RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 10 गुणनखण्ड Important Questions

Rajasthan Board RBSE Class 8 Maths Chapter 10 गुणनखण्ड Additional Questions

I. बहुविकल्पात्मक प्रश्न

Question 1. व्यंजक \( x^2 + (a + b) x + ab \) के गुणनखण्ड -
(a) \( (x + a) (x - b) \)
(b) \( (x - a) (x + b) \)
(c) \( (x + a) (x + b) \)
(d) \( (x - a) (x - b) \)
Answer: (c) \( (x + a) (x + b) \)
In simple words: जब हम \( x^2 + (a + b) x + ab \) जैसे व्यंजक को गुणनखंडित करते हैं, तो हमें \( (x+a)(x+b) \) मिलता है। यह एक मानक बीजगणितीय सूत्र है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के गुणनखंडन के लिए, हमेशा याद रखें कि \( x^2 + (a+b)x + ab \) हमेशा \( (x+a)(x+b) \) के बराबर होता है, जहाँ a और b दो संख्याएँ होती हैं।

Question 2. \( (2x + 3) \) का वर्ग होगा –
(a) \( 4x^2 + 6 + 9 \)
(b) \( 4x^2 + 2x + 9 \)
(c) \( 4x^2 + 12x + 9 \)
(d) \( 4x^2 + 9 \)
Answer: (c) \( 4x^2 + 12x + 9 \)
In simple words: \( (2x+3)^2 \) का मतलब है \( (2x+3) \) को \( (2x+3) \) से गुणा करना। \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \) सूत्र का उपयोग करके, हमें \( (2x)^2 + 2(2x)(3) + (3)^2 \) मिलता है, जो \( 4x^2 + 12x + 9 \) के बराबर है।

🎯 Exam Tip: \( (a+b)^2 \) वाले सूत्रों को याद रखना ऐसे प्रश्नों को जल्दी हल करने में मदद करता है। हमेशा \( 2ab \) पद को शामिल करना न भूलें।

Question 3. \( (6x + 1) \) का वर्ग है –
(a) \( 36x^2 + 1 \)
(b) \( 36x^2 + 6x + 1 \)
(c) \( 36x^2 + 6 \)
(d) \( 36x^2 + 12x + 1 \)
Answer: (d) \( 36x^2 + 12x + 1 \)
In simple words: \( (6x+1)^2 \) का मतलब है \( (6x+1) \) को खुद से गुणा करना। जब हम \( (A+B)^2 \) सूत्र का उपयोग करते हैं, तो \( A \) को \( 6x \) और \( B \) को \( 1 \) के रूप में रखने पर हमें \( (6x)^2 + 2(6x)(1) + (1)^2 \) मिलता है, जो \( 36x^2 + 12x + 1 \) के बराबर होता है।

🎯 Exam Tip: वर्ग करते समय, विशेषकर द्विपद का, \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) और \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) जैसे सूत्रों का सही उपयोग करें।

Question 4. व्यंजक \( (2a - 3) (2a + 3) \) का गुणनफल है -
(a) \( 4a^2 + 2a + 9 \)
(b) \( 4a^2 - 9 \)
Answer: (b) \( 4a^2 - 9 \)
In simple words: जब हम \( (2a-3) \) और \( (2a+3) \) को गुणा करते हैं, तो यह \( (A-B)(A+B) \) के रूप में है। इसका उत्तर हमेशा \( A^2 - B^2 \) होता है। इस मामले में, \( (2a)^2 - (3)^2 \) का मतलब \( 4a^2 - 9 \) है।

🎯 Exam Tip: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) सूत्र एक बहुत ही महत्वपूर्ण पहचान है जो गुणनफल को जल्दी खोजने में मदद करती है।

Question 6. \( 2x^3 + x^2 + 2x + 1 \) का गुणनखण्ड है -
(a) \( (2x + 1)(x^2 + 1) \)
(b) \( (x + 2)(x + 1) \)
(c) \( (x + 2)(x^2 + 1) \)
(d) \( (x + 1)(x + 1) \)
Answer: (a) \( (2x + 1)(x^2 + 1) \)
In simple words: \( 2x^3 + x^2 + 2x + 1 \) को गुणनखंडित करने के लिए, हम पहले दो पदों \( (x^2(2x+1)) \) और अगले दो पदों \( (1(2x+1)) \) में से सामान्य पद निकालते हैं। इससे हमें \( (x^2+1)(2x+1) \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: चार पदों वाले व्यंजकों का गुणनखंडन करते समय, अक्सर समूह बनाकर सामान्य गुणनखंड निकालना सबसे अच्छा तरीका होता है।

