरफ और बिना \( x \) वाले नंबरों को दूसरी तरफ ले जाएँ. फिर \( x \) के साथ वाले नंबर से भाग देकर \( x \) का मान पता करें.

🎯 Exam Tip: दशमलव वाले समीकरणों को हल करते समय, आप दशमलव के साथ सीधे गणना कर सकते हैं या उन्हें भिन्नों में बदल सकते हैं, जो भी आपके लिए आसान हो। समान पदों को एक साथ रखना हमेशा पहला कदम होता है।

Question 9. \( \frac {x+2}{3} = \frac {7x+4}{-4} \)
Answer:
\( \frac {x+2}{3} = \frac {7x+4}{-4} \)
\( \implies -4(x + 2) = 3(7x + 4) \) (यहाँ वज्रगुणन विधि का प्रयोग किया गया है, जिसमें एक भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करते हैं।)
\( \implies -4x - 8 = 21x + 12 \)
\( \implies -4x - 21x = 12 + 8 \) (हमने \( 21x \) और \( 8 \) का पक्षांतरण किया है ताकि \( x \) वाले पद एक तरफ और संख्याएँ दूसरी तरफ आ जाएँ।)
\( \implies -25x = 20 \)
\( \implies \frac {25x }{25} = -\frac {20}{25} \) (दोनों पक्षों को \( 25 \) से भाग दिया गया है ताकि \( x \) का मान निकल सके।)
\( \implies x = -\frac {4}{5} \)
In simple words: वज्रगुणन करके समीकरण को सरल करें. फिर \( x \) वाले नंबरों को एक तरफ और बिना \( x \) वाले नंबरों को दूसरी तरफ ले जाएँ. आखिर में, \( x \) का मान पता करने के लिए \( x \) के साथ वाले नंबर से भाग दें.

🎯 Exam Tip: भिन्न समीकरणों में, वज्रगुणन एक बहुत उपयोगी तकनीक है। यह आपको जल्दी से रैखिक समीकरण में बदलने में मदद करता है। ऋणात्मक चिन्हों को ध्यान से संभालें।

Question 10. \( \frac {4x+8}{5x+8} = \frac {5}{6} \)
Answer:
\( \frac {4x+8}{5x+8} = \frac {5}{6} \)
\( \implies 6(4x + 8) = 5(5x + 8) \) (यह वज्रगुणन विधि है, जहाँ हम समीकरण के दोनों पक्षों के अंश को दूसरे के हर से गुणा करते हैं।)
\( \implies 24x + 48 = 25x + 40 \)
\( \implies 24x - 25x = 40 - 48 \) (हमने \( 25x \) और \( 48 \) का पक्षांतरण किया है ताकि \( x \) वाले पद एक तरफ और संख्याएँ दूसरी तरफ आ जाएँ।)
\( \implies -x = -8 \)
\( \implies \frac { -x }{ -1 } = \frac {-8 }{-1} \) (दोनों पक्षों को \( -1 \) से भाग दिया गया है ताकि \( x \) का मान धनात्मक मिल सके।)
\( \implies x = 8 \)
In simple words: वज्रगुणन करें, फिर \( x \) वाले नंबरों को एक तरफ और बिना \( x \) वाले नंबरों को दूसरी तरफ ले जाएँ. आखिर में, \( x \) का मान पता करने के लिए \( -1 \) से भाग दें.

🎯 Exam Tip: वज्रगुणन करते समय, सुनिश्चित करें कि आप सभी पदों को गुणा कर रहे हैं। फिर, \( x \) वाले पदों को एक तरफ और स्थिर पदों को दूसरी तरफ ले जाकर समीकरण को हल करें।