Question 7. \( 4x^2 + 8y + 4y^2 \) की गुणनखण्ड है -
(a) \( (2x + 2y)^2 \)
(b) \( (2x - 2y)^2 \)
(c) \( (2x + y)^2 \)
(d) \( (x + 2y)^2 \)
Answer:
In simple words: प्रश्न में दिए गए व्यंजक \( 4x^2 + 8y + 4y^2 \) को गुणनखंडित करने के लिए, हमें पहले यह पहचानना होगा कि यह किस प्रकार का व्यंजक है। दिए गए विकल्पों में से, यह सीधे तौर पर एक मानक वर्ग का रूप नहीं है, और प्रश्न में \( 8y \) पद के कारण सीधा मिलान नहीं होता। यदि प्रश्न \( 4x^2 + 8xy + 4y^2 \) होता, तो इसका गुणनखंड \( (2x+2y)^2 \) होता।

🎯 Exam Tip: गुणनखंडन करते समय, हमेशा पहले सामान्य गुणनखंड निकालने का प्रयास करें। यदि कोई नहीं है, तो देखें कि क्या यह \( a^2 \pm 2ab + b^2 \) या \( a^2 - b^2 \) जैसे किसी विशेष सूत्र से मेल खाता है।

Question 8. व्यंजक \( a^2 + 2ab + b^2 \) के गुणनखण्ड हैं -
(a) \( (a + b)(a - b) \)
(b) \( (a + b)^2 \)
(c) \( (a - b)^2 \)
(d) \( (a^2 + b^2)^2 \)
Answer: (b) \( (a + b)^2 \)
In simple words: \( a^2 + 2ab + b^2 \) एक बहुत ही महत्वपूर्ण बीजगणितीय पहचान है। यह हमेशा \( (a+b) \) को \( (a+b) \) से गुणा करने के बराबर होता है, जिसे हम \( (a+b)^2 \) के रूप में लिखते हैं। इसे 'दो पदों के योग का वर्ग' सूत्र कहते हैं।

🎯 Exam Tip: \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \) सूत्र को पूरी तरह से याद रखें। यह गुणनखंडन और विस्तार दोनों में बहुत उपयोगी है।

Question 9. बीजीय व्यंजक \( a^2 - b^2 \) के गुणनखण्ड हैं -
(a) \( (a^2 - b^2) \)
(b) \( (a^2-b^2) (a + b) \)
(c) \( (a + b) (a + b) \)
(d) \( (a - b) (a + b) \)
Answer: (d) \( (a - b) (a + b) \)
In simple words: \( a^2 - b^2 \) दो वर्गों के अंतर का सूत्र है। यह हमेशा \( (a-b) \) और \( (a+b) \) के गुणनफल के बराबर होता है। यह एक मानक सूत्र है जो बहुत उपयोग में आता है।

🎯 Exam Tip: दो वर्गों के अंतर का सूत्र \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) को हमेशा याद रखें। यह व्यंजकों को सरल बनाने में बहुत काम आता है।

III. सत्य/असत्य

Question 1. वह समीकरण जो चर राशियों के सभी मानों के लिए सत्य हो .............. कहलाती है।
Answer: वह समीकरण जो चर राशियों के सभी मानों के लिए सत्य हो, **सर्वसमिका** कहलाती है। एक सर्वसमिका वह समीकरण होती है जो उसके चर के सभी मानों के लिए सत्य होती है।
In simple words: ऐसा समीकरण जो किसी भी संख्या के लिए सही होता है, उसे सर्वसमिका कहते हैं।

🎯 Exam Tip: सर्वसमिका और समीकरण में अंतर को हमेशा स्पष्ट रखें। समीकरण कुछ विशिष्ट मानों के लिए सत्य होता है, जबकि सर्वसमिका हमेशा सत्य होती है।

Question 2. \( (x + a) (x + b) = x^2 + (....) x + (ab) \)
Answer: \( (x + a) (x + b) = x^2 + (a + b) x + (ab) \). खाली जगह में **\( (a + b) \)** आएगा। यह गुणनफल बीजगणित का एक मूल सूत्र है।
In simple words: जब हम \( (x+a) \) और \( (x+b) \) को गुणा करते हैं, तो \( x^2 + (a+b)x + ab \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( (x+a)(x+b) \) सूत्र को याद रखें: \( x^2 \) पद, \( x \) के साथ \( a+b \) का योग, और फिर \( ab \) का गुणनफल।

Question 3. \( a^2 - b^2 = (.....) x (a - b) \)
Answer: \( a^2 - b^2 = (a + b) x (a - b) \). खाली जगह में **\( (a + b) \)** आएगा। यह दो वर्गों के अंतर का सूत्र है।
In simple words: \( a^2 - b^2 \) को हमेशा \( (a+b) \) और \( (a-b) \) के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।

🎯 Exam Tip: \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \) सूत्र का उपयोग करके बड़े व्यंजकों को आसानी से गुणनखंडित किया जा सकता है।

Question 4. \( (x - 1) (x + 1) \) बराबर है............के।
Answer: \( (x - 1) (x + 1) \) बराबर है **\( x^2 - 1 \)** के। यह \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) सूत्र का एक उदाहरण है।
In simple words: जब \( (x-1) \) और \( (x+1) \) को गुणा करते हैं, तो हमें \( x \) का वर्ग और \( 1 \) का वर्ग का अंतर मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( (x-a)(x+a) = x^2 - a^2 \) जैसे सूत्रों को याद रखना गणनाओं को बहुत तेज बनाता है।

Question 5. \( 3.5 \times 3.5 - 2.5 \times 2.5 \) का मान है।
Answer: \( 3.5 \times 3.5 - 2.5 \times 2.5 = 6 \). हम इसे \( (3.5)^2 - (2.5)^2 \) के रूप में लिख सकते हैं।
\( \implies \) यह \( a^2 - b^2 \) सूत्र जैसा है, जिसका उत्तर \( (a-b)(a+b) \) होता है।
\( \implies (3.5 - 2.5)(3.5 + 2.5) = (1.0)(6.0) = 6 \).
In simple words: इस सवाल को हल करने के लिए हम \( a^2 - b^2 \) वाला सूत्र लगाते हैं। \( (3.5 - 2.5) \) गुणा \( (3.5 + 2.5) \) करने पर \( 1 \) गुणा \( 6 \) मिलता है, जिसका उत्तर \( 6 \) होता है।

🎯 Exam Tip: संख्याओं के वर्गों के अंतर को सीधे गुणा करने के बजाय \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) सूत्र का उपयोग करना गणना को बहुत आसान बनाता है।

Question 1. \( a^2 - b + ab - a \) के गुणनखण्ड \( (a - 1) (a + b) \) हैं।
Answer: यह कथन **सत्य** है।
आइए गुणनखंडित करें: \( a^2 - b + ab - a \)
\( \implies a^2 + ab - a - b \) (पदों को पुनः व्यवस्थित करना)
\( \implies a(a + b) - 1(a + b) \) (समूह बनाकर सामान्य गुणनखंड निकालना)
\( \implies (a - 1)(a + b) \). इस प्रकार, कथन सही है।
In simple words: \( a^2 - b + ab - a \) को \( (a-1)(a+b) \) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। यह पदों को सही क्रम में रखकर और फिर सामान्य गुणनखंड निकालकर किया जाता है।

🎯 Exam Tip: चार पदों वाले व्यंजकों का गुणनखंडन करते समय, पदों को सही ढंग से समूहित करना महत्वपूर्ण है ताकि एक सामान्य द्विपद गुणनखंड निकाला जा सके।

Question 2. \( (x + \frac {1}{x})^2 \) का विस्तार \( x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \) है।
Answer: यह कथन **सत्य** है।
\( (x + \frac {1}{x})^2 \) का विस्तार करने पर, हम \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) सूत्र का उपयोग करते हैं।
\( \implies (x)^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 \)
\( \implies x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \). इस प्रकार, कथन सत्य है।
In simple words: \( (x + \frac {1}{x})^2 \) को खोलने पर हमें \( x^2 \), फिर \( x \) और \( \frac{1}{x} \) का दोगुना गुणनफल (जो \( 2 \) होता है), और फिर \( \frac{1}{x} \) का वर्ग मिलता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, \( ab \) पद को सरल करते समय ध्यान दें, खासकर जब \( a \) और \( b \) एक-दूसरे के व्युत्क्रम हों, क्योंकि उनका गुणनफल 1 हो जाता है।

Question 3. \( x^2 - 7x + 12 \) के गुणनखण्ड \( (x + 3) (x + 4) \) हैं।
Answer: यह कथन **असत्य** है।
\( x^2 - 7x + 12 \) के गुणनखण्ड ज्ञात करने के लिए, हमें ऐसी दो संख्याएँ ढूँढनी होंगी जिनका गुणनफल \( 12 \) हो और योग \( -7 \) हो।
ये संख्याएँ \( -3 \) और \( -4 \) हैं।
\( \implies x^2 - 3x - 4x + 12 \)
\( \implies x(x - 3) - 4(x - 3) \)
\( \implies (x - 3)(x - 4) \).
इसलिए, \( (x + 3)(x + 4) \) के बजाय सही गुणनखंड \( (x-3)(x-4) \) हैं।
In simple words: \( x^2 - 7x + 12 \) के सही गुणनखंड \( (x-3)(x-4) \) होते हैं, क्योंकि \( (-3) \times (-4) = 12 \) और \( (-3) + (-4) = -7 \)। प्रश्न में दिए गए गुणनखंड गलत हैं।

🎯 Exam Tip: द्विघात व्यंजक \( ax^2 + bx + c \) के गुणनखंडन के लिए, ऐसी दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल \( ac \) हो और योग \( b \) हो। चिह्नों का ध्यान रखना बहुत महत्वपूर्ण है।

Question 4. यदि \( x = 2 \) तथा \( y = -1 \) हो तो \( x^2 + 4xy + y^2 \) का मान \( 1 \) है।
Answer: यह कथन **असत्य** है।
दिए गए मानों को व्यंजक में रखने पर:
\( x^2 + 4xy + y^2 \)
\( \implies (2)^2 + 4(2)(-1) + (-1)^2 \)
\( \implies 4 - 8 + 1 \)
\( \implies -3 \).
इसलिए, व्यंजक का मान \( -3 \) है, \( 1 \) नहीं।
In simple words: जब \( x=2 \) और \( y=-1 \) को सूत्र में डालते हैं, तो \( x^2 \) बन जाता है \( 4 \), \( 4xy \) बन जाता है \( -8 \), और \( y^2 \) बन जाता है \( 1 \)। इन सभी को जोड़ने पर \( 4 - 8 + 1 = -3 \) आता है।

🎯 Exam Tip: चर के मानों को प्रतिस्थापित करते समय, विशेषकर ऋणात्मक मानों के साथ, चिह्नों और वर्ग करते समय बहुत सावधान रहें।

V. मिलान/सुमेलन वाले प्रश्न

Question 1. खण्ड (1) में दिए गए भागों को खण्ड (2) में दिए गए भागों से मिलान कीजिए
खण्ड (1)
1. \( 103 \times 107 \)
2. \( 22y - 33z \)
3. \( 2y, 22xy \) का सार्व गुणनखण्ड
4. \( -36y^3 \div 9y^2 \)
खण्ड (2)
(a) \( 11021 \)
(b) \( 2y \)
(c) \( 4y \)
(d) \( 11 (2y - 3z) \)
Answer:
1. \( 103 \times 107 = (100+3)(100+7) = 100^2 + (3+7)100 + 3 \times 7 = 10000 + 1000 + 21 = 11021 \).
\( \implies \) 1. \( \leftrightarrow \) (a)
2. \( 22y - 33z = 11(2y - 3z) \).
\( \implies \) 2. \( \leftrightarrow \) (d)
3. \( 2y \) और \( 22xy \) का सार्व गुणनखण्ड \( 2y \) है, क्योंकि \( 2y \) दोनों में मौजूद है।
\( \implies \) 3. \( \leftrightarrow \) (b)
4. \( -36y^3 \div 9y^2 = -\frac{36}{9} \times \frac{y^3}{y^2} = -4y \).
\( \implies \) 4. \( \leftrightarrow \) (c)
In simple words: हमें खंड (1) के प्रत्येक प्रश्न का उत्तर खंड (2) से मिलाना है। गुणा करके, गुणनखंड निकालकर, या भाग देकर सही जोड़ी बनाई जाती है।

🎯 Exam Tip: मिलान वाले प्रश्नों में, प्रत्येक आइटम को ध्यान से हल करें और फिर सबसे उपयुक्त विकल्प से मिलान करें। गणितीय पहचान और नियमों का सही उपयोग करें।

v. अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. \( 3x^3 + 3x^2 + x + 1 \) के गुणनखण्ड कीजिए।
Answer: \( 3x^3 + 3x^2 + x + 1 \)
\( \implies 3x^2(x + 1) + 1(x + 1) \)
\( \implies (x + 1)(3x^2 + 1) \).
In simple words: इस व्यंजक को गुणनखंडित करने के लिए, हमने पहले दो पदों में से \( 3x^2 \) को बाहर निकाला और अगले दो पदों में से \( 1 \) को बाहर निकाला। फिर \( (x+1) \) को सामान्य गुणनखंड के रूप में लेकर अंतिम उत्तर \( (x+1)(3x^2+1) \) प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: चार पदों वाले बहुपदों में, समूह बनाकर गुणनखंडन एक सामान्य और प्रभावी तरीका है। पहले दो और अंतिम दो पदों में से सामान्य गुणनखंड निकालें।

Question 2. \( 2(x+y) + 3(x+y) + 5(x + y) \) का सार्व गुणनखण्ड बताइए।
Answer: \( 2(x+y) + 3(x+y) + 5(x + y) \)
इस व्यंजक में तीन पद हैं: \( 2(x+y) \), \( 3(x+y) \) और \( 5(x+y) \)।
प्रत्येक पद में \( (x+y) \) एक गुणनखण्ड है।
\( \implies \) इसलिए, व्यंजक का सार्व गुणनखण्ड **\( (x + y) \)** है।
In simple words: इस व्यंजक के सभी हिस्सों में \( (x+y) \) एक जैसी चीज है। इसलिए, \( (x+y) \) ही इसका सबसे बड़ा समान गुणनखंड है।

🎯 Exam Tip: सार्व गुणनखण्ड का अर्थ है वह पद या संख्या जो दिए गए व्यंजक के सभी पदों में उपस्थित हो। इसे पहचानने के लिए ध्यान से देखें कि कौन सा कारक सभी पदों में समान है।

Question 3. \( 2x(2x^2 + 2x - 9) \) को सरल कीजिए।
Answer: \( 2x(2x^2 + 2x - 9) \)
\( \implies 2x \times 2x^2 + 2x \times 2x - 2x \times 9 \)
\( \implies 4x^3 + 4x^2 - 18x \).
In simple words: \( 2x \) को कोष्ठक के अंदर के सभी पदों से गुणा करना है। \( 2x \) को \( 2x^2 \) से, फिर \( 2x \) से, और फिर \( -9 \) से गुणा करने पर हमें \( 4x^3 + 4x^2 - 18x \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: एकपदी को बहुपद से गुणा करते समय, वितरण नियम का उपयोग करें और कोष्ठक के अंदर के प्रत्येक पद को एकपदी से गुणा करें। चिह्नों का ध्यान रखें।

Question 4. \( (x + 2) (x + 3) \) को सरल कीजिए।
Answer: \( (x + 2) (x + 3) \)
\( \implies x^2 + (2 + 3)x + 2 \times 3 \)
\( \implies x^2 + 5x + 6 \).
In simple words: \( (x+2) \) और \( (x+3) \) को गुणा करने के लिए, हम \( x \) को \( x \) और \( 3 \) से, और \( 2 \) को \( x \) और \( 3 \) से गुणा करते हैं। इससे \( x^2 + 3x + 2x + 6 \) मिलता है, जो \( x^2 + 5x + 6 \) बन जाता है।

🎯 Exam Tip: द्विपदों को गुणा करते समय, FOIL (First, Outer, Inner, Last) विधि का उपयोग करें या \( (x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab \) सूत्र का उपयोग करें।

Question 5. \( (2x + a) \) तथा \( (2x – a) \) का गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
Answer: \( (2x + a)(2x – a) \)
यह \( (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 \) सूत्र के समान है।
यहाँ, \( A = 2x \) और \( B = a \).
\( \implies (2x)^2 - (a)^2 \)
\( \implies 4x^2 - a^2 \).
In simple words: जब हम \( (2x+a) \) और \( (2x-a) \) को गुणा करते हैं, तो हमें पहले पद का वर्ग (\( 2x \) का वर्ग) और दूसरे पद का वर्ग (\( a \) का वर्ग) का अंतर मिलता है, जो \( 4x^2 - a^2 \) होता है।

🎯 Exam Tip: \( (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 \) सूत्र को पहचानना और उसका उपयोग करना ऐसे प्रश्नों को हल करने का सबसे तेज़ तरीका है।

Question 6. यदि \( x + y = 20, xy = 34 \) तो \( x^2 + y^2 \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( x+y=20 \) और \( xy=34 \) दिया गया है। हमें \( x^2+y^2 \) का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि \( (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \).
इस सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
\( \implies (20)^2 = x^2 + y^2 + 2(34) \)
\( \implies 400 = x^2 + y^2 + 68 \)
अब \( x^2 + y^2 \) का मान निकालने के लिए \( 68 \) को \( 400 \) में से घटाएँ:
\( \implies x^2 + y^2 = 400 - 68 \)
\( \implies x^2 + y^2 = 332 \).
In simple words: हमें \( x+y \) और \( xy \) का मान दिया गया है। \( (x+y)^2 \) सूत्र का उपयोग करके, हम \( (20)^2 \) का मान निकालते हैं। फिर \( 2xy \) (\( 2 \times 34 \)) के मान को घटाकर \( x^2+y^2 \) का मान \( 332 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय सूत्रों, विशेषकर \( (a+b)^2 \) और \( (a-b)^2 \) को अच्छी तरह से समझें। वे अज्ञात मानों को खोजने में बहुत सहायक होते हैं।

Question 7. यदि \( x^2 + \frac {1}{x^2} = 62 \) तो \( (x + \frac {1}{x}) \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( x^2 + \frac {1}{x^2} = 62 \) दिया गया है। हमें \( (x + \frac {1}{x}) \) का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि \( (x + \frac {1}{x})^2 = x^2 + 2(x)(\frac {1}{x}) + \frac {1}{x^2} \).
\( \implies (x + \frac {1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac {1}{x^2} \).
पदों को पुनः व्यवस्थित करने पर:
\( \implies (x + \frac {1}{x})^2 = (x^2 + \frac {1}{x^2}) + 2 \).
अब \( x^2 + \frac {1}{x^2} \) का मान \( 62 \) रखने पर:
\( \implies (x + \frac {1}{x})^2 = 62 + 2 \)
\( \implies (x + \frac {1}{x})^2 = 64 \).
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( \implies x + \frac {1}{x} = \sqrt{64} \)
\( \implies x + \frac {1}{x} = 8 \).
In simple words: हमें पता है कि \( (x + \frac {1}{x})^2 \) का सूत्र \( x^2 + \frac {1}{x^2} + 2 \) होता है। प्रश्न में \( x^2 + \frac {1}{x^2} \) का मान \( 62 \) दिया है, तो हम \( 62+2=64 \) करते हैं। फिर \( 64 \) का वर्गमूल \( 8 \) आता है, जो हमारा उत्तर है।

🎯 Exam Tip: \( (a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 \) और \( (a - \frac{1}{a})^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 \) जैसे सूत्रों को याद रखना ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 8. यदि \( x^2 - x - 42 = (x + k) (x + 6) \) हो तो \( k \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( x^2 - x - 42 = (x + k) (x + 6) \) दिया गया है।
दाहिने हाथ के पक्ष को गुणा करने पर:
\( \implies (x + k) (x + 6) = x^2 + 6x + kx + 6k \)
\( \implies x^2 + (6 + k)x + 6k \).
अब इस व्यंजक की तुलना बाएँ हाथ के पक्ष \( x^2 - x - 42 \) से करें।
\( x \) के गुणांकों की तुलना करने पर:
\( \implies 6 + k = -1 \)
\( \implies k = -1 - 6 \)
\( \implies k = -7 \).
स्थिर पदों की तुलना करने पर भी यही मान प्राप्त होता है:
\( \implies 6k = -42 \)
\( \implies k = \frac{-42}{6} \)
\( \implies k = -7 \).
In simple words: हमें एक गुणनखंडित व्यंजक दिया गया है और हमें \( k \) का मान पता करना है। हम गुणनखंडित व्यंजक को गुणा करके खोलते हैं और फिर उसे दिए गए व्यंजक से मिलाते हैं। \( x \) के साथ वाले नंबरों की तुलना करने पर हमें \( k \) का मान \( -7 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: जब दो बहुपद बराबर होते हैं, तो उनके संबंधित पदों के गुणांक भी बराबर होते हैं। यह अज्ञात स्थिरांकों को खोजने के लिए एक शक्तिशाली तरीका है।

VI. लघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 2. \( 39y^3 (50y^2 – 98) \) में \( 26y^2 (5y + 7) \) से भाग दीजिए।
Answer: हमें \( 39y^3 (50y^2 – 98) \) में \( 26y^2 (5y + 7) \) से भाग देना है।
व्यंजक को भिन्न के रूप में लिखें:
\( \frac{39y^3(50y^2 - 98)}{26y^2(5y + 7)} \)
अब अंश के पदों को सरल करें:
\( \implies 50y^2 - 98 = 2(25y^2 - 49) \)
\( \implies = 2((5y)^2 - (7)^2) \)
\( \implies = 2(5y - 7)(5y + 7) \) (क्योंकि \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \)).
अब इसे मूल भिन्न में वापस रखें:
\( \implies \frac{39y^3 \times 2(5y - 7)(5y + 7)}{26y^2(5y + 7)} \)
सामान्य पदों को काटें: \( (5y+7) \) अंश और हर दोनों में है। \( y^2 \) को \( y^3 \) से काटने पर \( y \) बचेगा। \( 39 \) और \( 26 \) दोनों \( 13 \) से कटते हैं।
\( \implies \frac{3 \times 13 \times y^3 \times 2(5y - 7)}{2 \times 13 \times y^2} \)
\( \implies \frac{3 \times y \times (5y - 7)}{1} \)
\( \implies 3y(5y - 7) \).
In simple words: हमें एक व्यंजक को दूसरे से भाग देना है। हमने पहले ऊपर वाले हिस्से (\( 39y^3(50y^2-98) \)) को आसान बनाया, \( 50y^2-98 \) में से \( 2 \) को बाहर निकालकर और फिर उसे \( (5y-7)(5y+7) \) के रूप में लिखा। फिर ऊपर और नीचे के समान हिस्सों को काट दिया, जिससे हमें \( 3y(5y-7) \) उत्तर मिला।

🎯 Exam Tip: भागफल के प्रश्नों में, अंश और हर दोनों को गुणनखंडित करें और फिर सामान्य गुणनखंडों को काट दें। \( a^2 - b^2 \) जैसी बीजगणितीय पहचानों को पहचानना और उनका उपयोग करना महत्वपूर्ण है।

Question 3. \( 8(x^3y^2z^2 + x^2y^3z^2 + x^2y^2z^3) \) में \( 4x^2y^2z^2 \) से भाग दीजिए।
Answer: हमें \( 8(x^3y^2z^2 + x^2y^3z^2 + x^2y^2z^3) \) में \( 4x^2y^2z^2 \) से भाग देना है।
व्यंजक को भिन्न के रूप में लिखें:
\( \frac{8(x^3y^2z^2 + x^2y^3z^2 + x^2y^2z^3)}{4x^2y^2z^2} \)
अंश में से \( x^2y^2z^2 \) को सामान्य गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें:
\( \implies \frac{8x^2y^2z^2(x + y + z)}{4x^2y^2z^2} \)
अब सामान्य पदों को काटें: \( x^2y^2z^2 \) अंश और हर दोनों में है। \( 8 \) को \( 4 \) से भाग देने पर \( 2 \) प्राप्त होता है।
\( \implies 2(x + y + z) \).
In simple words: इस भाग के सवाल में, हमने पहले ऊपर वाले बड़े हिस्से से \( x^2y^2z^2 \) को बाहर निकाला क्योंकि यह सभी पदों में है। फिर ऊपर और नीचे के समान हिस्से (\( x^2y^2z^2 \)) और संख्याओं को काट दिया। आखिर में, हमारे पास \( 2(x+y+z) \) बचा।

🎯 Exam Tip: जब एक बहुपद को एक एकपदी से भाग देना हो, तो बहुपद के सभी पदों में से एकपदी को सामान्य गुणनखंड के रूप में निकालें, फिर उसे हर में दिए गए एकपदी से काट दें।

Question 5. \( 8x^2y^3 (a + b)^2 + 24x^3y^2 (a + b)^2 - 16x^3y^3 (a + b)^2 \) के गुणनखण्ड कीजिए।
Answer: \( 8x^2y^3 (a + b)^2 + 24x^3y^2 (a + b)^2 - 16x^3y^3 (a + b)^2 \)
सभी पदों में सामान्य गुणनखंड \( 8x^2y^2(a+b)^2 \) है। इसे बाहर निकालें:
\( \implies 8x^2y^2(a + b)^2 [y + 3x - 2xy] \).
In simple words: इस लंबे व्यंजक को गुणनखंडित करने के लिए, हमने सभी पदों में जो भी समान था, उसे बाहर निकाला। यहाँ, \( 8 \), \( x^2 \), \( y^2 \), और \( (a+b)^2 \) सभी पदों में थे। उन्हें बाहर निकालने के बाद, कोष्ठक के अंदर \( y + 3x - 2xy \) बचा।

🎯 Exam Tip: बहुपदीय व्यंजकों का गुणनखंडन करते समय, हमेशा सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड (GCF) को पहले निकालना सबसे आसान तरीका होता है। संख्यात्मक गुणांकों, चरों और द्विपदी कारकों पर ध्यान दें।

Question 6. गुणनखण्ड़ कीजिए \( (2x + 3y)^2 - 5(2x + 3y) - 14 \)
Answer: हमें \( (2x + 3y)^2 - 5(2x + 3y) - 14 \) का गुणनखंडन करना है।
गणना को सरल बनाने के लिए, मान लीजिए \( (2x + 3y) = A \).
अब व्यंजक बन जाता है: \( A^2 - 5A - 14 \).
हमें ऐसी दो संख्याएँ ढूँढनी हैं जिनका गुणनफल \( -14 \) हो और योग \( -5 \) हो। ये संख्याएँ \( -7 \) और \( 2 \) हैं।
\( \implies A^2 - 7A + 2A - 14 \)
\( \implies A(A - 7) + 2(A - 7) \)
\( \implies (A - 7)(A + 2) \).
अब \( A \) का मान \( (2x + 3y) \) वापस रखने पर:
\( \implies ( (2x + 3y) - 7 ) ( (2x + 3y) + 2 ) \).
In simple words: हमने \( (2x+3y) \) को \( A \) मानकर सवाल को आसान कर लिया। फिर \( A^2 - 5A - 14 \) के गुणनखंड किए, जो \( (A-7)(A+2) \) आया। आखिर में, \( A \) की जगह फिर से \( (2x+3y) \) को रख दिया।

🎯 Exam Tip: जब एक बड़ा या जटिल पद व्यंजक में बार-बार आता है, तो उसे एक नया चर (जैसे A या B) मानकर प्रतिस्थापित करना गणना को बहुत आसान बना सकता है।

Question 7. (i) सार्वगुणनखण्ड द्वारा गुणनखण्ड कीजिए \( p^2qr + pq^2r + pqr^2 \)
(ii) बहुपद \( 18m^3 + 6m^2 + 12m \) में \( 3m \) से भाग दीजिए।
Answer:
(i) हमें \( p^2qr + pq^2r + pqr^2 \) का सार्वगुणनखण्ड द्वारा गुणनखंडन करना है।
सभी पदों में \( pqr \) एक सामान्य गुणनखंड है। इसे बाहर निकालने पर:
\( \implies pqr(p + q + r) \).
(ii) हमें \( 18m^3 + 6m^2 + 12m \) में \( 3m \) से भाग देना है।
प्रत्येक पद को \( 3m \) से अलग-अलग भाग दें:
\( \implies \frac{18m^3}{3m} + \frac{6m^2}{3m} + \frac{12m}{3m} \)
\( \implies 6m^2 + 2m + 4 \).
In simple words: (i) पहले सवाल में, हमने देखा कि \( pqr \) सभी पदों में है, इसलिए उसे बाहर निकाल लिया। (ii) दूसरे सवाल में, हमने बहुपद के हर हिस्से को \( 3m \) से अलग-अलग भाग दिया, जिससे हमें एक नया छोटा बहुपद मिला।

🎯 Exam Tip: (i) सार्वगुणनखण्ड निकालते समय, चर की सबसे छोटी घात और संख्यात्मक गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक देखें। (ii) एक बहुपद को एक एकपदी से भाग देते समय, बहुपद के प्रत्येक पद को एकपदी से भाग देना याद रखें।

Question 9. निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए (कोई दो भाग हल कीजिए)
(i) \( 5pq + 5p + 3q^2 + 3q \)
(ii) \( a^2 - 5a + 6 \)
(iii) \( p^4 - 81 \)
Answer:
(i) \( 5pq + 5p + 3q^2 + 3q \)
पहले दो पदों में से \( 5p \) और अगले दो पदों में से \( 3q \) को सामान्य गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें:
\( \implies 5p(q + 1) + 3q(q + 1) \)
अब \( (q + 1) \) को सामान्य गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें:
\( \implies (q + 1)(5p + 3q) \).
(ii) \( a^2 - 5a + 6 \)
हमें ऐसी दो संख्याएँ ढूँढनी हैं जिनका गुणनफल \( 6 \) हो और योग \( -5 \) हो। ये संख्याएँ \( -3 \) और \( -2 \) हैं।
\( \implies a^2 - 3a - 2a + 6 \)
\( \implies a(a - 3) - 2(a - 3) \)
\( \implies (a - 3)(a - 2) \).
(iii) \( p^4 - 81 \)
यह दो वर्गों के अंतर \( (a^2 - b^2) \) के रूप में है, जहाँ \( a = p^2 \) और \( b = 9 \).
\( \implies (p^2)^2 - (9)^2 \)
\( \implies (p^2 - 9)(p^2 + 9) \).
अब \( (p^2 - 9) \) को फिर से दो वर्गों के अंतर के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, जहाँ \( p^2 - 9 = (p - 3)(p + 3) \).
\( \implies (p - 3)(p + 3)(p^2 + 9) \).
In simple words: (i) पहले व्यंजक में, हमने पदों को समूहित किया और सामान्य गुणनखंड निकाले। (ii) दूसरे व्यंजक में, हमने मध्य पद को दो हिस्सों में तोड़ा ताकि गुणनखंड मिल सकें। (iii) तीसरे व्यंजक में, हमने दो बार 'दो वर्गों के अंतर' वाले सूत्र का उपयोग किया, क्योंकि \( p^4-81 \) को पहले \( (p^2)^2 - 9^2 \) और फिर \( p^2 - 9 \) को \( p^2 - 3^2 \) के रूप में देखा जा सकता है।

🎯 Exam Tip: गुणनखंडन के विभिन्न तरीकों को समझें: समूह बनाकर, मध्य पद को तोड़कर, और बीजगणितीय पहचानों (जैसे \( a^2 - b^2 \)) का उपयोग करके। हमेशा देखें कि क्या गुणनखंडों को और सरल किया जा सकता है।